精品解析：广西桂林市国龙外国语学校2025-2026学年下学期七年级第一次学情自测数学试题卷

数学试题卷 考试时间：120分钟 总分：120分 一、单选题（每题3分，共36分） 1. 下列式子：①；②；③；④；⑤．其中不等式有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了不等式的定义，熟练掌握不等式的定义是解题的关键． 根据不等式的定义，用不等号连接的式子是不等式，检查每个式子即可． 【详解】解：∵① 使用“”，是不等式； ② 使用“”，是不等式； ③ 使用“”，是等式，不是不等式； ④ 没有不等号，不是不等式； ⑤ 使用“”，是不等式； ∴不等式有①②⑤共个； 故选：C． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵ 与不是同类项，不能合并， ∴A计算错误. ∵， ∴B计算错误. ∵， ∴C计算错误. ∵， ∴D计算正确. 3. 若，则下列不等式中成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用不等式性质逐一判断选项，不成立的可通过举反例排除，即可作答． 【详解】解：A、∵，不等式两边同时减去同一个数，不等号方向不变， ∴，A选项变形错误，不符合题意； B、∵，不等式两边同时乘以同一个正数，不等号方向不变， ∴，B选项变形错误，不符合题意； C、举反例：当，时，满足，但，因此C选项不成立，不符合题意； D、∵，不等式两边同时乘以同一个负数，不等号方向改变， ∴，D选项变形正确，符合题意； 4. 下列多项式乘法，不能用平方差公式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】平方差公式要求两个二项式相乘，且两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数，满足该条件才能用平方差公式计算，据此逐一判断各选项即可． 【详解】解：A、，相同项为，互为相反数的项为和，符合平方差公式的使用条件，可以用平方差公式计算； B、，相同项为，互为相反数的项为和，符合平方差公式的使用条件，可以用平方差公式计算； C、，两项都互为相反数，没有相同项，不符合平方差公式的使用条件，不能用平方差公式计算； D、，相同项为，互为相反数的项为和，符合平方差公式的使用条件，可以用平方差公式计算． 5. 已知，则等于（ ） A. 5 B. 6 C. 12 D. 18 【答案】C 【解析】 【分析】根据，结合，再进一步可得答案． 【详解】解：∵根据幂的运算法则可得，，且， 又∵，， ∴． 6. 若且，则式子的值等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了多项式乘多项式化简求值，先将式子 展开，再把已知条件代入计算即可求解，掌握多项式乘以多项式的运算法则是解题的关键． 【详解】解：∵， 又∵，， ∴原式， 故选：． 7. 不等式组的解集在数轴上可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分别求出每个不等式的解集，再在数轴上表示出来即可． 【详解】解：， 解不等式①得： 解不等式②得：， 在数轴上表示如下： 8. 若的展开式中不含项，则（ ） A. B. 0 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据单项式乘多项式法则展开，再合并同类项，根据展开式中不含项可知，项的系数为0，即可得解． 【详解】解： 展开式中不含项， ， 解得：． 9. 一个圆的半径为，减少后，这个圆的面积减少( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分别求出原圆面积和半径减小后的圆面积，作差化简即可求解． 【详解】解：∵原圆半径为 ∴原圆面积 半径减少后，新半径为 ∴新圆面积 10. 某中学举行了以“两会精神”为主题的知识竞赛，一共有25道题，答对1题得4分，答错或不答1题倒扣1分，大赛组委会规定总得分高于80分获奖．若小轩想要获奖，则他至少要答对的题数是（ ） A. 20 B. 21 C. 22 D. 23 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用知识点，掌握根据实际问题中的不等关系列不等式求解是解题的关键． 设答对题数为，则总得分为，需满足，解不等式得，因此至少答对22题． 【详解】解：设答对题数为，则答错或不答题数为 总得分 ∵ ∴ ∴ ∴ ∵为整数 ∴． 故选：C． 11. 已知代数式是一个完全平方式，则t的值是（ ） A. 5 B. C. 5或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】利用完全平方公式的结构特征求解． 【详解】解：∵代数式是完全平方式， 又∵， ∴， ∴， 当时，解得； 当时，解得； ∴t的值为或． 12. 定义新运算．若关于正数的不等式组恰有三个整数解，则的取值范围（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是根据不等式组的整数解的含义求解字母的取值范围，根据新运算定义，分别计算两个不等式，得到解集为. 要求恰有三个整数解，即，故需，解得． 【详解】解：∵， 对于： ∵， ∴， 即， 对于： ∵， ∴， 即， ∴不等式组解为 要求恰有三个整数解，即 ∴需， ∴． 故选：B． 二、单填空题（每题3分，共12分） 13. 不等式的正整数解的和为_____________________． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了求一元一次不等式的整数解，先求出不等式的解集，然后确定正整数解再求和即可． 【详解】解：， 解得，， ∴不等式的正整数解为1，2，3， ， 故答案为：6． 14. 关于的不等式组的解集是，则的值为______． 【答案】3 【解析】 【分析】分别求出每个不等式的解集，再结合不等式组的解集得出关于a的方程，解之即可得出答案． 【详解】解：解不等式得，， 解不等式得，， 不等式组的解集是：， 关于的不等式组的解集是， ， ， 故答案为：3 ． 15. 已知，，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】利用完全平方公式展开已知等式，通过两式作差消去和，即可求解的值. 【详解】解：∵，， ∴①， ②， 得， ∴ ∴． 16. 已知，求的值________． 【答案】2026 【解析】 【分析】本题考查了代数式求值，整式乘法．根据已知等式得出，，然后对所求式子变形，整体代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴ ． 故答案为：2026． 三、解答题（共72分） 17. 按要求完成下列计算： （1）计算：． （2）用简便方法计算：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先根据平方差公式和完全平方公式展开，再去括号、合并同类项即可； （2）利用完全平方公式简便计算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 解不等式组：并将解集在数轴上表示． 【答案】，见解析 【解析】 【分析】先求出每个不等式的解集，根据口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了确定不等式组的解集，再将解集在数轴上表示出来即可． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 不等式组的解集为， 在数轴上表示如下： 19. 关于x、y的方程组，且x、y满足，求a的取值范围； 【答案】 【解析】 【分析】利用代入消元法，得出，再代入不等式求解即可． 【详解】解：， 由得：， ， ， ． 20. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】，28 【解析】 【分析】先根据完全平方公式、平方差公式以及多项式乘单项式法则展开，再去括号、合并同类项化简，最后代入计算求值即可． 【详解】解： ， 当，时，原式． 21. 为加快复工复产，某企业需运输一批物资，据调查得知，3辆大货车与4辆小货车一次可以运输850箱；2辆大货车与5辆小货车一次可以运输800箱． （1）求1辆大货车和1辆小货车一次可以分别运输多少箱物资； （2）计划用两种货车共12辆运输这批物资，每辆大货车运输一次所需费用为4000元，每辆小货车运输一次所需费用为3000元，若大货车的数量不少于6辆，总费用小于45000元．请列出所有运输方案，并指出哪种方案所需费用最少，最少费用是多少？ 【答案】（1）1辆大货车一次运输150箱物资，1辆小货车一次运输100箱物资 （2）有三种运输方案：方案一：有6辆大货车，6辆小货车；方案二：有7辆大货车，5辆小货车；方案三：有8辆大货车，4辆小货车；当有6辆大货车，6辆小货车时，费用最小，最小费用为42000元 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组以及解不等式组： （1）设1辆大货车一次运输箱物资，1辆小货车一次运输箱物资，根据题意列方程组求解即可； （2）设有辆大货车，辆小货车，根据题意列不等式组，确定大货车数量的可能取值，进而列出所有方案并计算费用，比较得出最少费用即可． 【小问1详解】 解：设1辆大货车一次运输箱物资，1辆小货车一次运输箱物资． 由题意可得：， 解得：． 答：1辆大货车一次运输150箱物资，1辆小货车一次运输100箱物资． 【小问2详解】 解：设有辆大货车，辆小货车， 由题意可得：， ， 取正整数， ，7，8， 有三种运输方案： 方案一：有6辆大货车，6辆小货车，此时费用（元， 方案二：有7辆大货车，5辆小货车，此时费用（元， 方案三：有8辆大货车，4辆小货车，此时费用（元， ， 当有6辆大货车，6辆小货车时，费用最小，最小费用为42000元． 22. [背景阅读]在数学的学习中，我们经常可以利用图形的面积关系理解代数公式，使抽象的数量关系直观化． [问题解决] （1）填空：根据图1所示图形的面积关系．可以写出的一个乘法公式是 ； （2）如果图2中阴影部分的面积为25，一个小长方形的面积为14，求的值； [拓展应用] （3）如图3，有两个正方形A，B，现将B放在A的内部得到图甲，将A，B并列放置后构造新的正方形得到图乙．设正方形A的边长为x，正方形B的边长为y（），且图甲和图乙中阴影部分的面积分别为6和28．现将三个正方形A和两个正方形B如图丙摆放，求图丙中阴影部分的面积． 【答案】（1）；（2）；（3）62 【解析】 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键． （1）从“整体”和“部分”两个方面分别用代数式表示图1的面积即可； （2）根据图2可得，再将，代入计算即可； （3）由图甲和乙中阴影部分的面积分别为6和28得到，，再根据代入计算即可． 【详解】解：（1）图1中大正方形的边长为，因此面积为， 拼成图1的四个部分的面积和为， 所以有， 故答案为：； （2）图2中，大正方形的边长为，因此面积为， 阴影部分是边长为的正方形，因此面积为，四个空白长方形的面积和为， 所以有， ∵图2中阴影部分的面积为25，一个小长方形的面积为14， ∴，， ∴， ∵， ∴； （3）∵图甲和图乙中阴影部分的面积分别为6和28，即，， ∴， ∴ ． 23. 定义：若一个不等式组有解且解集为，则称为的解集中点值；若的解集中点值是不等式（组）的解，即中点值满足不等式（组），则称不等式（组）包含不等式组的解集中点值． （1）已知关于的不等式组以及不等式组，证明不等式组包含不等式组的解集中点值； （2）已知关于的不等式组以及不等式组，若不等式组包含不等式组的解集中点值，求的取值范围； （3）已知关于的不等式组和不等式组若不等式组包含不等式组的解集中点值，且所有符合要求的整数之和为9，求的取值范围． 【答案】（1）见解析 （2） （3）的取值范围为或 【解析】 【分析】（1）先求解不等式组的解集，在求取中点值，即可确定不等式（组）包含不等式组的解集中点值． （2）先求解不等式组，由不等式组必须有解，可确定，确定不等式组的解集中点值，的解集中点值是不等式（组）的解，得到，解得，结合，即可确定的取值范围． （3）由不等式组的解集，确定不等式组的解集中点值，求解不等式组的解集，不等式组包含不等式组的解集中点值，得到，解得，此时存在两种情况，若取正整数值，仅可取，此时；可取负整数，则仅可取，此时． 【小问1详解】 解：解不等式组得， 的解集中点值为． 不等式组包含不等式组的解集中点值． 【小问2详解】 解不等式组，得 显然不等式组必须有解， 故，即， 不等式组的解集中点值为． 由不等式组知， 即解得即． 又， 【小问3详解】 由不等式组，得，其解集中点值为 由不等式组，得． ， 即解得 存在两种情况 ①取正整数值，即仅可取， 则显然，此时； ②可取负整数，则仅可取， 此时， 此时． 综上所述，的取值范围为或． 不等式组包含不等式组的解集中点值，且所有符合要求的整数之和为， 【点睛】本体考查新定义、求解不等式组解、求不等式组的参数、整数解等问题，理解不等式解集中点值、分情况讨论是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学试题卷 考试时间：120分钟 总分：120分 一、单选题（每题3分，共36分） 1. 下列式子：①；②；③；④；⑤．其中不等式有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 若，则下列不等式中成立的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列多项式乘法，不能用平方差公式的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知，则等于（ ） A. 5 B. 6 C. 12 D. 18 6. 若且，则式子的值等于（ ） A. B. C. D. 7. 不等式组的解集在数轴上可表示为（ ） A. B. C. D. 8. 若的展开式中不含项，则（ ） A. B. 0 C. D. 9. 一个圆的半径为，减少后，这个圆的面积减少( ) A. B. C. D. 10. 某中学举行了以“两会精神”为主题的知识竞赛，一共有25道题，答对1题得4分，答错或不答1题倒扣1分，大赛组委会规定总得分高于80分获奖．若小轩想要获奖，则他至少要答对的题数是（ ） A. 20 B. 21 C. 22 D. 23 11. 已知代数式是一个完全平方式，则t的值是（ ） A. 5 B. C. 5或 D. 或 12. 定义新运算．若关于正数的不等式组恰有三个整数解，则的取值范围（ ） A. B. C. D. 二、单填空题（每题3分，共12分） 13. 不等式的正整数解的和为_____________________． 14. 关于的不等式组的解集是，则的值为______． 15. 已知，，则_________． 16. 已知，求的值________． 三、解答题（共72分） 17. 按要求完成下列计算： （1）计算：． （2）用简便方法计算：． 18. 解不等式组：并将解集在数轴上表示． 19. 关于x、y的方程组，且x、y满足，求a的取值范围； 20. 先化简，再求值：，其中，． 21. 为加快复工复产，某企业需运输一批物资，据调查得知，3辆大货车与4辆小货车一次可以运输850箱；2辆大货车与5辆小货车一次可以运输800箱． （1）求1辆大货车和1辆小货车一次可以分别运输多少箱物资； （2）计划用两种货车共12辆运输这批物资，每辆大货车运输一次所需费用为4000元，每辆小货车运输一次所需费用为3000元，若大货车的数量不少于6辆，总费用小于45000元．请列出所有运输方案，并指出哪种方案所需费用最少，最少费用是多少？ 22. [背景阅读]在数学的学习中，我们经常可以利用图形的面积关系理解代数公式，使抽象的数量关系直观化． [问题解决] （1）填空：根据图1所示图形的面积关系．可以写出的一个乘法公式是 ； （2）如果图2中阴影部分的面积为25，一个小长方形的面积为14，求的值； [拓展应用] （3）如图3，有两个正方形A，B，现将B放在A的内部得到图甲，将A，B并列放置后构造新的正方形得到图乙．设正方形A的边长为x，正方形B的边长为y（），且图甲和图乙中阴影部分的面积分别为6和28．现将三个正方形A和两个正方形B如图丙摆放，求图丙中阴影部分的面积． 23. 定义：若一个不等式组有解且解集为，则称为的解集中点值；若的解集中点值是不等式（组）的解，即中点值满足不等式（组），则称不等式（组）包含不等式组的解集中点值． （1）已知关于的不等式组以及不等式组，证明不等式组包含不等式组的解集中点值； （2）已知关于的不等式组以及不等式组，若不等式组包含不等式组的解集中点值，求的取值范围； （3）已知关于的不等式组和不等式组若不等式组包含不等式组的解集中点值，且所有符合要求的整数之和为9，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $