北京市西城区北京师范大学附属实验中学2025-2026学年下学期九年级数学学情自测4

北京师范大学附属实验中学2025-2026学年初三第二学期数学 综合训练4 （满分：100分 时间：120分钟） 一、选择题：（每小题2分，共16分） 1. 在下列几何体中，主视图的形状跟下图一样的是（ ） A. B. C. D. 2. 从本语文教材、本数学教材、本英语教材中随机取出一本书，若选取每本教材的可能性相等，选取的书不是数学教材的概率是（ ） A. B. C. D. 3. 实数a、b在数轴上的位置如下图所示，则下列不等关系正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 关于的一元二次方程根的情况是（ ） A. 有两个不等实根 B. 有两个相等实根 C. 没有实根 D. 无法确定 5. 太阳的质量约为，地球的质量约为，太阳质量大约是地球质量的（ ）倍． A. B. C. D. 6. 如图，的半径为2，是的内接三角形，于D， 于E，当时，线段的长是（ ） A. B. C. 2 D. 4 7. 线段长为1，以为直径作，在上取点C（不与A、B重合），连接．设，下列结论中一定正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在函数（是常数且，）的图像上任取两点和（在左侧），分别过、作两条坐标轴的平行线，得到矩形（在左侧），连接、、，作直线分别交轴、轴于点、．在下列说法中，一定正确的是（ ） ①、、三点共线；②；③若，则；④四边形和四边形的面积都等于． A. ①② B. ③④ C. ①②④ D. ①②③④ 二、填空题：（每小题2分，共16分） 9. 若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是_____________． 10. 分解因式： ____________． 11. 方程的解为_____________． 12. 某校从某年级名学生中随机抽取人调查每天运动时间，统计结果如下表所示，请你估计该校该年级每天运动时间达到小时的学生大约有_____________名． 时间（分） 人数 1 1 5 5 14 18 6 13. 能说明命题“若，则”是假命题的实数的一个值为___． 14. 如图，的面积为6，E是边上的点，连接、相交于点F，若，则的面积是_____________． 15. 如图中是抛物线形拱桥，当拱顶离水面，水面宽，水面下降，水面宽度变为 _________ m． 16. 甲、乙、丙、丁、戊五名同学的各科考试成绩如下表所示，已知： ①每门功课五个人的分数各不相同，恰好分别为1，2，3，4，5； ②五个人的总分互不相同，按从高到低的顺序排列是：甲、乙、丙、丁、戊； ③丙有四门功课的分数相同． 姓名 语文 数学 英语 物理 政治 总分 甲 24 乙 丙 丁 4 戊 5 3 （1）这五人的总分之和是_____________； （2）乙的语、数、英、物、政五门功课的分数依次是：_____________． 三、解答题：（第17~19题每题5分，第20题6分，第21、22题每题5分，第23、24题每题6分，第25题5分，第26题6分，第27、28题每题7分，共68分） 17. 计算：． 18. 解不等式组： 19. 已知a是方程的一个根，求代数式的值． 20. 在中，是边上的中线，点E在线段上，点F在线段的延长线上，，连接，． （1）如图1，求证：四边形是平行四边形． （2）若， ①依题意补全图2； ②求证：四边形为菱形. 21. 在平面直角坐标系中，将直线平移，使其经过点，平移后的函数表达式变为． （1）求和的值； （2）当时，对于的每一个值，函数（为常数且）的值都大于函数的值，直接写出的取值范围． 22. 列方程解应用题： 有一批形状大小相同的长方形砖块，数量为偶数，且每块砖的长比宽多．若把这批砖按图方式横着铺，全长为；若把这批砖按图方式竖横相间铺，全长为．求每块砖的长． 23. 为了推动落实中小学生每日至少要有1小时中等及以上强度的体育锻炼，对甲、乙两所学校学生某星期每日中等及以上强度的平均运动时长的数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息． a．甲、乙两所学校学生该星期每日中等及以上强度的平均运动时长的折线图： b．甲、乙两所学校学生该星期每日中等及以上强度的平均运动时长的平均数、中位数、众数如下： 平均数 中位数 众数 甲 a m n 乙 b 64 64 （1）写出表中m，n的值； （2）甲、乙两所学校学生该星期每日中等及以上强度的平均运动时长的方差为，，则_______（填“>”“=”或“<”）； （3）由于数据统计失误，甲校学生星期五的中等及以上强度的平均运动时长被记录为60分钟，实际为70分钟，将数据修正后，甲校学生该星期每日中等及以上强度的平均运动时长的统计量不发生变化的是_______（写出所有符合题意的序号）． ①平均数 ②中位数 ③众数 ④方差 24. 如图，内接于，是的直径，与相交于点E，作于点F，过点B作直线，使得，直线交延长线于点，连接． （1）求证：是的切线； （2）若的半径为10，点是的中点，，求的长． 25. 某次物理实验中，探究弹簧所挂物体质量（单位：）与弹簧伸长长度（单位：）之间的关系．现取，两种型号的弹簧各一个进行实验，当弹簧所挂物体质量为时，记录型弹簧和型弹簧的伸长长度和，数据如下： 所挂物体质量 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 型弹簧伸长长度 0 2.5 5 7.5 10 12.5 15 17.5 20 22.5 25 型弹簧伸长长度 0 1 2 3 4 5 6 8.1 12.3 18.5 26.6 通过分析数据发现，可以用函数刻画与，与之间的关系，回答下列问题： （1）在给出的坐标系中，已有图象和部分图象上的点，请补全的函数图象； （2）若两个弹簧所挂物体质量相同，当两个弹簧伸长长度相差最大时，它们各自所挂物体的质量约为_____________；（保留到个位） （3）重新取、型弹簧各一个，再次进行实验．在型弹簧上挂一些物体时伸长长度为，若将一部分重物从型弹簧卸下，挂到型弹簧上（型弹簧上原始无重物），恰使得两个弹簧伸长长度一致，则此时弹簧伸长的长度约为_____________ ．（保留到） 26. 在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点、，长为． （1）求出抛物线的解析式； （2）直线交抛物线于、两点，点在点左侧．，为抛物线上不同的两点．抛物线上、两点及之间的部分记为图形；、两点及之间的部分记为图形．若存在点， 分别位于，上，使得，求的取值范围． 27. 如图，在中，，，将线段绕点顺时针旋转得到线段，点关于直线的对称点为点，连接． （1）当时，补全图形，并证明：平分； （2）连接，若，求的大小． 28. 在平面直角坐标系中，的半径为2，P、Q为外两点，且，如果在圆上存在A、B两点使得以A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形，则线段上的任意点M都称为关于的菱形点． （1）当P坐标为时，在下列点中，的菱形点可能是_____________． ，，． （2）直线l为， ①如果直线l上的点是的菱形点，则t的取值范围是_____________． ②若直线l上存在线段，且上的所有点（不包括端点）都是关于某一线段的菱形点，则的最大长度为_____________，此时A的纵坐标为_____________． 北京师范大学附属实验中学2025-2026学年初三第二学期数学 综合训练4 （满分：100分 时间：120分钟） 一、选择题：（每小题2分，共16分） 【1题答案】 【答案】A 【2题答案】 【答案】C 【3题答案】 【答案】D 【4题答案】 【答案】A 【5题答案】 【答案】B 【6题答案】 【答案】A 【7题答案】 【答案】C 【8题答案】 【答案】D 二、填空题：（每小题2分，共16分） 【9题答案】 【答案】且 【10题答案】 【答案】 【11题答案】 【答案】 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】（答案不唯一） 【14题答案】 【答案】 【15题答案】 【答案】 【16题答案】 【答案】 ①. 75 ②. 三、解答题：（第17~19题每题5分，第20题6分，第21、22题每题5分，第23、24题每题6分，第25题5分，第26题6分，第27、28题每题7分，共68分） 【17题答案】 【答案】 【18题答案】 【答案】 【19题答案】 【答案】3 【20题答案】 【答案】（1） 证明：∵ ， ∴ ， ∵ 是边上的中线， ∴ ， ∵， ∴， ∴ ， ∴四边形是平行四边形． （2） ①依题意补全图2，如图； ②证明：∵ ， ∴ ， ∵ 是边上的中线， ∴ ， 由（1）证明方法可得 四边形是平行四边形， ∴ 四边形为菱形． 【21题答案】 【答案】（1）， （2）且 【22题答案】 【答案】每块砖的长为 【23题答案】 【答案】（1）66，70 （2） （3）③ 【24题答案】 【答案】（1） 证明：连接， ， ， 是的直径， ， ， ， ， ， ， ，即半径， 是的切线． （2） 【25题答案】 【答案】（1） 补全的函数图象如图所示． （2） （3） 【26题答案】 【答案】（1） （2）或且 【27题答案】 【答案】（1） 补全图形如图所示； 证明：连接、、， ，， 是等边三角形， ，， 、关于直线对称， ，， 又， ， ， 是等边三角形， ， 四边形是菱形， 平分； （2） 【28题答案】 【答案】（1）、 （2）①且；②最大为；或0 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $