精品解析：吉林省第二实验高新学校2025-2026学年下学期九年级4月1日学情自测数学试题

吉林省第二实验高新学校 九年级数学学科 一、选择题（每小题3分） 1. 比大1的数是（ ） A. B. 2027 C. D. 2025 【答案】C 【解析】 【分析】求比一个数大1的数，只需用这个数加1，再根据有理数加法法则计算即可得到结果． 【详解】解：， 比大1的数是． 2. 已知数轴上A、B两点间的距离为4，若点A表示的数为，则点B表示的数为（ ） A. B. 7 C. 或1 D. 7或 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了数轴上两点间距离，熟练掌握数轴上两点间的距离右边的数左边的数，是解题的关键．根据数轴上两点距离公式计算即可，注意分两种情况讨论． 【详解】解：数轴上A、B两点间的距离为4，若点A表示的数为， 当点A在点B的左侧时，则点B表示的数为， 当点A在点B的右侧时，则点B表示的数为． 故选：C． 3. 如图所示为几何体的平面展开图，则从左到右，其对应的几何体名称分别为（ ） A. 圆柱，圆锥，四棱柱，正方体 B. 四棱锥，圆锥，正方体，圆柱 C. 圆柱，圆锥，正方体，三棱锥 D. 圆柱，圆锥，三棱柱，正方体 【答案】D 【解析】 【分析】根据基本几何体的展开图逐一判断． 【详解】解：根据图形得：圆柱，圆锥，三棱柱，正方体， 故选：D． 【点睛】本题考查了几何体的展开图，解题的关键是掌握常见几何体的展开图． 4. 一只杯子静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力的方向竖直向下，支持力的方向与斜面垂直，摩擦力的方向与斜面平行．若斜面的坡角，则摩擦力与重力方向的夹角的度数（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查直角三角形两锐角互余的性质、平行线的性质，熟练掌握相关知识点是解题关键． 根据直角三角形两锐角互余得出，利用平角的定义得出，根据平行线的性质即可得答案． 【详解】解：如图所示： ∵重力的方向竖直向下，， ∴， ∴， ∵摩擦力的方向与斜面平行， ∴． 故选：B． 5. 如图，是梯子两梯腿张开的示意图，AB＝AC，梯腿与地面夹角∠ACB＝∠，当梯子顶端离地面高度AD＝2.8m时，则梯子两梯脚之间的距离BC＝（ ）m． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据等腰三角形的性质得到BD＝DC＝BC，根据正切的定义计算，得到答案． 【详解】解：∵AB＝AC，AD⊥BC， ∴BD＝DC＝BC， 在Rt△ADC中，tanC＝， ∴DC＝＝， ∴BC＝2DC＝， 故选：D． 【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用，掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 6. 如图，点从点出发沿线段做匀速运动，到点后立即按原路返回．用表示以点为圆心，线段的长为半径的圆的面积，用表示点的运动时间．下列图象适合表示与的对应关系的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了动点问题的函数图象及二次函数的图象，注意分类讨论；设线段，点P运动速度为1，当点P从A向B运动时，，则可得S的表达式；当点P从B返回时，，亦可得S的表达式，即可确定函数图象． 【详解】解：设线段，点P运动速度为1． 当点P从A向B运动时，此时，， 则； 当点P从B返回时，此时，， 则， 综上：． 其图象如下： 故选：A． 7. 在平面直角坐标系中，正方形的顶点A、在坐标轴上，且，顶点、在反比例函数的图象上，在的延长线上取一点，使，过点作交轴于点，当时，的值为（　　） A. 8 B. 12 C. D. 16 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查反比例函数的图象与性质、正方形的性质、等腰直角三角形的性质与判定及全等三角形的性质与判定，熟练掌握反比例函数的图象与性质、正方形的性质、等腰直角三角形的性质与判定及全等三角形的性质与判定是解题的关键；过点D作于点H，由题意易得，然后可得，则有，根据是等腰直角三角形可得，进而可得，最后问题可求解． 【详解】解：过点D作于点H，如图示： ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故选A． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 8. 、的最简公分母是____． 【答案】 【解析】 【分析】根据最简公分母就是“各系数的最小公倍数，所有字母的最高次幂”，即可得出答案． 【详解】解：分式的分母，都是单项式， 分式与的最简公分母是． 9. 已知一个正方形的面积为15，那么与它的边长最接近的整数是____． 【答案】 4 【解析】 【分析】根据正方形面积公式可得正方形的边长为，估算出的范围即可得到答案． 【详解】解：一个正方形的面积为， 该正方形的边长为， ， ， 该正方形的边长最接近的整数是． 10. 如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为，点，，均在小正方形的顶点上，且点，在上，，则的长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】先找到的圆心O，得到∠BOC=45°，利用弧长公式即可求解． 【详解】解：连接AD，作线段AB、AD的垂直平分线，交点即为的圆心O， 从图中可得：的半径为OB=5， 连接OC， ∵∠BAC=22.5°， ∴∠BOC=222.5°=45°， 的长为． ． 故答案为： 【点睛】本题考查了弧长公式，找到的圆心是解题的关键． 11. 中国古代数学著作《增删算法统宗》中记载的“绳索量竿”问题，大意是：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿子，绳索比竿子长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿子，就比竿子短5尺．问绳索、竿子各有多长？若设该问题中的竿子长为x尺，则可列方程为____________________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题关键．设绳索长 尺，根据“用绳索去量竿，绳索比竿长尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短尺”，即可得出关于的一元一次方程组，此题得解． 【详解】解：设绳索长 尺，根据题意得 故答案为：． 12. 如图，正六边形ABCDEF的边长为6，以顶点为圆心，的长为半径画圆，则图中阴影部分的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】延长FA交⊙A于G，如图所示：根据六边形ABCDEF是正六边形，AB=6，利用外角和求得∠GAB=360°÷6=60°，再求出正六边形内角∠FAB=180°-∠GAB=180°-60°=120°， 利用扇形面积公式代入数值计算即可． 【详解】解：延长FA交⊙A于G，如图所示： ∵六边形ABCDEF是正六边形，AB=6， ∴∠GAB=360°÷6=60°， ∠FAB=180°-∠GAB=180°-60°=120°， ∴S扇形FAB=， 故答案为：12π． 【点睛】本题主要考查扇形面积计算及正多边形的性质，熟练掌握扇形面积计算及正多边形的性质是解题的关键． 13. 如图，在正方形．点F在边上，且，，垂足为M，且交于点E，与交于点N，给出下面四个结论：①；②；③；④．上述结论中，正确结论的序号有______． 【答案】①②③ 【解析】 【分析】先证明，得到．证明，可证明；不妨设，则，，， 得到；过点N作于点G， ，；；解答即可； 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵于点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，故①正确． ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴，故②正确； ∵, 不妨设， 则，， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，故③正确； 过点N作于点G， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴，故④错误． 三、解答题（本大题共10小题，共78分） 14. 先化简再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查分式化简求值，熟练掌握分式加减运算法则是解题的关键． 先根据分式减法法则计算即可化简，再把m值代入化简式计算即可． 【详解】解：原式 ， 当时，原式. 15. 电影《哪吒之魔童闹海》截止至2025年3月10日，票房突破亿元人民币，成为全球动画电影票房冠军．如图，有4张分别印有《哪吒之魔童闹海》角色图案的卡片：哪吒，敖丙，太乙真人，申公豹．将这4张卡片（形状、大小、质地都相同）放在不透明的盒子中，搅匀后从中任意取出1张卡片不放回，记录后搅匀，再随机取出1张卡片． （1）第一次取出的卡片图案为“哪吒”的概率为_______； （2）用画树状图或列表的方法，求取出的2张卡片为“哪吒”和“太乙真人”的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法，概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解题的关键． （1）由题意知，共有4种等可能的结果，其中第一次取出的卡片图案为“哪吒”的结果有1种，然后利用概率公式可得答案； （2）画树状图展示所有等可能的结果数以及取出的卡片为“哪吒”和“太乙真人”的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【小问1详解】 解：由题意知，共有4种等可能的结果，其中第一次取出的卡片图案为“哪吒”的结果有1种， ∴第一次取出的卡片图案为“哪吒”的概率为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：任意取出1张卡片，记录后不放回，再从中任意取出1张卡片，作出树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中取出的2张卡片为“哪吒”和“太乙真人”的结果数为2种， ∴取出的2张卡片为“哪吒”和“太乙真人”的概率为， 答：取出的2张卡片为“哪吒”和“太乙真人”的概率为． 16. 教室后墙有一段长120厘米的水平展示栏，用于张贴正方形的美术作品和书法作品，要求所有作品横向排列且无间距不重叠．已知每幅美术作品边长均为5厘米，每幅书法作品边长均为8厘米，若展示栏的一侧已张贴了10幅美术作品，求最多还能张贴多少幅书法作品？ 【答案】最多还能张贴8幅书法作品 【解析】 【分析】此题考查一元一次不等式的应用，根据墙长120厘米列不等式即可解答 【详解】解：设还能张贴幅书法作品． 根据题意，得． 解得． 答：最多还能张贴8幅书法作品． 17. 如图，是的直径，，是上两点，，过作交的延长线于． （1）求证：是的切线； （2）若的半径为5，，求的长． 【答案】（1）证明：如图，连接， 则， ∵， ∴， ∴， ∵交的延长线于， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵为半径， ∴是的切线； （2）6 【解析】 【分析】（1）连接，根据圆周角定理，结合已知条件可通过内错角相等，两直线平行，证得，从而得到，进而求得，即可证得结论； （2）连接，过点作于，易证四边形是矩形，则，然后根据勾股定理求得，最后利用垂径定理即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，连接，过点作于， 则， ∴四边形是矩形， ∴， 在中，，， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了圆周角定理，平行线的判定与性质，切线的判定定理，矩形的判定与性质，垂径定理，勾股定理，灵活运用以上知识点，作出合适的辅助线是解题的关键． 18. 为增进学生对数学文化的了解，某校开展了两次数学文化知识问答活动，从中随机抽取了20名学生两次活动的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行整理、描述和分析．如图是将这20名学生的第一次活动成绩作为横坐标，第二次活动成绩作为纵坐标绘制而成． （1）学生甲第二次活动成绩是75分，则该生第一次活动成绩是_____________分，这20名学生的第一次活动成绩的中位数为_____________分． （2）请在图中画一条直线，使得该直线上方的点表示两次活动的平均成绩高于90分． （3）假设全校有2000名学生参加活动，估计两次活动平均成绩不低于90分的学生人数． 【答案】（1）70，80 （2）见详解 （3）600人 【解析】 【分析】本题主要考查了点的坐标，中位数和利用样本估计总体，解题关键是熟练掌握频数分布直方图的基本知识． （1）根据统计图坐标以及中位数的定义解答即可； （2）根据统计图坐标解答即可； （ 3 ）用2000 乘样本中两次活动平均成绩不低于90 分的学生所占比例解答即可． 【小问1详解】 解：由题意可知，学生甲第二次活动成绩是75分，则该生第一次活动成绩是70分， 这20名学生的第一次活动成绩的中位数为（分）； 故答案为：； 【小问2详解】 解：如图所示； 【小问3详解】 解：（人）， 答：估计两次活动平均成绩不低于90 分的学生人数大约有 600 人． 19. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．内接于，且点、、、均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图． （1）在图①中找一个格点（点不与点重合），画出，使． （2）在图②中找一个格点，画出，使． （3）在图③中的圆上找一点，使得平分． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了圆周角定理和圆的内接四边形对角互补的性质，作出正确的图形是解决本题的关键． （1）取格点，连接，根据得到； （2）取格点，连接，根据圆内接四边形对角互补即可得到； （3）取格点，连接，此时交于一点I，作直线，交于点F，连接，此时点F为优弧的中点，则，则，可得到平分． 【小问1详解】 解：如图，即为所求： 【小问2详解】 解：如图，即为所求： 【小问3详解】 解：如图，点F即为所求： 20. 某品牌烤箱新增一种安全烤制模式，在此模式下烤箱内温度匀速升至时烤箱停止加热，随后烤箱内温度下降至初始温度．该品牌烤箱安全烤制模式下烤箱内温度与加热时间之间的函数图象如图所示． （1）求该品牌烤箱的烤箱内温度匀速上升期间与之间的函数表达式． （2）若食物在及以上的温度中烤制6分钟以上才可健康食用，请通过计算说明该模式下烤制的食物能否健康食用． 【答案】（1） （2）能，理由见解析 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法解答，即可求解； （2）利用待定系数法解答，求出下降期间y与x之间的函数关系式，分别求出时，上升期间与下降期间x对应的值，即可求解． 【小问1详解】 解：设该品牌烤箱的烤箱内温度匀速上升期间y与x之间的函数关系为， 由题意，得， 解得， ∴该品牌烤箱的烤箱内温度匀速上升期间y与x之间的函数关系式为． 【小问2详解】 解：设该品牌烤箱的烤箱内温度匀速下降期间y与x之间的函数关系为． 由题意，得解得 所以该品牌烤箱的烤箱内温度匀速下降期间y与x之间的函数关系式为． 当时， 令，则． 解得． 当时， 令，则． 解得． ∵， ∴该模式下烤制的食物能健康食用． 21. 【问题呈现】我们在学习完“圆”这一章内容后发现有一些数学问题，如果添加辅助圆，运用圆的有关知识解决，可以使问题变得非常容易．如图1，在中，，，点是外一点，，求的度数．根据到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上，以点为圆心，长为半径构造辅助圆，利用圆周角定理，从而很容易得到． 【问题解决】如图2，在四边形中，点是边的中点，连结、，若，，，求的度数． 【问题拓展】如图3，在四边形中，，，，直接写出线段的长． 【答案】[问题呈现]35；[问题解决] ；[问题拓展] 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，等边三角形的判定与性质，勾股定理等知识，解题的关键是： [问题呈现]判断点B、C、D在以A为圆心，为半径的圆上，然后根据圆周角定理求解即可； [问题解决]根据直角三角形斜边上的中线性质求出，则可判断点A、B、C、D在以O为圆心，为半径的圆上，证明是等边三角形，得出，然后根据圆周角定理求解即可； [问题拓展] 过C作于G，过A作于N，过D作于M，在和中，根据勾股定理可得出，求出，进而求出，可证明四边形、都是矩形，，，在中，根据勾股定理求出，然后在中根据勾股定理求解即可． 【详解】解：[问题呈现] 如图， ∵， ∴点B、C、D在以A为圆心，为半径的圆上， ∵， ∴， 故答案为：35； [问题解决] 如图，连接， ∵，，点O是的中点， ∴， 又， ∴点A、B、C、D在以O为圆心，为半径的圆上， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴； [问题拓展] 如图，过C作于G，过A作于N，过D作于M， 在中，， 在中，， ∴， 解得， ∴， ∵， ∴， ∴， 又，， ∴四边形、都是矩形， ∴，， ∴ ∴， ∴． 22. 如图，在中，，，，点是边的中点，点是边上一点，当点不与，重合时，以为边作正方形，使点和点在直线同侧． （1）直接写出线段的长___________； （2）当时，求正方形的面积； （3）当正方形与重叠部分是四边形且为轴对称图形时，直接写出的取值范围； （4）当与的边所在直线有交点时，记交点为，连结；当将正方形的面积分为两部分时，直接写出的长．（写出两个即可） 【答案】（1）10 （2） （3）或． （4）2或或 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理求解即可； （2）作于，证明求出根据勾股定理求出的值即可求出正方形的面积； （3）设交于点，根据题意可知，当正方形与重叠部分是四边形且为轴对称图形时，当重叠部分是正方形或时，四边形是轴对称图形； （4）当是中点时将正方形的面积分为两部，分两种情况讨论：过的中点；过的中点；的延长线过于点． 【小问1详解】 解：，，， ∴. 故答案为：10； 【小问2详解】 解：如图，作于H， ∵点是边的中点，， ∴. ∵，， ∴. ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴正方形的面积； 【小问3详解】 当点在上时，正方形与重叠部分是四边形是正方形且为轴对称图形，如图， ， ， ， ， ， 当点在上时，正方形与重叠部分是四边形是正方形且为轴对称图形，如图， ， ， ， ， 若点从向运动，在这一运动过程中，从点在上到点在上这个过程中，正方形与重叠部分是四边形都是正方形且为轴对称图形， ， 设交于点，当时， ， ， 在和中， ， ， 四边形是以所在直线为对称轴的轴对称图形， 由得， ， ， 综上可知， 或． 【小问4详解】 分情况讨论： 当过的中点时，将正方形的面积分为两部分， 过点作于点，在中，， 在中，， ， 设，则， ， ， ， ，即：， ， ， 当过的中点时，将正方形的面积分为两部分， 如图，作矩形，使点在上，过点作于点， ，， ， ， ， ，， ， ，， ， ， 中，， ， 又， ， ， ， ， 令，则，， ，， ， 解得，； 当的延长线过的中点时，将正方形的面积分为两部分，则， 过点于点， ， ， ， ， ，， ， 设， ， ， ， 解得，， ， ， 综上所述，或6或8． 【点睛】本题综合考查了勾股定理，相似三角形的判定与性质，轴对称的图形的性质，正方形的性质，三角函数及分类讨论思想，解题的关键是灵活构造辅助线，数形结合简化问题． 23. 在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线经过点，其对称轴为直线，与x轴交点为B、C（B在C左侧），点P在此抛物线上，其横坐标为m，连接并延长至点，使．当点P不在坐标轴上时，以P，Q为斜边作，使直角边垂直于x轴． （1）求此抛物线对应的函数表达式； （2）设抛物线在点A、P之间图象上点的纵坐标为（不包括点A、P），抛物线在点P、B之间图象上点的纵坐标为（不包括点P、B）．若总有，则m的取值范围是_____． （3）当此抛物线的最高点在的边上时，求m的值； （4）当此抛物线在内部（不包括边界）的点的纵坐标y随x的增大而减小时，直接写出m的取值范围． 【答案】（1） （2） （3）或或或1 （4）或或 【解析】 【分析】（1）把定点A代入解析式，再利用对称轴，求解即可； （2）首先求出，点A关于对称轴对称的点的坐标为，根据抛物线的增减性求解即可； （3）先确定，交x轴于点F，交y轴于点G，，，分三种情况求解即可； （4）分别求出点在抛物线上、经过顶点时，对应的值，然后画出符合题意的图形，数形结合求解即可. 【小问1详解】 解：抛物线经过点，其对称轴为直线， ，， ，， 故抛物线的表达式为； 【小问2详解】 解：根据题意，得，解得， 故， ∵，对称轴为直线， ∴点A关于对称轴对称的点的坐标为， ∵总有， ∴m的取值范围是． 【小问3详解】 解：， 故抛物线的最高点坐标为， 设，交x轴于点F，交y轴于点G， ， ，， ，， ，， ，， 当抛物线的最高点坐标为位于边上时，； 当抛物线的最高点坐标为位于边上时，， 整理，得， 解得； 故或； 设直线的解析式为， 将代入直线的解析式得： ， 解得， ∴直线的解析式为：． 当抛物线的最高点坐标为位于边上时，， 整理，得， 解得； 故或； 综上所述，符合题意的m的值为或或或1； 【小问4详解】 解：当点Q落在抛物线上时，如图， 或 根据题意，得， 整理，得， 解得， 当抛物线的顶点位于边上时，， 整理，得， 解得； ∵抛物线在内部（不包括边界）的点的纵坐标y随x的增大而减小， ∴符合题意的有如下三种情况： 当P在下图位置时， 此时； 当P在下图位置时， 此时； 当P在下图位置时， 此时， 综上所述，符合题意的范围是或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 吉林省第二实验高新学校 九年级数学学科 一、选择题（每小题3分） 1. 比大1的数是（ ） A. B. 2027 C. D. 2025 2. 已知数轴上A、B两点间的距离为4，若点A表示的数为，则点B表示的数为（ ） A. B. 7 C. 或1 D. 7或 3. 如图所示为几何体的平面展开图，则从左到右，其对应的几何体名称分别为（ ） A. 圆柱，圆锥，四棱柱，正方体 B. 四棱锥，圆锥，正方体，圆柱 C. 圆柱，圆锥，正方体，三棱锥 D. 圆柱，圆锥，三棱柱，正方体 4. 一只杯子静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力的方向竖直向下，支持力的方向与斜面垂直，摩擦力的方向与斜面平行．若斜面的坡角，则摩擦力与重力方向的夹角的度数（ ） A. B. C. D. 5. 如图，是梯子两梯腿张开的示意图，AB＝AC，梯腿与地面夹角∠ACB＝∠，当梯子顶端离地面高度AD＝2.8m时，则梯子两梯脚之间的距离BC＝（ ）m． A. B. C. D. 6. 如图，点从点出发沿线段做匀速运动，到点后立即按原路返回．用表示以点为圆心，线段的长为半径的圆的面积，用表示点的运动时间．下列图象适合表示与的对应关系的是（ ） A. B. C. D. 7. 在平面直角坐标系中，正方形的顶点A、在坐标轴上，且，顶点、在反比例函数的图象上，在的延长线上取一点，使，过点作交轴于点，当时，的值为（　　） A. 8 B. 12 C. D. 16 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 8. 、的最简公分母是____． 9. 已知一个正方形的面积为15，那么与它的边长最接近的整数是____． 10. 如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为，点，，均在小正方形的顶点上，且点，在上，，则的长为__________． 11. 中国古代数学著作《增删算法统宗》中记载的“绳索量竿”问题，大意是：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿子，绳索比竿子长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿子，就比竿子短5尺．问绳索、竿子各有多长？若设该问题中的竿子长为x尺，则可列方程为____________________________． 12. 如图，正六边形ABCDEF的边长为6，以顶点为圆心，的长为半径画圆，则图中阴影部分的面积为______． 13. 如图，在正方形．点F在边上，且，，垂足为M，且交于点E，与交于点N，给出下面四个结论：①；②；③；④．上述结论中，正确结论的序号有______． 三、解答题（本大题共10小题，共78分） 14. 先化简再求值：，其中． 15. 电影《哪吒之魔童闹海》截止至2025年3月10日，票房突破亿元人民币，成为全球动画电影票房冠军．如图，有4张分别印有《哪吒之魔童闹海》角色图案的卡片：哪吒，敖丙，太乙真人，申公豹．将这4张卡片（形状、大小、质地都相同）放在不透明的盒子中，搅匀后从中任意取出1张卡片不放回，记录后搅匀，再随机取出1张卡片． （1）第一次取出的卡片图案为“哪吒”的概率为_______； （2）用画树状图或列表的方法，求取出的2张卡片为“哪吒”和“太乙真人”的概率． 16. 教室后墙有一段长120厘米的水平展示栏，用于张贴正方形的美术作品和书法作品，要求所有作品横向排列且无间距不重叠．已知每幅美术作品边长均为5厘米，每幅书法作品边长均为8厘米，若展示栏的一侧已张贴了10幅美术作品，求最多还能张贴多少幅书法作品？ 17. 如图，是的直径，，是上两点，，过作交的延长线于． （1）求证：是的切线； （2）若的半径为5，，求的长． 18. 为增进学生对数学文化的了解，某校开展了两次数学文化知识问答活动，从中随机抽取了20名学生两次活动的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行整理、描述和分析．如图是将这20名学生的第一次活动成绩作为横坐标，第二次活动成绩作为纵坐标绘制而成． （1）学生甲第二次活动成绩是75分，则该生第一次活动成绩是_____________分，这20名学生的第一次活动成绩的中位数为_____________分． （2）请在图中画一条直线，使得该直线上方的点表示两次活动的平均成绩高于90分． （3）假设全校有2000名学生参加活动，估计两次活动平均成绩不低于90分的学生人数． 19. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．内接于，且点、、、均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图． （1）在图①中找一个格点（点不与点重合），画出，使． （2）在图②中找一个格点，画出，使． （3）在图③中的圆上找一点，使得平分． 20. 某品牌烤箱新增一种安全烤制模式，在此模式下烤箱内温度匀速升至时烤箱停止加热，随后烤箱内温度下降至初始温度．该品牌烤箱安全烤制模式下烤箱内温度与加热时间之间的函数图象如图所示． （1）求该品牌烤箱的烤箱内温度匀速上升期间与之间的函数表达式． （2）若食物在及以上的温度中烤制6分钟以上才可健康食用，请通过计算说明该模式下烤制的食物能否健康食用． 21. 【问题呈现】我们在学习完“圆”这一章内容后发现有一些数学问题，如果添加辅助圆，运用圆的有关知识解决，可以使问题变得非常容易．如图1，在中，，，点是外一点，，求的度数．根据到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上，以点为圆心，长为半径构造辅助圆，利用圆周角定理，从而很容易得到． 【问题解决】如图2，在四边形中，点是边的中点，连结、，若，，，求的度数． 【问题拓展】如图3，在四边形中，，，，直接写出线段的长． 22. 如图，在中，，，，点是边的中点，点是边上一点，当点不与，重合时，以为边作正方形，使点和点在直线同侧． （1）直接写出线段的长___________； （2）当时，求正方形的面积； （3）当正方形与重叠部分是四边形且为轴对称图形时，直接写出的取值范围； （4）当与的边所在直线有交点时，记交点为，连结；当将正方形的面积分为两部分时，直接写出的长．（写出两个即可） 23. 在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线经过点，其对称轴为直线，与x轴交点为B、C（B在C左侧），点P在此抛物线上，其横坐标为m，连接并延长至点，使．当点P不在坐标轴上时，以P，Q为斜边作，使直角边垂直于x轴． （1）求此抛物线对应的函数表达式； （2）设抛物线在点A、P之间图象上点的纵坐标为（不包括点A、P），抛物线在点P、B之间图象上点的纵坐标为（不包括点P、B）．若总有，则m的取值范围是_____． （3）当此抛物线的最高点在的边上时，求m的值； （4）当此抛物线在内部（不包括边界）的点的纵坐标y随x的增大而减小时，直接写出m的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $