2026年中考数学第二轮专题复习（山西卷）专题一 求线段的长度

2026年中考数学第二轮专题复习（山西卷） 专题一求线段的长度（解析版） O000 在山西中考题中，压轴题(15题)计算线段的长度（八年八考)，此类试题 以三角形、四边形为背景，多涉及中点、角的平分线、锐角三角函数的考查， 解决此类问题要熟练掌握三角形、四边形的基本性质，通过合理添加辅助线，构 造相似或全等锐角三角函数得到线段之间的数量关系，并结合勾股定理求线段的 的长。方程思想是破解此类题的利器，掌握列方程的技巧至关重要，列方程的 常用方法可以概括为以下三招，它们分别对应几何中三种强大而常见的等量关系， 可简记为“一勾二似三面积，方程在手全搞定”。 注意：审题后，标记已知量，缺啥把啥设为未知数。 第一招 勾股优忧先 冲 看见垂直、直角，利用勾股定理列方程 第二招 找相似 找不到直角。看有没有平行或相似三角形，利用相似三角形对应边成比例列方程 第三招 等面积法 当直接求高或者边有困难时，用“等面积法列方程”。 1.如图，在ABC中，点E是AB边上的中点，点D在AC上，BD交CE于点F,且 ∠ADB=2∠BFE,若BD=5,AD=3,则线段BF的长为 B 【答案】4 【分析】本题考查三角形中位线定理，平行线的性质，等腰三角形的性质.熟练运用以上知 识点，并恰当设置辅助线，是解题的关键， 取AD的中点G,连接EG，根据三角形中位线定理，得到EG=2.5,DG=1.5,根据 EG∥BD得到LBFE=∠GEF,LADB=∠AGE,进而得到LGEF=∠GCE,进而得到CD的 长度，通过证明DF=CD=1,进而得到BF的长度， 【详解】解：如图，取AD的中点G,连接EG, ~点E是AB边上的中点，点G是AD的中点， EG是△ABD的中位线， .EG/BD,EG=IBD,AG=DG=AD, 2 BD=5,AD=3, E0=x5e25,06=315 EG∥BD, ∴LBFE=∠GEF,∠ADB=∠AGE, ∠ADB=2∠BFE, ∠AGE=2∠BFE,即∠AGE=2∠GEF, ZAGE ZGEF+ZGCE, .ZGEF ZGCE, EG=GC=2.5, .CD=GC-DG=2.5-1.5=1, ∠ADB=2∠BFE,∠BFE=∠DFC, ∠ADB=2∠DFC, 又LADB=∠DFC+∠DCF, ∴∠DFC=∠DCF, .DF=CD=1, .BF=BD-DF=5-1=4. 故答案为：4. 2.如图，在四边形ABCD中，AB=AD=12,BC=16,∠BAD=∠ABC=90°，F为AB上 一点，连接FC、FD,使FD=CD,若E为FC的中点，连接AE,则AE的长为 B 【答案】8√2 【分析】本题考查了正方形的性质与判定，中位线的性质，勾股定理，等腰直角三角形，全 等三角形的判定与性质. 过点D作DG⊥BC于点G,取FB的中点H,连接HE,证明四边形ABGD是正方形，进而 证明RtAAFD≌RtAGCD(HL),得出AF=4,则AH=8,根据中位线的性质可得， ∠AHE=∠B=90°，然后由勾股定理即可求解 【详解】解：过点D作DG⊥BC于点G,取FB的中点H,连接HE, H E G DG⊥BC, ∠BGD=∠DGC=90°， .∠BAD=∠ABC=∠BGD=90°， ∴四边形ABGD是矩形， 又~AB=AD=12, 四边形ABGD是正方形， AD=DG=BG=12, 又~∠DGC=∠BAD=90°，FD=CD, :Rt AFD≌RtAGCD(HL, AF=CG=BC-BG=16-12=4, BF=AB-AF=12-4=8, H为FB的中点， .FH=1FB=4 六AH=AF+FH=4+4=8, E为FC的中点，BC=16, HE-号BC-8,HE/BC, ∴∠AHE=∠B=90°， AE=VAH2+HE2=82+82=82, 故答案为：8√2. 3.如图，在ABC中，在BC边上取一点D,使CD=AC,连接AD,过点C作CE⊥AD交 AD于点F,交AB于点E,若∠B=∠DCE,AE=2,CE=3,则CF的长为 D B 【答案】2.5 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理，等腰三角形的判定 和性质，过点D作DH⊥AD交AB于点H,依题意得△DFC和△AFC都是直角三角形，进 而依据“HL”判定Rt△DFC和Rt△AFC全等得DF=AF,根据EF∥DH得EF是△ADH的 中位线，继而得EF=DH,HE=AE=2,再根据∠B=∠DCE得BE=CE=3,则BH=l, 2 证明∠BDM=∠B得DH=BH-小，由此得EF=D1=分，据此即可得CF的K。 【详解】解：过点D作DH⊥AD交AB于点H,如图所示： B ~CE⊥AD交AD于点F, ∠DFC=∠AFC=90°， △DFC和△AFC都是直角三角形， 在Rt△DFC和Rt△AFC中， (AC=DC CF=CF :RtADFCS≌RtAAFC(HL), DF AF, CE⊥AD,DH⊥AD, EF∥DH, :AE、AF EH FD 1 ·AE=EH, EF是AADH的中位线，∠BDH=∠DCE, ÷EF=DH, AE=2,CE=3, HE=AE=2, ZB=ZDCE, .BE CE =3, :.BH BE-HE =1, 又∠BDH=∠DCE, ∠BDH=∠B, ∴DH=BH=1, ∴CF=CE-EF=3- 1 =2.5, 2 CF的长为2.5. 故答案为：2.5， 4.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3,BC=4,E为BC边的中点，点D在AB 边上，BD=4AD,AE与CD相交于点F,则DF的长为 B 【答案】2v10 15 【分析】先利用勾股定理求出AB,BD,AD,过点E作EG∥AB,则aCGE∽aCDB,则 EG=BD=2,同理△ADF∽△EGF,且相似比为：AD:EG=1:2,则可得出FG=2DF ,过点D作DH⊥BC于点H,得出aBDH∽△BAC,由相似三角形的性质得出 4 CH=BC-BH=二，再根据勾股定理求出CD,最后根据线段的数量关系即可求出DF. 【详解】解：在Rt△ABC中，AB=VBC2+AC2=5, BD=4AD, BD=4,AD=1, 过点E作EG∥AB, 则△CGE∽aCDB, E为BC边的中点， EG:BD CE:CB=1:2,CG=CD, EG-BD-2. 同理：△ADF∽△EGF,且相似比为：AD:EG=I:2, DF FG=AD:EG=1:2,FG=2DF, 过点D作DH⊥BC于点H, HD∥AC, △BDH∽△BAC, :.BD:BA=BH BC=DH AC, 8H=16 DH=12 CH=BC-BH3 在Rt△DCH中，CD=VCH'+DH= 4V10 5 CD=DF+FG+CG =DF+2DF+3DF =6DF ∴6DF= 4V10 5 解得：DF= 2v10 15 B E H D C 5,在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是BC边的中线，∠ABC的平分线交AD于点E,交 AC于点F,若AC=9,AB=15,则EF的长为 B D 【答案】10v0 > 【分析】过点E作EG⊥BC于点G,过点E作EK⊥AB于点K,过点F作FH⊥AB于点H ,根据勾股定理求出BC=12,根据角平分线的性质得出相等的线段，利用面积法求出 FH=FC=4,K=G-.倍功相假三角形得出8G头，最后利用勾服定型果解。 【详解】解：如图所示，过点E作EG⊥BC于点G,过点E作EK⊥AB于点K,过点F作 FH⊥AB于点H, A H K E B DG ×∠C=90°，AC=9,AB=15, ∴由勾股定理得BC=√AB2-AC2=12, AD是BC边的中线， ∴BD=CD=6, BF平分∠ABC, 2.EK EG,FH=FC, AB-FH+IBC.FC=IBC.AC. 2 2 xISFH+x12FC-x12x9. 1 2 2 解得FH=FC=4, AR EK+-BD-EG--BD AC. 2 2 1 1 “2X15EK+2x6BG=2X6x9, 解得K=5G=号 ∠EBG=∠FBC,∠BGE=∠C=90°， △BGEn△BCF, EG BG FC BC 18 即7。BG, 412 54 解得BG= 7, 由勾股定理得，BF=VBC2+FC2=V122+42=4V0, BE=BG2+EG EF=BF-BE=4V0-18i0_1010 7 7 6.如图，在ABC中，AB=AC,BC=4,BD是AC边上的中线，点E是BD边上的一点， 选接CE并延K,交于点F.若D-石则F的K为 【答案】 【分析】过点D作DN∥CF交AB于点N,过点A作AG⊥BC于点G,交BD于点H,根 据平行线分线段成比例可行DE-N-乙，-D-1,设AN=NF=7x,则BF=10r, BE BF 10'NF DC 则BF)AB,然后证明DG为ABC的中位线，则△DGH∽△BAH,求出 BH=2BD-217,DH-1BD-17,GH=BH2-BG-2 3 3 MH=2GH=82,那么AG=4H+GH=42,4B=VAG2+BG=6,即可求解BF. 【详解】解：过点D作DN∥CF交AB于点N,过点A作AG⊥BC于点G,交BD于点H, D B G ~DN∥CF,BD是AC边上的中线， DE-FN7.AN-AD=1 BE-BF10'NF DC ∴设AN=NF=7x,则BF=10x, .AB AN NF BF 24x, "BF=10 AB=5 AB, 24 12 AB=AC,AG⊥BC ÷BG=CG=1BC=x4=2, 1 2 2 AD =DC DG为ABC的中位线， DG∥AB,DG=AB 2 ·△DGH∽△BAH, :DG_GH_DH 1 BA AH BH2 aGH=am-G-等5 4H=2GM-号0 六AG=AH+GH=4V2 六AB=VAG2+BG2=6 5 5 —×6= 12 2 7.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6,BC=8,D是AC的中点，点E在BC上， 分别连接BD、AE交于点F,若∠BFE=45°，则CE= 【答案】30 【分析】过点A,B分别作BC,AC的平行线交于点K,则四边形ACBK为矩形，过点A 作AM∥DB交KB于点M,过点M作MN⊥AM交AE的延长线于点N,过点N作BC的平行 线分别交AC,KB的延长线于点H,Q,则四边形CHB为矩形，证明 △AKM≌△MQN(AAS),得出KM=NQ,MQ=AK=8,证明aACE∽△AHN,可求出CE的长 【详解】解：过点A,B分别作BC,AC的平行线交于点K,则四边形ACBK为矩形， 2026年中考数学第二轮专题复习（山西卷） 专题一 求线段的长度 在山西中考题中，压轴题（15题）计算线段的长度（八年八考），此类试题以三角形、四边形为背景，多涉及中点、角的平分线、锐角三角函数的考查，解决此类问题要熟练掌握三角形、四边形的基本性质，通过合理添加辅助线，构造相似或全等锐角三角函数得到线段之间的数量关系，并结合勾股定理求线段的的长。方程思想是破解此类题的利器，掌握列方程的技巧至关重要，列方程的常用方法可以概括为以下三招，它们分别对应几何中三种强大而常见的等量关系，可简记为“一勾二似三面积，方程在手全搞定”。 注意：审题后，标记已知量，缺啥把啥设为未知数。 看见垂直、直角，利用勾股定理列方程 找不到直角。看有没有平行或相似三角形，利用相似三角形对应边成比例列方程 当直接求高或者边有困难时，用“等面积法列方程”。 1．如图，在中，点是边上的中点，点在上，交于点，且，若，，则线段的长为________． 2．如图，在四边形中，，，，F为上一点，连接，使，若E为的中点，连接，则的长为______． 3．如图，在中，在边上取一点，使，连接，过点作交于点，交于点，若，则的长为______________． 4．如图，在中，，，，E为边的中点，点D在边上，，与相交于点F，则的长为______． 5．在中，，是边的中线，的平分线交于点E，交于点F，若，，则的长为________． 6．如图，在中，，是边上的中线，点是边上的一点，连接并延长，交于点．若，则的长为__________． 7．如图，在中，，，，D是的中点，点E在上，分别连接、交于点F．若，则____________________ ． 8．如图，在中，，D，E分别为边上的点，且，若，，则的长为______． 9．如图，正方形的边长为4，为上一点，连接，过点作的垂线，与交于点为的中点，连接，若，则_____． 10．如图，已知中，，点E为的中点，与的延长线交于点F，交于点G，，则的长为_____． 11．如图，是边长为的等边三角形，点是外的一点，，．若，连接，则线段的长为___________. 12．如图，中，，D为的中点，点F是边上一点，且，连接并延长，交延长线于点E，若，则的长为______． 1．[2025年山西中考真题]如图,在四边形中,,,,,点E在边上,,连接,且.点F在的延长线上,连接若,则线段的长为______. 2．[2024年山西中考真题]如图，在中，AC为对角线，于点E，点F是AE延长线上一点，且，线段AB，CF的延长线交于点G.若，，，则BG的长为__________________. 3．[2023年山西中考真题]如图，在四边形ABCD中，，对角线AC，BD相交于点O.若，，，则AD的长为____________________. 1．如图，在四边形中，，，平分，与相交于点，若，，则线段的长为________． 2．如图，在中，，，为上一点，且，连接，过点作于点，连接并延长交于点，则的长为_______． 3．如图，在中，，，点D为边上一点且，连接，作的垂直平分线，分别交线段，，于点E，F，G．则线段的长为_______． 4．如图，在中，，，，是边的中线，点是上的一点，且，连接．则的长为______． 5．如图，在中，，，，点D是的中点，点E在上，且，与交于点F，则线段的长为_____． 第一招 勾股优先冲 第二招 找相似 第三招 等面积法 真 题 回 顾 快 招 应 用 模 拟 预 测 专 题 解 读 学科网（北京）股份有限公司 $