2026年中考数学第二轮专题复习（山西卷）专题七 抛物线型实际问题

2026年中考数学第二轮专题复习（山西卷） 专题七 抛物线型实际问题（解析版） 山西中考中，抛物线型实际应用题（如拱桥、隧道、投篮、喷泉等）是山西中考中必考内容之一，是二次函数板块的重难点。其核心是 “建立函数模型，将实际问题转化为二次函数问题”。 终极口诀：“实际问题抛物线，建系设式是关键；已知条件代入解，所求转化函数算；取值范围需注意，实际意义最后验。” 熟练掌握以上快招，此类题型便可轻松拿下。 以对称轴为y轴，以水平线为x轴，以关键点（如顶点、起点）为原点，使抛物线解析式尽量简单（通常顶点在y轴） ① 顶点式：已知顶点坐标 (h, k)时，设 y = a(x - h)² + k。 ② 交点式：已知与x轴两交点 (x₁,0), (x₂,0)时，设 y = a(x - x₁)(x - x₂)。 ③ 一般式：已知任意三点坐标时，设 y = ax² + bx + c。 通常需至少两个点。若顶点在y轴上，则 h=0，解析式简化为 y = ax² + k，只需一个非顶点坐标即可求 a 求最大高度/利润→ 求二次函数顶点纵坐标。 • 求最远距离→ 求与x轴交点横坐标（需舍去负值）。 • 求某高度对应的宽度→ 解方程 f(x) = h。 • 判断“能否通过” → 比较实际宽度与函数值。 1．【项目式学习】 【项目主题】自动旋转式喷泉景观 【项目背景】学习完二次函数的相关知识后，某校九年级数学创新小组，开展项目式学习，深入探究喷泉设计与二次函数密切关系 【项目素材】 某公园要在小广场上建造一个喷泉景观，在小广场中央O处垂直于地面安装一个高为1.25米的花形柱子，安置在柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，且在过的任一平面上抛物线路径如图1所示．为使水流形状较为美观，设计成水流在距的水平距离为1米时达到最大高度，此时离地面2.25米． 任务一：模型构建 （1）以点O为原点建立如图2所示的平面直角坐标系，水流到水平距离为x米，水流喷出的垂直高度为y米，求出在第一象限内的抛物线解析式（不要求写出自变量的取值范围）； 数量任务二：模型分析 （2）张师傅正在喷泉景观内维修设备期间，喷水管意外喷水，但是身高1.76米的张师傅却没有被水淋到，此时他离花形柱子的距离为d米，求d的取值范围； 任务三：问题解决 （3）为了美观，在离花形柱子4米处的地面B、C处安装射灯，射灯射出的光线与地面成角，如图3所示，光线交汇点P在花形柱子的正上方，其中光线所在的直线解析式为，求光线与抛物线水流之间的最小垂直距离． 【答案】（1） （2） （3）米 【分析】（1）由题意可得，第一象限内抛物线的顶点坐标为，设第一象限内抛物线的解析式为，将点代入，可得，解方程即可求出的值，进而可得第一象限内抛物线的解析式； （2）令，则有，解方程即可求出此时的值，由可知抛物线的开口向下，于是由函数图象可求出时的取值范围； （3）作的平行线，与抛物线相切于点，交轴于点，过点作于点，则，可设直线的解析式为，将直线的解析式与抛物线的解析式相联立，得，即，由与抛物线相切可知，一元二次方程有两个相等的实数根，于是可得，解方程即可求出的值，进而求出直线的解析式为，令，则，解方程即可求出直线与轴的交点坐标，同理可求得点的坐标，于是可得，由题意可得，由直角三角形的两个锐角互余可得，进而可得，由等角对等边可得，根据勾股定理可得，然后根据即可求出光线与抛物线水流之间的最小垂直距离． 【详解】解：（1）由题意可得：第一象限内抛物线的顶点坐标为， 设第一象限内抛物线的解析式为：， 抛物线经过点， ， 解得：， 第一象限内抛物线的解析式为：； （2）令，则有： ， 解得：，， ， 抛物线的开口向下， 时，， 的取值范围为：； （3）如图，作的平行线，与抛物线相切于点，交轴于点，过点作于点，则， 可设直线的解析式为：， ， ， 整理，得：， 与抛物线相切， 一元二次方程有两个相等的实数根， ， 解得：， 直线的解析式为：， 令，则， 解得：， 点的坐标为， 同理可求得：点的坐标为， ， 射灯射出的光线与地面成角， ， ， ， ， ， ， 光线与抛物线水流之间的最小垂直距离为米． 【点睛】本题主要考查了实际问题与二次函数（喷水问题），的图象与性质，待定系数法求二次函数解析式，解一元一次方程，因式分解法解一元二次方程，二次函数的图象与系数的关系，垂线的性质，一元二次方程根的判别式，求一次函数解析式，一次函数图象与坐标轴的交点问题，已知两点坐标求两点距离，直角三角形的两个锐角互余，等角对等边，勾股定理，等式的性质等知识点，熟练掌握实际问题与二次函数（喷水问题）是解题的关键． 2．九年级某班级同学进行项目式学习，《项目式学习报告》如下： 绿化带灌溉车的操作探究 项目内容 项目素材 项目任务 项目一、 明确灌溉方式 如图1，灌溉车沿着平行于绿化带底部边线的方向行驶，为绿化带浇水．喷水口离地竖直高度为（单位：），灌溉车到的距离长度为（单位：）． “博学小组”经过实际测量，建立如下数学模型：如图2，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象，下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到；把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度，竖直高度喷水口离开地面高米，上边缘拋物线最高点离喷水口的水平距离为，高出喷水口． 任务一、结合图象和数据，请你求出灌溉车的最大射程的长度． 项目二、 提倡有效灌溉 “笃志小组”实地调查发现： 为了节约用水，进行有效灌溉，灌溉车在进行作业时，要保证喷出的水能浇灌到整个绿化带（上边缘抛物线不低于点F）； 任务二、请你求出灌溉车有效灌溉时，灌溉车到绿化带底部边缘的距离的取值范围． 【答案】任务一：喷出水的最大射程为；任务二：灌溉车到绿化带底部边缘的距离的取值范围是 【分析】任务一：设上边缘抛物线的函数解析式为，把点代入即可求得上边缘抛物线的函数解析式，令，解方程即可求得喷出水的最大射程的值； 任务二：根据，求出点的坐标，利用增减性可得的最大值为最小值，从而得出答案． 【详解】解：任务一：由题意得点是上边缘抛物线的顶点， ∴设上边缘抛物线的函数解析式为， 又∵抛物线经过点， ∴． 解得． ∴上边缘抛物线的函数解析式为． 把代入中，得， 解得，（舍去）， ∴喷出水的最大射程为； 任务二：， 点的纵坐标为0.5， ， 解得， ， ， 当时，随的增大而减小， 当时，要使， 则， 当时，随的增大而增大，且时，， 当时，要使，， ∵，灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带， 的最大值为， 再看下边缘抛物线，喷出的水能浇灌到绿化带底部的条件是， 的最小值为2， 综上所述，灌溉车到绿化带底部边缘的距离的取值范围是． 【点睛】本题考查二次函数的实际应用，待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，二次函数与方程的关系等知识． 3．项目化学习 【项目主题】研究击球运动 【项目背景】甲、乙、丙、丁四个学习小组开展实践活动，探究击球运动中蕴含的数学知识，并运用所学知识解决相关问题． 【项目素材】 素材一：甲小组调试击球机器，保证每一次的击球方式相同，球在空中的飞行路线是相同的抛物线． 素材二：乙小组用监测仪器测得球的飞行高度（米）与水平距离（米）的部分数据如下： 水平距离/米 0 6 18 30 36 飞行高度/米 0 9 21 25 24 素材三：丙小组用监测仪器测得球的水平距离（米）与飞行时间（秒）的部分数据如下： 飞行时间/秒 0 1 1.5 2 2.5 水平距离/米 0 15 22.5 30 37.5 素材四：如图，丁小组在草坪边山坡上的点处放置一个球框，并测得山坡的坡角米，米．（参考数据：） 【解决问题】 (1)求与之间的函数关系式． (2)当球的飞行时间为秒时，求球的飞行高度． (3)若在点处击球，球能否落在点处的球筐中？请说明理由． 【答案】(1) (2)当球的飞行时间为秒时，球的飞行高度为16米 (3)球不能落在点处的球筐中，理由见解析 【分析】本题考查一次函数的应用，二次函数的应用，解直角三角形的应用，掌握用待定系数法函数解析式是解题的关键． （1）用待定系数法求出与之间的函数关系式即可； （2）根据由素材三，先用待定系数法求出与的函数关系到式，然后把代入，求出x值，再把将代入与之间的函数关系式握，求出h值即可； （3）先解，求出（米）．从而求得（米）．然后由由（2）得当时，，比较即可得出结论． 【详解】（1）解：设与之间的函数关系式为． 将代入，得 解得 与之间的函数关系式为． （2）解：由素材三，可得与是正比例函数关系，设． 将代入，得． ． 当时，． 将代入，得． 当球的飞行时间为秒时，球的飞行高度为16米． （3）解：球不能落在点处的球筐中． 理由：在中，（米）， （米）． （米）． 由（2）得当时，． ， 球不能落在点处的球筐中． 4．项目学习实践 项目主题：合理设置智慧洒水车喷头 项目背景：洒水车是城市绿化的生力军，清扫道路，美化市容，降温除尘，环保绿化． 如图1，一辆洒水车正在沿着公路行驶（平行于绿化带），为绿化带浇水．数学小组成员想了解洒水车要如何把控行驶路线与绿化带之间的距离，才能保证喷出的水浇灌到整个绿化带．围绕这个问题，该小组开展了“合理设置智慧洒水车喷头”为主题的项目式学习． 任务一：测量建模 利用图1实际测量数据建立如图2所示的平面直角坐标系，可以把洒水车喷出水的上、下边缘抽象为两条抛物线的部分图象，喷水口离地面竖直高度为米．上边缘抛物线最高点离喷水口的水平距离为米，高出喷水口米； （1）请你求出上边缘抛物线的函数解析式； 任务二：推理分析 小组成员通过进一步分析发现：当喷头洒水进行调整时，喷头喷出的水柱抛物线形状不发生改变，即下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的， （2）请你结合模型探究下边缘抛物线与轴交点的坐标； 任务三：实践探究 如果我们把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度米，竖直高度米，洒水车到绿化带的距离为米． （3）当调整与绿化带距离为米，洒水车行驶时喷出的水覆盖区域能否洗灌到整个绿化带？请说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，理由见解析 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，矩形的性质，求二次函数的解析式，二次函数的图象性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）结合为上边缘抛物线的顶点，设，再把代入计算，即可作答． （2）结合二次函数的对称性得出点的对称点为，把代入，求出，因为下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移4米得到的，所以点B的坐标为； （3）因为二次函数的性质以及矩形的性质得点F的坐标为，代入得，即可作答． 【详解】解：（1）由题意得：为上边缘抛物线的顶点， 设， 又∵抛物线过点， ， 解得：， ∴上边缘抛物线的函数解析式为． （2）∵对称轴为直线， ∴点的对称点为， ∴下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移4米得到的， 当时， 解得，（舍去）， ∴ ∴点B的坐标为； （3）∵矩形，其水平宽度米，竖直高度米，米， 则（米） ∴点F的坐标为， 当时，， 当时，y随x的增大而减小， ∴洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带． 5．【项目式学习】 【项目主题】安全用电，防患未然． 项目背景：近年来，随着电动自行车保有量不断增多，火灾风险持续上升．据悉，约的火灾都在充电时发生．某校九年级数学创新小组，开展以“安全用电，防患未然”为主题的项目式学习，对电动自行车充电车棚的消防设备进行研究． 【任务一】调查分析 （1）图悬挂的是公斤干粉灭火器，图为其喷射截面示意图，在中，，喷射角，地面有效保护直径为米，喷嘴距离地面的高度为____________米； 【任务二】模型构建 由于干粉灭火器只能扑灭明火，并不能扑灭电池内部的燃烧，在火灾发生时需要大量的水持续给电池降温，才能保证电池内部自燃熄灭，不会复燃．学校考虑给新建的电动自行车充电车棚安装消防喷淋头． （2）如图，喷淋头喷洒的水柱最外层的形状为抛物线．已知学校的停车棚左侧靠墙建造，其截面示意图为矩形，创新小组以点为坐标原点，墙面所在直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系．他们查阅资料后，提议消防喷淋头安装在离地高度为米，距离墙面水平距离为米处，即米，米，水喷射到墙面处，且米． ①求该水柱外层所在抛物线的函数解析式； ②按照此安装方式，喷淋头的地面有效保护直径为多少米？ 任务三：问题解决 （3）已知充电车棚宽度为米，电动车电池的离地高度为米．创新小组想在喷淋头的同一水平线上加装同一种喷淋头，使消防喷淋头喷洒的水柱可以覆盖所有的电动车电池，那么喷淋头距离喷淋头至少多少米？（直接写出结果） 【答案】（1）； （2）①求该水柱外层所在抛物线的函数解析式为； ②喷淋头的地面有效保护直径米； （3）喷淋头距离喷淋头至少米． 【分析】（1）根据等边三角形的性质，结合勾股定理解直角三角形即可得解； （2）由题意得出，，，①设该水柱外层所在抛物线的函数解析式为，将点代入即可得到函数解析式；②将代入①中求出的抛物线解析式即可得到点坐标，从而得出； （3）结合抛物线的平移规律设喷淋头距离喷淋头至少米，加装同一种喷头，则可得喷淋头喷出的水柱所在抛物线解析式，分析可得，要使消防喷淋头喷洒的水柱可以覆盖所有的电动车电池，则坐标为须在新水柱的抛物线上，将其代入解析式即可求解． 【详解】解：（1），， 是等边三角形， 米， ， 是的中线， 即米， 则中，米． 故答案为：． （2）依题得：，，， ①设该水柱外层所在抛物线的函数解析式为， 将代入可得， 解得， 则抛物线的函数解析式为； ②当时，， 解得， 点在的正半轴上， ，喷淋头的地面有效保护直径米． （3）设喷淋头距离喷淋头至少米， 则可用表示喷淋头喷出的水柱所在抛物线， 要使消防喷淋头喷洒的水柱可以覆盖所有的电动车电池，则坐标为须在新水柱的抛物线上， 即， 解得， 则喷淋头距离喷淋头至少米． 【点睛】本题考查的知识点是喷水问题(实际问题与二次函数)、等边三角形的判定与性质、三线合一、勾股定理、待定系数法求二次函数解析式、二次函数的图象与性质，解题关键是熟练掌握二次函数的综合性问题解法． 6．【项目式学习】 【项目主题】如何调整电梯球、落叶球的发球方向. 【项目素材】 素材一，如图1是某足球场的一部分，球门宽，高，小梅站在A处向门柱一侧发球，点A正对门柱（即），，足球运动的路线是抛物线的一部分． 素材二，如图，当足球运动到最高点Q时，高度为，即，此时水平距离，以点A为原点，直线为x轴，建立平面直角坐标系． 【项目任务】 任务一：足球运动的高度与水平距离之间的函数关系式，此时足球能否入网？ 任务二：改变发球方向，发球时起点不变，运动路线的形状不变，足球是否能打到远角E处再入网？ 上述任务1、任务2中球落在门柱边线视同球入网；根据以上素材，探索完成任务. 【答案】任务一：，不能落网；任务二：能打到远角E处再入网 【分析】本题考查二次函数的应用，二次函数解析式，勾股定理等知识．熟练掌握二次函数的应用，二次函数解析式，勾股定理是解题的关键． 任务一：由题意知，抛物线的顶点坐标为即，设抛物线的解析式为，将代入，可求，进而可得抛物线的解析式为，当时，即，可求，然后作答即可； 任务二：由运动路线的形状不变，以为原点，所在的直线为轴，抛物线的表达式为；由勾股定理得，，当时，，然后作答即可． 【详解】任务一：解：由题意知，抛物线的顶点坐标为即， 设抛物线的解析式为， 将代入得，， 解得，， ∴抛物线的解析式为， 当时，即， ∴， ∴足球不能落网； 任务二：解：∵运动路线的形状不变， ∴以为原点，所在的直线为轴，抛物线的表达式为； ∵，，， 由勾股定理得，， 当时，， ∴能打到远角E处再入网． 7．【项目式学习】 【项目主题】自动旋转式洒水喷头灌溉蔬菜 【项目背景】寻找生活中的数学，九（1）班分四个小组，开展数学项目式实践活动，获取所有数据共享，对蔬菜喷水管建立数学模型．菜地装有1个自动旋转式洒水喷头灌溉蔬菜，如图1所示，观察喷头可顺、逆时针往返喷洒． 【项目素材】 素材一：甲小组在图2中建立合适的直角坐标系，喷水口中心O有一喷水管，从A点向外喷水，喷出的水柱最外层的形状为抛物线，以水平方向为x轴，点O为原点建立平面直角坐标系，点A（喷水口）在y轴上，x轴上的点D为水柱的最外落水点． 素材二：乙小组测得种植农民的身高为1.75米，他常常往返于菜地之间． 素材三：丙小组了解到需要给蔬菜大鹏里拉一层塑料薄膜用来保温保湿，以便蔬菜更好地生长． 【项目任务】 任务一：丁小组测量得喷水口中心点O到水柱的最外落水点D水平距离为7.6米，其中喷出的水的最高点正好经过一个直立木杆的顶部F处，木杆高米，距离喷水口米，求出水柱所在抛物线的函数解析式． 任务二：乙小组发现这位农民在与喷水口水平距离是P米时，不会被水淋到，求P的取值范围． 任务三：丙小组测量发现薄膜所在平面和地面的夹角是，截面如图3，求薄膜与地面接触点与喷水口的水平距离是多少米时，喷出的水与薄膜的距离至少是10厘米？（精确到0.1米） 【答案】任务一： 任务二： 任务三：薄膜与地面接触点与喷水口的水平距离为8.7米 【分析】利用顶点式结合待定系数法求解析式即可； 将代入解析式求解即可； 根据题意设薄膜所在平面的直线解析式为：，联立方程结合相切，利用判别式求解得b，即可知直线与x轴的交点为，过点于点M，且，过点F作，交x轴于点．利用解直角三角形求得，即可求得答案． 【详解】解：任务一：根据题意得最高点， 设水柱所在抛物线的函数解析式为：． 由题意得：抛物线经过点D的坐标为． ∴，解得a， ∴水柱所在抛物线的函数解析式为：； 任务二：当时，． 解得：． ∴． 任务三： 薄膜所在平面可看成是一条直线． ∵薄膜所在平面和地面的夹角是， ∴薄膜所在平面的直线解析式为：． 当薄膜所在直线与水柱所在抛物线相切时， ， ∴． ∵只有一个交点， ∴，解得． ∴． ∴直线与x轴的交点为． 过点于点M，且，过点F作，交x轴于点． ∴． 由题意得：， ∴（米）． ∴（米） 答：薄膜与地面接触点与喷水口的水平距离为8.7米． 【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程，一元二次方程判别式，解直角三角形，二次函数的实际应用，理解题意，熟练运用相关知识求解是解题的关键． 8．根据以下素材，完成探究任务 项目主题 合理设置智慧洒水车喷头 问题背景 洒水车是城市绿化的生力军，清扫道路，美化市容，降温除尘，环保绿化，如图1，一辆洒水车正在沿着公路行驶（平行于绿化带），为绿化带浇水．数学小组成员想了解洒水车要如何把控行驶路线与绿化带之间的距离，才能保证喷出的水浇灌到整个绿化带．围绕这个问题，该小组开展了“合理设置智慧洒水车喷头”为主题的项目式学习． 素材1 利用图1实际测量数据建立如图2所示的平面直角坐标系，可以把洒水车喷出水的上、下边缘抽象为两条抛物线的部分图象，喷水口H离地面竖直高度h为米．上边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为3米，高出喷水口米； 素材2 小组成员通过进一步分析发现：当喷头洒水进行调整时，喷头喷出的水柱抛物线形状不发生改变，即下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的， 素材3 如果我们把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度米，竖直高度米，洒水车到绿化带的距离为d米． 问题解决 任务1 测量建模：（1）请你求出上边缘抛物线的函数解析式； 任务2 推理分析：（2）请你结合模型探究下边缘抛物线与x轴交点B的坐标； 任务3 实践探究：（3）若洒水车到绿化带距离调整为米，洒水车行驶时喷出的水覆盖区域能否浇灌到整个绿化带？请说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，理由见解析 【分析】（1）结合为上边缘抛物线的顶点，设，再把代入计算，即可作答． （2）结合二次函数的对称性得出点的对称点为，把代入即可求解； （3）因为二次函数的性质以及矩形的性质得点F的坐标为，代入即可作答． 【详解】解：（1）由题意得：为上边缘抛物线的顶点， 设， 又∵抛物线过点， ， 解得：， ∴上边缘抛物线的函数解析式为． （2）∵对称轴为直线， ∴点的对称点为， ∴下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移6米得到的， 当时， 解得，（舍去）， ∴ ∴点B的坐标为； （3）洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，理由如下： ∵矩形， 米，竖直高度米，米， 则（米） ∴点F的坐标为， 当时，， 当时，y随x的增大而减小， ∴洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带． 9．【项目式学习】 项目主题：无人机灌溉研究 项目背景：无人机灌溉技术在现代农业中逐渐普及，它能高效、精准地为农作物供水，减少水资源浪费，提升灌溉效率，助力农业现代化发展． 驱动问题：如何优化无人机灌溉方案，实现更高效、精准的灌溉． 建立模型：如图1，是无人机的示意图，其中点O为无人机的控制中心，点A，B是喷水口，点A，B，O在同一条水平直线上，．如图2，以无人机控制中心所在位置O为坐标原点，竖直方向为y轴，以所在直线为x轴，建立平面直角坐标系．喷水口点A和点B到点O的距离相等，每个喷水口喷出的水流在竖直方向的最大横截面都是形状相同的抛物线，抛物线与y轴的交点为C，． （1）试确定点A所在抛物线的函数表达式． 问题解决： （2）启动无人机后，无人机控制中心距地面的初始高度为，为了精准灌溉，需要调整无人机的高度到合适位置．如图3，使相邻田地之间的田埂（宽度为的区域，且，田埂高度忽略不计）恰好不被喷洒到水，求无人机应该下降的高度 （3）如图4，在直线AB上再增加2个喷水口M和N，M在A左侧，N在B右侧，且，当无人机上升到距地面的高度为时，直接写出此时喷洒水覆盖区域宽度PQ的长． 【答案】（1）；（2）无人机应该下降的高度为；（3） 【分析】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，包括根据点坐标求二次函数表达式、利用函数性质解决高度和距离问题；解题关键是通过建立平面直角坐标系，准确找出各点坐标并代入二次函数表达式进行求解． （1）首先根据喷水口A、B到O距离相等且长度，确定A点在x轴上的坐标；由抛物线与y轴交点特征确定C点坐标．设抛物线的一般式，将C点坐标代入得到c的值， 再利用抛物线对称轴为y轴这一性质得出b的值，最后把A点坐标及已得的b、c值代入一般式，求出a的值，进而确定抛物线的函数表达式； （2）以无人机控制中心为原点建立平面直角坐标系，且明确喷药抛物线函数表达式不变． 由于田埂宽度为1且关于y轴对称，设田埂边缘在x轴正半轴点的坐标，将其代入已知抛物线表达式，求出该点纵坐标，此纵坐标即为调整高度时无人机摄像头距地面高度， 用无人机初始高度减去调整高度时摄像头距地面高度，得到无人机应下降的高度． （3）根据已知条件求出M的坐标．设所在抛物线表达式为，根据无人机相对高度对应的点坐标代入，求出表达式．求出与x轴交点的坐标，由于覆盖区域关于y轴对称，用求出的横坐标距离乘以2，得到喷洒水覆盖区域宽度． 【详解】解：（1），点与点到点的距离相等， ， 点的坐标为． ， 点的坐标为． 设点所在抛物线的函数表达式为， 将点代入得． 解得． 点所在抛物线的函数表达式为． （2）以无人机控制中心所在位置为坐标原点，竖直方向为轴，水平方向为轴，建立平面直角坐标系， 喷药口喷出的水在竖直方向的最大横截面的抛物线的函数表达式始终不变． ，由题可知点和点关于轴对称， 可以设点的坐标为． 将点代入， 得． 点的坐标为． 此时无人机摄像头距离地面的高度为． ． 答∶ 无人机应该下降的高度为． （3） ∵，点坐标为， ∴点坐标为 ． ∵所在抛物线形状与所在抛物线相同，二次项系数相同， ∴所在抛物线表达式为 ∵无人机高度为， ∴点P的纵坐标为， 把代入中，得 ． 解得， ． ， 关于y轴对称， ， 长 10．【项目式学习】 项目主题：设计落地窗的遮阳篷 项目背景：小明家的窗户朝南，窗户的高度，为了遮挡太阳光，小明做了以下遮阳蓬 的设计方案，请根据不同设计方案完成以下任务． 方案1：直角形遮阳篷 如图1，小明设计的第一个方案为直角形遮阳篷，点 C 在的延长线上 (1)若，，则支撑杆 m． (2)小明发现上述方案不能很好发挥遮阳作用，如图2，他观察到此地一年中的正午时刻，太阳光与地平面的最小夹角为a，最大夹角为β．小明查阅资料，计算出，，为了让遮阳篷既能最大限度地使冬天温暖的阳光射入室内(太阳光与平行)，又能最大限度地遮挡夏天炎热的阳光(太阳光与平行)．请求出图2中 的长度． 方案2：抛物线形遮阳篷 (3)如图3，为了美观及实用性，小明在(2)的基础上将边改为抛物线形可伸缩的遮阳篷，点F为抛物线的顶点，段可伸缩)，且，，的长保持不变．若以C 为原点，方向为x 轴，方向为y 轴． ①求该二次函数的表达式． ②若某时刻太阳光与水平地面夹角的正切值使阳光最大限度地射入室内，求遮阳蓬点 D上升的高度最小值(即点到的距离) 【答案】(1) (2), (3) 【分析】（1）利用勾股定理求即可； （2）由题意得到 由题意得：，，，，，在中，利用正切定义求出，在中，利用正切定义求出，得到方程，则有则的长度可求． （ 3）①由题意，为等腰直角三角形，从而有，设二次函数为：，代入，求出函数关系式即可； ②光线与水平方向的夹角为θ，过D′作x轴的垂线交x轴于点E，过B作y轴的垂线，两条垂线交于点H.即=，设，则点 ，代入求出x即可． 【详解】（1）在中，， ， 故答案为：； （2）由题意得：，，， ∵ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴设 在中，， ∴， ∴， 解得． ∴，． （3）①由F为抛物线顶点，可知， ∵， ∴为等腰直角三角形 由二次函数对称性可知， 设二次函数为：，代入得 ，解得， ∴y关于x的关系式为：， ②光线与水平方向的夹角为θ，过D′作x轴的垂线交x轴于点E， 过B作y轴的垂线，两条垂线交于点H.即=， 设，则点 ， 代入得， 化简得, 解得，，(答案不合理，舍去） ∴D′E=， ∴遮阳蓬点D上升的高度最小值为． 【点睛】本题主要考查解直角三角形的应用，待定系数法求二次函数关系式，勾股定理，解直角三角形的实际应用，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 1．（2025山西中考真题）综合与实践 问题情境：青蛙腾空阶段的运动路线可看作抛物线．我国某科研团队根据青蛙的生物特征和运动机理设计出了仿青蛙机器人，其起跳后的运动路线与实际情况中青蛙腾空阶段的运动路线相吻合． 实验数据：仿青蛙机器人从水平地面起跳，并落在水平地面上，其运动路线的最高点距地面，起跳点与落地点的距离为． 数学建模：如图，将仿青蛙机器人的运动路线抽象为抛物线，其顶点为N，对称轴为直线l，仿青蛙机器人在水平地面上的起跳点为O，落地点为M．以O为原点，所在直线为x轴，过点O与所在水平地面垂直的直线为y轴，建立平面直角坐标系． （1）请直接写出顶点N的坐标，并求该抛物线的函数表达式； 问题解决：已知仿青蛙机器人起跳后的运动路线形状保持不变，即抛物线的形状不变． （2）如图1，若仿青蛙机器人从点O正上方的点P处起跳，落地点为Q，点P的坐标为，点Q在x轴的正半轴上．求起跳点P与落地点Q的水平距离的长； （3）实验表明：仿青蛙机器人在跃过障碍物时，与障碍物上表面的每个点在竖直方向上的距离不少于，才能安全通过．如图，水平地面上有一个障碍物，其纵切面为四边形，其中，．仿青蛙机器人从距离左侧处的地面起跳，发现不能安全通过该障碍物．若团队人员在起跳处放置一个平台，仿青蛙机器人从平台上起跳，则刚好安全通过该障碍物．请直接写出该平台的高度（平台的大小忽略不计，障碍物的纵切面与仿青蛙机器人的运动路线在同一竖直平面内）． 【答案】（1），；（2）起跳点P与落地点Q的水平距离的长为；（3） 【分析】本题考查二次函数的实际应用，读懂题意，正确的列出函数关系式，是解题的关键： （1）根据起跳点与落地点的距离为，得到对称轴为直线，根据运动路线的最高点距地面，得到顶点纵坐标为，写出顶点坐标，列出顶点式，把代入，求出函数解析式即可； （2）根据抛物线的形状不变，利用平移思想，写出新的函数解析式，令，求出的值，进而求出的长即可； （3）设该平台的高度为，根据题意，得到新的抛物线的解析式为：，根据仿青蛙机器人从平台上起跳，则刚好安全通过该障碍物，得到抛物线过点，代入求解即可； 【详解】解：（1）由题意，得：抛物线的对称轴为直线，顶点纵坐标为， ∴顶点坐标为， 设抛物线的函数解析式为：， ∵图象过原点， ∴，解：， ∴； （2）∵抛物线的形状不变，点， 故第二次的函数图象可以看作由（1）的抛物线向上平移75个单位长度，得到的， ∴新的抛物线的解析式为：， 当时，， 解得：，（舍去）； 故起跳点P与落地点Q的水平距离的长为； （3）设该平台的高度为，由题意，设新的函数解析式为：， ∵，仿青蛙机器人从距离左侧处的地面起跳， 由题意，仿青蛙机器人经过正上方处，即抛物线经过点，即：， ∴把代入，得：，解得：； 故设该平台的高度为． 2．（2024山西中考真题）综合与实践 问题情境：如图1，矩形是学校花园的示意图，其中一个花坛的轮廓可近似看成由抛物线的一部分与线段组成的封闭图形，点A，B在矩形的边上．现要对该花坛内种植区域进行划分，以种植不同花卉，学校面向全体同学征集设计方案． 方案设计：如图2，米，的垂直平分线与抛物线交于点P，与交于点O，点P是抛物线的顶点，且米．欣欣设计的方案如下： 第一步：在线段上确定点C，使，用篱笆沿线段分隔出区域，种植串串红； 第二步：在线段上取点F（不与C，P重合），过点F作的平行线，交抛物线于点D，E．用篱笆沿将线段与抛物线围成的区域分隔成三部分，分别种植不同花色的月季． 方案实施：学校采用了欣欣的方案，在完成第一步区域的分隔后，发现仅剩6米篱笆材料．若要在第二步分隔中恰好用完6米材料，需确定与的长．为此，欣欣在图2中以所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系．请按照她的方法解决问题： (1)在图2中画出坐标系，并求抛物线的函数表达式； (2)求6米材料恰好用完时与的长； (3)种植区域分隔完成后，欣欣又想用灯带对该花坛进行装饰，计划将灯带围成一个矩形．她尝试借助图2设计矩形四个顶点的位置，其中两个顶点在抛物线上，另外两个顶点分别在线段上．直接写出符合设计要求的矩形周长的最大值． 【答案】(1)图见解析， (2)的长为4米，的长为2米 (3)矩形周长的最大值为米 【分析】本题考查二次函数的实际应用，建立适当坐标系求出函数表达式是解题的关键． （1）根据题意以点O为原点建立坐标系，根据垂直平分，得出，根据设抛物线的函数表达式为，将代入求出a的值即可； （2）设点E的坐标为，可得，，，根据求出m的值即可； （3）由矩形周长，即可求解． 【详解】（1）解：建立如图所示的平面直角坐标系， ∵所在直线是的垂直平分线，且， ∴． ∴点B的坐标为， ∵， ∴点P的坐标为， ∵点P是抛物线的顶点， ∴设抛物线的函数表达式为， ∵点在抛物线上， ∴， 解得：． ∴抛物线的函数表达式为； （2）解：∵点D，E在抛物线 上， ∴设点E的坐标为， ∵，交y轴于点F， ∴，， ∴． ∵在中，， ∴． ∴， 根据题息，得， ∴， 解得：（不符合题意，舍去）， ∴． ∴， 答：的长为4米，的长为2米． （3）解：如图矩形灯带为， ，，点C在y轴的正半轴，点A在x轴的负半轴， ∴，， 设直线解析式为， 将，代入，得：， 解得， ∴直线解析式为， 同理可得，直线的表达式， 设点、、、， 则矩形周长， 故矩形周长的最大值为米． 1．综合与实践 问题情境：某商业综合大楼外墙的广告牌因电路老化燃起大火．接警后，消防员迅速抵达现场，将消防车停在大楼正前方空旷地带，操控车载水枪灭火，水流在空中形成抛物线．如图，已知火情发生点P距地面的高度为米，与消防车水枪出水口的水平距离为12米，车载水枪距离地面3米高．以水枪出水口为原点O，水平向右为x轴，竖直向上为y轴建立平面直角坐标系． 问题解决： (1)操控水枪首次喷水时，经观测，水流在水平距离出水口8米处达到最大高度，最高点距离地面13米，有效压制了蔓延的火势． ①求首次喷水时，水流所在抛物线的函数表达式． ②试判断首次喷出的水流能否精准射中点P，并说明理由． (2)若此时距地面高度为12米的5楼窗台内又发生火情，着火点Q距水枪出水口的水平距离为13米，原水流轨迹无法覆盖，且现场地形限制，消防车无法进一步靠近，为覆盖更高处的火情，需要通过向上平移喷头来调整水流位置，消防员调整水枪后，新水流的抛物线与原抛物线形状相同．为确保水流能精准抵达5楼窗台隐患点，直接写出喷头向上平移的距离．（结果精确到米） 【答案】(1)①，②不能精准射中点P，理由见解析 (2)米 【分析】（1）①由题意可得抛物线的顶点坐标为，设函数的表达式为，再将原点代入求得a的值即可确定函数解析式；②将代入函数解析式求得y的值，然后与比较即可解答． （2）设喷头向上平移的距离为n米，则此时的抛物线解析式为，由题意可得，再将点代入解析式求得n的值即可解答． 【详解】（1）解：①由题意得：，抛物线的顶点坐标为 设函数的表达式为， 将原点代入上式，得，解得， 首次喷水的抛物线表达式为， ②首次喷出的水流不能精准射中点P． 理由：将代入中，得 ， 首次喷出的水流不能精准射中点P． （2）解：设喷头向上平移的距离为n米，则此时的抛物线解析式为， 由题意可得Q的坐标为，即， 将代入可得： ，解得：， 所以喷头向上平移的距离米． 2．项目式学习 项目背景：儿童软弹玩具枪是相对安全的弹射类玩具，能够锻炼身体协调性、培养专注力与耐心、激发儿童的想象力，某综合与实践小组的同学计划研究儿童软弹玩具枪中的数学知识． 实验数据：当儿童软弹玩具枪发射口距水平地面的高度为时，软弹最终落在距发射口水平距离的水平地面上． 建立模型：如图1．软弹（大小忽略不计）的飞行路线近似为抛物线，发射口可随玩具枪竖直上下移动，发射口即为软弹飞行路线的最高点．过点作水平地面的垂线与地面交于点，以所在直线为轴，过点且与垂直的直线为轴，建立平面直角坐标系（单位长度为）． (1)求软弹飞行路线所在抛物线的函数表达式． 问题解决：儿童软弹玩具枪竖直上下移动时，软弹飞行路线的形状可视为同一抛物线上下平移后的一部分． (2)综合与实践小组的同学在点的位置设置了一个目标靶，软弹想要命中目标靶，儿童软弹玩具枪在竖直方向应如何移动？ (3)如图2．四边形是一个无盖长方体盒子的截面图，点，点的坐标分别为，，轴．轴，，要使软弹能够落在长方体盒子里，直接写出儿童软弹玩具枪发射口距地面的高度的取值范围（含边界）． 【答案】(1) (2)儿童软弹玩具枪在竖直方向应向下移动 (3) 【分析】（1）利用待定系数法，结合顶点与落地点求出抛物线的表达式； （2）设平移后的函数表达式，将点代入，求出的值，根据结果描述平移过程； （3）设，则抛物线的表达式为，由题意可知，点的坐标为，点的坐标为，分别求出对应的的值，即可得到的取值范围． 【详解】（1）解：设抛物线的表达式为， 由题意可知，点是抛物线的顶点， ∴，，即， 将，代入，得， 解得， ∴抛物线的函数表达式为； （2）解：设平移后的函数表达式， 将点代入，得， 解得， ∴儿童软弹玩具枪在竖直方向应该向下平移； （3）解：设，则抛物线的表达式为， 由题意可知，点的坐标为，点的坐标为， 将点代入，得， 解得， 将点代入，得， 解得， ∴要使软弹能够落在长方体盒子里，儿童软弹玩具枪发射口距地面的高度的取值范围为． 3．宇树人形机器人在2026马年春晚《武》中，完成全球首次全自主集群武术表演，翻桌、空翻、人机对打，以硬核功夫燃爆舞台．在一次活动中，宇树人形机器人为大家展示了投球表演，身高为的人形机器人站在指定点点处向上跳起，同时将球举在头顶上方处投球，球在空中运行的路线可以用一个二次函数来描述，并且，球在运行过程中到达最高点时，距离地面，与点的水平距离为．图中，，按如图所示的方式建立直角坐标系，那么 (1)求出表示球在空中运动路线的二次函数关系式以及点的坐标； (2)如果在距离点的地面上有一个高为的立杆，立杆顶部有一个按钮，那么机器人这次投球是否会击中这个按钮，如果不会，在其他条件都不变的情况下，机器人应该沿轴所在直线从点后退多少米就可以击中按钮？请你直接写出答案． 【答案】(1)， (2)不会，后退1米 【分析】（1）设出顶点式，待定系数法求出函数解析式，再求出抛物线与轴的交点坐标即可； （2）设机器人往后退米，得到新的解析式，待定系数法求出函数解析式，即可． 【详解】（1）解：由题意，，即，抛物线的顶点坐标为， 设抛物线的解析式为，把代入，得： ，解得； ∴， 当时，解得或（舍去）； ∴； （2）解：∵， ∴当时，， ∴机器人这次投球不会击中这个按钮， 设机器人往后退米，则， 当时，，解得或（舍去）； 故机器人应该沿轴所在直线从点后退1米就可以击中按钮． 4．综合与实践 问题情境：小希和弟弟在小区广场玩弹力球，广场四周是绿化带．如图1，弟弟将弹力球抛出，球在空中划出一条抛物线轨迹，落在地面上后弹起，再次形成一条抛物线轨迹，最终落在广场边缘绿化带内（未再弹起）． 素材收集：小希用手机拍摄了弹力球运动的视频，并查阅资料以及技术还原得到如下素材（图中各点均在同一竖直平面内）： 素材①：弹力球出手点A距地面，第一次落地点为点B； 素材②：第一次飞行过程中，弹力球达到最高点时，与出手点A的水平距离为，距离地面； 素材③：弹力球落地后立即弹起，由于碰撞过程中的能量损失，其弹起后的运动轨迹形状与第一次相同，但最高点明显降低．研究表明，普通弹力球的恢复系数（反弹高度与下落高度之比的平方根）通常在左右； 素材④：矩形表示绿化带截面（绿化带内植物顶部被修剪为平面），绿化带高度，宽度，绿化带边缘与出手点A的水平距离为． 建立模型：如图2，以地面上的某点O为原点，沿地面水平方向为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系．设弹力球第一次运动轨迹为抛物线，第二次弹起后运动轨迹为抛物线，且与形状相同（即二次项系数相等）． 问题解决：根据上述素材，解答下列问题： (1)求抛物线所对应的函数表达式； (2)已知该弹力球恰好落在绿化带顶部CF的中点M处，求该弹力球的恢复系数； (3)在抛出弹力球时的速度、角度、高度均不变的情况下，若要使弹力球第二次落地点的位置在广场内（即线段上），弟弟应至少沿方向左移多少米？直接写出结论即可． 【答案】(1) (2) (3)1米 【分析】（1）根据题意得：点A的坐标为，且抛物线的顶点坐标为，设抛物线的解析式为，再把点代入，求出a的值，即可； （2）设抛物线的解析式为，根据题意得：四边形为矩形，可得，再求出点M的坐标为，对于，令 ，可求出点B的坐标为，再把点，代入可得到抛物线的解析式为，即可求解； （3）对于，令 ，可求出第二次球的落地点距离原点，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得：点A的坐标为，且抛物线的顶点坐标为， ∴可设抛物线的解析式为， 把点代入得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：设抛物线的解析式为， 根据题意得：四边形为矩形， ∴， ∵点M为的中点， ∴， ∵， ∴点M的坐标为， 对于，当时，， 解得：， ∴点B的坐标为， 把点，代入得： ，解得：， ∴设抛物线的解析式为， 当时，y的值最大，最大值为， 即第二次反弹高度为， ∵第一次飞行的最大高度为， ∴恢复系数为 （3）解：对于， 当时，， 解得：， ∴第二次球的落地点距离原点， ∵， 即弟弟应至少沿方向左移1米． 5．为迎接春节的到来，某社区在大门上方的抛物线形框架结构上悬挂了灯笼，营造喜庆的节日氛围．某数学兴趣小组开展了综合与实践活动，记录如下： 活动主题 在大门上方的抛物线形框架结构上悬挂灯笼 测量工具 皮尺等 采集数据 如图1是该社区大门及上方抛物线形框架结构平面示意图，信息如下： 1．大门形状为矩形（矩形）； 2．底部跨度的长为； 3．大门上方抛物线形框架的顶点P到的距离； 4．大门B，C两点到地面的垂直距离均为 设计方案 现需在此抛物线形框架上的点M，N处各悬挂一个灯笼．已知点M，N关于抛物线的对称轴对称，且两灯笼之间的水平距离为（M，N之间的距离为） 确定思路 如图2，小组成员经过讨论，确定以所在直线为x轴，所在直线为y轴，建立平面直角坐标系 根据以上信息，解决下列问题： (1)求大门上方框架所在抛物线的表达式，并写出自变量x的取值范围． (2)若悬挂点到灯笼最底端的距离为，求灯笼最底端到地面的高度． (3)春节期间，该社区举行非遗盛大文化表演，表演时矩形彩车经过该社区大门时不能触碰灯笼．已知宽为、高度不等的矩形彩车车队居中行驶，且彩车的高度均为整数．在（2）的条件下，求该车队中彩车的最大高度． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由得抛物线对称轴为，结合、顶点，设顶点式，代入点求得，进而即可得解； （2）分别过点M，N作的垂线，垂足为E，F，连接，、关于对称轴对称且水平距，得，代入抛物线得悬挂点的高度，再减去悬挂的距离，即可得到灯笼底端到地面高度； （3）根据彩车居中行驶，宽，可得，代入得抛物线高度约，再根据彩车高度为整数，即可得解． 【详解】（1）解：∵，抛物线对称轴为；到地面高度为，， ∴的纵坐标为，即． ∵，是原点， ∴， 设大门上方抛物线的表达式为． 把代入中， 得， 解得， ∴大门上方抛物线的表达式为； （2）解：如图，分别过点M，N作的垂线，垂足为E，F，连接，则四边形是矩形． 根据题意，得． ∴． ∵点M，N关于抛物线的对称轴对称，， ∴ ． 当时，． ∴． 答：灯笼最底端到地面的高度为； （3）解：∵彩车居中行驶， ∴当时，． ∵， ∴彩车经过灯笼的下方． 又∵，彩车的高度均为整数， ∴该车队中彩车的最大高度为． 【点睛】本题以社区大门抛物线框架为实际背景，通过建立平面直角坐标系，将几何问题转化为二次函数问题，结合函数表达式求解与实际应用，体现了数形结合与数学建模的核心思想． 6．综合与实践 【问题情境】在某沙漠化治理研究中，科研人员为了监测沙丘的移动和高度变化，选取了一个典型的新月形沙丘进行剖面测量．为了方便建模，他们将沙丘的纵向轮廓线近似看作一条抛物线． 【建立模型】科研人员以沙丘的最低点（同时也是沙丘与周围平地的交界点）为原点，以水平地面为轴，竖直方向为轴，建立如图所示的平面直角坐标系．已知该沙丘轮廓线的最高点距离地面10米，沙丘在平地上的跨度（即底端点和点之间的距离）为40米． 【问题解决】 (1)请求出描述该沙丘轮廓线的抛物线的函数表达式． (2)为了固定沙丘防止移动，治沙工人计划在沙丘上部（最高点下方）铺设一条水平的草方格沙障． ①若要求沙障距离水平地面的高度为6米．请计算这条草方格沙障的长度（结果精确到1米，参考数据：）． ②为搭建稳固的水平沙障，需在沙丘轮廓线上对称安装两根立柱，立柱垂直于水平地面，底端固定在水平地面（即轴）上，顶端贴合沙丘轮廓线．若施工要求左侧立柱顶端的高度是其到原点（沙丘左侧最低点）水平距离的，请计算两根立柱之间的水平距离． 【答案】(1)； (2)①草方格沙障的长度约为25米； ②两根立柱之间的水平距离为米． 【分析】（1）根据顶点坐标得函数表达式为，再把点B的坐标代入求解即可； （2）①令代入函数解析式即可求解；②设左侧立柱底端到原点O的水平距离为x米，可得左侧立柱顶端的坐标为，求出x的值，再利用抛物线的对称性求解即可． 【详解】（1）解：由题意，得抛物线顶点A的坐标为． 设抛物线的函数表达式为． 由题意，得点B的坐标为． 将点B的坐标为代入，得 解得． ∴沙丘轮廓线的抛物线的函数表达式为． （2）解：①沙障高度为6米，令， 则． 解得． （米）． ∴草方格沙障的长度约为25米． ②设左侧立柱底端到原点O的水平距离为x米，根据施工要求，左侧立柱顶端的高度为米， ∴左侧立柱顶端的坐标为． 将代入，得． 解得（不合题意，舍去），． ∴左侧立柱底端的坐标为． ∵两侧立柱关于对称轴直线对称， ∴右侧立柱底端的坐标为． ∴两根立柱之间的水平距离为（米）． 7．消防喷头用于消防喷淋系统，当发生火灾时，水通过喷头溅水盘洒出，进行灭火，这是酒店等公共场所必备的消防器材，其型号分为下垂型喷头和直立型喷头，其中直立型喷头洒水形状为抛物线型，其截面为对称的抛物线，水落在地面上的形状为圆． (1)如图2，矩形是一房间截面示意图，房间的长度和宽度都为，即，的中点为点O，点O正上方有一个消防喷头，点A为喷头的溅水盘（即出水口），以点O为原点，以所在的直线为x轴，以所在的直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，，点A喷出水的轨迹为对称的抛物线与，在C点处达到最高点，此时点C到地面的距离为，到y轴距离为． ①求抛物线的函数表达式． ②求该喷头覆盖的灭火面积．（结果保留） (2)如图3所示，由于一个喷头不能覆盖整个，现需要再增加一个同样的喷头，K为的中点，，为消防喷头，，关于K对称，若使两个喷头无死角的覆盖整个线段，请直接写出的长度范围． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】（1）①根据待定系数法求解即可； ②令，求出对应的x的值，则可求灭火图形（即圆）的半径，然后根据圆的面积公式求解； （2）分别求出平移后经过点F和点O时对应的值，然后根据对称性求出，即可求解． 【详解】（1）解：①设， 把代入，得， 解得， ∴； ②当时，， 解得，（不符合题意，舍去）， ∴该喷头覆盖的灭火面积为； （2）解：设向右平移后经过F， 则平移后的解析式为， 把代入，得， 解得，（不符合题意，舍去）， ∴， ∵，关于K对称， ∴； 设向左平移后经过O， 则平移后的解析式为， 把代入，得， 解得，（不符合题意，舍去）， ∴， ∵，关于K对称， ∴； ∴． 8．综合与实践 小刚家的新家装修到了安装射灯，设计沙发背景墙的阶段，他和爸爸到了装饰城，看到了如图1中的某种型号的射灯投射下的背景样板墙，4盏射灯的光照的区域“覆盖”了整个墙面．光照的区域边缘可近似的看为抛物线，相同型号的射灯光照区域的形状完全一样．小刚抽象出了如图2中的示意图，测量后得到相关数据，左侧第一盏灯最高点C距离地面高度为290cm，与左墙面的水平距离为30cm，光线与墙的交点A距离地面245cm，点B，D，E均为两条光线的交点，点F且A，B，D，E，F在同一高度的水平线上． (1)数学建模 如图3，以墙面OA所在的直线为y轴，垂直于OA的地面所在直线为x轴，建立的平面直角坐标系，设光线距离地面的高度为，距墙面OA水平距离为，求y与x之间的函数关系式． (2)问题解决 小刚家沙发背景墙和装饰城的样板墙高度一致，墙面长为420cm，按照样板墙的方式安装射灯，请帮小刚计算需要安装的射灯数量至少为多少时，光照区域才能如样板墙那样实现全“覆盖”？ (3)如图4，小刚妈妈还计划在这每一盏射灯的光照区域内安装一幅矩形的家庭照片，照片的底部安装高度距离地面145cm，请直接写出如图4中，左侧第一盏灯的光照区域内矩形照片的周长的最大值． 【答案】(1) (2)7 (3) 【分析】（1）已知抛物线顶点坐标，根据抛物线顶点式（其中为顶点坐标）设出抛物线解析式，然后因为点在抛物线上，将点A的坐标代入所设解析式，就可以求出a的值，进而确定y与x之间的函数关系式． （2）要确定射灯数量，需先求出一盏灯的光照区域水平跨度，令，代入（1）中求出的抛物线函数关系式，得到关于x的一元二次方程，求解方程得到两个x的值，两值之差就是一盏灯的光照区域水平跨度，再用墙面总长度除以一盏灯的光照区域水平跨度，就可得到至少需要的射灯数量． （3）令，代入抛物线函数关系式求出对应的x的值，得到光照区域在高度为处的水平位置，设矩形照片一边长与x有关，进而表示出矩形另一边的长度，从而得到矩形周长关于t的函数表达式，最后根据二次函数的性质，求出该函数的最大值，即矩形照片的最大周长． 【详解】（1）解：已知抛物线顶点， 设抛物线解析式为， 因为点在抛物线上，把代入， 可得：， 解得， 所以y与x之间的函数关系式为． （2）解：因为抛物线关于对称轴对称， 且相邻两抛物线在水平方向上的距离相等， 令，则， 解得， 解得，，即一盏灯的光照区域水平跨度为， 墙面长，则需要安装的射灯数量至少为（盏）． （3）解：令，则， ， 解得， 设矩形照片的一边长为m，其对应的横坐标为x， 则另一边长为， 矩形周长， 由抛物线对称性，设x到对称轴的距离为t，即，则， 此时，矩形另一边， 矩形周长， 对于二次函数，其中，， 根据二次函数顶点公式， 当时，． 【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，将实际的射灯照明问题转化为数学模型，运用了二次函数的顶点式，通过已知顶点设出表达式，求出二次函数的顶点式是解决本题的关键． 第一招 建立平面直角坐标系 真 题 回 顾 模 拟 预 测 第二招 设抛物线解析式 第三招 求抛物线解析式 第四招 实际问题转化 快 招 应 用 专 题 解 读 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年中考数学第二轮专题复习（山西卷） 专题七 抛物线型实际问题 山西中考中，抛物线型实际应用题（如拱桥、隧道、投篮、喷泉等）是山西中考中必考内容之一，是二次函数板块的重难点。其核心是 “建立函数模型，将实际问题转化为二次函数问题”。 终极口诀：“实际问题抛物线，建系设式是关键；已知条件代入解，所求转化函数算；取值范围需注意，实际意义最后验。” 熟练掌握以上快招，此类题型便可轻松拿下。 以对称轴为y轴，以水平线为x轴，以关键点（如顶点、起点）为原点，使抛物线解析式尽量简单（通常顶点在y轴） ① 顶点式：已知顶点坐标 (h, k)时，设 y = a(x - h)² + k。 ② 交点式：已知与x轴两交点 (x₁,0), (x₂,0)时，设 y = a(x - x₁)(x - x₂)。 ③ 一般式：已知任意三点坐标时，设 y = ax² + bx + c。 通常需至少两个点。若顶点在y轴上，则 h=0，解析式简化为 y = ax² + k，只需一个非顶点坐标即可求 a 求最大高度/利润→ 求二次函数顶点纵坐标。 • 求最远距离→ 求与x轴交点横坐标（需舍去负值）。 • 求某高度对应的宽度→ 解方程 f(x) = h。 • 判断“能否通过” → 比较实际宽度与函数值。 1．【项目式学习】 【项目主题】自动旋转式喷泉景观 【项目背景】学习完二次函数的相关知识后，某校九年级数学创新小组，开展项目式学习，深入探究喷泉设计与二次函数密切关系 【项目素材】 某公园要在小广场上建造一个喷泉景观，在小广场中央O处垂直于地面安装一个高为1.25米的花形柱子，安置在柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，且在过的任一平面上抛物线路径如图1所示．为使水流形状较为美观，设计成水流在距的水平距离为1米时达到最大高度，此时离地面2.25米． 任务一：模型构建 （1）以点O为原点建立如图2所示的平面直角坐标系，水流到水平距离为x米，水流喷出的垂直高度为y米，求出在第一象限内的抛物线解析式（不要求写出自变量的取值范围）； 数量任务二：模型分析 （2）张师傅正在喷泉景观内维修设备期间，喷水管意外喷水，但是身高1.76米的张师傅却没有被水淋到，此时他离花形柱子的距离为d米，求d的取值范围； 任务三：问题解决 （3）为了美观，在离花形柱子4米处的地面B、C处安装射灯，射灯射出的光线与地面成角，如图3所示，光线交汇点P在花形柱子的正上方，其中光线所在的直线解析式为，求光线与抛物线水流之间的最小垂直距离． 2．九年级某班级同学进行项目式学习，《项目式学习报告》如下： 绿化带灌溉车的操作探究 项目内容 项目素材 项目任务 项目一、 明确灌溉方式 如图1，灌溉车沿着平行于绿化带底部边线的方向行驶，为绿化带浇水．喷水口离地竖直高度为（单位：），灌溉车到的距离长度为（单位：）． “博学小组”经过实际测量，建立如下数学模型：如图2，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象，下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到；把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度，竖直高度喷水口离开地面高米，上边缘拋物线最高点离喷水口的水平距离为，高出喷水口． 任务一、结合图象和数据，请你求出灌溉车的最大射程的长度． 项目二、 提倡有效灌溉 “笃志小组”实地调查发现： 为了节约用水，进行有效灌溉，灌溉车在进行作业时，要保证喷出的水能浇灌到整个绿化带（上边缘抛物线不低于点F）； 任务二、请你求出灌溉车有效灌溉时，灌溉车到绿化带底部边缘的距离的取值范围． 3．项目化学习 【项目主题】研究击球运动 【项目背景】甲、乙、丙、丁四个学习小组开展实践活动，探究击球运动中蕴含的数学知识，并运用所学知识解决相关问题． 【项目素材】 素材一：甲小组调试击球机器，保证每一次的击球方式相同，球在空中的飞行路线是相同的抛物线． 素材二：乙小组用监测仪器测得球的飞行高度（米）与水平距离（米）的部分数据如下： 水平距离/米 0 6 18 30 36 飞行高度/米 0 9 21 25 24 素材三：丙小组用监测仪器测得球的水平距离（米）与飞行时间（秒）的部分数据如下： 飞行时间/秒 0 1 1.5 2 2.5 水平距离/米 0 15 22.5 30 37.5 素材四：如图，丁小组在草坪边山坡上的点处放置一个球框，并测得山坡的坡角米，米．（参考数据：） 【解决问题】 (1)求与之间的函数关系式． (2)当球的飞行时间为秒时，求球的飞行高度． (3)若在点处击球，球能否落在点处的球筐中？请说明理由． 4．项目学习实践 项目主题：合理设置智慧洒水车喷头 项目背景：洒水车是城市绿化的生力军，清扫道路，美化市容，降温除尘，环保绿化． 如图1，一辆洒水车正在沿着公路行驶（平行于绿化带），为绿化带浇水．数学小组成员想了解洒水车要如何把控行驶路线与绿化带之间的距离，才能保证喷出的水浇灌到整个绿化带．围绕这个问题，该小组开展了“合理设置智慧洒水车喷头”为主题的项目式学习． 任务一：测量建模 利用图1实际测量数据建立如图2所示的平面直角坐标系，可以把洒水车喷出水的上、下边缘抽象为两条抛物线的部分图象，喷水口离地面竖直高度为米．上边缘抛物线最高点离喷水口的水平距离为米，高出喷水口米； （1）请你求出上边缘抛物线的函数解析式； 任务二：推理分析 小组成员通过进一步分析发现：当喷头洒水进行调整时，喷头喷出的水柱抛物线形状不发生改变，即下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的， （2）请你结合模型探究下边缘抛物线与轴交点的坐标； 任务三：实践探究 如果我们把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度米，竖直高度米，洒水车到绿化带的距离为米． （3）当调整与绿化带距离为米，洒水车行驶时喷出的水覆盖区域能否洗灌到整个绿化带？请说明理由． 5．【项目式学习】 【项目主题】安全用电，防患未然． 项目背景：近年来，随着电动自行车保有量不断增多，火灾风险持续上升．据悉，约的火灾都在充电时发生．某校九年级数学创新小组，开展以“安全用电，防患未然”为主题的项目式学习，对电动自行车充电车棚的消防设备进行研究． 【任务一】调查分析 （1）图悬挂的是公斤干粉灭火器，图为其喷射截面示意图，在中，，喷射角，地面有效保护直径为米，喷嘴距离地面的高度为____________米； 【任务二】模型构建 由于干粉灭火器只能扑灭明火，并不能扑灭电池内部的燃烧，在火灾发生时需要大量的水持续给电池降温，才能保证电池内部自燃熄灭，不会复燃．学校考虑给新建的电动自行车充电车棚安装消防喷淋头． （2）如图，喷淋头喷洒的水柱最外层的形状为抛物线．已知学校的停车棚左侧靠墙建造，其截面示意图为矩形，创新小组以点为坐标原点，墙面所在直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系．他们查阅资料后，提议消防喷淋头安装在离地高度为米，距离墙面水平距离为米处，即米，米，水喷射到墙面处，且米． ①求该水柱外层所在抛物线的函数解析式； ②按照此安装方式，喷淋头的地面有效保护直径为多少米？ 任务三：问题解决 （3）已知充电车棚宽度为米，电动车电池的离地高度为米．创新小组想在喷淋头的同一水平线上加装同一种喷淋头，使消防喷淋头喷洒的水柱可以覆盖所有的电动车电池，那么喷淋头距离喷淋头至少多少米？（直接写出结果） 6．【项目式学习】 【项目主题】如何调整电梯球、落叶球的发球方向. 【项目素材】 素材一，如图1是某足球场的一部分，球门宽，高，小梅站在A处向门柱一侧发球，点A正对门柱（即），，足球运动的路线是抛物线的一部分． 素材二，如图，当足球运动到最高点Q时，高度为，即，此时水平距离，以点A为原点，直线为x轴，建立平面直角坐标系． 【项目任务】 任务一：足球运动的高度与水平距离之间的函数关系式，此时足球能否入网？ 任务二：改变发球方向，发球时起点不变，运动路线的形状不变，足球是否能打到远角E处再入网？ 上述任务1、任务2中球落在门柱边线视同球入网；根据以上素材，探索完成任务. 7．【项目式学习】 【项目主题】自动旋转式洒水喷头灌溉蔬菜 【项目背景】寻找生活中的数学，九（1）班分四个小组，开展数学项目式实践活动，获取所有数据共享，对蔬菜喷水管建立数学模型．菜地装有1个自动旋转式洒水喷头灌溉蔬菜，如图1所示，观察喷头可顺、逆时针往返喷洒． 【项目素材】 素材一：甲小组在图2中建立合适的直角坐标系，喷水口中心O有一喷水管，从A点向外喷水，喷出的水柱最外层的形状为抛物线，以水平方向为x轴，点O为原点建立平面直角坐标系，点A（喷水口）在y轴上，x轴上的点D为水柱的最外落水点． 素材二：乙小组测得种植农民的身高为1.75米，他常常往返于菜地之间． 素材三：丙小组了解到需要给蔬菜大鹏里拉一层塑料薄膜用来保温保湿，以便蔬菜更好地生长． 【项目任务】 任务一：丁小组测量得喷水口中心点O到水柱的最外落水点D水平距离为7.6米，其中喷出的水的最高点正好经过一个直立木杆的顶部F处，木杆高米，距离喷水口米，求出水柱所在抛物线的函数解析式． 任务二：乙小组发现这位农民在与喷水口水平距离是P米时，不会被水淋到，求P的取值范围． 任务三：丙小组测量发现薄膜所在平面和地面的夹角是，截面如图3，求薄膜与地面接触点与喷水口的水平距离是多少米时，喷出的水与薄膜的距离至少是10厘米？（精确到0.1米） 8．根据以下素材，完成探究任务 项目主题 合理设置智慧洒水车喷头 问题背景 洒水车是城市绿化的生力军，清扫道路，美化市容，降温除尘，环保绿化，如图1，一辆洒水车正在沿着公路行驶（平行于绿化带），为绿化带浇水．数学小组成员想了解洒水车要如何把控行驶路线与绿化带之间的距离，才能保证喷出的水浇灌到整个绿化带．围绕这个问题，该小组开展了“合理设置智慧洒水车喷头”为主题的项目式学习． 素材1 利用图1实际测量数据建立如图2所示的平面直角坐标系，可以把洒水车喷出水的上、下边缘抽象为两条抛物线的部分图象，喷水口H离地面竖直高度h为米．上边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为3米，高出喷水口米； 素材2 小组成员通过进一步分析发现：当喷头洒水进行调整时，喷头喷出的水柱抛物线形状不发生改变，即下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的， 素材3 如果我们把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度米，竖直高度米，洒水车到绿化带的距离为d米． 问题解决 任务1 测量建模：（1）请你求出上边缘抛物线的函数解析式； 任务2 推理分析：（2）请你结合模型探究下边缘抛物线与x轴交点B的坐标； 任务3 实践探究：（3）若洒水车到绿化带距离调整为米，洒水车行驶时喷出的水覆盖区域能否浇灌到整个绿化带？请说明理由． 9．【项目式学习】 项目主题：无人机灌溉研究 项目背景：无人机灌溉技术在现代农业中逐渐普及，它能高效、精准地为农作物供水，减少水资源浪费，提升灌溉效率，助力农业现代化发展． 驱动问题：如何优化无人机灌溉方案，实现更高效、精准的灌溉． 建立模型：如图1，是无人机的示意图，其中点O为无人机的控制中心，点A，B是喷水口，点A，B，O在同一条水平直线上，．如图2，以无人机控制中心所在位置O为坐标原点，竖直方向为y轴，以所在直线为x轴，建立平面直角坐标系．喷水口点A和点B到点O的距离相等，每个喷水口喷出的水流在竖直方向的最大横截面都是形状相同的抛物线，抛物线与y轴的交点为C，． （1）试确定点A所在抛物线的函数表达式． 问题解决： （2）启动无人机后，无人机控制中心距地面的初始高度为，为了精准灌溉，需要调整无人机的高度到合适位置．如图3，使相邻田地之间的田埂（宽度为的区域，且，田埂高度忽略不计）恰好不被喷洒到水，求无人机应该下降的高度 （3）如图4，在直线AB上再增加2个喷水口M和N，M在A左侧，N在B右侧，且，当无人机上升到距地面的高度为时，直接写出此时喷洒水覆盖区域宽度PQ的长． 10．【项目式学习】 项目主题：设计落地窗的遮阳篷 项目背景：小明家的窗户朝南，窗户的高度，为了遮挡太阳光，小明做了以下遮阳蓬 的设计方案，请根据不同设计方案完成以下任务． 方案1：直角形遮阳篷 如图1，小明设计的第一个方案为直角形遮阳篷，点 C 在的延长线上 (1)若，，则支撑杆 m． (2)小明发现上述方案不能很好发挥遮阳作用，如图2，他观察到此地一年中的正午时刻，太阳光与地平面的最小夹角为a，最大夹角为β．小明查阅资料，计算出，，为了让遮阳篷既能最大限度地使冬天温暖的阳光射入室内(太阳光与平行)，又能最大限度地遮挡夏天炎热的阳光(太阳光与平行)．请求出图2中 的长度． 方案2：抛物线形遮阳篷 (3)如图3，为了美观及实用性，小明在(2)的基础上将边改为抛物线形可伸缩的遮阳篷，点F为抛物线的顶点，段可伸缩)，且，，的长保持不变．若以C 为原点，方向为x 轴，方向为y 轴． ①求该二次函数的表达式． ②若某时刻太阳光与水平地面夹角的正切值使阳光最大限度地射入室内，求遮阳蓬点 D上升的高度最小值(即点到的距离) 1．（2025山西中考真题）综合与实践 问题情境：青蛙腾空阶段的运动路线可看作抛物线．我国某科研团队根据青蛙的生物特征和运动机理设计出了仿青蛙机器人，其起跳后的运动路线与实际情况中青蛙腾空阶段的运动路线相吻合． 实验数据：仿青蛙机器人从水平地面起跳，并落在水平地面上，其运动路线的最高点距地面，起跳点与落地点的距离为． 数学建模：如图，将仿青蛙机器人的运动路线抽象为抛物线，其顶点为N，对称轴为直线l，仿青蛙机器人在水平地面上的起跳点为O，落地点为M．以O为原点，所在直线为x轴，过点O与所在水平地面垂直的直线为y轴，建立平面直角坐标系． （1）请直接写出顶点N的坐标，并求该抛物线的函数表达式； 问题解决：已知仿青蛙机器人起跳后的运动路线形状保持不变，即抛物线的形状不变． （2）如图1，若仿青蛙机器人从点O正上方的点P处起跳，落地点为Q，点P的坐标为，点Q在x轴的正半轴上．求起跳点P与落地点Q的水平距离的长； （3）实验表明：仿青蛙机器人在跃过障碍物时，与障碍物上表面的每个点在竖直方向上的距离不少于，才能安全通过．如图，水平地面上有一个障碍物，其纵切面为四边形，其中，．仿青蛙机器人从距离左侧处的地面起跳，发现不能安全通过该障碍物．若团队人员在起跳处放置一个平台，仿青蛙机器人从平台上起跳，则刚好安全通过该障碍物．请直接写出该平台的高度（平台的大小忽略不计，障碍物的纵切面与仿青蛙机器人的运动路线在同一竖直平面内）． 2．（2024山西中考真题）综合与实践 问题情境：如图1，矩形是学校花园的示意图，其中一个花坛的轮廓可近似看成由抛物线的一部分与线段组成的封闭图形，点A，B在矩形的边上．现要对该花坛内种植区域进行划分，以种植不同花卉，学校面向全体同学征集设计方案． 方案设计：如图2，米，的垂直平分线与抛物线交于点P，与交于点O，点P是抛物线的顶点，且米．欣欣设计的方案如下： 第一步：在线段上确定点C，使，用篱笆沿线段分隔出区域，种植串串红； 第二步：在线段上取点F（不与C，P重合），过点F作的平行线，交抛物线于点D，E．用篱笆沿将线段与抛物线围成的区域分隔成三部分，分别种植不同花色的月季． 方案实施：学校采用了欣欣的方案，在完成第一步区域的分隔后，发现仅剩6米篱笆材料．若要在第二步分隔中恰好用完6米材料，需确定与的长．为此，欣欣在图2中以所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系．请按照她的方法解决问题： (1)在图2中画出坐标系，并求抛物线的函数表达式； (2)求6米材料恰好用完时与的长； (3)种植区域分隔完成后，欣欣又想用灯带对该花坛进行装饰，计划将灯带围成一个矩形．她尝试借助图2设计矩形四个顶点的位置，其中两个顶点在抛物线上，另外两个顶点分别在线段上．直接写出符合设计要求的矩形周长的最大值． 1．综合与实践 问题情境：某商业综合大楼外墙的广告牌因电路老化燃起大火．接警后，消防员迅速抵达现场，将消防车停在大楼正前方空旷地带，操控车载水枪灭火，水流在空中形成抛物线．如图，已知火情发生点P距地面的高度为米，与消防车水枪出水口的水平距离为12米，车载水枪距离地面3米高．以水枪出水口为原点O，水平向右为x轴，竖直向上为y轴建立平面直角坐标系． 问题解决： (1)操控水枪首次喷水时，经观测，水流在水平距离出水口8米处达到最大高度，最高点距离地面13米，有效压制了蔓延的火势． ①求首次喷水时，水流所在抛物线的函数表达式． ②试判断首次喷出的水流能否精准射中点P，并说明理由． (2)若此时距地面高度为12米的5楼窗台内又发生火情，着火点Q距水枪出水口的水平距离为13米，原水流轨迹无法覆盖，且现场地形限制，消防车无法进一步靠近，为覆盖更高处的火情，需要通过向上平移喷头来调整水流位置，消防员调整水枪后，新水流的抛物线与原抛物线形状相同．为确保水流能精准抵达5楼窗台隐患点，直接写出喷头向上平移的距离．（结果精确到米） 2．项目式学习 项目背景：儿童软弹玩具枪是相对安全的弹射类玩具，能够锻炼身体协调性、培养专注力与耐心、激发儿童的想象力，某综合与实践小组的同学计划研究儿童软弹玩具枪中的数学知识． 实验数据：当儿童软弹玩具枪发射口距水平地面的高度为时，软弹最终落在距发射口水平距离的水平地面上． 建立模型：如图1．软弹（大小忽略不计）的飞行路线近似为抛物线，发射口可随玩具枪竖直上下移动，发射口即为软弹飞行路线的最高点．过点作水平地面的垂线与地面交于点，以所在直线为轴，过点且与垂直的直线为轴，建立平面直角坐标系（单位长度为）． (1)求软弹飞行路线所在抛物线的函数表达式． 问题解决：儿童软弹玩具枪竖直上下移动时，软弹飞行路线的形状可视为同一抛物线上下平移后的一部分． (2)综合与实践小组的同学在点的位置设置了一个目标靶，软弹想要命中目标靶，儿童软弹玩具枪在竖直方向应如何移动？ (3)如图2．四边形是一个无盖长方体盒子的截面图，点，点的坐标分别为，，轴．轴，，要使软弹能够落在长方体盒子里，直接写出儿童软弹玩具枪发射口距地面的高度的取值范围（含边界）． 3．宇树人形机器人在2026马年春晚《武》中，完成全球首次全自主集群武术表演，翻桌、空翻、人机对打，以硬核功夫燃爆舞台．在一次活动中，宇树人形机器人为大家展示了投球表演，身高为的人形机器人站在指定点点处向上跳起，同时将球举在头顶上方处投球，球在空中运行的路线可以用一个二次函数来描述，并且，球在运行过程中到达最高点时，距离地面，与点的水平距离为．图中，，按如图所示的方式建立直角坐标系，那么 (1)求出表示球在空中运动路线的二次函数关系式以及点的坐标； (2)如果在距离点的地面上有一个高为的立杆，立杆顶部有一个按钮，那么机器人这次投球是否会击中这个按钮，如果不会，在其他条件都不变的情况下，机器人应该沿轴所在直线从点后退多少米就可以击中按钮？请你直接写出答案． 4．综合与实践 问题情境：小希和弟弟在小区广场玩弹力球，广场四周是绿化带．如图1，弟弟将弹力球抛出，球在空中划出一条抛物线轨迹，落在地面上后弹起，再次形成一条抛物线轨迹，最终落在广场边缘绿化带内（未再弹起）． 素材收集：小希用手机拍摄了弹力球运动的视频，并查阅资料以及技术还原得到如下素材（图中各点均在同一竖直平面内）： 素材①：弹力球出手点A距地面，第一次落地点为点B； 素材②：第一次飞行过程中，弹力球达到最高点时，与出手点A的水平距离为，距离地面； 素材③：弹力球落地后立即弹起，由于碰撞过程中的能量损失，其弹起后的运动轨迹形状与第一次相同，但最高点明显降低．研究表明，普通弹力球的恢复系数（反弹高度与下落高度之比的平方根）通常在左右； 素材④：矩形表示绿化带截面（绿化带内植物顶部被修剪为平面），绿化带高度，宽度，绿化带边缘与出手点A的水平距离为． 建立模型：如图2，以地面上的某点O为原点，沿地面水平方向为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系．设弹力球第一次运动轨迹为抛物线，第二次弹起后运动轨迹为抛物线，且与形状相同（即二次项系数相等）． 问题解决：根据上述素材，解答下列问题： (1)求抛物线所对应的函数表达式； (2)已知该弹力球恰好落在绿化带顶部CF的中点M处，求该弹力球的恢复系数； (3)在抛出弹力球时的速度、角度、高度均不变的情况下，若要使弹力球第二次落地点的位置在广场内（即线段上），弟弟应至少沿方向左移多少米？直接写出结论即可． 5．为迎接春节的到来，某社区在大门上方的抛物线形框架结构上悬挂了灯笼，营造喜庆的节日氛围．某数学兴趣小组开展了综合与实践活动，记录如下： 活动主题 在大门上方的抛物线形框架结构上悬挂灯笼 测量工具 皮尺等 采集数据 如图1是该社区大门及上方抛物线形框架结构平面示意图，信息如下： 1．大门形状为矩形（矩形）； 2．底部跨度的长为； 3．大门上方抛物线形框架的顶点P到的距离； 4．大门B，C两点到地面的垂直距离均为 设计方案 现需在此抛物线形框架上的点M，N处各悬挂一个灯笼．已知点M，N关于抛物线的对称轴对称，且两灯笼之间的水平距离为（M，N之间的距离为） 确定思路 如图2，小组成员经过讨论，确定以所在直线为x轴，所在直线为y轴，建立平面直角坐标系 根据以上信息，解决下列问题： (1)求大门上方框架所在抛物线的表达式，并写出自变量x的取值范围． (2)若悬挂点到灯笼最底端的距离为，求灯笼最底端到地面的高度． (3)春节期间，该社区举行非遗盛大文化表演，表演时矩形彩车经过该社区大门时不能触碰灯笼．已知宽为、高度不等的矩形彩车车队居中行驶，且彩车的高度均为整数．在（2）的条件下，求该车队中彩车的最大高度． 6．综合与实践 【问题情境】在某沙漠化治理研究中，科研人员为了监测沙丘的移动和高度变化，选取了一个典型的新月形沙丘进行剖面测量．为了方便建模，他们将沙丘的纵向轮廓线近似看作一条抛物线． 【建立模型】科研人员以沙丘的最低点（同时也是沙丘与周围平地的交界点）为原点，以水平地面为轴，竖直方向为轴，建立如图所示的平面直角坐标系．已知该沙丘轮廓线的最高点距离地面10米，沙丘在平地上的跨度（即底端点和点之间的距离）为40米． 【问题解决】 (1)请求出描述该沙丘轮廓线的抛物线的函数表达式． (2)为了固定沙丘防止移动，治沙工人计划在沙丘上部（最高点下方）铺设一条水平的草方格沙障． ①若要求沙障距离水平地面的高度为6米．请计算这条草方格沙障的长度（结果精确到1米，参考数据：）． ②为搭建稳固的水平沙障，需在沙丘轮廓线上对称安装两根立柱，立柱垂直于水平地面，底端固定在水平地面（即轴）上，顶端贴合沙丘轮廓线．若施工要求左侧立柱顶端的高度是其到原点（沙丘左侧最低点）水平距离的，请计算两根立柱之间的水平距离． 7．消防喷头用于消防喷淋系统，当发生火灾时，水通过喷头溅水盘洒出，进行灭火，这是酒店等公共场所必备的消防器材，其型号分为下垂型喷头和直立型喷头，其中直立型喷头洒水形状为抛物线型，其截面为对称的抛物线，水落在地面上的形状为圆． (1)如图2，矩形是一房间截面示意图，房间的长度和宽度都为，即，的中点为点O，点O正上方有一个消防喷头，点A为喷头的溅水盘（即出水口），以点O为原点，以所在的直线为x轴，以所在的直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，，点A喷出水的轨迹为对称的抛物线与，在C点处达到最高点，此时点C到地面的距离为，到y轴距离为． ①求抛物线的函数表达式． ②求该喷头覆盖的灭火面积．（结果保留） (2)如图3所示，由于一个喷头不能覆盖整个，现需要再增加一个同样的喷头，K为的中点，，为消防喷头，，关于K对称，若使两个喷头无死角的覆盖整个线段，请直接写出的长度范围． 8．综合与实践 小刚家的新家装修到了安装射灯，设计沙发背景墙的阶段，他和爸爸到了装饰城，看到了如图1中的某种型号的射灯投射下的背景样板墙，4盏射灯的光照的区域“覆盖”了整个墙面．光照的区域边缘可近似的看为抛物线，相同型号的射灯光照区域的形状完全一样．小刚抽象出了如图2中的示意图，测量后得到相关数据，左侧第一盏灯最高点C距离地面高度为290cm，与左墙面的水平距离为30cm，光线与墙的交点A距离地面245cm，点B，D，E均为两条光线的交点，点F且A，B，D，E，F在同一高度的水平线上． (1)数学建模 如图3，以墙面OA所在的直线为y轴，垂直于OA的地面所在直线为x轴，建立的平面直角坐标系，设光线距离地面的高度为，距墙面OA水平距离为，求y与x之间的函数关系式． (2)问题解决 小刚家沙发背景墙和装饰城的样板墙高度一致，墙面长为420cm，按照样板墙的方式安装射灯，请帮小刚计算需要安装的射灯数量至少为多少时，光照区域才能如样板墙那样实现全“覆盖”？ (3)如图4，小刚妈妈还计划在这每一盏射灯的光照区域内安装一幅矩形的家庭照片，照片的底部安装高度距离地面145cm，请直接写出如图4中，左侧第一盏灯的光照区域内矩形照片的周长的最大值． 第一招 建立平面直角坐标系 第二招 设抛物线解析式 第三招 求抛物线解析式 第四招 实际问题转化 真 题 回 顾 快 招 应 用 模 拟 预 测 专 题 解 读 学科网（北京）股份有限公司 $