精品解析：安徽省阜阳市临泉县临化高级中学2025-2026学年高一下学期3月份教学质量测评数学试题 A卷

临化中学2025-2026学年（下）高一3月份教学质量测评 数学试题 A卷 命题人：屈金涛 审题人：王露杰 考试时间为120分钟，满分150分 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上． 2.回答选择题时，选出每小题后，用铅笔把答题卡上对应题目的标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他标号．回答非选择题时，将写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知，，若，则点的坐标为（ ） A. （3，2） B. （3，-1） C. （7，0） D. （1，0） 2. 已知点，，，若A，B，C三点共线，则的坐标为（ ） A. B. C. D. 3. 如图所示，P、Q是△ABC的边BC上的两点，且＝，则化简＋－－的结果为(　　) A. B. C. D. 4. 如图，在△ABC中，，，，，则＝（ ） A. B. C. D. 5. 在中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 6. 已知向量，的夹角为45°，且，，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 7. 如图所示，在坡度一定的山坡处测得山顶上一建筑物的顶端对于山坡的斜度为，向山顶前进100m到达处，又测得对于山坡的斜度为，若，，且山坡对于地平面的坡度为，则等于（ ） A. B. C. D. 8. 已知向量，，，，若，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 与一定是共线向量 B. “向量，共线”是“直线”的充要条件 C. 向量与共线的充要条件是：存在唯一一个实数，使 D. 的充要条件是 10. 已知向量，满足，，且，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知的内角的对边分别为，且，在边上，且平分，若，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 的面积为 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量，，若与的夹角为锐角，则x的取值范围为______． 13. 如图，正方形的边长为，是的中点，是边上靠近点的三等分点，与交于点，则______________. 14. 窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术．图1是一张由卷曲纹和回纹构成的正六边形剪纸窗花．图2中正六边形的边长为，圆的圆心为该正六边形的中心，圆的半径为2，为圆的直径，点在正六边形的边上运动，则的取值范围为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 设是不共线的两个向量. （1）若，求证：三点共线； （2）若与共线，求实数的值. 16. 如图，在中，P为线段AB上一点（包含端点），且． （1）若，求x，y的值； （2）若，，，且与的夹角为60°，求的值， （3）若，，，且与的夹角为90°，求的取值范围． 17. 已知向量，．设． （1）求函数的单调递增区间； （2）在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c．若，，三角形ABC的面积为，求边a的长． （3）若，求的值． 18. 如图所示，在中，是边上的中线，为中点，过点的直线交边，于，两点，设，，，（，与点，不重合） （1）求和的值； （2）证明：为定值； （3）求的最小值，并求此时的，的值． 19. 在锐角中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足． （1）求角C； （2）求的取值范围； （3）若点为边上的中点，，求线段的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 临化中学2025-2026学年（下）高一3月份教学质量测评 数学试题 A卷 命题人：屈金涛 审题人：王露杰 考试时间为120分钟，满分150分 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上． 2.回答选择题时，选出每小题后，用铅笔把答题卡上对应题目的标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他标号．回答非选择题时，将写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知，，若，则点的坐标为（ ） A. （3，2） B. （3，-1） C. （7，0） D. （1，0） 【答案】C 【解析】 【分析】设点的坐标为，根据，列出方程组，即可求解. 【详解】设点的坐标为，则，， 因为，即， 所以，解得，所以. 故选：C. 【点睛】本题主要考查了平面向量的坐标表示，以及平面向量的坐标运算，其中解答中熟记平面向量的坐标表示及运算是解答的关键，着重考查运算能力. 2. 已知点，，，若A，B，C三点共线，则的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量的线性运算的坐标关系即可求解. 【详解】由题意可知 由于A，B，C三点共线，所以与共线， 所以， 所以, 故选：D 3. 如图所示，P、Q是△ABC的边BC上的两点，且＝，则化简＋－－的结果为(　　) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】直接利用平面向量运算的三角形法则以及相反向量的定义求解即可. 【详解】因为＝，所以， 所以＋---＝ ,故选A. 【点睛】本题主要考查平面向量的运算法则以及相反向量的性质，意在考查对基础知识的掌握与应用，属于基础题. 4. 如图，在△ABC中，，，，，则＝（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量加减法法则运算求解即可. 【详解】解：由平面向量的三角形法则，可知. 故选：D. 5. 在中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用正弦定理角化边，再结合余弦定理即可求解. 【详解】∵，由正弦定理可得：，∴，∴，即． 故选：A 6. 已知向量，的夹角为45°，且，，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量数量积运算律与数量积运算求得，再求向量的投影向量即可. 【详解】因为，向量，的夹角为45°，且， 所以， 整理得：，解得或（舍去）． 所以在上的投影向量为． 7. 如图所示，在坡度一定的山坡处测得山顶上一建筑物的顶端对于山坡的斜度为，向山顶前进100m到达处，又测得对于山坡的斜度为，若，，且山坡对于地平面的坡度为，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出，在中由正弦定理求出，在中由正弦定理求出，再由求得的值. 【详解】因为，所以， 在中，由正弦定理可得：，解得：， 在中，由正弦定理可得，解得：， 即，所以； 故选：C 8. 已知向量，，，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量的坐标列方程组，将其平方相加求出，再结合得出，即可求出. 【详解】由题意得，， 则，分别对两式平方得 两式相加得，即， ∵，∴，∴． 又由，且，所以， 解得：，，所以． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 与一定是共线向量 B. “向量，共线”是“直线”的充要条件 C. 向量与共线的充要条件是：存在唯一一个实数，使 D. 的充要条件是 【答案】AD 【解析】 【详解】与一定是共线向量，A对； 若向量，共线，则四点共线或，反之则成立， 故“向量，共线”是“直线”的必要不充分条件，B错； 向量与共线的充要条件是：存在唯一一个实数，使， 若，，则不存在实数，使，故C错； 的充要条件是，即，故D对． 10. 已知向量，满足，，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】借助模长与数量积的关系计算可得A、D；借助夹角公式计算可得B，即可得C. 【详解】对A、D：由，得，整理得， 由，得，整理得， 则，所以，，故A，D正确； 对B、C：，所以，所以，反向共线， 又，所以，，故B正确，C错误． 11. 已知的内角的对边分别为，且，在边上，且平分，若，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 的面积为 D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】A利用正弦定理化简即可；B在和中利用正弦定理即可；C在中利用余弦定理求得长度即可；D利用即可. 【详解】对于A，由及正弦定理可得，， 则， 所以，又，所以，所以， 解得，又因为，所以，故A错误； 对于B，由选项A可知，，在边上，且平分， 所以，又，， 在中，由正弦定理得， 在中，由正弦定理得， 两式左右两边分别相除可得，化简得，故B正确； 对于C，由选项B可知，设，则， 在中，由余弦定理得， 即，解得， 则，故C正确； 对于D，由，得，解得，所以，故D正确. 故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量，，若与的夹角为锐角，则x的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【详解】因为，，所以． 由于向量与的夹角为锐角，所以，并去掉两者同向共线的情况， 则，且，解得，则的取值范围为． 13. 如图，正方形的边长为，是的中点，是边上靠近点的三等分点，与交于点，则______________. 【答案】## 【解析】 【分析】令，作为基底，将表示出来，再根据向量的数量积公式求夹角即可. 【详解】设，，则， ，又，， 所以 ． 故答案为：. 14. 窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术．图1是一张由卷曲纹和回纹构成的正六边形剪纸窗花．图2中正六边形的边长为，圆的圆心为该正六边形的中心，圆的半径为2，为圆的直径，点在正六边形的边上运动，则的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】由图可推得，结合点的位置分析，求出的范围即得. 【详解】由题可知，， 故 ； 由图可知，当点位于正六边形的某个顶点时，取最大值， 当点为正六边形各边的中点时，取得最小值，即， 所以，，从而. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 设是不共线的两个向量. （1）若，求证：三点共线； （2）若与共线，求实数的值. 【答案】（1）证明见解析； （2）或. 【解析】 【分析】（1）由题可得，再根据向量共线定理结合条件即得证； （2）根据向量共线定理可得，结合条件与不共线，可列出方程组求解即可. 【小问1详解】 证明：， ， 又因为与共线，且有公共点, 所以三点共线. 【小问2详解】 因为与共线，所以存在实数，使得 即. 由与不共线，可知，解得， 所以， 即实数的值为或. 16. 如图，在中，P为线段AB上一点（包含端点），且． （1）若，求x，y的值； （2）若，，，且与的夹角为60°，求的值， （3）若，，，且与的夹角为90°，求的取值范围． 【答案】（1） （2）9 （3） 【解析】 【分析】（1）借助平面向量线性运算法则计算即可得； （2）借助平面向量线性运算法则与数量积公式计算即可得； （3）建立适当平面直角坐标系后，利用平面向量坐标运算及数量积公式计算即可得. 【小问1详解】 若，则，即，故； 【小问2详解】 若，则，即， 所以 ； 【小问3详解】 以O为坐标原点可建立如图所示平面直角坐标系， 则，，∴； 设，则，又，∴，即， ∴，∴，， ∴， ∵P为线段AB上一点，∴， ∴，即， ∴的取值范围为. 17. 已知向量，．设． （1）求函数的单调递增区间； （2）在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c．若，，三角形ABC的面积为，求边a的长． （3）若，求的值． 【答案】（1），． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先根据向量数量积的坐标公式与和差倍角的三角函数公式计算并化简，然后根据正弦函数的单调性求出函数的单调增区间. （2）先根据已知条件求出，然后根据三角形面积公式求出，最后根据余弦定理求出. （3）先化简出，再根据余弦的二倍角公式即可求出. 【小问1详解】 因为，， 则， 令，，得，， 故函数的单调递增区间为，． 【小问2详解】 因为， 所以，又，则， 所以，则，又， ∵，所以， 由余弦定理可得：，故． 【小问3详解】 因为，所以， 所以． 18. 如图所示，在中，是边上的中线，为中点，过点的直线交边，于，两点，设，，，（，与点，不重合） （1）求和的值； （2）证明：为定值； （3）求的最小值，并求此时的，的值． 【答案】（1） （2）证明见解析 （3）最小值为， 【解析】 【分析】（1）根据向量加法的平行四边形法则即可求解； （2）由已知可得，根据，，三点共线，即可求解； （3）利用基本不等式即可求解. 【小问1详解】 因为是边上的中线，所以， 所以； 【小问2详解】 因为为中点，所以， 因为，，， 所以，即， 因为，，三点共线，所以，即， 即为定值； 【小问3详解】 由（2）知， 所以， 当且仅当，，即时，等号成立， 所以的最小值为，此时. 19. 在锐角中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足． （1）求角C； （2）求的取值范围； （3）若点为边上的中点，，求线段的最大值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据余弦定理，结合正弦定理角化边求解得即可得答案； （2）由正弦定理边化角，结合内角和定理，三角恒等变换得，再结合的范围求解即可； （3）根据得，再结合余弦定理与基本不等式即可求得答案. 【小问1详解】 解：因为， 所以，由正弦定理可得，整理得， 所以，由余弦定理可得， 又因为，所以． 【小问2详解】 解：由正弦定理，可得， 因为为锐角三角形，且， 所以，解得， 所以，，， 所以， 所以的取值范围是． 【小问3详解】 解：因为点为边上的中点，所以， 所以， 因为，， 所以，由余弦定理得， 所以，即，当且仅当时取等号， 所以， 所以，即线段的最大值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $