2026年九年级数学中考一轮复习 二次函数的应用 题型分类解答题专题训练

2026年九年级数学中考一轮复习《二次函数的应用》题型分类解答题专题训练（附答案） 一、拱桥问题 1．如图，有一座抛物线型拱桥．在正常水位时，水面宽；当水位上升时，水面宽． (1)请根据图中所示的平面直角坐标系，求该抛物线对应的函数表达式； (2)当水位从正常水位上升多少米时，桥下水面宽度为8米？ (3)在正常水位情况下，一艘宽为，高的船，能否安全通过此桥？请通过计算说明理由． 2．为优化城市形象，提高生活品质，某景观步行大道两边种植了大量不同品种的月季供市民观赏．景观步行大道的起点是一座近似抛物线的花篮拱门，其横截面如图所示．已知花篮拱门的最高点距离地面的高度为米，拱门地面宽度为米．现以的中点为原点，拱门对称轴所在直线为轴，建立平面直角坐标系． (1)求该抛物线的函数表达式． (2)为营造梦幻氛围，管理部门计划在拱门内临时搭建一个矩形支架，用来架设花灯装饰，方便市民夜间观赏．已知支架三边所用材料为米（边位于地面，无需支架），求支架左侧落地点到拱门端点的距离． 3．大棚经济“金钥匙”，激活乡村产业振兴新引擎．如图，积极响应号召回乡发展的小宇设计了一个大棚，它的构建纵切面的示意图可近似看作抛物线，为大棚左侧的一根立柱，点在水平地面上，，，且，以所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，点、在轴上，且点在点的左侧，抛物线的对称轴为直线． (1)当与恰好相等时，求抛物线的表达式； (2)在（1）中的条件下，小宇想在大棚内线段上找一固定点，并设计一根支撑柱，使得与平行，请通过计算判断能否找到符合条件的固定点．若能，计算出的长；若不能，请说明理由． 4．某地计划完善公交站设施，给公交站加上顶棚，如图，公交站的顶棚由两段抛物线：，组成，立柱均与地面垂直，垂足分别为，且米，米，抛物线的最高点与地面的距离为3米，点分别在抛物线上，抛物线和抛物线关于所在直线对称．以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系． (1)求抛物线的函数表达式； (2)如图，现要在抛物线的下方安装一个矩形广告牌（点M在点Q的左侧），轴，且点到地面的距离为米，到抛物线的竖直距离为米，与之间的距离为2米，求的长． 5．2025年，全国粮食总产量71488万吨，比2024年增加838万吨，增长．某地为了确保增产的粮食颗粒归仓，粮食和物资储备局新建仓库若干个，仓库侧面如图1所示．仓库屋顶的横截面形状为一段抛物线（曲线），它的拱宽为，拱高为；拱形下方为矩形，边为，如图2所示． (1)以所在直线为x轴，以所在直线为y轴建立直角坐标系，求这段抛物线所对应的二次函数表达式； (2)为了加固仓库，现在需要加装三根钢梁，，，如图3所示．经过工程人员测算，当，分别与平行，时效果最好，求此时的长． 二、投球问题 6．小聪与小明在家属院打羽毛球时，不慎将羽毛球挂在了一棵树枝处（记为点），为取下羽毛球，小明准备用石子沿抛物线轨迹投掷，他把石子举到头顶上方，出手位置距地面1.8m，石子在距小明水平距离处达到最高点，最高点距水平地面约；以小明脚站立点为原点建立如图所示的平面直角坐标系，其中是石子距原点的水平距离，是石子距水平地面的高度． (1)求石子运动轨迹的二次函数解析式． (2)测得羽毛球到小明的水平距离是，羽毛球距地面的高度约为，（1）中的二次函数图象与点在同一平面内． ①小明此次投掷的石子能击中羽毛球吗？ ②若小明想让石子击中羽毛球，且保持抛物线形状和最大高度不变，他应如何水平调整位置？ 7．综合与实践 为建立科学的评价体系，引导学生真正热爱体育，养成终身锻炼的习惯．自2026年起，深圳体育中考由考两项调整为考三项，球类运动成为考试必选项之一．某学校为助力九年级学生备战中考，在大课间时组织学生进行排球发球训练． 如图，小明站在点处练习发球，他将球从点正上方的点处发出，球的飞行路线为抛物线，且抛物线的最高点到轴总是保持6米的水平距离，竖直高度总是比出手点高出1米，已知排球场的边界点距点的水平距离米，球网高度为2.24米，米． (1)已知小明发球时的出手点离地面高度为1.7米（米），求排球运动路径的抛物线解析式． (2)判断此时排球能否越过球网？排球是否出界？请说明理由． (3)若小明调整起跳高度，使球在点处落地，此时形成的抛物线记为，球落地后立即向右弹性反弹，形成另一条与形状相同的抛物线，且此时排球运行的最大高度为1米．球场外有一个可以移动的无盖排球回收筐，其纵切面为直角梯形，其中米，米，米．若排球经过向右反弹后沿的路径落入回收筐内（球下落过程中碰到点，均视为落入框内），设点的横坐标为，请求出的取值范围． 8．问题情境 在学校组织的班级篮球比赛中，九年级2班数学兴趣小组的同学想用数学知识研究投篮轨迹．他们拍摄了小明投篮的照片（如图1），并测量了相关数据进行研究． 模型建立 如图2所示，小明投篮的出手点P在地面的正投影为点O，以O为原点，水平方向为x轴，竖直方向为y轴，建立平面直角坐标系． 小明在某次投篮中，成功命中篮筐．已知小明出手点P离地面高度为2米，篮筐中心A到点O的水平距离为5米，离地面高度为3米．通过测量照片中篮球的位置，研究发现篮球在运动过程中，当水平距离为1米时，其高度恰好为3米．假设篮球运动的轨迹是抛物线的一部分．根据以上信息完成下列问题． (1)求该抛物线的解析式； (2)求篮球运动路线的最高点C离地面的距离； (3)如果球员小亮准备站在点O与点B之间的线段上（不包括点O和点B）拦截篮球，他起跳后能成功拦截的最大高度为米，请求出他能成功拦截的位置范围． 9．综合与实践 问题情境：小希和弟弟在小区广场玩弹力球，广场四周是绿化带．如图1，弟弟将弹力球抛出，球在空中划出一条抛物线轨迹，落在地面上后弹起，再次形成一条抛物线轨迹，最终落在广场边缘绿化带内（未再弹起）． 素材收集：小希用手机拍摄了弹力球运动的视频，并查阅资料以及技术还原得到如下素材（图中各点均在同一竖直平面内）： 素材①：弹力球出手点A距地面，第一次落地点为点B； 素材②：第一次飞行过程中，弹力球达到最高点时，与出手点A的水平距离为，距离地面； 素材③：弹力球落地后立即弹起，由于碰撞过程中的能量损失，其弹起后的运动轨迹形状与第一次相同，但最高点明显降低．研究表明，普通弹力球的恢复系数（反弹高度与下落高度之比的平方根）通常在左右； 素材④：矩形表示绿化带截面（绿化带内植物顶部被修剪为平面），绿化带高度，宽度，绿化带边缘与出手点A的水平距离为． 建立模型：如图2，以地面上的某点O为原点，沿地面水平方向为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系．设弹力球第一次运动轨迹为抛物线，第二次弹起后运动轨迹为抛物线，且与形状相同（即二次项系数相等）． 问题解决：根据上述素材，解答下列问题： (1)求抛物线所对应的函数表达式； (2)已知该弹力球恰好落在绿化带顶部CF的中点M处，求该弹力球的恢复系数； (3)在抛出弹力球时的速度、角度、高度均不变的情况下，若要使弹力球第二次落地点的位置在广场内（即线段上），弟弟应至少沿方向左移多少米？直接写出结论即可． 三、喷水问题 10．如图是一座“彩虹门”喷泉景观，喷泉场地宽度米，在A，B处各安装一个喷水装置，出水口高度米，且，，喷出的两条抛物线水柱形状相同，并在抛物线顶点C处相遇，组成一条完整的抛物线形“彩虹门”，且点C到地面的距离为米．以A为原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系． (1)求抛物线形“彩虹门”的函数表达式； (2)为了避免游客被淋湿，设计团队计划在上安装6个挡雨伞，伞的顶端离地面的距离为3米，且相邻两个挡雨伞的间距相等．若最外侧两个挡雨伞顶端与水柱间的竖直高度均为米，求相邻两个挡雨伞的间距． 11．学校新添了一台移动喷灌机，它的喷水头距离地面1米（即），喷出的水流轨迹可近似看作一条抛物线．当水流与喷水头的水平距离为3米时，达到最大高度10米． (1)如图①，甲同学站在喷灌机正前方10米处，她会被水流喷到吗?请说明理由； (2)如图②，喷灌机正前方9米处有一排高1米的幼苗，为了让水流恰好浇灌到幼苗顶端，需要将喷灌机向前移动多少米? 12．某消防水枪喷出的水流可以看作是抛物线的一部分，能建立如图所示的平面直角坐标系进行表示．其中，，为某建筑物墙面上的两点，水枪喷口位于点处时，水流恰好到达处着火点．已知点与点的垂直距离与水平距离均为米，水流在与点水平距离为米处达到最高点． (1)求水枪喷口位于点处时，水流恰好到达处着火点所形成的抛物线解析式，并标出的取值范围； (2)若将水枪喷口从点处沿水平方向向左平移米到点处，其他条件不变，此时水流能否到达点正上方米处的着火点？请说明理由． 13．【项目主题】洒水车喷灌绿化带的适当边距 【项目背景】洒水车是城市绿化的生力军．如图1，一辆洒水车正在沿着公路行驶（平行于绿化带），同时为绿化带浇水．数学兴趣小组成员想了解洒水车要如何控制才能保证喷出的水浇灌到整个绿化带． 【测量建模】为解决这个问题，数学兴趣小组同学通过建立数学模型进行探索．如图2，建立平面直角坐标系，喷水口H离地面竖直高度h为．可以把洒水车喷出的上、下边缘抽象为两条抛物线的部分图象．上边缘抛物线最高点离喷水口的水平距离为2米，喷出水的最大射程为6米．把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度米．竖直高度米，洒水车与绿化带之间的距离就可以用线段的长来表示．小组成员通过进一步分析发现：喷头喷出的水流的下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的． 【问题解决】 (1)求上边缘抛物线的函数解析式及下边缘抛物线与轴交点的坐标； (2)若要使洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带（即矩形位于上边缘抛物线和下边缘抛线所夹区域内），求的取值范围． (3)由于道路车流较多，洒水车与绿化带的距离不能太宽．若洒水车与绿化带之间的距离为米，能否通过上下调节喷水口，使洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带？说明理由． 14．学校的中心有一个圆形喷泉池，喷泉池的中央安装一个可以竖直升降的喷头，它向四周喷出的水柱，效果图如图1所示，某学习小组对该喷泉池从数学的角度进行研究． (1)当喷头高度一定时，从喷泉口喷出的水柱呈抛物线，经测算，水柱的落点在水平地面半径为2米的圆上，在距离池中心水平距离0.75米处，水柱达到最高，高度为1.25米.学习小组根据喷泉的实景进行抽象，以池中心为原点，水平方向为轴，竖直方向为轴建立平面直角坐标系，画出图2所示的函数图象，求水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式（不需要写自变量取值范围）； (2)第二象限的抛物线与第一象限的抛物线关于轴对称，由轴对称性，直接写出第二象限的抛物线的解析式； (3)学习小组通过进一步分析发现：当喷头竖直高度调整时，喷头喷出的水柱抛物线形状不发生改变，当喷头竖直高度增加米，水柱落点形成的圆半径相应增加米，与之间存在一定的数量关系，求出与之间的数量关系式； (4)已知喷泉池的半径是2.1米，四周种植了一圈宽度为0.5米的绿化带，为了提高对水资源的利用率，可通过调整喷头的高度，喷灌四周的绿化带，当喷头竖直高度增加米时，绿化带能否被水柱喷灌到？请说明理由． 四、销售利润问题 15．红灯笼，象征着阖家团圆，红红火火，挂灯笼成为我国的一种传统文化．小明在春节前购进甲、乙两种红灯笼，用3120元购进甲灯笼与用4200元购进乙灯笼的数量相同，已知乙灯笼每对进价比甲灯笼每对进价多9元． (1)求甲、乙两种灯笼每对的进价； (2)经市场调查发现，乙灯笼每对售价50元时，每天可售出98对，售价每提高1元，则每天少售出2对，若规定每对乙灯笼的利润不能高于30元，设乙灯笼每对售价为元，小明一天通过乙灯笼获得利润元． ①求出与之间的函数解析式； ②乙种灯笼涨价多少元时，一天获得利润2040元？ 16．“十一”迎来购物热潮，某商场有50个摊位供商家租用，当每个摊位每天的租金为180元时，摊位会全部租出；当每个摊位每天的租金每增加10元时，就会有一个摊位空闲．如果商家租用摊位，商场需对每个被租用的摊位每天支出20元的各种费用，设每个摊位每天的租金为x元（x为10的整数倍）． (1)若每个摊位每天的租金为280元时，则可租出去 个摊位．此时，利润为 元； (2)为了进一步优化购物环境，针对商家租用的摊位，商场对每个被租用的摊位每天支出的费用提高到30元，当x为多少元时，商场租用摊位获得利润最大？最大利润为多少元？ (3)在（2）的条件下，该商场空闲摊位数不能超过20个，所获利润不低于10360元，求商场每个摊位每天的租金定价x的范围． 17．某文具专卖店专销某种品牌的钢笔，进价12元/支，售价20元/支．为了促销，专卖店决定：凡是一次性购买超过10支的，每超过一支，所购钢笔每支售价就降低0.20元，但是每支售价不能低于16元．如图线段和是购买钢笔的单价y（元/支）与购买数量x（支）的函数图象的一部分． (1)顾客要想以最低价购买，需要一次至少购买_________支（填最后结果）； (2)当顾客一次购买x支时，求专卖店的利润w（元）与购买数量x（支）之间的函数关系式； (3)求顾客一次购买多少支时，专卖店的利润是123.2元？ 18．材料一：为庆祝建国76周年，某纪念币加工厂生产了A，B两款国庆纪念币，已知生产A款纪念币20枚，B款纪念币10枚，需成本（含材料、人工、机器损耗等，下同）1000元；生产A款纪念币50枚，B款纪念币80枚，需成本3600元． 材料二：该纪念币加工厂每天生产A，B两款纪念币共1000枚，并且当天生产的纪念币都能销售完． 材料三：该纪念币加工厂在网上销售这两款纪念币，规定A款纪念币的售价为元/枚，B款纪念币的售价为A款纪念币售价的一半，且A款纪念币每天的销量y（枚）与售价x（元/枚）满足关系式，用w表示该加工厂每天销售两款纪念币的总利润（单位：元）． (1)求A，B两款纪念币成本分别为多少元/枚？ (2)求w关于x的函数表达式，并求当A款纪念币售价x为多少时，总利润w最大，求出此时总利润w的最大值 19．中国元素几乎遍布卡塔尔世界杯的每一个角落，某特许商品专卖店销售中国制造的纪念品，深受大家喜爱．自世界杯开赛以来，其销量不断增加，该商品销售第天（，且为整数）与该天销售量（件）之间满足函数关系如表所示： 第天 … 销售量（件） … 为回馈顾客，该商家将此纪念品的价格不断下调，其销售单价（元）与第天（，且为整数）成一次函数关系且满足．已知该纪念品成本价为元/件． (1)求关于的函数表达式； (2)求这天中第几天销售利润最大，并求出最大利润； (3)商店担心随着世界杯的结束该纪念品的销售情况会不如从前，决定在第天开始每件商品的单价在原来价格变化的基础上再降价元销售，销售第天与该天销售量（件）仍然满足原来的函数关系，问： ①当第天（，且为整数）的销售利润取到最大值，此时的值为多少？ ②若①中销售利润的最大值是元，求此时的值． 20．芯片行业是制约我国工业发展的主要技术之一．经过大量科研、技术人员艰苦攻关，我国芯片有了新突破．某芯片实现国产化后，芯片价格大幅下降．原来每片芯片的单价为元，准备进行两次降价，如果每次降价的百分率都为，经过两次降价后的价格为（元）． (1)求与之间的函数关系式； (2)如果该芯片经过两次降价后每片芯片单价为元，求每次降价的百分率． 参考答案 1．(1) (2) (3)不能，理由见解析 【分析】（1）设抛物线解析式为，由正常水位得、，代入得；水位上升后，得、，，由且，解得，进而得到解析式； （2）正常水位时，得；水面宽时，代入得，进而即可求出水位上升的高度； （3）船宽时，代入得，桥在处高度为，再进行比较即可得到解答． 【详解】（1）解：由题意得，设抛物线的解析式为， ∵正常水位时，水面宽， ∴、， 代入得：， ∵水位上升后，水面宽， ∴、，， 代入得：， ∴ 解得， ∵， ∴抛物线的函数表达式为； （2）解：当时，，即正常水位在处， ∵水面宽8米， ∴当时，， ∴水位上升高度为； （3）解：由题意得，正常水位下，船宽，即船的左右边缘在处， ∴当时，， ∴桥在处的高度为：， ∵， ∴船不能安全通过此桥． 【点睛】本题以抛物线型拱桥为实际载体，通过建立平面直角坐标系将几何问题转化为二次函数问题，结合解析式求解高度与宽度，体现了数形结合与数学建模的核心思想． 2．(1)； (2)． 【分析】（1）根据题意得到顶点坐标为，再利用待定系数法即可得解； （2）根据的横坐标即可求出纵坐标的表达式，再由题意,列出方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意得：抛物线的顶点坐标为， 设抛物线的解析式为， ， 将代入得， 解得， ； （2）解：设的横坐标为，则纵坐标， 为矩形， , ， ， ，（舍）， ， ， ． 3．(1) (2)大棚内线段上找不到固定点，使，理由见解析． 【分析】（1）根据，，利用勾股定理可以求出，可得点的坐标是，点的坐标为，利用待定系数法求出抛物线的表达式； （2）假设存在点使，可证，根据相似三角形的性质可以求出点的坐标为，根据抛物线的解析式可以求出点的坐标为，因为，所以点不在线段上，所以大棚内线段上找不到固定点，使． 【详解】（1）解：，， ， ， ， 点的坐标是， 设抛物线的解析式为， ， 点的坐标为， 点在抛物线上， ， 解得：， 抛物线的解析式为； （2）解：大棚内线段上找不到固定点，使， 理由如下： 如下图所示，假设存在点使， ，， ， ， ， ， ， 点的坐标为， 当时， 可得：， 解得：，， ， 点的坐标为，点的坐标为， ， 点在点的右侧， 点不在线段上， 大棚内线段上找不到固定点，使． 4．(1)； (2)． 【分析】（1）由题意可知，，得到对称轴为直线，根据抛物线的最高点与地面的距离为3米可设抛物线的函数表达式为，将代入计算即可； （2）根据抛物线和抛物线关于所在直线对称求出抛物线的函数表达式为，延长交抛物线于，求出，进而求出，进而可求的长． 【详解】（1）解：∵米，米， ∴，， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵抛物线的最高点与地面的距离为3米， ∴抛物线的顶点坐标为， ∴可设抛物线的函数表达式为， 将代入得， 解得：， ∴抛物线的函数表达式为； （2）解：由（1）知，的顶点坐标为， ∵抛物线和抛物线关于所在直线对称， ∴抛物线开口大小、方向不变，顶点坐标变为， 则抛物线的函数表达式为， 如图，延长交抛物线于， ， ∵点到地面的距离为米，到抛物线的竖直距离为米， ∴， 此时， 解得：，（舍去）， ∵与之间的距离为2米， ∴． 5．(1) (2) 【分析】本题考查了二次函数的应用，求二次函数的解析式，正确理解题意是关键． （1）根据题意，设抛物线的解析式为，用待定系数法求二次函数的解析式即可； （2）先求出直线的解析式为，然后设，则，所以，再列方程求出m的值，可求得G和P的坐标，即可求得答案． 【详解】（1）解：由已知，得，顶点， 所以可设抛物线的解析式为， 把代入，得， 解得， 抛物线的解析式为； （2）解：由已知，得， 设直线的解析式为， 把，代入，得， 解得， 直线的解析式为， 设，则， ， 令， 解得，， 或2， ，， ． 6．(1) (2)①不能；②小明应该后退米或前进米 【分析】（1）设出顶点式，利用待定系数法进行求解即可； （2）①求出时的函数值，进行判断即可；②设出新的解析式，待定系数法求出函数解析式，进行判断即可． 【详解】（1）解：由题意，抛物线的顶点坐标为，经过点， 设抛物线的解析式为，把点，代入，得， 解得， ∴； （2）解：①∵， ∴当时，， ∵， ∴小明此次投掷的石子不能击中羽毛球； ②设新的抛物线的解析式为，把代入，得：， 解得或， ∵，， ∴小明应该后退米或前进米． 7．(1) (2)球能越过球网，球不会出界，理由见解析 (3) 【分析】（1）设抛物线的表达式为，将点代入，即可求解； （2）根据题意可得，将代入解析式，求得函数值，与比较大小，将代入解析式，求得，将横坐标与比较，即可求解． （3）设的表达式为，点的横坐标为，则，，分别将，代入解析式，求得的值，结合题意，即可求出的取值范围． 【详解】（1）解：当时， ，， 设抛物线的表达式为， 将点代入，得， 解得， 抛物线的表达式为； （2）解：球能越过球网，球不会出界； 理由：由（1）知，当时，抛物线的表达式为， 米，球网高度为2.24米， ， 当时，， ， 球能越过球网， 当时，， 解得：，， ， ， 球不会出界； （3）解：是与形状相同的抛物线，排球运行的最大高度为1米， 设的表达式为， 将点代入，得， 解得：（舍去），， 的表达式为， 设点的横坐标为， 则，， 当时，， 解得：，（舍去）， 当时，， 解得：，（舍去）， ． 8．(1) (2) (3)当或时，篮球高度不超过米，小亮可以成功拦截． 【分析】（1）设抛物线的解析式为，利用待定系数法求解即可； （2）利用配方求二次函数最值即可； （3）设小亮站在水平距离x米处，此时篮球高度为，先求篮球高度等于米时对应的x的值，再结合二次函数的增减性求解即可． 【详解】（1）解：设抛物线的解析式为， 由题意得抛物线过点、、代入得 ，解得： 抛物线的解析式为； （2）解：， 篮球最高点离地面的距离为； （3）解：设小亮站在水平距离x米处，此时篮球高度为， 要想拦截成功，必须能触碰到篮球，即篮球高度不高于米，就能拦截成功． 当时，解得或， 抛物线开口向下，对称轴为直线，最高点为， 根据抛物线的增减性可知，当时，篮球高度不高于米；当时，篮球高度高于米；当时，篮球高度不高于米． 小亮站在点O与点B之间，即 ∴当或时，篮球高度不超过米，小亮可以成功拦截． 9．(1) (2) (3)1米 【分析】（1）根据题意得：点A的坐标为，且抛物线的顶点坐标为，设抛物线的解析式为，再把点代入，求出a的值，即可； （2）设抛物线的解析式为，根据题意得：四边形为矩形，可得，再求出点M的坐标为，对于，令 ，可求出点B的坐标为，再把点，代入可得到抛物线的解析式为，即可求解； （3）对于，令 ，可求出第二次球的落地点距离原点，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得：点A的坐标为，且抛物线的顶点坐标为， ∴可设抛物线的解析式为， 把点代入得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：设抛物线的解析式为， 根据题意得：四边形为矩形， ∴， ∵点M为的中点， ∴， ∵， ∴点M的坐标为， 对于，当时，， 解得：， ∴点B的坐标为， 把点，代入得： ，解得：， ∴设抛物线的解析式为， 当时，y的值最大，最大值为， 即第二次反弹高度为， ∵第一次飞行的最大高度为， ∴恢复系数为 （3）解：对于， 当时，， 解得：， ∴第二次球的落地点距离原点， ∵， 即弟弟应至少沿方向左移1米． 10．(1) (2)米 【分析】（1）由题意得抛物线的顶点，，设抛物线形“彩虹门”的函数表达式为，将代入求出，即可求出抛物线形“彩虹门”的函数表达式； （2）求出最外侧两个挡雨伞顶端上方的水柱高度，进而求出最外侧两个挡雨伞的底端的横坐标，求出最外侧两个挡雨伞之间的距离，即可求出相邻两个挡雨伞的间距． 【详解】（1）解：由题意得抛物线的顶点，． ∴设抛物线形“彩虹门”的函数表达式为． 将代入，得， 解得． ∴抛物线形“彩虹门”的函数表达式为． （2）解：令，则， 解得，． ∴最外侧两个挡雨伞之间的距离为（米） ∴相邻两个挡雨伞的间距（米）． 11．(1)甲同学不会被水流喷到，理由见解析 (2)喷灌机应向前移动3米 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，掌握建模的数学思想是解题关键． （1）建立平面直角坐标系，运用待定系数法求出抛物线的解析式为，把代入求出的值可得解； （2）根据平移规律解答即可． 【详解】（1）解：甲同学不会被水流喷到． 理由如下：建立如图①所示的平面直角坐标系， 抛物线顶点为， ∴设抛物线的解析式为． 将点代入，得， 解得． ∴抛物线的解析式为； 当时，， ∴甲同学不会被水流喷到． （2）解：设喷灌机向前移动m米至．建立如图②所示的平面直角坐标系， 此时抛物线的解析式为． 将点代入，得． 解得或（不合题意，舍去）． 喷灌机应向前移动3米． 12．(1) (2)不能，理由见解析 【分析】本题主要考查二次函数的图象和性质： （1）设抛物线的解析式为，抛物线经过点，，采用待定系数法，即可求得答案； （2）水枪喷口位于点处水流形成的抛物线形状与水枪喷口位于点处水流形成的抛物线形状相同，位置不同，所以可得水枪喷口位于点处水流形成的抛物线的解析式为． 【详解】（1）设抛物线的解析式为． 由题意得抛物线经过点，，可得 解得 所以，水流所在抛物线的解析式为． （2）不能，理由如下： 根据题意可知，水枪喷口位于点处水流形成的抛物线形状与水枪喷口位于点处水流形成的抛物线形状相同，位置不同， 所以可得水枪喷口位于点处水流形成的抛物线的解析式为 ，即． 所以当时，，即水流正好到点处． 因为，． 所以水流不能到达点正上方米处的着火点． 13．(1)上边缘抛物线的解析式为；B的坐标为 (2) (3)能．理由见解析 【分析】本题考查二次函数的实际问题，掌握知识点是解题的关键． （1）先推导出上边缘抛物线的顶点为，且过点和，设上边缘抛物线的顶点式为，将，分别代入，求出上边缘抛物线的解析式为：，由下边缘抛物线是上边缘抛物线向左平移得到，且过点，设下边缘抛物线的解析式为，将代入，求出下边缘抛物线的解析式为，继而求出点B的坐标即可； （2）先求出，则，将代入，解得（不符合题意，舍去）或，此时，则，即可解答； （3）设喷水口高度为n米， 则上边缘抛物线的解析式为，下边缘抛物线的解析式为，将代入，解得，得到上边缘抛物线的解析式为，下边缘抛物线的解析式为，求出，将代入，得，则即当喷水口高度为米时，洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，即可解答． 【详解】（1）解：∵上边缘抛物线的顶点为，且过点和， 所以设上边缘抛物线的顶点式为， 将，分别代入，得 ， 解得， ∴上边缘抛物线的解析式为：， 即， ∵下边缘抛物线是上边缘抛物线向左平移得到，且过点， ∴设下边缘抛物线的解析式为， 将代入，得 ， 解得或（与上边缘重合，舍去）， ∴下边缘抛物线的解析式为：， 令，则， 即， 解得或（不符合题意，舍去）， ∴下边缘抛物线与x轴交点B的坐标为． （2）解：∵， ∴，则， 将代入，得 解得（不符合题意，舍去）或， ∴当时，点F在上边缘抛物线上，此时， ∴． （3）解：设喷水口高度为n米， 由，，可得 点A比点H竖直高度高米， 则上边缘抛物线的顶点为，解析式为：， 下边缘抛物线的解析式为：， 当时，点， 将代入，得 ， 解得， ∴上边缘抛物线的解析式为：， 下边缘抛物线的解析式为：， 当时， ， 将代入，得 ， 即当喷水口高度为米时，洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带， ∴能通过上下调节喷水口，使洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带． 14．(1) (2) (3) (4)能，理由见解析 【分析】（1）先设抛物线的顶点式为，再将点代入可得答案； （2）根据第二象限的抛物线的顶点坐标为，且经过点可得答案； （3）将抛物线向上平移h米，经过点，可得，整理得出答案； （4）将代入关系式，求出解比较得出答案． 【详解】（1）解：根据题意可知抛物线的顶点坐标为，且经过点，设抛物线的顶点式为， 将点代入，得， 解得， ∴水柱所在的抛物线的函数表达式为； （2）解：∵第二象限的抛物线与第一象限的抛物线关于轴对称，第一象限的抛物线的顶点坐标为，且经过点， ∴第二象限的抛物线的顶点坐标为，且经过点， ∴抛物线的顶点式为； （3）解：当喷头竖直高度增加h米，水柱落点形成的圆半径相应增加d米，即将抛物线向上平移h米，经过点，根据题意，得 ， 则； （4）解：能，理由如下： 当时，， 解得或（舍去） ∵，， 则， 所以绿化带能被水柱喷灌到． 15．(1)甲种灯笼每对的进价是26元，乙种灯笼每对的进价是35元 (2)①；②乙种灯笼涨价15元时，一天获得利润2040元 【分析】（1）设甲种灯笼每对的进价是x元，则乙种灯笼每对的进价是元．根据“用3120元购进甲灯笼与用4200元购进乙灯笼的数量相同”列出方程，求解并检验即可； （2）①根据“利润＝单件利润×数量”列出函数解析式即可； ②把代入①中的函数解析式，求解即可． 【详解】（1）解∶设甲种灯笼每对的进价是x元，则乙种灯笼每对的进价是元．根据题意，得 ， 解得， 经检验，是原分式方程的解， ， 答：甲种灯笼每对的进价是26元，乙种灯笼每对的进价是35元． （2）解：①， ∵每对乙灯笼的利润不能高于30元， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴与之间的函数解析式为． ②当时，， 解得，（不合题意，舍去）， （元） 答：乙种灯笼涨价15元时，一天获得利润2040元． 16．(1)40，10400 (2)当为350元或360元时，商场租用摊位获得利润最大，最大利润为10560元 (3)，且x为10的整数倍 【分析】（1）由题意，商场有50个摊位供商家租用，当每个摊位每天的租金为180元时，摊位会全部租出；当每个摊位每天的租金每增加10元时，就会有一个摊位空闲，进而可以租出去40个摊位，进而求出利润； （2）设利润为w元，则，由于x 为10的整数倍及二次函数的性质可以判定得解； （3）由题意，令，则当或，又获利润不低于10360元，则，又该商场空闲摊位数不能超过20个，故，进而可以判定求解． 【详解】（1）解：依题意得：（个）， ∴（个）， ∴摊位定价为280元时，则可租出去40个摊位； ∴此时利润为：（元）， （2）解：设利润为w元，则 ∵， ∴开口向下，对称轴为直线． 又∵x为10的整数倍， ∴当或360时，（元）， 答：当为350元或360元时，商场租用摊位获得利润最大，最大利润为10560元． （3）解：由题意，令， ∴或． ∵所获利润不低于10360元， ∴． 又， 解得． ∴，且x为10的整数倍． 17．(1) (2)且为整数 (3)顾客一次购买支或支时，专卖店利润为元 【分析】（1）设需要一次购买支，根据一次性购买超过10支的，每超过一支，所购钢笔每支售价就降低0.20元，但是每支售价不能低于16元，列出一元一次不等式，求解即可； （2）分，，三种情况讨论，根据利润购买的支数（购买单价进价）列出关系式即可； （3）由（2）中关系式，分别计算即可． 【详解】（1）解：设需要一次购买支， 根据题意得：， 解得：， 则需要一次购买支； （2）解：根据题意， 当时，； 当时，； 当时，； 综上，且为整数； （3）解：由（2）知专卖店的利润w（元）与购买数量x（支）之间的函数关系式为且为整数， 当时，最大，不符合题意； 当时，令， 整理得：， 解得或，符合题意； 当时，令，解得，不是整数，不符合题意； 答：顾客一次购买支或支时，专卖店利润为元． 18．(1)A款纪念币成本为40元/枚，B款纪念币成本为20元/枚； (2)；当A款纪念币售价x为70元/枚时，总利润w的最大值为18900元． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、二次函数的应用，理解题意是解题的关键． （1）设A款纪念币成本为a元/枚，B款纪念币成本价为b元/枚，根据题意列出方程组，求出的值即可解答； （2）根据题意列出w关于x的函数表达式，再根据二次函数的性质即可解答． 【详解】（1）解：设A款纪念币成本为a元/枚，B款纪念币成本价为b元/枚， 由题意得， 解得， 答：A款纪念币成本为40元/枚，B款纪念币成本为20元/枚； （2）解： ， ， 抛物线开口向下，当时，w随x的增大而增大， ， 当时，w有最大值，最大值为（元）． 答：当A款纪念币售价x为70元/枚时，总利润w的最大值为18900元． 19．(1) (2)第天利润最大，最大利润为元 (3)①；② 【分析】本题考查了一次函数的应用、二次函数的最值求解以及分段函数的利润分析，熟练掌握一次函数解析式的求法、二次函数的性质及利润计算公式是解答本题的关键． （1）根据表格中销售量与天数的线性变化规律，设一次函数解析式，代入两组数据求出关于的函数表达式； （2）根据“销售利润销售量(单件售价单件成本)”，结合已知的单价函数与成本价，构建关于的二次函数，利用二次函数的顶点性质求解最大利润及对应的天数； （3）①分析第天起单价下调元后的利润函数，根据二次函数的开口方向与对称轴位置，判断在区间内利润随的变化趋势，确定利润最大值对应的； ②将①中求得的代入利润表达式，结合已知的最大利润值，建立关于的方程并求解． 【详解】（1）解：由表格信息可设，将表格中的数据代入得， ， 解得：， 关于的函数表达式为； （2）解：设总利润为元，则 ， 当时，取得最大值，最大值为25000， 答：第天利润最大，最大利润为元； （3）解：①由题意得，第天开始每件商品的单价为元， 每件商品的利润为：元， 设此时利润为元，则 ， ， 且， 随的增大而减小， 当时，利润取到最大值； ②当时，利润取到最大值， ， 解得：． 20．(1) (2) 【分析】（1）利用经过两次降价后的价格原价 每次降价的百分率，即可找出与之间了函数关系式； （2）根据该芯片经过两次降价后每块芯片单价为元，即可得出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论． 【详解】（1）∵每次降价的百分率都为，经过两次降价后的价格为（元） ∴依题意得：， ∴与之间的函数关系式为； （2）依题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， ∴每次降价的百分率为20%． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及二次函数关系式，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，找出y关于x的函数关系式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程． 学科网（北京）股份有限公司 $