2026年中考数学第二轮专题复习（山西卷）专题二 不规则图形面积的计算

2026年中考数学第二轮专题复习（山西卷） 专题二 不规则图形面积的计算（解析版） 求不规则图形的面积是山西中考常考题型（第10题），涉及扇形、三角形、特殊四边形面积的计算，圆中不规则图形面积的计算是初中几何的常见难点。其核心思想是 “转化”，即将无法直接求面积的图形，通过割补、等积变形、整体与部分关系等方法，转化为规则图形（如扇形、三角形、矩形等）的组合或差。 常考的方法有整体作差法、分割求和（差）法、等积转化法、容斥原理法‘ 用整个图形的面积减去所有空白部分的面积 把图形适当分割，将不规则图形的面积转化为几个规则图形的和或差 通过等面积转化，把不规则图形的面积转化成规则图形的面积来计算。 当阴影部分由几个图形叠加而成时，利用“阴影部分的面积=叠加前的几个图形的面积之和—（多加部分的面积+空白部分的面积）“求解。 1．如图，在矩形中，以点为圆心，的长为半径画弧，交于点，连接；再以点为圆心，的长为半径画弧，与相切于点，交于点．已知，，则图中阴影部分（，线段，，线段围成的图形）的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求得，根据扇形的面积加上扇形的面积减去的面积，即可求解． 【详解】解：如图，连接， 依题意，，，， ∴ ∴， ∴， ∴ 阴影部分面积 2．如图，是的直径，点是下方的中点，连接，以点为圆心，的长为半径作圆弧．若，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C．4 D． 【答案】C 【分析】先求得，，根据阴影部分面积等于半径为2的半圆的面积减去弓形的面积，即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵是的直径，点是下方的中点，， ∴， 阴影部分面积为 3．如图，在边长为2的正六边形中，分别以点A，D为圆心，长为半径画，，则两弧与边围成图形（图中阴影部分）的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设圆心为O，连接，设与交点为G，根据正六边形性质，证明都是等边三角形，四边形是菱形，与互相垂直平分，求出，，，，由，得，得是等边三角形，，求出，由，得．即得 ． 【详解】解：如图，设圆心为O，连接，设与交点为G，    ∵边长为2的正六边形中，内角为，中心角为， ∴， ∵， ∴都是等边三角形， ∴， ∴四边形是菱形， ∴与互相垂直平分，， ∴， ∴， ∴，， 由旋转对称知，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， 由轴对称知，点O在直线上，， ∴ ． ∵， ∴ ． 故选：A． 【点睛】设圆心为O，连接，设与交点为G，构造等腰三角形，等边三角形，菱形，轴对称图形，旋转对称图形，全等三角形． 4．如图，已知半圆的直径，是半圆上一点，且，以点为圆心，的长为半径画弧交于点，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，求特殊图形的面积，掌握扇形面积公式是解题关键． 连接，过点作于点，先求出、扇形的面积、扇形的面积，再利用面积的和差进行计算即可． 【详解】解：连接，过点作于点， ∵，， ∴，， ∵，， ∴，，， ∴， ∴的面积为：， 扇形的面积为：， 扇形的面积为：， ∴图形的面积为：， ∴阴影部分的面积为：． 故选：A． 5．如图，在正方形中，进行如下操作：分别以，为直径作半圆；以点为圆心，以长为半径作弧，以点为圆心，以长为半径作弧，若，则图中阴影部分的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了扇形的面积的计算，正方形的性质，熟练掌握扇形的面积公式是解题的关键． 根据正方形与圆的对称性质可知，阴影部分的面积等于正方形的面积减去扇形的面积． 【详解】解：根据图形可知，正方形的面积为， 扇形的面积为， ∴阴影部分的面积为． 故选：． 6．如图，在中，，过、两点的交于点，与相切于点，为的直径，若，则阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了图形面积计算，关键是连接辅助线和，证明得到为等边三角形． 【详解】解：连接和，作垂足为点如下图所示： 中与相切于点， ， 由圆周角定理可知，， 在中，， 在和中， ， ． ， ，圆半径为． 扇形面积， 在中，， 由勾股定理可知，， 面积， 面积， 半圆面积， ． 故选：． 7．如图，在扇形中，，，分别是，上的点．将扇形沿折叠，点恰好落在的中点处，若，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，由是的中点，，则，通过折叠性质可知，，，，则四边形是矩形，又，故四边形是正方形，则有，所以，求出，再通过图中阴影部分的面积为即可求解． 【详解】解：连接， ∵是的中点，， ∴， 由折叠性质可知，，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴图中阴影部分的面积为， 故选：． 【点睛】本题考查了扇形面积，圆周角定理推论，三角形内角和定理，折叠性质，矩形判定，正方形的判定与性质，勾股定理，掌握知识点的应用是解题的关键． 8．如图，在半圆中，为其直径，点，是半圆的三等分点．已知弧的长为，，则图中阴影部分的面积为（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先通过弧长公式求出半圆的半径，再利用等边三角形的性质和三角形、扇形的面积公式，通过三角形面积减去扇形面积来计算阴影部分面积． 【详解】解：连接、、，过作于，交于， ∵点，是半圆的三等分点， ∴．，， 设半圆的半径为，则， 解得． ∵，， ∴是等边三角形，， ∴ ∴， ∴． ∵ ∴，，，扇形的面积为． ∴，，， ∴， ∴， ∴ ∴． ∴阴影部分面积为扇形． 故选：． 【点睛】本题主要考查弧长公式、等边三角形的判定与性质以及扇形面积公式，熟练掌握弧长公式和扇形面积公式是解题的关键． 9．如图，先以正方形的边为直径画圆，然后以A为圆心，为半径画，最后以的中点E为圆心，为半径画与交于点 F，若，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C．4 D． 【答案】A 【分析】本题考查圆面积的计算，正方形的性质，根据圆面积，扇形面积的计算方法以及图形中各个部分面积之间的和差关系进行计算即可． 【详解】解：如图， 空白①的面积为， 空白部分②的面积， 所以阴影部分的面积 ， 故选：A． 10．如图，在四边形中，先以点A为圆心，的长为半径画弧，此弧恰好经过点C，再以点C为圆心，的长为半径画弧，此弧恰好经过点A．若，则图中阴影部分的周长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，弧、弦、圆心角的关系，弧长的计算，关键是掌握弧长公式． 连接，判定是等边三角形，得到，推出，求出的周长，即可得到阴影部分的周长． 【详解】解：连接， 由题意得到：，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵的周长， ∴阴影部分的周长． 故选：D． 11．如图，与菱形的边相切于点，点，在上．若，则图中阴影部分的面积为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，，，，．证明，得出，结合切线的性质求出，解直角三角形得出，最后再由计算即可得解． 【详解】解：如图，连接，，，，． 四边形是菱形， ，． 在和中， ， ∴， ， 点在菱形的对角线上， ． 是的切线， ． ， 即， 解得， ， ，， ，， ， ， 故选：C． 【点睛】本题考查了切线的性质、菱形的性质、全等三角形的判定与性质、扇形面积公式、解直角三角形等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 12．如图，半径为2的圆形纸片上有三点，分别沿弦折叠圆形纸片，使折叠后的与都经过圆心，则，围成的阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了求不规则图形的面积，解直角三角形，等边三角形的性质与判定，折叠的性质，垂径定理，在上取点关于直线的对称点，连接，连接交于点，由折叠的性质可得，则可证明和是等边三角形，垂直平分，进而可得，解直角三角形得到，则，可求出，同理可得，再根据列式求解即可． 【详解】解：如图，在上取点关于直线的对称点，连接，连接交于点． 由折叠可知． 和是等边三角形，垂直平分． ， ， 在中，， ∴， ∴， 同理可得， ， 故选：A． 1．（2025山西中考真题）如图，在中，，分别以点为圆心、的长为半径画弧，与的延长线分别交于点．若，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，扇形的面积，由等腰直角三角形的性质得，，进而由解答即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：． 2．（2024山西中考真题）如图，正六边形的边长为2，以为圆心，的长为半径画弧，得，连接，，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用等六边形的性质计算出AC的长度，再根据扇形面积计算公式计算即可． 【详解】解：过B点作AC垂线，垂足为G， 根据正六边形性质可知，， ∴， ∴S扇形=， 故选：A． 【点睛】本题主要考查扇形面积的计算，根据正六边形性质计算出扇形的半径是解题的关键． 1．如图，是的直径，弦于点，，，则阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了垂径定理，圆周角定理，掌握垂径定理是解题的关键．根据圆周角定理可得，求得半径，再由垂径定理，可得，可知与等底等高，进而把阴影部分面积转化为扇形的面积，即可得出答案． 【详解】解：和都对着，， ， ， ， ， ， 是的直径，弦于点， ，， 与等底等高，即，， ， ， 故选：D． 2．如图，扇形纸片，是半径上的一动点，连接，把沿翻折，点的对称点为，当点恰好落在上时，则图中阴影部分的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了轴对称的性质，锐角三角函数，勾股定理，扇形面积公式等知识点，解题的关键是熟练掌握以上性质，并灵活应用． 连接，交于点，则，假设，利用勾股定理求出，利用即可求解． 【详解】解：如图所示，连接，交于点，则， 由轴对称的性质可得垂直平分线段， ， ， 假设， 由勾股定理得， 即， 解得， ∴， ， ， 故选：A． 3．如图，在中，，，点是上的一点，以为直径作，交于点，过点作的切线交于点．若，，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，可得是等边三角形，求出，过点分别作的垂线，垂足分别为，则，则，，根据阴影部分面积，即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵是的切线， ∴， 又，， ∴ ∴ 又∵在中，， ∴ ∴是等边三角形， ∵ ∴， ∴， ∴，， ∵，， ∴ 过点分别作的垂线，垂足分别为， ∴，则，， ∴阴影部分面积 故选：A． 【点睛】本题考查扇形面积的计算、含30度角的直角三角形，圆的切线的性质，解直角三角形，等边三角形的判定与性质，利用数形结合的思想解答是解答本题的关键． 4．如图，在扇形中，，点为的三等分点，连接，过点作交于点．连接．则阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了圆心角和弧的关系、扇形的面积公式、解直角三角形、勾股定理等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． 根据弧和圆心角的关系可得，即，进而得到，根据直角三角形的性质以及勾股定理可得、、进而得到；在中解直角三角形可得，最后根据求解即可． 【详解】解：如图： ∵在扇形中，，点为的三等分点， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴，， 在中，，， ∴， ∴， ． 故选A． 5．如图，在中，，，．以A为圆心，为半径画弧交边于点E，，点D为的中点，以D为圆心，为半径画弧，则图中阴影部分的面积是（   ） A． B． C．2 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质、扇形面积公式，由等腰直角三角形的性质可得，，，，再由计算即可得解． 【详解】解：∵在中，，，． ∴，， ∵点D为的中点， ∴，， ∴ ， 故选：C． 6．如图，扇形的半径长为2，，以为直径画半圆，取弧的中点，连接，则阴影部分面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了扇形面积，过点D作将的延长线于点E，由已知可推出阴影部分面积等于扇形面积加个半圆的面积，加以为边长的小正方形的面积，再减去面积，最后根据扇形面积公式代入数据即可求出阴影部分的面积． 【详解】解：如图，过点D作将的延长线于点E，取中点，连接，则， ∵扇形的半径长为2， ∴， 又∵，点为弧的中点， ∴，， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， ∵阴影部分面积等于扇形面积，加个半圆的面积，加正方形的面积，再减去面积， ∴ ． 故选：A． 7．如图，在矩形，以点A为圆心，的长为半径画弧，交于点F，再以点B为圆心，的长为半径画弧，交于点E．已知，，则图中阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了扇形的面积的计算、切线的性质、矩形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识，解题的关键是能够正确运用割补法将不规则图形转化成规则图形面积的和差． 利用割补法将阴影部分分成三部分，即，然后分别求每部分的面积即可． 【详解】解：由题意可知，与扇形只有一个交点，则与扇形相切，设这个切点为G， 连接，，则． 过点E作，交于点H． 四边形是矩形， ，． 由题意可得，， 在中，由勾股定理可得： ， ， ， ， ， 即扇形的圆心角为． 在和中， ， ， ， ， ， 即扇形的圆心角为． ， ， ， 故选：A． 8．如图，在矩形中，，P是的中点，以点B为圆心，的长为半径画弧，交于点E，以点C为圆心，的长为半径画弧，交于点F，若，则图中阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了勾股定理，扇形面积求法以及矩形的性质，熟练掌握这些知识是解题关键． 过点P作于点M，先得出，再得出，即可得出答案． 【详解】解：如图，过点P作于点M， 由题意可知，， ， ， ，， 阴影部分的面积． 故选D． 第一招 整体作差法 第二招 分割求和（差）法 第三招 等积转化法 第四招 容斥原理法 快 招 应 用 专 题 解 读 真 题 回 顾 模 拟 预 测 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年中考数学第二轮专题复习（山西卷） 专题二 不规则图形面积的计算 求不规则图形的面积是山西中考常考题型（第10题），涉及扇形、三角形、特殊四边形面积的计算，圆中不规则图形面积的计算是初中几何的常见难点。其核心思想是 “转化”，即将无法直接求面积的图形，通过割补、等积变形、整体与部分关系等方法，转化为规则图形（如扇形、三角形、矩形等）的组合或差。 常考的方法有整体作差法、分割求和（差）法、等积转化法、容斥原理法‘ 用整个图形的面积减去所有空白部分的面积 把图形适当分割，将不规则图形的面积转化为几个规则图形的和或差 通过等面积转化，把不规则图形的面积转化成规则图形的面积来计算。 当阴影部分由几个图形叠加而成时，利用“阴影部分的面积=叠加前的几个图形的面积之和—（多加部分的面积+空白部分的面积）“求解。 1．如图，在矩形中，以点为圆心，的长为半径画弧，交于点，连接；再以点为圆心，的长为半径画弧，与相切于点，交于点．已知，，则图中阴影部分（，线段，，线段围成的图形）的面积为（    ） A． B． C． D． 2．如图，是的直径，点是下方的中点，连接，以点为圆心，的长为半径作圆弧．若，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C．4 D． 3．如图，在边长为2的正六边形中，分别以点A，D为圆心，长为半径画，，则两弧与边围成图形（图中阴影部分）的面积为（   ） A． B． C． D． 4．如图，已知半圆的直径，是半圆上一点，且，以点为圆心，的长为半径画弧交于点，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 5．如图，在正方形中，进行如下操作：分别以，为直径作半圆；以点为圆心，以长为半径作弧，以点为圆心，以长为半径作弧，若，则图中阴影部分的面积是（   ） A． B． C． D． 6．如图，在中，，过、两点的交于点，与相切于点，为的直径，若，则阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 7．如图，在扇形中，，，分别是，上的点．将扇形沿折叠，点恰好落在的中点处，若，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 8．如图，在半圆中，为其直径，点，是半圆的三等分点．已知弧的长为，，则图中阴影部分的面积为（） A． B． C． D． 9．如图，先以正方形的边为直径画圆，然后以A为圆心，为半径画，最后以的中点E为圆心，为半径画与交于点 F，若，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C．4 D． 10．如图，在四边形中，先以点A为圆心，的长为半径画弧，此弧恰好经过点C，再以点C为圆心，的长为半径画弧，此弧恰好经过点A．若，则图中阴影部分的周长为（   ） A． B． C． D． 11．如图，与菱形的边相切于点，点，在上．若，则图中阴影部分的面积为（  ） A． B． C． D． 12．如图，半径为2的圆形纸片上有三点，分别沿弦折叠圆形纸片，使折叠后的与都经过圆心，则，围成的阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 1．（2025山西中考真题）如图，在中，，分别以点为圆心、的长为半径画弧，与的延长线分别交于点．若，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 2．（2024山西中考真题）如图，正六边形的边长为2，以为圆心，的长为半径画弧，得，连接，，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 1．如图，是的直径，弦于点，，，则阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 2．如图，扇形纸片，是半径上的一动点，连接，把沿翻折，点的对称点为，当点恰好落在上时，则图中阴影部分的面积是（   ） A． B． C． D． 3．如图，在中，，，点是上的一点，以为直径作，交于点，过点作的切线交于点．若，，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 4．如图，在扇形中，，点为的三等分点，连接，过点作交于点．连接．则阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 5．如图，在中，，，．以A为圆心，为半径画弧交边于点E，，点D为的中点，以D为圆心，为半径画弧，则图中阴影部分的面积是（   ） A． B． C．2 D．4 6．如图，扇形的半径长为2，，以为直径画半圆，取弧的中点，连接，则阴影部分面积为（　　） A． B． C． D． 7．如图，在矩形，以点A为圆心，的长为半径画弧，交于点F，再以点B为圆心，的长为半径画弧，交于点E．已知，，则图中阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 8．如图，在矩形中，，P是的中点，以点B为圆心，的长为半径画弧，交于点E，以点C为圆心，的长为半径画弧，交于点F，若，则图中阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D． 第一招 整体作差法 第二招 分割求和（差）法 第三招 等积转化法 第四招 容斥原理法 真 题 回 顾 快 招 应 用 模 拟 预 测 专 题 解 读 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