精品解析：山东枣庄市第一中学2025-2026学年高一下学期第一次学情测试数学试卷

2025-2026学年高一数学下学期第一次学情测试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 2026.04.07 注意事项： 1.本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上， 2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效. 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 4.考试结束后，将答题卡交回，试卷保存好. 第I卷 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分､在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1. 复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】， ， 复数的虚部为． 2. 以下说法正确的是（ ） A. 零向量与任意非零向量平行 B. 若，，则 C. 若(为实数)，则必为零 D. 和都是单位向量，则 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量的性质和定义即可逐一判断. 【详解】解：对于A,零向量与任意向量平行，故A正确； 对于B，时，满足，，但不一定成立，故错误； 对于C,时，或，故错误； 对于D，和都是单位向量，则，但不一定成立，故错误． 故选：A． 3. 与向量反向的单位向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】反向单位向量即为，代入计算即可. 【详解】与反向的单位向量为. 故答案为：A. 4. 已知向量，，，若与平行，则（ ） A. B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 【详解】因为，， 则 又因为与平行， 所以， 化简：，即， 解得：. 5. 已知向量为单位向量，，则的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量垂直的计算公式和向量数量积的定义求出，结合两向量夹角的范围即可求得答案. 【详解】由可得， 解得，因，则. 故选：C. 6. 在中，为边上的中线，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据图形的几何性质，以及向量加减法、数乘运算的几何意义，即可得出答案. 【详解】 因为，所以 由已知可得，， 所以，， 所以，. 故选：A. 7. 在中，若，且，那么一定是（　　） A. 等腰直角三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形 D. 等边三角形 【答案】D 【解析】 【分析】由两角和的正弦公式并结合正弦定理可得，即，又由化简可得，得，从而可求解. 【详解】，则， 因为，所以，则， 又因为，，则， 则，即， 即，又因为，则， 所以，即. 即一定是等边三角形，故D正确. 故选：D. 8. 在中，“”是“为直角三角形”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【详解】先考查充分性： 由，可得， 整理得，由正弦定理得，故为直角三角形，充分性正确； 再考查必要性： 若为直角三角形，不妨令，代入，即必要性不成立. 故“”是“为直角三角形”的充分不必要条件. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分､在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列各组向量中，一定能推出的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据共线向量定理，即可判断选项. 【详解】A.，即，故A正确； B. ，即，故B正确； C. ，，则，故C正确； D. ，，只有当或，此时，否则，所以向量不平行，故D错误. 故选：ABC 10. 已知都是复数，下列选项中正确的是（ ） A. 若，则或 B. 若，则 C. 若，则是实数 D. 若，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据复数的相关定义，以及复数的运算公式，即可求解. 【详解】若，则或，故A正确； 若， ，满足，但，故B错误； 若，则是实数，故C正确； 若，则，得或，所以，故D正确. 故选：ACD. 11. 在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，下列说法正确的是（ ） A. 若，则是等腰三角形 B. 若，，，则满足条件的三角形有且只有一个 C. 若不是直角三角形，则 D. 若，则为钝角三角形 【答案】BC 【解析】 【分析】对于A，利用正弦边角关系及三角形内角性质可得或判断；对于B，应用余弦定理求即可判断；对于C，由三角形内角性质及两和角正切公式的逆用可判断；对于D，由向量数量积定义判断. 【详解】对于A，由正弦定理得，则，则在中，或，即或，故A错误； 对于B，由，则， 可得，故，满足条件的三角形有一个，故B正确； 对于C，因为不是直角三角形，所以，，均有意义， 又，所以， 所以，故C正确； 对于D，，即， 为锐角，故不一定为钝角三角形，故D错误； 故选：BC. 第Ⅱ卷 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在复数范围内，方程的解集为______． 【答案】 【解析】 【分析】直接一元二次方程的求根公式求解 【详解】解： 由求根公式可得 所以方程的解集为． 故答案为： 13. 已知，若，则在方向上的投影向量的坐标为_________． 【答案】 【解析】 【详解】因为，所以，解得：, 则在方向上的投影向量的坐标为 14. 在中，点为边上的中点，点满足，点是直线的交点.过点作一条直线交线段于点，交线段于点（其中点均不与端点重合）设，则的最小值为______. 【答案】 【解析】 【分析】由题意作交于F，可推出，利用向量的线性运算推出，结合题意推出，根据三点共线可得，结合“1”的妙用，即得，展开后利用基本不等式，即可求得答案. 【详解】作交于F，连接    ，则∽，故， 由于点为边上的中点，故， ，故，又∽，故， 故， 则 ， 由于，，故， 因为三点共线，故， 所以，     当且仅当，结合，即时等号成立， 即的最小值为. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知向量，， （1）若，求实数； （2）若，求实数. 【答案】（1） （2）或3 【解析】 【分析】（1）由向量平行的坐标表示，列出等式求解即可； （2）由向量垂直的坐标表示，列出等式求解即可. 【小问1详解】 ， 由，得， 解得； 【小问2详解】 ， 由，得， 解得或3. 16. 已知， （1）若，求的值； （2）若，求的大小； （3）若，求的大小. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用数量积的定义求解； （2）由条件求得，再利用向量夹角公式求解； （3）由条件得，从而可求得，再利用向量夹角公式求解. 【小问1详解】 . 【小问2详解】 由，得， 即，得，则， 则， . 【小问3详解】 由，得，即， 即，得，则， ， ， . 17. 在中，角、、所对的边长分别为、、，，.． （1）若，求的面积； （2）是否存在正整数，使得为钝角三角形?若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】（1）；（2）存在，且. 【解析】 【分析】（1）由正弦定理可得出，结合已知条件求出的值，进一步可求得、的值，利用余弦定理以及同角三角函数的基本关系求出，再利用三角形的面积公式可求得结果； （2）分析可知，角为钝角，由结合三角形三边关系可求得整数的值. 【详解】（1）因为，则，则，故，， ，所以，为锐角，则， 因此，； （2）显然，若为钝角三角形，则为钝角， 由余弦定理可得， 解得，则， 由三角形三边关系可得，可得，，故. 18. △ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，D是AC的中点，已知平面向量、满足，，． （1）求A； （2）若，，求△ABC的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先利用正弦定理角化边得到，再借助余弦定理即可求出A； （2）先利用余弦定理得到，再化简为，即可求出，再利用三角形面积公式求解即可. 【小问1详解】 ∵，，， ∴． ∴，即． ∴． ∵， ∴． 【小问2详解】 在△ABD中，由，和余弦定理，得 ． ∵D是AC的中点， ∴ ∴，化简得，即． ∵， ∴，解得． ∴． ∴△ABC的面积为． 19. 如图，在斜坐标系中，，分别是与轴，轴正方向同向的单位向量，且，的夹角为，定义向量在该斜坐标系中的坐标为有序数对，记为.在斜坐标系中，完成如下问题： （1）若，，求的坐标； （2）若，，且，求实数的值； （3）若，，求向量的夹角的余弦值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）用，表示，借助，的线性运算求解可得； （2）用，表示，将转化为的运算，利用数量积的运算律求解可得； （3）用，表示，利用，求及，再由两向量夹角公式可得. 【小问1详解】 若，，则， 则 故的坐标为. 【小问2详解】 若，，且， 则，， 由已知得，. 所以 ，解得. 【小问3详解】 若，， 则， ， 所以， 又， 向量，的夹角的余弦值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学下学期第一次学情测试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 2026.04.07 注意事项： 1.本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上， 2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效. 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 4.考试结束后，将答题卡交回，试卷保存好. 第I卷 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分､在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1. 复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 2. 以下说法正确的是（ ） A. 零向量与任意非零向量平行 B. 若，，则 C. 若(为实数)，则必为零 D. 和都是单位向量，则 3. 与向量反向的单位向量是（ ） A. B. C. D. 4. 已知向量，，，若与平行，则（ ） A. B. C. D. 1 5. 已知向量为单位向量，，则的夹角为（ ） A. B. C. D. 6. 在中，为边上的中线，，则（ ） A. B. C. D. 7. 在中，若，且，那么一定是（　　） A. 等腰直角三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形 D. 等边三角形 8. 在中，“”是“为直角三角形”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分､在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列各组向量中，一定能推出的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 10. 已知都是复数，下列选项中正确的是（ ） A. 若，则或 B. 若，则 C. 若，则是实数 D. 若，则 11. 在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，下列说法正确的是（ ） A. 若，则是等腰三角形 B. 若，，，则满足条件的三角形有且只有一个 C. 若不是直角三角形，则 D. 若，则为钝角三角形 第Ⅱ卷 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在复数范围内，方程的解集为______． 13. 已知，若，则在方向上的投影向量的坐标为_________． 14. 在中，点为边上的中点，点满足，点是直线的交点.过点作一条直线交线段于点，交线段于点（其中点均不与端点重合）设，则的最小值为______. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知向量，， （1）若，求实数； （2）若，求实数. 16. 已知， （1）若，求的值； （2）若，求的大小； （3）若，求的大小. 17. 在中，角、、所对的边长分别为、、，，.． （1）若，求的面积； （2）是否存在正整数，使得为钝角三角形?若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 18. △ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，D是AC的中点，已知平面向量、满足，，． （1）求A； （2）若，，求△ABC的面积． 19. 如图，在斜坐标系中，，分别是与轴，轴正方向同向的单位向量，且，的夹角为，定义向量在该斜坐标系中的坐标为有序数对，记为.在斜坐标系中，完成如下问题： （1）若，，求的坐标； （2）若，，且，求实数的值； （3）若，，求向量的夹角的余弦值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $