精品解析：广西桂林中学初中部2025-2026学年下学期3月检测试题 七年级数学

桂林中学初中部2025-2026学年度下学期3月检测试题 七年级数学科 全卷满分：120分 考试时长：120分钟 一．选择题（共12小题，每题3分，共36分） 1. 计算的结果，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】直接运用同底数幂的乘法法则计算即可得到结果． 【详解】解：． 故选：A． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用合并同类项，同底数幂的乘法，幂的运算法则对各项进行运算即可． 【详解】解：、与不是同类项，不可以合并，故本选项计算错误，不符合题意； 、，故本选项计算错误，不符合题意； 、与不是同类项，不可以合并，故本选项计算错误，不符合题意； 、，故本选项计算正确，符合题意． 3. 下列各式中，计算结果等于的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据幂的乘方，底数不变指数相乘；积的乘方，等于把每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，进行计算即可求解． 【详解】解：对选项A：∵ ，∴ 结果符合要求， 对选项B：∵ ，∴ 结果不符合要求， 对选项C：∵ ，∴ 结果不符合要求， 对选项D：∵ ，∴ 结果不符合要求， 4. 下列多项式乘法，不能用平方差公式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】平方差公式要求两个二项式相乘，且两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数，满足该条件才能用平方差公式计算，据此逐一判断各选项即可． 【详解】解：A、，相同项为，互为相反数的项为和，符合平方差公式的使用条件，可以用平方差公式计算； B、，相同项为，互为相反数的项为和，符合平方差公式的使用条件，可以用平方差公式计算； C、，两项都互为相反数，没有相同项，不符合平方差公式的使用条件，不能用平方差公式计算； D、，相同项为，互为相反数的项为和，符合平方差公式的使用条件，可以用平方差公式计算． 5. 计算：（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据单项式乘以多项式的法则求解即可； 【详解】解：； 故选B． 【点睛】本题考查单项式乘以多项式；熟练掌握单项式乘以多项式的法则是解题的关键． 6. 已知，则，的值为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】先利用多项式乘多项式法则对进行化简，然后比较即可． 【详解】解： ， ∵， ∴，． 7. 如图，从边长为的正方形纸片中剪去一个边长为的正方形，剩余部分沿虚线剪裁并拼接成一个长方形（不重叠无缝隙），则拼成的长方形的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了整式加减的应用，根据题意得出长方形的长和宽，进而即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由题意得，拼成的长方形的长为，宽为， ∴拼成的长方形的面积是， 故选：． 8. 计算的结果是（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查同底数幂的乘法法则以及积的乘方逆运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．先将化为，然后利用积的乘方逆运算进行计算即可． 【详解】解：原式 故选：B． 9. 对于任意整数，多项式都能被（ ）整除． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将多项式进行因式分解，再根据整除的性质即可得出答案． 【详解】解： ， ∵为整数， ∴也为整数， ∴能被整除， ∴多项式都能被整除． 10. 运用乘法公式计算时，下列变形中，最适合运用平方差公式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了利用平方差公式对整式进行变形，解题的关键是掌握平方差公式． 利用平方差公式进行变形即可． 【详解】解： 故选：D． 11. 我们知道对于一个几何图形，可以采用两种不同的方法计算它的面积，从而得到一个数学等式．如图，可以得到的数学等式是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了整式乘法的几何意义，体现数形结合的思想．图中的面积可表示为一个大的正方形的面积或所分成的9个图形的面积之和，由此可得到答案． 【详解】解：图中的面积可表示为：， 或， 故可以得到的数学等式是：， 故选：D． 12. 乒乓球作为旋转最强的球类运动之一，比赛中球员通过不同的击球技巧，如弧圈球、快攻等给乒乓球施加旋转，使其在空中产生复杂的运动轨迹，常用“转／秒”（，简称）反映乒乓球每秒旋转的圈数．某场比赛，甲球员击球数据为，乙球员击球数据为，谁击出的球更转（ ） A. 甲 B. 乙 C. 一样 D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查多项式的运算与大小比较，解题的关键是通过作差法比较甲、乙球员击球旋转数的大小．先分别展开甲、乙球员的击球旋转数表达式，再通过作差法计算两者的差值，根据差值的正负判断谁的旋转数更大． 【详解】解：展开甲球员的击球旋转数：， 展开乙球员的击球旋转数：， 作差比较：， ， ， 即， 乙球员击出的球更转． 故选：B． 二．填空题（共4小题，每题3分，共12分） 13. ___________． 【答案】 【解析】 【详解】解：． 14. 我们规定：，例如，那么等于________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了新定义，同底数幂的乘法，正确理解新定义是解题的关键． 根据同底数幂的乘法法则计算即可． 【详解】解：由题意得，， 故答案为：． 15. 若，，则代数式的值等于_____． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查因式分解――平方差公式．利用平方差公式变形后求解． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：8． 16. 小聪在学习完乘法公式后，发现完全平方公式经过适当的变形或数形结合，可以解决很多数学问题．如图摆放两个正方形卡片，，，在同一直线上．若，且两个正方形面积之和为56，则阴影部分的面积是_____． 【答案】22 【解析】 【分析】本题考查完全平方公式与几何图形的面积，设，得到，，将图形补成边长为的大正方形，利用分割法结合完全平方公式，进行求解即可． 【详解】解：设，由题意，得：，， ∴， ∴， 如图，将图形补成边长为的大正方形， 则：阴影部分的面积为： ； 故答案为：22． 三．解答题（共8小题，共72分） 17. 计算、用乘法公式简便计算 （1）计算： ； ： ； （2）用乘法公式简便计算： ； ． 【答案】（1）；；； （2）；． 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的乘法运算，完全平方公式和平方差公式，熟练掌握运算法则是解题的关键． （）根据单项式乘以单项式运算法则即可求解； 根据单项式乘以多项式运算法则即可求解； 根据多项式乘以多项式运算法则即可求解； （）根据完全平方公式进行计算即可； 根据平方差公式进行计算即可． 【小问1详解】 解：； ； ； 【小问2详解】 解： ； ． 18. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】；8 【解析】 【分析】根据完全平方公式和平方差公式将括号展开后合并得最简结果，再把，的值代入计算即可． 【详解】解： ； 当，时，原式． 19. 如图，某校有一块长为米，宽为米的长方形地块，该校计划在中间留一块边长为米的正方形空地修建花坛，其余部分铺设草坪（阴影部分）． （1）请你直接写出花坛的面积．_____平方米．（用含的代数式表示） （2）求草坪的面积是多少平方米？（用含的代数式表示，结果请化简） （3）若，，草坪的单价为每平方米40元，求购买草坪所需的总费用． 【答案】（1） （2）草坪的面积是平方米 （3）购买草坪的总费用为6200元 【解析】 【分析】（1）根据正方形面积公式进行计算即可； （2）根据草坪面积=长方形面积-正方形面积，利用多项式乘多项式法则，及完全平方公式化简即可； （3）将，，代入（2），计算即可． 【小问1详解】 解：花坛的面积为平方米． 【小问2详解】 解：∵， ∴ ， ∴草坪的面积是平方米； 【小问3详解】 解：当，时，， ∴（元）． 答：购买草坪的总费用为6200元． 20. 求值： （1）已知，求的值； （2）已知，①求的值；②求的值． 【答案】（1）； （2）①；②． 【解析】 【分析】本题考查同底数幂的乘法和幂的乘方运算，解题关键是熟练运用幂的运算性质，将所求式子转化为已知条件的形式进行计算． （1）直接利用同底数幂的乘法法则：，将式子转化为已知的和的乘积形式，再代入数值计算； （2）①直接利用幂的乘方法则：，将式子转化为已知的的三次方形式，再代入数值计算． ②先利用同底数幂的乘法法则将其拆分为，再利用幂的乘方法则将转化为，最后代入已知的和的值计算． 【小问1详解】 解：，， ； 【小问2详解】 ①， ； ②，且， 又，， ，， ． 21. 下面是小明同学进行一道整式计算的过程： 计算：． 解：原式第①步 第②步 第③步 第④步 （1）小明第一步用到的乘法公式用字母表示为____，第二步用到的乘法公式用字母表示为____； （2）小明第_____步开始出现错误，错因是_____． （3）请你写出正确的计算过程． 【答案】（1）； （2）三；括号前面是负号，去掉括号后，括号内的第二项没有变号 （3）过程见解析 【解析】 【分析】（1）第一步用的是平方差公式，第二步用的是完全平方公式； （2）第三步去括号时出现错误； （3）正确去括号，合并同类项即可得出答案． 【小问1详解】 解：小明第一步用到的乘法公式用字母表示为， 第二步用到的乘法公式用字母表示为； 【小问2详解】 解：第三步开始出现错误，出现错误的原因是括号前面是负号，去掉括号后，括号内的第二项没有变号； 【小问3详解】 解： ． 22. 定义：如果一个正整数能表示为两个连续正奇数的平方差，那么称这个正整数为“和谐数”．例如：，则8，16，24都是“和谐数”． （1）特例感知：40___________“和谐数”，2026___________“和谐数”．（填“是”或“不是”） （2）规律探究：根据“和谐数”的定义，设两个连续正奇数为和，其中是正整数，那么“和谐数”都能被8整除吗？如果能，说明理由；如果不能，举例说明． （3）迁移应用：如图，拼接的正方形边长是从1开始的连续奇数，按此规律拼接到正方形，其边长为99，求阴影部分的面积． 【答案】（1）是，不是 （2）“和谐数”能被8整除．理由见解析 （3）5000 【解析】 【分析】本题考查了平方差公式的应用． （1）根据“和谐数”的定义判断即可； （2）根据“和谐数”的定义计算得到，即可作答； （3）结合（2）的计算即可． 【小问1详解】 解：设， 解得，是整数， ∴40是“和谐数”； 设， 解得，不是整数， ∴2026不是“和谐数”； 故答案为：是，不是； 【小问2详解】 解：“和谐数”能被8整除．理由如下： ， 是正整数， 能被8整除， 能被8整除； 【小问3详解】 解： ， 阴影面积为5000． 23. 在学习整式的乘法时，我们发现通过用两种不同的方法表示同一个图形的面积，可以写出一个恒等式． （1）如图1，在边长为的正方形中剪掉一个边长为的小正方形（），把余下的部分剪开并拼成一个长方形（如图2），则用两种不同方法表示余下的部分的面积，可得到关于，的恒等式为__________； 应用：如图3，将个同心圆由小到大套在一起，并从外向里相间画阴影，若最外面的圆的半径为，向里依次为，，…，，求所有阴影部分的面积和．（结果保留） （2）如图4，将两个边长分别为，的正方形和两个长为宽为的长方形拼成正方形，则用两种不同方法表示正方形的面积，所得到的关于，的恒等式为___________________． 应用：如图5，点为线段上一点，点、点分别为和的中点，分别以点为圆心、为直径向上作半圆，其面积记为，以点为圆心、为直径向下作半圆，其面积记为，点为半圆上点正上方一点，分别连接，．若，，则图中阴影部分的面积为__________． 【答案】（1）；应用：（2）；应用： 【解析】 【分析】本题考查面积法推导乘法公式，乘法公式的应用，圆的面积公式，通过“面积相等”建立代数恒等式是解题关键． （1）恒等式：用面积法表示剪后图形的两种面积，可得平方差公式；阴影面积：将阴影部分面积拆为平方差形式，然后逆用公式，简化为整数之和，求和即可； （2）恒等式：用面积法表示“拼成的大正方形”的两种面积，可得完全平方和公式；阴影面积：先设为，则，用半圆面积列方程，然后用完全平方变形求出，整体代入计算阴影面积即可． 【详解】（1）解：边长为的正方形减去边长为的正方形， 则剩余部分的面积为， 正方形剩余部分拼成长方形的面积为， 故； 应用：根据题意可知阴影部分的面积为 ， 故所有阴影部分的面积为． 答：；应用：． （2）解：据图可知，正方形的边长为，则面积为， 构成正方形的有两个正方形，面积分别为，；两个全等长方形，面积为， 根据两种方式表示的面积相等，可得； 应用：设，则， 则，， ， ， 化简得， 根据完全平方公式展开， 将代入，可得，即， 点为半圆上点正上方一点， ， ． 故阴影部分面积为． 答：；应用：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 桂林中学初中部2025-2026学年度下学期3月检测试题 七年级数学科 全卷满分：120分 考试时长：120分钟 一．选择题（共12小题，每题3分，共36分） 1. 计算的结果，正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列各式中，计算结果等于的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列多项式乘法，不能用平方差公式的是（ ） A. B. C. D. 5. 计算：（　　） A. B. C. D. 6. 已知，则，的值为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 7. 如图，从边长为的正方形纸片中剪去一个边长为的正方形，剩余部分沿虚线剪裁并拼接成一个长方形（不重叠无缝隙），则拼成的长方形的面积是（ ） A. B. C. D. 8. 计算的结果是（ ） A. B. C. 1 D. 2 9. 对于任意整数，多项式都能被（ ）整除． A. B. C. D. 10. 运用乘法公式计算时，下列变形中，最适合运用平方差公式的是（ ） A. B. C. D. 11. 我们知道对于一个几何图形，可以采用两种不同的方法计算它的面积，从而得到一个数学等式．如图，可以得到的数学等式是（ ） A. B. C. D. 12. 乒乓球作为旋转最强的球类运动之一，比赛中球员通过不同的击球技巧，如弧圈球、快攻等给乒乓球施加旋转，使其在空中产生复杂的运动轨迹，常用“转／秒”（，简称）反映乒乓球每秒旋转的圈数．某场比赛，甲球员击球数据为，乙球员击球数据为，谁击出的球更转（ ） A. 甲 B. 乙 C. 一样 D. 无法确定 二．填空题（共4小题，每题3分，共12分） 13. ___________． 14. 我们规定：，例如，那么等于________． 15. 若，，则代数式的值等于_____． 16. 小聪在学习完乘法公式后，发现完全平方公式经过适当的变形或数形结合，可以解决很多数学问题．如图摆放两个正方形卡片，，，在同一直线上．若，且两个正方形面积之和为56，则阴影部分的面积是_____． 三．解答题（共8小题，共72分） 17. 计算、用乘法公式简便计算 （1）计算： ； ： ； （2）用乘法公式简便计算： ； ． 18. 先化简，再求值：，其中，． 19. 如图，某校有一块长为米，宽为米的长方形地块，该校计划在中间留一块边长为米的正方形空地修建花坛，其余部分铺设草坪（阴影部分）． （1）请你直接写出花坛的面积．_____平方米．（用含的代数式表示） （2）求草坪的面积是多少平方米？（用含的代数式表示，结果请化简） （3）若，，草坪的单价为每平方米40元，求购买草坪所需的总费用． 20. 求值： （1）已知，求的值； （2）已知，①求的值；②求的值． 21. 下面是小明同学进行一道整式计算的过程： 计算：． 解：原式第①步 第②步 第③步 第④步 （1）小明第一步用到的乘法公式用字母表示为____，第二步用到的乘法公式用字母表示为____； （2）小明第_____步开始出现错误，错因是_____． （3）请你写出正确的计算过程． 22. 定义：如果一个正整数能表示为两个连续正奇数的平方差，那么称这个正整数为“和谐数”．例如：，则8，16，24都是“和谐数”． （1）特例感知：40___________“和谐数”，2026___________“和谐数”．（填“是”或“不是”） （2）规律探究：根据“和谐数”的定义，设两个连续正奇数为和，其中是正整数，那么“和谐数”都能被8整除吗？如果能，说明理由；如果不能，举例说明． （3）迁移应用：如图，拼接的正方形边长是从1开始的连续奇数，按此规律拼接到正方形，其边长为99，求阴影部分的面积． 23. 在学习整式的乘法时，我们发现通过用两种不同的方法表示同一个图形的面积，可以写出一个恒等式． （1）如图1，在边长为的正方形中剪掉一个边长为的小正方形（），把余下的部分剪开并拼成一个长方形（如图2），则用两种不同方法表示余下的部分的面积，可得到关于，的恒等式为__________； 应用：如图3，将个同心圆由小到大套在一起，并从外向里相间画阴影，若最外面的圆的半径为，向里依次为，，…，，求所有阴影部分的面积和．（结果保留） （2）如图4，将两个边长分别为，的正方形和两个长为宽为的长方形拼成正方形，则用两种不同方法表示正方形的面积，所得到的关于，的恒等式为___________________． 应用：如图5，点为线段上一点，点、点分别为和的中点，分别以点为圆心、为直径向上作半圆，其面积记为，以点为圆心、为直径向下作半圆，其面积记为，点为半圆上点正上方一点，分别连接，．若，，则图中阴影部分的面积为__________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $