二次函数的实际应用高频考点归纳专项练2026年中考数学一轮复习备考

二次函数的实际应用 高频考点归纳 专项练 1．某农场要建一个饲养场（矩形），两面靠墙（位置的墙最大可用长度为米，位置的墙最大可用长度为米），另两边用木栏围成，中间也用木栏隔开，分成两个场地及一处通道，并在如图的三处各留米宽的门（不用木栏），建成后木栏总长米． (1)若饲养场（矩形）的一边长为米，则另一边____米． (2)若饲养场（矩形）的面积为平方米，求边的长． (3)饲养场的面积有最大值吗？若有，求出边的长；若没有，请说明理由． 2．一个菱形风筝的两条对角线的长之和为．其对角线的长发生变化时，菱形的面积也发生变化．在这个变化过程中，其中一条对角线的长为． (1)写出菱形的面积y（单位：）关于x（单位：）的函数表达式，并写出自变量x的取值范围． (2)当时，求y的函数值． 3．如图，D、E分别为边上的动点，且，点C关于的对称点为点，连接和． (1)当时，则的值为 ，点C到的距离值为 ； (2)结合点的运动轨迹，求当点落在的角平分线上时，的值； (3)当点D在上移动时，与的重叠面积是否存在最大值，如果存在， 请直接写出此时的值，如果不存在，请说明理由． 4．如图，已知在中，，，，如果点由点出发沿方向向点匀速运动，同时点由点出发沿方向向点匀速运动，它们的速度均为．连接，设运动的时间为（单位：）．解答下列问题： (1)当为何值时，； (2)设的面积为（单位：），求关于的函数关系式； (3)当为何值时，； (4)在点、的运动过程中，在同一平面内是否存在点，使得以点、、、为顶点的四边形为菱形．若存在，请直接写出值；若不存在，请说明理由． 5．南阳月季甲天下，“三顾之城”受追捧．位于南阳市北郊的中国月季园在一年一度的开园仪式上，搭建了一个抛物线形花墙拱门，负责人在设计时利用了数学中抛物线知识，他先测量出拱底为7.2米，然后在点B处横竖分别放两根长度为3.2米的木棒，末端恰好落在点A和拱门内壁C处．据此，他在纸上画出图形，如图1，以点O为原点，所在直线为x轴，1米为单位长度建立平面直角坐标系、（忽略拱门厚度） (1)请求出拱门最高点距地面的高度； (2)若要在花墙拱门内搭建一个矩形“支架”（由三根钢管组成）、使E、F两点在抛物线上，D、G两点在地面上（如图2所示），请你计算一下最多需准备多少米该种钢管； (3)若身高都为1.8米的仪仗队穿过拱门，仪仗队成员的平均肩宽为0.35米，头和肩的宽度差忽略不计，负责人准备将队形设计成每排6人，当每两人间的距离为d米时，队伍能安全通过拱门（每两人间必须有空隙，仪仗队员的头不能触碰拱门）．直接写出d的取值范围． 6．信阳南湾湖隧道打通了5A级景区交通瓶颈，被形容为“天堑变通途”．其入口处近似看作是由抛物线的一部分和长方形构成，长方形的长为，宽为，以所在直线为x轴，以所在直线为y轴建立平面直角坐标系，抛物线的表达式可以用表示． (1)求抛物线的表达式和最高点P的坐标； (2)汛期来袭，科技预警保安全，决定在隧道口建立积水自动拦截系统，在隧道入口两侧（如图抛物线上）内各安装一个黑光全彩摄像头，已知两个摄像头到地面的高度相同，均为，求这两个摄像头之间的水平距离； (3)直线与隧道上方的抛物线有唯一交点，请直接写出点b的取值范围． 7．网络销售已经成为一种热门的销售方式，某果园在网络平台上直播销售枇杷．已知该枇杷的成本为6元/千克，销售价格不高于18元/千克，且每售卖1千克需向网络平台支付2元的相关费用，经过一段时间的直播销售发现，每日销售量千克与销售价格元/千克之间满足一次函数关系：． (1)若果农当日销售价是15元/千克时，其销售量是多少千克？ (2)当每千克枇杷的销售价格定为多少元时，销售这种枇杷日获利最大，最大利润为多少元？ 8．综合与实践：设计商品最优定价方案 【素材】某经销商计划销售一款新的枕头，根据试售统计，若每个枕头的售价定为50元时，每月可销售100个；若每个枕头的售价每降价1元，则每月可多销售10个，每个枕头的进价为20元，假设枕头全部售完（销售量进货量），设每个枕头降价元（为整数），回答下列问题： 【问题】 (1)任务1：一个枕头的实际售价为_______（用含的代数式表示）元，枕头的销售量为_______（用含的代数式表示）个； (2)任务2：若经销商计划进货不超过200个，能否让每月利润达到3750元？若能，请求出此时枕头的售价；反之，请说明理由． (3)任务3：根据试售数据，若该经销商想让每月利润达到最大值，求此时枕头的售价． 9．中国元素几乎遍布卡塔尔世界杯的每一个角落，某特许商品专卖店销售中国制造的纪念品，深受大家喜爱．自世界杯开赛以来，其销量不断增加，该商品销售第天（，且为整数）与该天销售量（件）之间满足函数关系如表所示： 第天 … 销售量（件） … 为回馈顾客，该商家将此纪念品的价格不断下调，其销售单价（元）与第天（，且为整数）成一次函数关系且满足．已知该纪念品成本价为元/件． (1)求关于的函数表达式； (2)求这天中第几天销售利润最大，并求出最大利润； (3)商店担心随着世界杯的结束该纪念品的销售情况会不如从前，决定在第天开始每件商品的单价在原来价格变化的基础上再降价元销售，销售第天与该天销售量（件）仍然满足原来的函数关系，问： ①当第天（，且为整数）的销售利润取到最大值，此时的值为多少？ ②若①中销售利润的最大值是元，求此时的值． 10．如图，一小球从斜坡O点处抛出，球的抛出路线可以用二次函数刻画，斜坡可以用一次函数刻画，其中x（米）为小球抛出的水平距离，y（米）为小球抛出的高度（即小球到x轴的距离）．小球上升过程中，当高度为6米时，小球的水平距离为2米． (1)求这个二次函数的表达式和小球到达的最大高度； (2)小球的落点是A，求点A的坐标； (3)若在斜坡上距O点水平距离6米的位置设置一个高2米的竖直挡板，判断小球能否越过该挡板，并说明理由． 11．某智慧网球馆部署了鹰眼系统，该系统能够实时捕捉网球的飞行轨迹、速度、落点等关键数据，并自动生成分析报告，帮助教练科学评估球员表现、制定个性化训练方案．在一次训练中，该系统追踪到球员小明的某次发球：小明从点正上方米的点将球击出，球在距离发球点水平距离米处达到最高，最高点距离地面米．在如图所示的平面直角坐标系中，为原点，在轴上，球的飞行轨迹可近似看作抛物线的一部分，其中（米）是球的高度，（米）是球与原点的水平距离． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)已知球网高米，发球点到球网的水平距离为米，求该球飞行到球网正上方时，球离球网顶端的高度差；（不考虑球网中间下垂；结果精确到米） (3)鹰眼系统显示，球员小亮站在球飞行轨迹的正前方，且距原点米处准备接球．已知小亮的有效接球高度范围为米至米（即球离地面的高度在此范围内时，球员能够成功攻击球），且小亮只能在球飞行至其站立位置正上方（即球的横坐标与球员站位相同）时进行击球．经系统计算，球会在小亮站立位置之前落地，因此小亮需要向前移动米（）才能击到球．那么小亮刚好能在有效接球高度范围成功击球时，的最小值是多少？ 12．学校的洗手台上放了一瓶抑菌洗手液（如图1），按住顶部下压，洗手液瞬间从喷口A点喷出（如图2）．以吸液管底为原点，吸液管所在直线为y轴，建立如图3所示的平面直角坐标系，已知喷口A点到台面高度为，为，喷出的一滴洗手液轨迹呈抛物线形，其关系式为，这滴洗手液在水平方向喷出时，到台面高度为． (1)求这滴洗手液轨迹的函数关系式； (2)当这滴洗手液落到台面上时，落点离喷口A点的水平距离是多少？ (3)小明洗手时手心向上平行于台面接洗手液，他的手心约为，现在点M到喷口A点的水平距离为．若小明恰好能接到这滴洗手液，求手心到台面的高度h的取值范围． 13．洒水车是城市绿化的生力军，清扫道路，美化市容，降温除尘，方便出行．如图1，一辆洒水车正在沿着公路行驶（平行于绿化带），为绿化带浇水．如图2，选取合适的原点，建立直角坐标系，使得洒水车的喷水口点在轴上，根据现场测量结果，喷水口离地竖直高度为，把绿化带横截面抽象为矩形，其中，点在轴上，测得其水平宽度，竖直高度．那么，洒水车与绿化带之间的距离就可以用线段的长来表示． (1)把洒水车喷出的水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象，分别为，，上边缘抛物线的最高点离喷水口的水平距离为，高出喷水口，求上边缘抛物线的函数解析式，并求洒水车喷出水的最大射程． (2)下边缘抛物线可以看作由上边缘抛物线向左平移得到，其开口方向与大小不变．请求出下边缘抛物线与x轴的正半轴交点的坐标． (3)要使洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，利用上述信息求的取值范围． 14．某企业在2024年1-4月的净利润见下表．经调查后发现，企业的利润数是经过月数的二次函数．（注：净利润数单位为万元；初始宣发资金可单独计算入总利润） XX企业2024年1-4月净利润表 经过月数（x） 1 2 3 4 净利润数（y） -9 -16 -24 (1)求y关于x的函数解析式（无需写定义域）； (2)补全表中的空格处并填空：本公司1-4月平均每月亏损________万元；通过技术改革，到2024年________月起，公司当月不再亏损；理论上到2025年的________月份公司可以把之前的亏损全部赚回来； (3)新年伊始，为使创新产品销量增加，政府决定资助此企业宣发资金，从2025年初启动宣发程序．已知从2025年1月起初始宣发资金是上表亏损的金额的20％，每月使用k万元进行宣发，如初始宣发资金用完，用去金额将从净利润中扣除．若因宣发每月净利润数提升k％，请直接写出k取不同值时由2024年初至2025年第一季度末的总盈亏情况．（计算时保留一位小数） 15．某商店进购一商品，第一天每件盈利（毛利润）10元，销售500件． (1)第二、三天该商品十分畅销．销售量持续走高．在售价不变的基础上，第二、三天的销售量达到605件，求第二、三天的日平均增长率； (2)经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每件涨价1元，日销量将减少20件． ①现要保证每天总毛利润6000元，同时又要使顾客得到实惠，则每件应张价多少元？ ②现需按毛利润的交纳各种税费，人工费每日按销售量每件支出0.9元，水电房租费每日102元，若剩下的每天总纯利润要达到5100元，则每件涨价应为多少？ 16．如图，某市在公园设计了一块花卉展览区域，该花卉区域由抛物线与抛物线围成，为隔离带，与所围区域为花卉区，在与所围区域内修建一个矩形，作为赏花打卡点，用于游客赏花，摄影等，其他区域为草坪，点，在上（点在点左侧），点，在抛物线上，以点为坐标原点，所在直线为轴，过点垂直于的直线为轴，建立平面直角坐标系，其中米，抛物线的最高点到的距离为12米，与关于轴对称． (1)求抛物线的表达式； (2)若修建矩形时，要求，请问是否存在这样的矩形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《二次函数的实际应用 高频考点归纳 专项练 2026年中考数学一轮复习备考》参考答案 1．(1) (2)边的长为米 (3)饲养场的面积有最大值，此时米 【分析】（1）直接根据图形计算即可； （2）设米，则米，根据矩形的面积等于长乘以宽，即可列方程求解； （3）设饲养场的面积为，米，则米，由矩形的面积等于长乘以宽可得，根据二次函数的性质即可判定． 【详解】（1）解：（米）； （2）设米，则米， 依题意得， 整理得， 解得，， 当时，（米），，不合题意，舍去； 当时，（米），符合题意． 边的长为米； （3）饲养场的面积有最大值， 设饲养场的面积为，米，则米， 根据题意得， 整理得， ， 当时，饲养场的面积有最大值为平方米， 即饲养场的面积有最大值，此时米． 2．(1)， (2)800 【分析】（1）先求出另一条对角线的长，再根据菱形的面积公式求出函数解析式即可； （2）把代入函数解析式进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意，菱形的另一条对角线的长为， ∴，其中； （2）解：由（1）知，， ∴当时，． 3．(1)4， (2)的值为或 (3)存在，的值为 【分析】（1）证明，推出，即可求出，利用勾股定理求出，设点C到的距离为，则点C到的距离为，根据，求出即可得出结果； （2）连接并延长，交于点M，延长线交于点，分点落在的平分线上，和点落在的平分线上，两种情况讨论即可； （3）设，同理（2）得，，，，，分，点在内部，，点在外部，两种情况讨论即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 设点C到的距离为，则点C到的距离为， ∵， ∴，则， ∴点C到的距离为； （2）解：连接并延长，交于点M，延长线交于点， ∵点C关于的对称点为点， ∴， ∵， ∴， 设， 情况1：当点落在的平分线上， 过作，垂足为点P，则， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 情况2：落在的平分线上， 过作，垂足为点Q，可得， 同理，得，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上所述：的值为或． （3）解：存在， 设， 同理（2）得，，，，， ∴， 当时，点在内部，重叠部分面积， 则； ∵函数开口向上，对称轴为y轴， 在范围内，S随n的增大而增大，当时，S有最大值为6，此时的值为； 当时，点在外部，如图， 则重叠部分面积，， ∵，即， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 函数开口向下，对称轴为直线 在范围内，当时，S有最大值为8，此时的值为； 综上所述：与的重叠面积存在最大值，此时的值为． 4．(1)当时，； (2)关于的函数关系式为； (3)当或时，； (4)的值为或或． 【分析】（）由，，，根据勾股定理求得，当时，则，此时，由，且，得，求得； （）作于点，可证明，得，求得，即可由，求得关于的函数关系式为； （）由，且，得，则，即可求得当或时，； （）分三种情况讨论，一是四边形是菱形，且以为对角线，作于点，则，可证明，得，求得，则；二是四边形是菱形，且以为对角线，则，所以；三是四边形是菱形，且以为对角线，作于点，则，可证明，得，求得，则，解方程求出相应的值即可. 【详解】（1）解：如图， ∵，，， ∴， 当时，则， ∴， ∵，， ∴， 解得， ∴当时，； （2）解：如图，作于点，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴关于的函数关系式为； （3）解：∵，且， ∴， ∴， 解得，， ∴当或时，； （4）解：存在点，使得以点为顶点的四边形为菱形， 如图，四边形是菱形，且以为对角线，作于点， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得； 如图，四边形是菱形，且以为对角线，则， ∴， 解得； 如图，四边形是菱形，且以为对角线，作于点， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得； 综上所述，存在点，使得以点为顶点的四边形为菱形，的值为或或． 5．(1)拱门最高点距地面的高度为米 (2)最多需准备米该种钢管 (3) 【分析】（1）由题意可得，，利用待定系数法求出抛物线形花墙拱门的解析式为，再将抛物线解析式化为顶点式，即可得出结果； （2）由（1）可得抛物线的对称轴为直线，设点的横坐标为，那么，则点的横坐标为，求出，，表示出，再由二次函数的性质即可得出结果； （3）令，则，求得，，再结合题意计算即可得出结果． 【详解】（1）解：由题意可得：米，米， ∴，米， ∴， 设抛物线形花墙拱门的解析式为， 将，，代入解析式可得， 解得：， ∴抛物线形花墙拱门的解析式为， ∵， ∴拱门最高点距地面的高度为米； （2）解：由（1）可得抛物线的对称轴为直线， 设点的横坐标为，那么， 由题意可得，点和点关于对称轴对称， ∴点的横坐标为， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴ ， ∵， ∴当时，的值最大，为米， 故最多需准备米该种钢管； （3）解：令，则， 解得：，， ∴（米）， ∵仪仗队成员的平均肩宽为0.35米，负责人准备将队形设计成每排6人， ∴（米）， ∵当每两人间的距离为d米，每两人间必须有空隙，仪仗队员的头不能触碰拱门， ∴d的取值范围． 6．(1)， ； (2) (3) 【分析】（1）根据题意，得，代入抛物线的表达式，求解即可； （2）令，求得方程的两个根，计算两个根的差即可； （3）当直线与抛物线有唯一交点恰好是时，此时，当直线与抛物线有唯一交点恰好是时，此时，解得，根据直线与隧道上方的抛物线有唯一交点，求解即可． 【详解】（1）解：长方形的长为，宽为，以所在直线为x轴，以所在直线为y轴建立平面直角坐标系，抛物线的表达式可以用表示 得， ， 解得， 故抛物线的表达式为：， 由， 故最高点P的坐标为． （2）解：根据题意，得， 整理，得， 解得， 故． （3）解：根据题意，得， 故， 整理，得， 直线与隧道上方的抛物线有唯一交点， 故有两个相等的实数根， ， 整理，得， 解得， 此时， 由隧道上方的抛物线满足的条件是， 不在这个范围中， 故舍去； 当直线与抛物线有唯一交点恰好是时， 此时， 当直线与抛物线有唯一交点恰好是时， 此时， 解得， 因为直线与隧道上方的抛物线有唯一交点， 故． 7．(1)销售量是1500千克 (2)当每千克枇杷的销售价格定为18元时，日获利最大，最大利润为12000元 【分析】（1）将给定的销售价格代入已知的一次函数解析式，即可直接计算出对应销售量；（2）根据利润的计算公式列出关于销售价格的二次函数，再结合二次函数的增减性和销售价格的限制条件，即可求出最大利润和对应价格． 【详解】（1）解：已知每日销售量与销售价格的函数解析式为，将代入解析式得： 答：果农当日的销售量是1500千克； （2）设销售这种枇杷的日获利为元， 根据题意可得，每千克枇杷的利润为元，销售量为千克， ∴整理得： 配方得： ，抛物线开口向下，对称轴为直线， 当时，随的增大而增大， 又销售价格不高于18元/千克，即， 当时，取得最大值， 将代入得： 答：当每千克枇杷的销售价格定为18元时，销售这种枇杷日获利最大，最大利润为12000元． 8．(1)，； (2)每月利润能达到3750元，枕头的售价为元； (3)40元 【分析】（1）根据题意列出代数式即可； （2）根据“利润=（售价-进价）×销售量”，代入相应数据，列出方程，求解即可； （3）列出利润与x之间的函数关系式，求其最大值，即可求得答案． 【详解】（1）解：根据题意得：枕头的实际售价为元； 枕头的销售量为个； （2）解：根据题意得，， 整理得，， 解得，，， ∵进货不超过200个， ∴， 解得，， ∴， ∴此时枕头的售价为元； （3）解：设利润为元，根据题意得： ， ∵， ∴当时，有最大值，为4000元； ∴当降价10元时，每月利润达到最大值，此时售价为元． 9．(1) (2)第天利润最大，最大利润为元 (3)①；② 【分析】本题考查了一次函数的应用、二次函数的最值求解以及分段函数的利润分析，熟练掌握一次函数解析式的求法、二次函数的性质及利润计算公式是解答本题的关键． （1）根据表格中销售量与天数的线性变化规律，设一次函数解析式，代入两组数据求出关于的函数表达式； （2）根据“销售利润销售量(单件售价单件成本)”，结合已知的单价函数与成本价，构建关于的二次函数，利用二次函数的顶点性质求解最大利润及对应的天数； （3）①分析第天起单价下调元后的利润函数，根据二次函数的开口方向与对称轴位置，判断在区间内利润随的变化趋势，确定利润最大值对应的； ②将①中求得的代入利润表达式，结合已知的最大利润值，建立关于的方程并求解． 【详解】（1）解：由表格信息可设，将表格中的数据代入得， ， 解得：， 关于的函数表达式为； （2）解：设总利润为元，则 ， 当时，取得最大值，最大值为25000， 答：第天利润最大，最大利润为元； （3）解：①由题意得，第天开始每件商品的单价为元， 每件商品的利润为：元， 设此时利润为元，则 ， ， 且， 随的增大而减小， 当时，利润取到最大值； ②当时，利润取到最大值， ， 解得：． 10．(1)二次函数的表达式为 ，小球到达的最大高度为8米； (2)点A的坐标为； (3)小球能越过该挡板，理由见解析 【分析】（1）根据题意将点代入二次函数的表达式即可求出a，进而求得函数表达式；将二次函数一般式化为顶点式，根据二次函数图象的性质即可得出最大高度； （2）根据题意联立二次函数的表达式与斜坡的表达式，得，解得，， 再当时，， 即可求得A点的坐标； （3）根据题意把分别代入二次函数的表达式及直线的表达式，再根据挡板高2米，求得挡板顶端距离地面的高度为（米）， 最后，比较大小即可得出结论． 【详解】（1）解：由题意可知，抛物线经过点， 将代入，得， 解得 ， ∴这个二次函数的表达式为 ， 将二次函数的表达式配方得， ∵， ∴当时，y有最大值，最大值为8． 答：这个二次函数的表达式为 ，小球到达的最大高度为8米； （2）解：联立二次函数的表达式与斜坡的表达式，得， 整理，得， 解得，， 当时，（舍去）， 当时，， ∴． 答：点A的坐标为； （3）解：小球能越过该挡板，理由如下： 当时，小球的高度为（米）， 当时，斜坡的高度为（米）， ∵挡板高2米， ∴挡板顶端距离地面的高度为（米）， ∵， ∴小球能越过该挡板． 答：小球能越过该挡板． 11．(1) (2)球离球网顶端的高度差为米 (3)的最小值是2米 【分析】（1）由题意得，抛物线的顶点坐标为，设抛物线的函数表达式为，把代入，即可求解； （2）把代入（1）中解析式，即可求解； （3）把代入（1）中解析式，求得，结合题意，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得，抛物线的顶点坐标为， ∴设抛物线的函数表达式为， 把代入可得， 解得，， ∴抛物线的函数表达式为； （2）解：由题意，把代入得， ， ， ∴球离球网顶端的高度差为米． （3）解：由题意，把代入得，， 解得，（舍去）， （米）， ∴的最小值是米． 12．(1) (2) (3) 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）令，解一元二次方程即可； （3）分当洗手液恰好落到手心左端M和洗手液恰好落到手心右端N两种情况进行解答即可． 【详解】（1）解：由题意，抛物线过、两点． 把、代入， 得： 解得： 所以洗手液轨迹的函数关系式为． （2）解：令，得． 解得或（舍去）． 与喷口水平距离为cm． 故洗手液最远能喷射到离喷口水平距离的位置． （3）解：由题意得，点M横坐标为，点N横坐标为． 当洗手液恰好落到手心左端M时： 令，得， 当洗手液恰好落到手心右端N时： 令，得， ∵，抛物线开口向下； ∴在时，y随x增大而减小． ∴手心离台面的高度h的范围是． 13．(1)；洒水车喷出水的最大射程为 (2)点的坐标为 (3) 【分析】（1）由顶点得，设，再根据抛物线过点，可得的值，从而解决问题； （2）由对称轴知点的对称点为，则下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的，可得点的坐标； （3）求出的最小值为，的最大值为，得到的最大值为，从而得出答案． 【详解】（1）解：由题意得：，， 是上边缘抛物线的顶点， 设， 又抛物线过点， ， ， 上边缘抛物线的函数解析式为； 令，则， 解得或（舍去）， 洒水车喷出水的最大射程为； （2）解：的对称轴为直线， 点的对称点为， 平移后仍过点， 是由向左平移得到的， ，点是由点向左平移得到的， 点的坐标为； （3）解：由题意可得，当点与点B重合时，最小， ∵点的坐标为， ∴， ∴的最小值为， ∵ 当点在抛物线上时，最大， ， 点的纵坐标为， 当时，解得或（舍去）， ， ∴的最大值为， 的最大值为， 的取值范围为． 14．(1) (2)空格处应填；17.5；10；3 (3)当时，，盈利， 当时，不亏损也不盈利， 当时，，亏损． 【分析】本题主要考查二次函数在实际问题中的应用，应用待定系数法求解方程是解题的关键． （1）根据待定系数法求解方程即可； （2）由（1）的解析式进行代值计算即可求解； （3）根据题意得到总利润表达式，再解不等式得出结论即可． 【详解】（1）设二次函数解析式为， ， 所以函数解析式为； （2）由（1）知函数解析式为， 当时，， 故空格处应填； （万元）， 所以1-4月平均每月亏损17.5万元， 故答案为：17.5； 令，解得， 所以到2024年10月起，公司当月不再亏损， 故答案为：10； 因为，所以， 则1-9月共亏损165万元，10月份不亏损也没有盈利， 11月盈利11万元，12月盈利24万元，2025年1月盈利39万元， 2025年2月盈利56万元，2025年3月盈利75万元， 从2024年1月到2025年2月亏损35万元，到3月盈利40万元， 理论上到2025年的3月份公司可以把之前的亏损全部赚回来， 故答案为：3； （3）由（2）可知2024年总利润为万元， 初始宣发资金为（万元）， 则每月的净利润数为， 当代入求和可得2025年第一季度末的净利润为 ， 所以2024年初至2025年第一季度末的总利润为： ， 所以当时，，盈利， 当时，不亏损也不盈利，当时，，亏损． 15．(1) (2)①每件应张价5元；②每件涨价应为8元 【分析】（1）设第二、三天的日平均增长率为x，利用第三天的销售量=第一天的销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）①设每件应张价y元，则每件盈利（毛利润）为元，销售数量为件，根据每件盈利（毛利润）×销售数量＝每天总毛利润列方程求解即可； ②设每件涨价应为z元，则每天总毛利润为元，每天总纯利润为元，根据每天总纯利润要达到5100元，列方程求解即可． 【详解】（1）解： 设第二、三天的日平均增长率为x，根据题意，得 ， 解得： ， (不符合题意，舍去)， ∴， 答： 第二、三天的日平均增长率为10%． （2）解：①设每件应张价y元，根据题意，得 ， 解得：，， ∵要使顾客得到实惠， ∴， 答：每件应张价5元； ②设每件涨价应为z元，根据题意，得 ， 解得：， ∴， 答：每件涨价应为8元． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用，理解题意，设恰当未知数，找出等量关系，列出方程是解题的关键． 16．(1) (2)存在，点的坐标为 【分析】（1）根据题意得：点，抛物线的顶点坐标为，设抛物线的解析式为，再把代入即可求解； （2）求出抛物线的解析式为，设，则点，，可得，，再根据，列出方程，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得：点，抛物线的顶点坐标为， 设抛物线的解析式为， 把点代入得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：存在， ∵与关于轴对称， ∴抛物线的顶点坐标为， ∴抛物线的解析式为， ∴抛物线的对称轴为直线， 设，则点，， ∴，， ∵， ∴， 整理得：， 解得：（舍去）， ∴此时点的坐标为． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $