精品解析：2022年山东省济宁市5月中考冲刺数学试题

二〇二二年五月　中考冲刺模拟测试 数学试题 教材版本：人教版　　命题范围：中考内容 第Ⅰ卷（选择题 共30分） 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1. 2022的相反数是（ ） A. 2022 B. C. D. 2. 《三国演义》《红楼梦》《水浒传》《西游记》是我国古典长篇小说四大名著．其中2016年光明日报出版社出版的《红楼梦》有350万字，则“350万”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 4. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 5. 一副三角板按如图所示的位置摆放，若，则∠1的度数是（ ） A. 65° B. 70° C. 75° D. 80° 6. 我国航天事业捷报频传，天舟二号于2021年5月29日成功发射，震撼人心．当天舟二号从地面到达点A处时，在P处测得A点的仰角∠DPA为30°，A与P两点的距离为10千米；它沿铅垂线上升到达B处时，此时在P处测得B点的仰角∠DPB为45°，则天舟二号从A处到B处的距离AB的长为（　　）（参考数据：，） A. 2.0千米 B. 1.5千米 C. 2.5千米 D. 3.5千米 7. 化简的结果是( ) A. 0 B. 1 C. ﹣1 D. (m+2)2 8. 在平面内由极点、极轴和极径组成的坐标系叫做极坐标系．如图，在平面上取定一点O称为极点；从点O出发引一条射线称为极轴；线段的长度称为极径．点P的极坐标就可以用线段的长度以及从转动到的角度（规定逆时针方向转动角度为正）来确定，即或或等，则点P关于点O成中心对称的点Q的极坐标表示正确的是（　　） A. B. C. D. 9. 如图所示，木工师傅在板材边角处作直角时，往往使用“三弧法”，其作法是： （1）作线段，分别以为圆心，以长为半径作弧，两弧的交点为； （2）以为圆心，仍以长为半径作弧交的延长线于点； （3）连接． 下列说法不正确的是（ ） A. B. C. 点是的外心 D. 10. 矩形在平面直角坐标系中的位置如图所示，已知，点在轴上，点在轴上，是对角线上一动点（不与原点重合），连接，过点作，交轴于点．下列结论： ①； ②当点运动到的中点处时，； ③在运动过程中，是一个定值；④当为等腰三角形时，点的坐标为． 其中正确的结论是（ ） A. ①②③④ B. ①②③ C. ①②④ D. ①③④ 第Ⅱ卷（非选择题　共70分） 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分. 11. 因式分解：_______． 12. 如图，、相交于点O，，请你再补充一个条件，使得，你补充的条件是_______． 13. 如图，如果从半径为的圆形纸片上剪去圆周的一个扇形，将留下的扇形围成一个圆锥（接缝处不重叠），那么这个圆锥的高是_____． 14. 已知关于x的一元二次方程有两个实数根，且满足，则m的值是_______． 15. 如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形的直角边在轴上，点在第一象限，且，以点为直角顶点，为一直角边作等腰直角三角形，再以点为直角顶点，为直角边作等腰直角三角形……依此规律，则点的坐标是________． 三、解答题：本大题共7小题，共55分. 16. 计算或解不等式组： （1）； （2）解不等式组：． 17. 新冠疫情防控期间，济宁市各中学积极开展“停课不停学”网络教学活动．为了了解初中生每日线上学习时长t（单位：小时）的情况，在任城区范围内随机抽取了部分初中生进行调查，并将所收集的数据分组整理，绘制了如图所示的不完整的频数分布直方图和扇形统计图． 根据图中信息，解答下列问题： （1）在这次调查活动中，一共抽取了多少名初中生？这些初中生每日线上学习时长的中位数在哪个范围内？ （2）若该区有42000名初中生，请你估计该区每日线上学习时长在“”范围的初中生共有多少名？ （3）每日线上学习时长恰好在“”范围的初中生中有甲、乙、丙、丁4人表现特别突出，现从4人中随机选出2人分享在线学习心得，用列表或画树状图的方法求恰好选中甲和乙的概率． 18. 如图，在中，． （1）尺规作图，在边上作一点D，使点D到点A、点B的距离相等；（保留作图痕迹，不写作法） （2）证明：． 19. 2022年北京冬奥会吉祥物冰墩墩、雪容融深受人们的喜欢，为了抓住商机，乐购商场决定购进一批冰墩墩雪容融纪念品进行销售．已知每件冰墩墩比每件雪容融的进价高30元．用1000元购进冰墩墩的数量和用400元购进雪容融的数量相同． （1）求两种纪念品每件的进价分别是多少元？ （2）第一次乐购商场购进的货很快就脱销，于是计划再次购进冰墩墩、雪容融共200件，其中雪容融的数量不超过冰墩墩数量的，且购进的冰墩墩以每件60元，雪容融以每件35元的价格出售．这次如何进货商场利润最大？最大利润是多少？ 20. 如图，AB是的直径，点C、点D在上，，AD与BC相交于点E，点F在BC的延长线上，且． （1）求证：AF是的切线； （2）若，，求的半径． 21. 知识背景：点A在反比例函数（）的图象上，轴于点B，轴于点C，分别在射线，上取点D，E，使得四边形为正方形．如图1，点A在第一象限内，当时，小明测得． 探究：通过改变点A的位置，小明发现点D，A的横坐标之间存在函数关系．请帮助小明解决下列问题． （1）求k的值． （2）设点A，D的横坐标分别为x，z，将z关于x的函数称为“Z函数”．如图2，小明画出了时“Z函数”的图象． ①求这个“Z函数”的表达式． ②过点作一直线，与这个“Z函数”图象仅有一个交点，求该交点的横坐标． 22. 如图，抛物线与x轴交于点，点，与y轴交于点C，对称轴与x轴交于点D，点P是直线上方抛物线上一点． （1）求抛物线的解析式； （2）在直线上方的抛物线上找一点P，作，E为轴上一个动点，当为最大值时，求线段的最小值； （3）若点M为直线上一点，N为平面内一点，是否存在这样的点M和点N使得以C、D、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点M坐标；若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 二〇二二年五月　中考冲刺模拟测试 数学试题 教材版本：人教版　　命题范围：中考内容 第Ⅰ卷（选择题 共30分） 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1. 2022的相反数是（ ） A. 2022 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据相反数的定义直接求解． 【详解】解：实数2022的相反数是， 故选：B． 【点睛】本题主要考查相反数的定义，解题的关键是熟练掌握相反数的定义． 2. 《三国演义》《红楼梦》《水浒传》《西游记》是我国古典长篇小说四大名著．其中2016年光明日报出版社出版的《红楼梦》有350万字，则“350万”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】科学记数法的形式是： ，其中＜10，为整数．所以，取决于原数小数点的移动位数与移动方向，是小数点的移动位数，往左移动，为正整数，往右移动，为负整数。本题小数点往左移动到的后面，所以 【详解】解：万 故选 【点睛】本题考查的知识点是用科学记数法表示绝对值较大的数，关键是在理解科学记数法的基础上确定好的值，同时掌握小数点移动对一个数的影响． 3. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方及整式的加减运算可直接进行排除选项． 【详解】解：A、，错误，故不符合题意； B、，正确，故符合题意； C、，错误，故不符合题意； D、，错误，故不符合题意； 故选B． 【点睛】本题主要考查同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方及整式的加减运算，熟练掌握同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方及整式的加减运算是解题的关键． 4. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．根据轴对称图形与中心对称图形的概念逐选项判断即可． 【详解】解：A选项是轴对称图形而不是中心对称图形； B选项既不是轴对称图形也不是中心对称图形； C选项是轴对称图形而不是中心对称图形； D选项是中心对称图形也是轴对称图形． 5. 一副三角板按如图所示的位置摆放，若，则∠1的度数是（ ） A. 65° B. 70° C. 75° D. 80° 【答案】C 【解析】 【分析】由平行线的性质可得∠2＝∠B＝45°，再由三角形的外角性质可得∠1＝∠2＋∠D即可求解． 【详解】如图所示： ∵BC∥DE， ∴∠2＝∠B＝45°， ∴∠1＝∠2＋∠D＝45°＋30°＝75°，故C正确． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，三角形的外角性质，解答的关键是结合图形分析清楚角与角之间的关系． 6. 我国航天事业捷报频传，天舟二号于2021年5月29日成功发射，震撼人心．当天舟二号从地面到达点A处时，在P处测得A点的仰角∠DPA为30°，A与P两点的距离为10千米；它沿铅垂线上升到达B处时，此时在P处测得B点的仰角∠DPB为45°，则天舟二号从A处到B处的距离AB的长为（　　）（参考数据：，） A. 2.0千米 B. 1.5千米 C. 2.5千米 D. 3.5千米 【答案】D 【解析】 【分析】由含30°角的直角三角形的性质得AD=5（千米），再由锐角三角函数定义求出PD、BD的长，即可得出答案． 【详解】解：在Rt△APD中，∠DPA=30°，AP=10千米，∠ADP=90°，cos∠DPA=cos30°=， ∴AD=AP=×10=5（千米），PD=AP•cos30°=10×=5（千米）， 在Rt△BPD中，tan∠DPB=tan45°=， ∴BD=PD•tan45°=5×1=5（千米）， ∴AB=BD-AD=5-5≈8.5-5=3.5（千米）， 故选：D． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用—仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数定义是解题的关键． 7. 化简的结果是( ) A. 0 B. 1 C. ﹣1 D. (m+2)2 【答案】B 【解析】 【分析】本题要先通分，分母变为m﹣2后，分子为m2﹣4，然后约分，便可得出答案 【详解】解：原式＝÷（m+2）， ＝ ＝1． 故选B 【点睛】本题主要考查分式的混合运算，通分、因式分解和约分是解答的关键，属于基础题． 8. 在平面内由极点、极轴和极径组成的坐标系叫做极坐标系．如图，在平面上取定一点O称为极点；从点O出发引一条射线称为极轴；线段的长度称为极径．点P的极坐标就可以用线段的长度以及从转动到的角度（规定逆时针方向转动角度为正）来确定，即或或等，则点P关于点O成中心对称的点Q的极坐标表示正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据中心对称的性质求出顺时针或者逆时针转动的角度，然后根据极坐标的表示方法求解． 【详解】解：∵或或，点P关于点O成中心对称的点Q， ∴，，， ∴点Q的极坐标可以表示为或或． 9. 如图所示，木工师傅在板材边角处作直角时，往往使用“三弧法”，其作法是： （1）作线段，分别以为圆心，以长为半径作弧，两弧的交点为； （2）以为圆心，仍以长为半径作弧交的延长线于点； （3）连接． 下列说法不正确的是（ ） A. B. C. 点是的外心 D. 【答案】D 【解析】 【分析】由作法得CA＝CB＝CD＝AB，根据圆周角定理得到∠ABD＝90°，点C是△ABD的外心，根据三角函数的定义计算出∠D＝30°，则∠A＝60°，利用特殊角的三角函数值得到sin2A＋sin2D＝1，利用等腰三角形的性质得∠CBD＝∠D＝30°，根据含30度的直角三角形三边的关系得到BD＝AB，然后利用三角形面积公式得到S△BDC＝S△ABD＝，从而可对各选项进行判断． 【详解】解：由作法得CA＝CB＝CD＝AB， ∴点B在以AD为直径的圆上， ∴∠ABD＝90°， ∴点C是△ABD的外心， 在Rt△ABD中，sin∠D＝=， ∴∠D＝30°，∠A＝60°， ∴sin2A＋sin2D＝1， ∵CB＝CD， ∴∠CBD＝∠D＝30°， ∵BD＝AB， ∴S△BDC＝S△ABD＝××AB×AB＝． 故选：D． 【点睛】本题考查了作图−基本作图，三角形的外心，圆周角定理，解直角三角形，等腰三角形的性质，特殊三角函数值，含30°角的直角三角形的性质，掌握这些知识点是解题关键，本题综合性较强． 10. 矩形在平面直角坐标系中的位置如图所示，已知，点在轴上，点在轴上，是对角线上一动点（不与原点重合），连接，过点作，交轴于点．下列结论： ①； ②当点运动到的中点处时，； ③在运动过程中，是一个定值；④当为等腰三角形时，点的坐标为． 其中正确的结论是（ ） A. ①②③④ B. ①②③ C. ①②④ D. ①③④ 【答案】D 【解析】 【分析】①根据点坐标到坐标轴的距离，即可判断； ②根据点坐标和中点的定义，易得，，再根据勾股定理即可判断； ③过点P作轴，交x轴于点，交于点，易证，四边形是矩形，从而，根据，可得，即； ④根据为等腰三角形，分类讨论，只有当时满足题意，利用“”可得，，从而，由③可知，则，再根据三角函数值，即可求解． 【详解】解：矩形，， ； 则①结论正确； 矩形，， ，， 点运动到的中点， ， 在中，， 在中，， 则②结论错误； 如图，过点P作轴，交x轴于点，交于点，     矩形， ，， 轴， ， ， ， ，则， ， ， ， ，， 四边形是矩形， ， 在中，， 在中，， ， ， 在中，，即， 在运动过程中，是一个定值， 则③结论正确； 当为等腰三角形时，当时， ， ， ， 在中，，即， ， ， ， ； 当时，， ， ，即， ， ，不可能等于，故； 当时，， 由图可知，当点和点A重合时，取得最小值，即， 不可能等于，故； 当为等腰三角形时，点的坐标为， 则④结论正确； 综上所述：正确的结论为①③④． 第Ⅱ卷（非选择题　共70分） 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分. 11. 因式分解：_______． 【答案】 【解析】 【分析】先提公因式，再用完全平方公式． 【详解】， 故填：． 【点睛】本题考查因式分解，熟练掌握提公因式法和公式法是关键． 12. 如图，、相交于点O，，请你再补充一个条件，使得，你补充的条件是_______． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据全等三角形的判定定理：，，，，，即可解答． 【详解】根据题意可得，， 根据全等三角形的判定定理， 可补充的条件为，则； 可补充的条件为，则．（答案不唯一） 13. 如图，如果从半径为的圆形纸片上剪去圆周的一个扇形，将留下的扇形围成一个圆锥（接缝处不重叠），那么这个圆锥的高是_____． 【答案】 【解析】 【分析】先根据扇形弧长等于圆锥底面周长计算出圆锥底面的半径，再画出圆锥的截面图，使用勾股定理计算出圆锥的高． 【详解】解：设圆锥底面的半径为， 由题意可知，， 解得， 圆锥的截面图如图所示， 由圆锥的性质可知，，，， 在中，， ∴圆锥的高为． 14. 已知关于x的一元二次方程有两个实数根，且满足，则m的值是_______． 【答案】3 【解析】 【分析】根据根与系数的关系得出x1+x2=2m+3，得出方程m2=2m+3，求出m的值，再根据根的判别式判断即可． 【详解】解：根据根与系数的关系得：x1+x2=2m+3， ∵x1+x2＝m2， ∴m2=2m+3， 解得：m=3或-1， 当m=3时，方程为x2-9x+9=0，此时方程有解； 当m=-1时，方程为x2-x+1=0，此时△=（-1）2-4×1×1=-3＜0，此时方程无解； 故答案为：3． 【点睛】本题考查了根与系数的关系和根的判别式，能熟记根与系数的关系和根的判别式的内容是解此题的关键． 15. 如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形的直角边在轴上，点在第一象限，且，以点为直角顶点，为一直角边作等腰直角三角形，再以点为直角顶点，为直角边作等腰直角三角形……依此规律，则点的坐标是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题点坐标变化规律要分别从旋转次数与点所在象限或坐标轴、点到原点的距离与旋转次数的对应关系． 【详解】解：由已知，点每次旋转转动，则转动一周需转动8次，每次转动点到原点的距离变为转动前的倍， ， 点的在y轴负半轴上， ， 故答案为：． 【点睛】本题是平面直角坐标系下的规律探究题，除了研究动点变化的相关数据规律，还应该注意各个象限内点的坐标符号． 三、解答题：本大题共7小题，共55分. 16. 计算或解不等式组： （1）； （2）解不等式组：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解：， 由①得， 由②得， ∴不等式组的解集为． 17. 新冠疫情防控期间，济宁市各中学积极开展“停课不停学”网络教学活动．为了了解初中生每日线上学习时长t（单位：小时）的情况，在任城区范围内随机抽取了部分初中生进行调查，并将所收集的数据分组整理，绘制了如图所示的不完整的频数分布直方图和扇形统计图． 根据图中信息，解答下列问题： （1）在这次调查活动中，一共抽取了多少名初中生？这些初中生每日线上学习时长的中位数在哪个范围内？ （2）若该区有42000名初中生，请你估计该区每日线上学习时长在“”范围的初中生共有多少名？ （3）每日线上学习时长恰好在“”范围的初中生中有甲、乙、丙、丁4人表现特别突出，现从4人中随机选出2人分享在线学习心得，用列表或画树状图的方法求恰好选中甲和乙的概率． 【答案】（1）一共抽取了500名初中生；中位数在范围内 （2）12600名 （3） 【解析】 【分析】（1）由B的人数除以所占百分比求出总人数，然后根据中位数的定义求解即可； （2）由该区共有初中生人数乘以每日线上学习时长在“”范围的初中生所占的比例即可； （3）画树状图，共有12种等可能的结果，其中恰好选中甲和乙的结果有2种，再由概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：（名）， 答：在这次调查活动中，一共抽取了500名初中生； ，， ∴中位数在范围内； 【小问2详解】 解：D的人数为：（名）， ∴估计该区每日线上学习时长在“”范围的初中生共有（名）； 【小问3详解】 解：画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中恰好选中甲和乙的结果有2种， ∴恰好选中甲和乙的概率为． 18. 如图，在中，． （1）尺规作图，在边上作一点D，使点D到点A、点B的距离相等；（保留作图痕迹，不写作法） （2）证明：． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）作的中垂线交于点即可； （2）根据等边对等角，得到，进而求出，得到，再根据，即可得证. 【小问1详解】 解：如图，点即为所求； 【小问2详解】 证明：∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴． 19. 2022年北京冬奥会吉祥物冰墩墩、雪容融深受人们的喜欢，为了抓住商机，乐购商场决定购进一批冰墩墩雪容融纪念品进行销售．已知每件冰墩墩比每件雪容融的进价高30元．用1000元购进冰墩墩的数量和用400元购进雪容融的数量相同． （1）求两种纪念品每件的进价分别是多少元？ （2）第一次乐购商场购进的货很快就脱销，于是计划再次购进冰墩墩、雪容融共200件，其中雪容融的数量不超过冰墩墩数量的，且购进的冰墩墩以每件60元，雪容融以每件35元的价格出售．这次如何进货商场利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）冰墩墩每件的进价为50元，雪容融每件的进价为20元 （2）冰墩墩进货120件，雪容融进货80件时利润最大，最大为2400元 【解析】 【分析】（1）设冰墩墩每件的进价为x元，则雪容融每件的进价为元，根据用1000元购进冰墩墩的数量和用400元购进雪容融的数量相同，列出方程进行求解即可； （2）设购进冰墩墩m件，利润为w，根据雪容融的数量不超过冰墩墩数量的，列出不等式求出的范围，根据总利润等于两种纪念品的利润之和，列出一次函数关系式，求最值即可． 【小问1详解】 解：设冰墩墩每件的进价为x元，则雪容融每件的进价为元， 根据题意得:， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 则， 答：冰墩墩每件的进价为50元，雪容融每件的进价为20元． 【小问2详解】 解：设购进冰墩墩m件，则购进雪容融件，利润为w，由题意， ， 解得， ，即， ∵， ∴随着的增大而减小， ∴当时，w取最大值，最大值为2400， 因此，冰墩墩进货120件，雪容融进货80件时利润最大，最大为2400元． 20. 如图，AB是的直径，点C、点D在上，，AD与BC相交于点E，点F在BC的延长线上，且． （1）求证：AF是的切线； （2）若，，求的半径． 【答案】（1）证明见解析；（2）⊙O的半径为． 【解析】 【分析】（1）由AE=AF，AB是⊙O的直径，可以得出∠CAE+∠CEA=90°，再根据AC=CD，得出∠B+∠F=90°，从而得出∠FAB=90°即可； （2）由锐角三角函数的定义得出，求出AE=10，AC=8，则可求出AB的长． 【详解】（1）证明：∵AE=AF， ∴∠F=∠CEA， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB=90°， ∴∠CAE+∠CEA=90°， ∵AC=CD， ∴∠CAE=∠D=∠B， ∴∠B+∠F=90°， ∴FA⊥AB， ∵AB是⊙O的直径， ∴AF与⊙O相切于点A； （2）解：∵AE=AF，∠ACB=90°， ∴， ∵∠CAB=∠CEA， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴AE=10， ∴AC=8， ∵， ∴， ∴， ∴， 即⊙O的半径为． 【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，勾股定理，锐角三角函数，等腰三角形的判定与性质等知识，熟练掌握切线的性质是解题的关键． 21. 知识背景：点A在反比例函数（）的图象上，轴于点B，轴于点C，分别在射线，上取点D，E，使得四边形为正方形．如图1，点A在第一象限内，当时，小明测得． 探究：通过改变点A的位置，小明发现点D，A的横坐标之间存在函数关系．请帮助小明解决下列问题． （1）求k的值． （2）设点A，D的横坐标分别为x，z，将z关于x的函数称为“Z函数”．如图2，小明画出了时“Z函数”的图象． ①求这个“Z函数”的表达式． ②过点作一直线，与这个“Z函数”图象仅有一个交点，求该交点的横坐标． 【答案】（1） （2）①；②满足条件的交点的横坐标为2或3或4或6 【解析】 【分析】（1）根据正方形和矩形的性质，求出点A的坐标，再用待定系数法即可求解； （2）①根据题意，可得，即，从而，即求；②设直线的解析式为，可得，联立方程组，整理得，根据的取值分类讨论，求出x的值即可，最后考虑直线，也只有一个交点，进而求出交点的横坐标． 【小问1详解】 解：，， ， 四边形为正方形， ， 轴，轴， ， 四边形是矩形， ， ，点A在反比例函数（）的图象上， ； 【小问2详解】 ①由（1）可知，点A在函数的图象上，点A的横坐标为x， 点A的纵坐标为，即， 四边形为正方形， ， ， 点D的横坐标为z， ； ②设直线的解析式为， 把代入得到，， ， 直线的解析式为， ，消去z得到，， 当时，方程为，解得，符合题意； 当时， 直线与这个“Z函数”图象仅有一个交点， 有两个相同的解，即， ，解得或， 当时，方程为，解得； 当时，方程为，解得； 另外直线，也符合题意，此时交点的横坐标为； 综上所述：满足条件的交点的横坐标为2或3或4或6． 22. 如图，抛物线与x轴交于点，点，与y轴交于点C，对称轴与x轴交于点D，点P是直线上方抛物线上一点． （1）求抛物线的解析式； （2）在直线上方的抛物线上找一点P，作，E为轴上一个动点，当为最大值时，求线段的最小值； （3）若点M为直线上一点，N为平面内一点，是否存在这样的点M和点N使得以C、D、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点M坐标；若不存在，说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在，M点的坐标为或或或 【解析】 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）过点作轴交于点，当最大时，则最大，求得点坐标，作点C关于x轴的对称点，连接交x轴于点，此时最小，即可求解； （3）当为菱形对角线时，，列出等式即可求解；当、为菱形对角线时，同理可解． 【小问1详解】 解：将点，点代入， 可得， 解得， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：如图，过点作轴交于点， 令，则， ， ， ， 轴 ， ， ∴当最大时，则最大， 设直线的解析式为， ， 解得， ， 设，则， ， 当时，最大，即最大， ， ∴点； 作点关于轴的对称点，连接交轴于点， 此时，取到最小值， 即的最小值； 【小问3详解】 解：存在点和点，使得以、、、为顶点的四边形是菱形， , ∴抛物线对称轴为直线， 设，， ①当为菱形对角线时，此时， ， 解得， ； ②当为菱形对角线时，， ， 解得， 或， ③当为菱形对角线时，， ， 解得或（与点重合，故舍去）， ； 综上所述：点的坐标为或或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $