精品解析：山东青岛通济实验学校2025-2026学年度第二学期学情检测九年级数学试题

2025—2026学年度第二学期学情检测 九年级数学试题 （考试时间：120分钟：满分：120分） 说明 1、本试题分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共25题、第Ⅰ卷为选择题，共9小题，27分；第Ⅱ卷为填空题、作图题、解答题，共16小题，93分. 2.所有题目均在答题卡上作答，在试题上作答无效. 第I卷 (共27分) 一、选择题（本大题共9小题，每小题3分，共27分） 1. 的倒数是（ ） A. 6 B. ﹣6 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据两个数乘积是1的数互为倒数的定义，即可求解. 【详解】求一个数的倒数即用1除以这个数． ∴ 的倒数为1÷（）=-6． 故选B． 2. 如图，央视2026马年春晚主标识是由四马拾级而上构成，象征国人齐头并进、步步登高．从数学角度观察，四马之间存在的图形变换关系为（ ） A. 平移 B. 旋转 C. 轴对称 D. 中心对称 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了图形的变换，熟练掌握平移是解题的关键； 根据平移可进行求解． 【详解】解：由图可知，四马之间存在的图形变换关系为平移， 故选：A． 3. 宜纸是中国文房四宝之一，一张超薄宣纸的厚度约为米.数据用科学记数法表示为（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，即可得出答案． 【详解】解：∵左起第一个非零数字为，其前共有个零，且满足， ∴， 故选C． 4. 上马石是古人上下马的工具，形状如图①．它可以看作图②所示的几何体，该几何体的俯视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查三视图，考生解答本题需要熟悉三视图，会观察几何体的三视图．根据俯视图是从上方看到的解答即可． 【详解】解：该几何体的俯视图为： ， 故选：D． 5. 下列计算错误的是（       ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查幂的运算法则，根据幂运算的相关规则，依次计算每个选项，即可找出计算错误的选项． 【详解】A选项：∵ ，∴ A计算正确，不符合题意； B选项：∵ ，∴ ，B计算正确，不符合题意； C选项：∵ ，∴ C计算正确，不符合题意； D选项：∵ ，∴ D计算错误，符合题意． 故选：D． 6. 如图，将先向右平移，使点与点重合，再将所得的三角形绕点逆时针旋转，得到，则点的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】平移得到和旋转所得图形，过点作轴垂线，垂足为，连接，过点作轴垂线，垂足为，连接，先求出的各点坐标，再求出，利用三角形的性质即可得点，即为点． 【详解】解：依题意，平移得到和旋转所得图形，过点作轴垂线，垂足为，连接，过点作轴垂线，垂足为，连接，如图所示， ∵的坐标为，，，点与点重合， ∴三角形整体向右平移个单位长度， ∴的坐标为，，， 由图可得，，， ∴， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴将点逆时针旋转，点的对应点即为点， 故选：A． 7. 如图，直线经过的圆心，与交于A，B两点，是的切线，C为切点，连接，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了圆周角定理，圆的切线的性质，直角三角形的性质，解题的关键是掌握以上性质． 根据圆周角定理得出，根据切线得出直角，然后利用直角三角形的性质进行求解即可． 【详解】解：根据圆周角定理得，， ∵是的切线， ∴， ∴， 故选：B． 8. 如图，在菱形中，，，是上一点，将菱形沿折叠，使、的对应点分别是、，当时，则点到的距离是（ ） A. B. C. 6 D. 【答案】D 【解析】 【分析】过作于，过作于，由菱形性质和正切定义求出，，再由折叠证明，得到，从而得到，则，则问题可解． 【详解】解：过作于，过作于， 由已知，，， ∴，， ∴设，则， ∴在中，， ， 解得， ∴，， 由折叠可知，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点到的距离是． 故选：D． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定、菱形的性质、图形的折叠以及正切定义的应用，解答关键是根据折叠的条件推出． 9. 在“探索二次函数的系数a，b，c与图象的关系”活动中，老师给出了坐标系中的四个点：．同学们分别画出了经过这四个点中的三个点的二次函数图象，并得到对应的函数表达式，则当的值最小时，该二次函数图象经过（ ）． A. B，C，D B. A，C，D C. A，B，D D. A，B，C 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了求函数解析式，灵活运用运用待定系数法成为解题的关键． 分别求出抛物线经过，，，四种情况下a、b、c的值，并求得的值进行比较即可解答． 【详解】解：当抛物线经过三点时，由题意可得： ，解得：， ∴； 当抛物线经过三点时，由题意可得： ，解得：， ∴； 当抛物线经过三点时，由题意可得： ，解得：， ∴； 当抛物线经过三点时，由题意可得： ，解得：， ∴； ∵． 故选D． 第Ⅱ卷（共93分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 10. 计算：_________． 【答案】 【解析】 【分析】先算二次根式的除法，再根据计算即可． 【详解】解：． 11. 学校举办校园十大歌手比赛，评委从唱功、舞台表现、音色、创意四个维度对选手进行评分（十分制）．最终得分由唱功和舞台表现各占，音色和创意各占组成．已知小兰、小竹两位选手的评分如下： 唱功 舞台表现 音色 创意 小兰 9 k 小竹 8 9 9 若两位选手的评分相同，则表中的值为________ ． 【答案】 【解析】 【分析】根据加权平均数公式计算出小竹的最终得分和小兰的最终得分，由两位选手的评分相同列方程即可得解． 【详解】解：根据题意得， 解得， 表中的值为9． 12. 如图1是装了液体的高脚杯示意图，用去一部分液体后如图2所示，此时液面__________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的应用，解本题的关键熟练掌握相似三角形的判定与性质．过作，垂足为，过作，垂足为，可得， 则得到，即可求解． 【详解】解：如图：过作，垂足为，过作，垂足为， 由题意得，， 则若将放置内，且使得点重合，在上，在上， 则， ， ， ，， ， ， 故答案为：． 13. 如图，在正方形中，点E是上一点，．连接，过点B作，垂足为点F，连接， 过点F作， 交于点G，则 _______． 【答案】##0.75 【解析】 【分析】连接，利用四点共圆，，结合正切函数计算即可． 本题考查了正方形的性质，四点共圆，余角性质，正切函数，熟练掌握四点共圆，余角性质，正切函数是解题的关键． 【详解】∵正方形， ∴， ∵，， ∴，， ∴； 连接， ∵，， ∴四点共圆， ∴， ∴， 故答案为：． 14. 如图，在半圆中，半径，C、D两点在半圆上，若四边形为菱形，则图中阴影部分的面积是______． 【答案】 【解析】 【分析】连接，作于点，由菱形的性质可得，证明为等边三角形，由等边三角形的性质并结合勾股定理得出，再由计算即可得出结果． 【详解】解：如图，连接，作于点， ， ∵四边形为菱形， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∵， ∴， ∴， ∴ ． 15. 已知在中，，，，点为边上的动点，点为边上的动点，则的最小值是__________． 【答案】 【解析】 【分析】延长至，使,则可得点和B点关于对称．过点作交于E点，交于F点，连接．由“垂线段最短”可知，此时的值最小，最小值为的长．根据面积法求出的长，即可得的最小值． 本题考查了轴对称的性质，勾股定理，“垂线段最短”，利用“垂线段最短”求线段之和最小．熟练掌握以上知识，正确地作出图形是解题的关键． 【详解】解：延长至，使， ∵， ∴， ∴点和B点关于对称， 过点作交于E点，交于F点，连接． 此时，且，E，F三点共线， 根据“垂线段最短”可知，此时的值最小，最小值为的长， ∵中，，，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 解得， ∴的最小值是． 故答案为：． 三、作图题（本大题满分4分） 请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹， 16. 已知：如图，是内部一点．求作：等腰，使点，分别在射线，上，且底边经过点． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了尺规作——角平分线，过一点作已知直线的垂线，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的定义，熟练掌握知识点是解题的关键． 先作的平分线，再过点作角平分线的垂线，与射线的交点即为点，根据角平分线以及垂线的定义可得，则，故等腰即为所作． 【详解】解：如图，等腰即为所作： 四、解答题（本大题共9小题，共71分） 17. 化简与解不等式组 （1）化简：； （2）解不等式组并写出它的最小整数解． 【答案】（1） （2），最小整数解： 【解析】 【分析】本题考查分式的化简和一元一次不等式组的求解． （1）先对括号内的式子进行通分计算，再将除法转化为乘法，最后进行约分即可． （2）分别求解不等式组中的两个不等式，再取它们的公共部分得到不等式组的解集，最后在解集中找出最小整数解． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： 解不等式，得． 解得． 解不等式，得． 解得． 故不等式组的解为： 其最小整数解为：． 18. 数学社团开展“讲数学家故事”的活动，如图所示是印有四位中国数学家纪念邮票图案的卡片A，B，C，D，卡片除图案外其他均相同．将四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，同学们可以从中随机抽取卡片，讲述卡片上数学家的故事． （1）从这四张卡片中随机抽取一张卡片，抽到的卡片上是数学家刘徽邮票图案的概率是________； （2）小明从这四张卡片中随机抽取2张卡片，请用画树状图或列表的方法，求小明抽到的两张卡片中有数学家华罗庚邮票图案的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）直接利用概率公式进行计算即可； （2）根据题意，画出树状图，进行求解即可． 【小问1详解】 解：由题意，抽到的卡片上是数学家刘徽邮票图案的是； 【小问2详解】 解：画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中小明抽到的两张卡片中有数学家华罗庚邮票图案的有6种结果， ∴小明抽到的两张卡片中有数学家华罗庚邮票图案的概率为． 19. 某学校为了更好地开展学生体育活动，组织八年级学生进行体育测试（百分制），从中随机抽取了部分学生的成绩（成绩用x表示，单位：分），并对数据（成绩）进行整理，数据分为五组，下面给出了部分信息： a．抽取的学生体育测试成绩统计表和不完整的扇形统计图如下： 组别 成绩/分 人数（频数） A 1 B 5 C m D 16 E 20 b．D组的数据：60，60，61，62，62，63，63，66，67，67，70，70，71，74，75，79 请根据以上信息完成下列问题： （1）求随机抽取的学生人数； （2）统计表中的___________，扇形统计图中E组所对应扇形的圆心角为___________度； （3）抽取的八年级学生体育测试成绩的中位数为___________分； （4）若该校八年级共有800名学生参加了此次体育测试，请你估计该校八年级参加此次体育测试成绩达到60分及以上的学生人数． 【答案】（1）50人 （2）8，144 （3）70 （4）576人 【解析】 【分析】本题考查频数分布表，扇形统计图，求中位数，利用样本估计总体等： （1）用B组人数除以所占百分比即为所求； （2）m等于总人数减去其它各组的人数，E组人数占总人数的比例乘以360度即为对应的圆心角的度数； （3）根据中位数的定义求解； （4）利用样本估计总体即可求解． 【小问1详解】 解：（人） 即随机抽取的学生人数为50人； 【小问2详解】 解：， 扇形统计图中E组所对应扇形的圆心角为：， 故答案为：8，144； 【小问3详解】 解：将50人成绩从低到高排序，第25和26人的平均分为中位数， ，， 第25和26人在D组，结合 D组数据可得第25和26人成绩均为70分， 抽取的八年级学生体育测试成绩的中位数为70分， 故答案为：70； 【小问4详解】 解：（人） 即估计此次体育测试成绩达到60分及以上的学生人数为576人． 20. 随着科技的发展，无人机在实际生活中应用广泛．如图，O，C是同一水平线上的两点，无人机从O点竖直上升到A点，在A点测得C点的俯角为，A，C两点的距离为．无人机继续竖直上升到B点，在B点测得C点的俯角为．求无人机从A点到B点的上升高度（结果精确到）．（点O，A，B，C在同一平面内，参考数据：，，，） 【答案】无人机从A点到B点的上升高度为 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，解，求出的长，解，求出的长，利用线段的和差关系求出的长即可．熟练掌握三角函数，是解题的关键． 【详解】解：由题意得：，，，． 在中，，， ，， 在中，， ， 答：无人机从A点到B点的上升高度为． 21. 为贯彻落实健康第一的指导思想，切实加强学校体育工作，促进学生积极参加体育锻炼，养成良好的锻炼习惯，提高体质健康水平．某校计划购买篮球和排球，供更多学生参加体育锻炼，增强身体素质．已知购买2个篮球与购买3个排球需要的费用相等，购买2个篮球和5个排球共需800元． （1）求每个篮球，每个排球的价格分别是多少元？ （2）该校计划购买篮球和排球共60个，篮球和排球均需购买，且购买排球的个数不超过购买篮球个数的2倍．请给出最节省费用的购买方案，并求出最少的费用． 【答案】（1） 每个篮球的价格是150元，每个排球的价格是100元． （2） 最节省费用的购买方案是购买篮球20个，排球40个，最少费用为7000元． 【解析】 【分析】（1）根据题干给出的两个等量关系，列出二元一次方程组求解即可得到两种球的单价； （2）设购买篮球的个数，得到总费用关于篮球个数的一次函数，再根据题干给出的不等关系求出自变量的取值范围，利用一次函数的增减性即可求出最小费用和对应的购买方案． 【小问1详解】 解：设每个篮球的价格为x元，每个排球的价格为y元，根据题意可得  ， 解得：， 答：每个篮球的价格是150元，每个排球的价格是100元． 【小问2详解】 解：设购买篮球m个，总费用为W元，则购买排球个，其中m为正整数， ∴ ，，， ∴ ，m为正整数， ∴总费用 ， ∵， ∴W随m的增大而增大， ∴当m取最小值20时，W取得最小值，此时（元），个， 答：最节省费用的购买方案是购买篮球20个，购买排球40个，最少费用是7000元． 22. 在数学活动课上，小明兴趣小组对二次函数的图象进行了深入的探究，如果将二次函数：图象上的点的横坐标不变，纵坐标变为A点的横、纵坐标之和，就会得到一个新的点．他们把这个点定义为点A的“和点”．他们发现：二次函数所有和点构成的图象也是一条抛物线，于是把这条抛物线定义为的“和抛物线”．例如，二次函数的“和抛物线”就是，请按照定义完成： （1）点的“和”点是______； （2）如果抛物线经过点，求该抛物线的“和抛物线”； （3）已知抛物线图象上的点的“和点”是，若该抛物线的顶点坐标为，该抛物线的“和抛物线”的顶点坐标为．当时，求n的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了新定义下的二次函数的应用，理解题意，熟练掌握二次函数的性质，是解题的关键． （1）根据题目中给出的信息解答即可； （2）先将点M的坐标代入抛物线的解析式，求出，得出抛物线解析式，然后根据题意写出抛物线的“和抛物线”即可； （3）先根据点，求出点B的坐标，把点B代入抛物线关系式得出b、c的关系式，然后把b、c的关系式代入抛物线的关系式，得出，写出其“和抛物线”的关系式为：，并求出化为顶点式，得出，将n看作c的函数，求出当时，n的取值范围即可； 【小问1详解】 解：根据题意可知，点的“和”点是， ∴点的“和”点的纵坐标为，即． 故答案为：． 【小问2详解】 将点代入抛物线得：， 解得：， 即抛物线的解析式为， ∴抛物线的“和抛物线”为， 即． 【小问3详解】 根据题意可知，点是点的“和”点， ∴，解得：，即， 将点代入抛物线得：，则， ∴抛物线为， ∴抛物线的“和抛物线”为：， 即 ∵其顶点坐标为， ∴， 将n看作c的函数， ∵， 时，n有最大值，且最大值为1， 当时，，n有最小值，且最小值为， ∴n的取值范围是. 23. 如图，在平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，DF＝BE，连接AF，BF． （1）求证：四边形BFDE是矩形； （2）若AF平分∠DAB，CF＝3，BF＝4，求DF长． 【答案】（1）见详解；（2）5 【解析】 【分析】（1）先求出四边形BFDE是平行四边形，再根据矩形的判定推出即可； （2）根据勾股定理求出BC长，求出AD＝DF，即可得出答案． 【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥DC， ∵DF＝BE， ∴四边形BFDE是平行四边形， ∵DE⊥AB， ∴∠DEB＝90°， ∴四边形BFDE是矩形； （2）解：∵四边形BFDE是矩形， ∴∠BFD＝90°， ∴∠BFC＝90°， 在Rt△BCF中，CF＝3，BF＝4， ∴BC＝5， ∵AF平分∠DAB， ∴∠DAF＝∠BAF， ∵AB∥DC， ∴∠DFA＝∠BAF， ∴∠DAF＝∠DFA， ∴AD＝DF， ∵AD＝BC， ∴DF＝BC， ∴DF＝5． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，矩形的性质和判定，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，能综合运用定理进行推理是解此题的关键． 24. 食堂有一口锅，经过锅心和盖心的纵断面是两段抛物线组合而成封闭图形，锅口宽，锅深，锅盖高，如图①，建立平面直角坐标系，记锅身纵断面的抛物线为，记锅盖纵断面的抛物线为． （1）直接写出抛物线、的解析式； （2）若烹饪时锅内的水位高度是，则此时水面的直径为______； （3）若想将一个底面直径为，高的圆柱形器皿放入锅内蒸食物，锅盖能否正常盖上？请通过计算说明理由． 【答案】（1）； （2） （3）锅盖不能正常盖上，理由见解析 【解析】 【分析】考查了二次函数的综合应用，考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象上点的坐标特征等，注意数形结合思想在解题中的应用. （1）已知、、、四点坐标，利用待定系数法即可确定两函数的解析式； （2）烹饪时锅内的水位高度是，即，列方程求得x的值即可得答案； （3）底面直径为、高度为圆柱形器皿能否放入锅内，需判断当时，、中的值的差与比较大小，从而可得答案． 【小问1详解】 解：由于抛物线、都过点、，设、的解析式为：，； 抛物线还经过， 则有：，解得： 即：抛物线； 抛物线还经过， 则有：，解得： 即：抛物线； 【小问2详解】 解：当烹饪时锅内的水位高度是时，则， ∴， 解得：， ∴此时水面的直径为． 故答案为：； 【小问3详解】 解：锅盖不能正常盖上，理由如下： 当时，抛物线， 抛物线， 而， ∴锅盖不能正常盖上． 25. 如图①，在中，，，，线段与重合（与重合，与重合），从位置出发，沿射线方向匀速运动，速度为；同时，点从点出发，沿方向匀速运动，速度为．将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接交于点，连接，，设运动时间为（）．解答下列问题： （1）当为何值时，点在线段的垂直平分线上？ （2）连接，设四边形的面积为，求与的函数关系式； （3）如图②，点与点关于点中心对称，连接，，是否存在某一时刻，使点在外角的平分线上？若存在，直接写出值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）； （2）； （3）存在，． 【解析】 【分析】（1）根据求得结果； （2）过点作交于点，过点作交于点，连接、，根据解直角三角形可表示出和，进而表示出，，，从而得出的关系式； （3）过点作交于点，过点作交于点，连接，过点作交延长线于点，作平分，交于点，过点作交于点，连接，先假设存在，使点在外角的平分线上，根据角平分线性质得出，根据等面积法求出的值，再证明，结合相似的性质和（2）中线段的值求出，最后根据角度的等量代换推出，即，将已知值代入求解即可． 【小问1详解】 ∵，，， ∴根据勾股定理：， ∵从位置出发，沿射线方向匀速运动， ∴， ∵线段绕点逆时针旋转得到线段， ∴， ∵点在线段的垂直平分线上， ∴， ∴； 【小问2详解】 如图1，过点作交于点，过点作交于点，连接、，　 ∵，，，， ∵，， ∴，， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形，　　 ∴，　　 ∴， ，　　 ， ∵， ∴； 【小问3详解】 如图3，假设存在，使点在外角的平分线上，　　 过点作交于点，过点作交于点，过点作交延长线于点，作平分，交于点，过点作交于点，连接，　　 ∴，　　 由得，，　　 ∴，　　 ∴， ∵点与点关于点中心对称， ∴， ∵，， ∴， ∴，即，， ∵由（2）得， ∴， ∵，，， ∴四边形为矩形， ∴， ∵由（2）得，， ∴，， ∴， ∴， ∵，，　　 ∴，，　　 ∴，　　 ∴， ∴， ∴，　　 ∴，　　 ∴当时，点在外角的平分线上． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，解直角三角形，线段垂直平分线的性质，角平分线的性质等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造相似三角形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度第二学期学情检测 九年级数学试题 （考试时间：120分钟：满分：120分） 说明 1、本试题分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共25题、第Ⅰ卷为选择题，共9小题，27分；第Ⅱ卷为填空题、作图题、解答题，共16小题，93分. 2.所有题目均在答题卡上作答，在试题上作答无效. 第I卷 (共27分) 一、选择题（本大题共9小题，每小题3分，共27分） 1. 的倒数是（ ） A. 6 B. ﹣6 C. D. 2. 如图，央视2026马年春晚主标识是由四马拾级而上构成，象征国人齐头并进、步步登高．从数学角度观察，四马之间存在的图形变换关系为（ ） A. 平移 B. 旋转 C. 轴对称 D. 中心对称 3. 宜纸是中国文房四宝之一，一张超薄宣纸的厚度约为米.数据用科学记数法表示为（） A. B. C. D. 4. 上马石是古人上下马的工具，形状如图①．它可以看作图②所示的几何体，该几何体的俯视图为（ ） A. B. C. D. 5. 下列计算错误的是（       ）． A. B. C. D. 6. 如图，将先向右平移，使点与点重合，再将所得的三角形绕点逆时针旋转，得到，则点的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，直线经过的圆心，与交于A，B两点，是的切线，C为切点，连接，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在菱形中，，，是上一点，将菱形沿折叠，使、的对应点分别是、，当时，则点到的距离是（ ） A. B. C. 6 D. 9. 在“探索二次函数的系数a，b，c与图象的关系”活动中，老师给出了坐标系中的四个点：．同学们分别画出了经过这四个点中的三个点的二次函数图象，并得到对应的函数表达式，则当的值最小时，该二次函数图象经过（ ）． A. B，C，D B. A，C，D C. A，B，D D. A，B，C 第Ⅱ卷（共93分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 10. 计算：_________． 11. 学校举办校园十大歌手比赛，评委从唱功、舞台表现、音色、创意四个维度对选手进行评分（十分制）．最终得分由唱功和舞台表现各占，音色和创意各占组成．已知小兰、小竹两位选手的评分如下： 唱功 舞台表现 音色 创意 小兰 9 k 小竹 8 9 9 若两位选手的评分相同，则表中的值为________ ． 12. 如图1是装了液体的高脚杯示意图，用去一部分液体后如图2所示，此时液面__________． 13. 如图，在正方形中，点E是上一点，．连接，过点B作，垂足为点F，连接， 过点F作， 交于点G，则 _______． 14. 如图，在半圆中，半径，C、D两点在半圆上，若四边形为菱形，则图中阴影部分的面积是______． 15. 已知在中，，，，点为边上的动点，点为边上的动点，则的最小值是__________． 三、作图题（本大题满分4分） 请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹， 16. 已知：如图，是内部一点．求作：等腰，使点，分别在射线，上，且底边经过点． 四、解答题（本大题共9小题，共71分） 17. 化简与解不等式组 （1）化简：； （2）解不等式组并写出它的最小整数解． 18. 数学社团开展“讲数学家故事”的活动，如图所示是印有四位中国数学家纪念邮票图案的卡片A，B，C，D，卡片除图案外其他均相同．将四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，同学们可以从中随机抽取卡片，讲述卡片上数学家的故事． （1）从这四张卡片中随机抽取一张卡片，抽到的卡片上是数学家刘徽邮票图案的概率是________； （2）小明从这四张卡片中随机抽取2张卡片，请用画树状图或列表的方法，求小明抽到的两张卡片中有数学家华罗庚邮票图案的概率． 19. 某学校为了更好地开展学生体育活动，组织八年级学生进行体育测试（百分制），从中随机抽取了部分学生的成绩（成绩用x表示，单位：分），并对数据（成绩）进行整理，数据分为五组，下面给出了部分信息： a．抽取的学生体育测试成绩统计表和不完整的扇形统计图如下： 组别 成绩/分 人数（频数） A 1 B 5 C m D 16 E 20 b．D组的数据：60，60，61，62，62，63，63，66，67，67，70，70，71，74，75，79 请根据以上信息完成下列问题： （1）求随机抽取的学生人数； （2）统计表中的___________，扇形统计图中E组所对应扇形的圆心角为___________度； （3）抽取的八年级学生体育测试成绩的中位数为___________分； （4）若该校八年级共有800名学生参加了此次体育测试，请你估计该校八年级参加此次体育测试成绩达到60分及以上的学生人数． 20. 随着科技的发展，无人机在实际生活中应用广泛．如图，O，C是同一水平线上的两点，无人机从O点竖直上升到A点，在A点测得C点的俯角为，A，C两点的距离为．无人机继续竖直上升到B点，在B点测得C点的俯角为．求无人机从A点到B点的上升高度（结果精确到）．（点O，A，B，C在同一平面内，参考数据：，，，） 21. 为贯彻落实健康第一的指导思想，切实加强学校体育工作，促进学生积极参加体育锻炼，养成良好的锻炼习惯，提高体质健康水平．某校计划购买篮球和排球，供更多学生参加体育锻炼，增强身体素质．已知购买2个篮球与购买3个排球需要的费用相等，购买2个篮球和5个排球共需800元． （1）求每个篮球，每个排球的价格分别是多少元？ （2）该校计划购买篮球和排球共60个，篮球和排球均需购买，且购买排球的个数不超过购买篮球个数的2倍．请给出最节省费用的购买方案，并求出最少的费用． 22. 在数学活动课上，小明兴趣小组对二次函数的图象进行了深入的探究，如果将二次函数：图象上的点的横坐标不变，纵坐标变为A点的横、纵坐标之和，就会得到一个新的点．他们把这个点定义为点A的“和点”．他们发现：二次函数所有和点构成的图象也是一条抛物线，于是把这条抛物线定义为的“和抛物线”．例如，二次函数的“和抛物线”就是，请按照定义完成： （1）点的“和”点是______； （2）如果抛物线经过点，求该抛物线的“和抛物线”； （3）已知抛物线图象上的点的“和点”是，若该抛物线的顶点坐标为，该抛物线的“和抛物线”的顶点坐标为．当时，求n的取值范围． 23. 如图，在平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，DF＝BE，连接AF，BF． （1）求证：四边形BFDE是矩形； （2）若AF平分∠DAB，CF＝3，BF＝4，求DF长． 24. 食堂有一口锅，经过锅心和盖心的纵断面是两段抛物线组合而成封闭图形，锅口宽，锅深，锅盖高，如图①，建立平面直角坐标系，记锅身纵断面的抛物线为，记锅盖纵断面的抛物线为． （1）直接写出抛物线、的解析式； （2）若烹饪时锅内的水位高度是，则此时水面的直径为______； （3）若想将一个底面直径为，高的圆柱形器皿放入锅内蒸食物，锅盖能否正常盖上？请通过计算说明理由． 25. 如图①，在中，，，，线段与重合（与重合，与重合），从位置出发，沿射线方向匀速运动，速度为；同时，点从点出发，沿方向匀速运动，速度为．将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接交于点，连接，，设运动时间为（）．解答下列问题： （1）当为何值时，点在线段的垂直平分线上？ （2）连接，设四边形的面积为，求与的函数关系式； （3）如图②，点与点关于点中心对称，连接，，是否存在某一时刻，使点在外角的平分线上？若存在，直接写出值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $