小升初专题训练：立体图形（专项训练）-2025-2026学年六年级下册数学 北师大版

小升初专题训练：立体图形 一、选择题 1．一个圆柱侧面展开是正方形，这个圆柱底面周长与高的比是（    ）。 A． B．1∶1 C． D．无法确定 2．把一块石头浸没在一个高是12厘米，底面积是50.24平方厘米的装有水的圆柱体容器里，这时，容器的水面上升了2厘米（水没有溢出）。这块石头的体积是（    ）立方厘米。 A．703.36 B．602.88 C．502.4 D．100.48 3．有一个圆柱形纸筒，底面直径是8cm，高是4cm，它的侧面积是（    ）cm2。 A．16π B．32π C．64π D．12π 4．把长12厘米，宽10厘米，高6厘米的长方体切成两个长方体，表面积最大可以增加（    ）平方厘米。 A．120 B．240 C．60 D．144 5．在一块正方形铁皮上剪下一个圆和一个扇形，恰好围成一个高是6厘米的圆锥模型（如图）。如果圆的半径为a厘米，扇形的半径为b厘米，那么b∶a的比值是（    ）。 A．3 B．4 C．4.5 D．3.5 二、填空题 6．一个正方体木料的高减少5cm，它的表面积就减少200cm2，原来的这个正方体木料的体积是( )cm3。如果将这块木料切成一个最大的圆柱，则这个圆柱的体积是( )cm3。 7．《西游记》是中国古代四大文学名著之一，一直以来深受读者的喜爱。朱小桃看书中写到金箍棒重“一万三千五百斤”，如果换算成“吨”作单位是( )吨（按现在“1斤＝500克”换算）。现有一根长12分米，宽4厘米，高4厘米的木料，如果加工成一根“金箍棒”（圆柱体），使得浪费的木料最少，这根“金箍棒”的体积是( )立方厘米。 8．已知一个圆锥与一个圆柱等底等高，且它们的体积和是32cm3，那么这个圆锥的体积是( )cm3。 9．如图所示是一个长方形，以8厘米长的边所在直线为轴旋转一周，所得到的图形的表面积是( )平方厘米，体积是( )立方厘米。 10．一台压路机的前轮直径是1.7米，轮宽3米，压路机前轮往前该动一周可以前进( )米；如果前轮每分钟转动5周，每分钟压路的面积是( )平方米。 11．把一个体积60立方厘米的圆柱木块，削成一个体积最大的圆锥，圆锥的体积是( )立方厘米。 12．一个立体图形，从上面看是，从左面看是，要搭这样的立体图形，最少需要( )个小正方体，最多能用( )个小正方体。 13．一个圆柱的侧面展开是一个长方形，其长为12.56厘米，宽为6厘米，则这个圆柱的底面积为( )平方厘米，体积为( )立方厘米。 14．如图是长方体的展开图，①和③是正方形，①的面积是9cm2，②的面积是12cm2，长方体的表面积是________cm2。 15．一个圆柱和一个圆锥等底等高，它们的体积和是180立方分米，则圆锥的体积是( )立方分米，圆柱的体积是( )立方分米。 16．如图，一个长为10cm的长方体截成3段后表面积增加了32cm2。原来长方体的体积是( )cm3。 17．一个长方体沙坑，长8m、宽2.5m、高0.5m，这个沙坑的占地面积是( )m2；如果填满沙坑，需要沙子( )m3。 三、判断题 18．一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的底面直径与高相等。( ) 19．有一个圆柱的底面直径和高相等，它的侧面可以展开成一个正方形。( ) 20．圆柱体的体积与圆锥体的体积比是3∶1。( ) 21．把一个圆柱削成一个圆锥，这个圆锥的体积是圆柱体积的。( ) 22．一个圆柱的底面半径扩大到原来的3倍，高不变，体积扩大到原来的6倍。( ) 23．一个正方体的棱长总和为24厘米，它的表面积是24平方厘米。( ) 四、计算题 24．求如图图形的体积。（单位：cm） 五、解答题 25．甲圆柱体容器是空的，乙长方体容器中水深6.28厘米，要将容器乙中的水全部倒入甲容器，这时水深多少厘米？ 26．粤粤把一张长方形的纸沿着长边方向正好卷成一个圆柱（如图）。这个圆柱的侧面积是多少dm2？体积是多少dm3？ 27．李伯伯家种了杂交水稻，收割的稻谷装满了一个高1.5米的圆柱形粮囤，粮囤底面周长是6.28米。这堆稻谷的体积是多少？如果每立方米稻谷重700千克，这个粮囤存放的稻谷重多少千克？ 28．一个底面半径为10厘米的圆柱形容器，里面装有水。将等底等高的一个圆柱形铁块和一个圆锥形铁块同时放入这个容器中，水面上升到9厘米（如图）。这个圆锥形铁块的体积是多少？ 29．一个圆柱体粮囤，底面直径为2米，高3.5米，又在粮囤上最大限度地堆成一个1.5米高的圆锥（如图）。每立方米稻谷重650千克，这囤稻谷一共有多少千克？（π取3.14） 30．一个圆柱形蓄水池，底面直径是2米，深3米。在蓄水池的周围和底面抹上水泥。 （1）抹水泥的面积是多少平方米？ （2）这个蓄水池可以容纳多少立方米水？ 第4页，共4页 第3页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．B 【分析】由圆柱的侧面展开图的特点可知：圆柱的侧面展开后，是一个长方形，长方形的长等于底面周长，宽等于圆柱的高，据此分析当“一个圆柱的侧面展开是一个正方形”时，圆柱的高与底面周长的关系，从而求出它们的比。 【详解】题目中圆柱侧面展开是正方形，而正方形是特殊的长方形，其长和宽相等。因此，圆柱的底面周长（展开图的长）与圆柱的高（展开图的宽）相等，则圆柱的底面周长∶高＝1∶1。 2．D 【分析】根据排水法求不规则物体的体积，当把石头浸没在水中时，水面上升部分的水的体积就等于石头的体积。已知圆柱形容器的底面积50.24平方厘米，水面上升的高度为2厘米。根据圆柱体积公式V＝Sh（S为底面积，h为水面上升的高度），把数据代入公式计算即可得出上升的水的体积（即石头的体积）。 【详解】50.24×2＝100.48（立方厘米） 这块石头的体积是100.48立方厘米。 故答案为：D 3．B 【分析】根据圆柱的侧面积＝底面周长×高，代入数据计算即可。 【详解】π×8×4 ＝8π×4 ＝32π（cm2） 它的侧面积是32πcm2。 故答案为：B 4．B 【分析】根据长方体表面积的意义可知，把一个长方体切成两个小长方体，要使切成的两个小长方体的表面积和比原来长方体的表面积增加的最多，也就是与长方体的最大面平行切开，表面积增加两个切面的面积，根据长方形的面积公式：S＝ab，把数据代入公式解答。 【详解】12×10×2 ＝120×2 ＝240（平方厘米） 把长12厘米，宽10厘米，高6厘米的长方体切成两个长方体，表面积最大可以增加240平方厘米。 故答案为：B 5．B 【分析】剪下的扇形正好是一个直角扇形（即 90°）做成圆锥的侧面，扇形半径b便是圆锥的斜高，圆的半径a则是圆锥的底面半径。圆锥底面圆周长与扇形弧长相等。根据围成圆锥后圆锥的侧面展开扇形的弧长等于圆锥的底面周长就是圆的周长，列出关系式即可得两个半径之间的关系。剪下的扇形正好是一个直角扇形，是圆，所以圆弧的周长＝；圆的周长＝2πa。 【详解】 b＝4a b∶a＝4∶1＝4 故答案为：B 6． 1000 785 【分析】正方体木料减少的表面积÷减少的高＝底面周长，正方体底面周长÷4＝正方体棱长，根据正方体体积＝棱长×棱长×棱长，求出这个正方体木料的体积；将正方体切成最大的圆柱，圆柱的底面直径和高都等于正方体棱长，根据圆柱体积＝底面积×高，即可求出圆柱的体积。 【详解】200÷5÷4＝10（cm） 10×10×10＝1000（cm3） 3.14×（10÷2）2×10 ＝3.14×52×10 ＝3.14×25×10 ＝785（cm3） 原来的这个正方体木料的体积是1000cm3。这个圆柱的体积是785cm3。 7． 6.75 1507.2 【分析】1斤＝500克，先用乘法把“一万三千五百斤”转化为“克”，1吨＝1000000克，再用除法把“克”转化为“吨”；把长方体加工成最大的圆柱体浪费的木料最少，以4厘米为圆柱的底面直径，12分米为圆柱的高是长方体内最大的圆柱体，最后利用“”求出圆柱的体积，据此解答。 【详解】一万三千五百斤即13500斤。 13500×500＝6750000（克） 6750000÷1000000＝6.75（吨） 12分米＝120厘米 3.14×（4÷2）2×120 ＝3.14×22×120 ＝3.14×4×120 ＝12.56×120 ＝1507.2（立方厘米） 所以，“一万三千五百斤”如果换算成“吨”作单位是6.75吨，这根“金箍棒”的体积是1507.2立方厘米。 8．8 【分析】因为等底等高的圆柱的体积是圆锥体积的3倍，所以等底等高的圆柱与圆锥的体积和相当于圆锥体积的（3＋1）倍，用它们的体积和除以（3＋1），据此解答即可。 【详解】32÷（3＋1） ＝32÷4 ＝8（立方厘米） 这个圆锥的体积是8立方厘米。 9． 207.24 226.08 【分析】一个长方形宽为3厘米，以8厘米长的边为轴旋转一周，会得到一个底面半径是3厘米，高是8厘米的圆柱，圆柱的表面积由两底面积和侧面积组成，底面积根据圆的面积公式S＝πr2即可求出，侧面积展开是一个长方形，长方形的长就是底面周长，底面周长可由公式C＝2πr求出，宽就是圆柱的高8厘米，根据长方形的面积公式S＝ab即可求出；圆柱的体积由公式V＝πr2h即可求出。 【详解】圆柱的表面积： 2×3.14×32＋2×3.14×3×8 ＝2×3.14×9＋2×3.14×24 ＝56.52＋150.72 ＝207.24（平方厘米） 圆柱的体积： 3.14×32×8 ＝3.14×9×8 ＝226.08（立方厘米） 如图所示是一个长方形，以8厘米长的边所在直线为轴旋转一周，所得到的图形的表面积是207.24平方厘米，体积是226.08立方厘米。 10． 5.338 80.07 【分析】（1）压路机前轮滚动一周前进的距离，就是前轮的周长。根据圆的周长公式C＝πd（d是圆的直径），已知前轮直径，将其代入公式就能求出周长，即前进的距离。 （2）转动一周压路的面积是前轮的侧面积，圆柱侧面积公式为S ＝Ch（C是底面周长，h是轮宽相当于圆柱的高）。先求出一周的侧面积，再根据每分钟转动5周，用一周侧面积乘5就得到每分钟压路面积。 【详解】3.14×1.7＝5.338（米） 5.338×3×5 ＝16.014×5 ＝80.07（平方米） 压路机前轮往前该动一周可以前进5.338米；如果前轮每分钟转动5周，每分钟压路的面积是80.07平方米。 11．20 【分析】把一个体积60立方厘米的圆柱木块，削成一个体积最大的圆锥，则这个圆锥与圆柱等底等高，圆锥的体积是圆柱体积的，据此解答。 【详解】60×＝20（立方厘米） 把一个体积60立方厘米的圆柱木块，削成一个体积最大的圆锥，圆锥的体积是20立方厘米。 12． 6 9 【分析】 根据观察物体的方法，一个立体图形，从上面看是，可知底层有5个小正方体，从左面看是，可知有2层，上层至少有1个小正方体，最多有4个小正方体，据此解答即可。 【详解】5＋1＝6（个） 5＋4＝9（个） 所以一个立体图形，从上面看是，从左面看是，要搭这样的立体图形，最少需要6个小正方体，最多能用9个小正方体。 13． 12.56 75.36 【分析】圆柱的侧面展开图为长方形，长方形的长相当于圆柱的底面圆周长，宽相当于圆柱的高。底面积：圆的周长＝π×直径，用长方形的长除以π，可以得到直径；直径除以2得到半径；根据圆的面积＝πr2，可求得底面积；再根据圆柱的体积＝底面积×高，把数据代入即可求得。 【详解】12.56÷3.14＝4（厘米） 4÷2＝2（厘米） 底面积：3.14×22 ＝3.14×4 ＝12.56（平方厘米） 体积：12.56×6＝75.36（立方厘米） 所以，这个圆柱的底面积为12.56平方厘米，体积为75.36立方厘米。 14．66 【分析】长方体有六个面，六个面都是长方形，相对的面形状相同，特殊情况下有两个相对的面是正方形，其它四个面都是形状相同的长方形，这个长方体的表面积＝①的面积×2＋②的面积×4，据此解答。 【详解】9×2＋12×4 ＝18＋48 ＝66（cm2） 所以，长方体的表面积是66cm2。 15． 45 135 【分析】因为等底等高的圆柱的体积是圆锥体积的3倍，所以等底等高的圆柱与圆锥的体积和相当于圆锥体积的（3＋1）倍，所以用180÷（3＋1）可以求出圆锥的体积，进而求出圆柱的体积，据此解答即可。 【详解】180÷（3＋1） ＝180÷4 ＝45（立方分米） 45×3＝135（立方分米） 所以，圆锥的体积是45立方分米，圆柱的体积是135立方分米。 16．80 【分析】根据题意可知，把这个长方体横截成3段，表面积比原来增加4个截面的面积，据此可以求出一个截面的面积，然后根据长方体的体积公式：V＝Sh，计算原来长方体的体积。 【详解】32÷4×10 ＝8×10 ＝80（cm3） 故原来长方体的体积是80cm3。 17． 20 10 【分析】占地面积指的是底面积，用沙坑的长乘宽即可求出这个沙坑的占地面积，求需要沙子的数量，即求沙坑的容积，根据长方体体积＝长×宽×高，列式计算即可。 【详解】8×2.5＝20（m2） 8×2.5×0.5 ＝20×0.5 ＝10（m3） 这个沙坑的占地面积是20m2；如果填满沙坑，需要沙子10m3。 18．× 【分析】圆柱的侧面展开图一般是长方形，长方形的长等于圆柱的底面周长，长方形的宽等于圆柱的高；特殊情况下，圆柱的侧面展开图是正方形，此时圆柱的底面周长和高相等，都等于正方形的边长。 【详解】如图： 一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的底面周长与高相等。 原题说法错误。 故答案为：× 19．× 【分析】圆柱侧面展开图是个正方形，说明圆柱底面周长＝圆柱的高，据此分析。 【详解】有一个圆柱的底面直径和高相等，沿着直径切开的剖面是个正方形，侧面展开是个长方形，原题说法错误。 故答案为：× 【点睛】关键是熟悉圆柱特征，理解圆柱侧面展开图和圆柱之间的关系。 20．× 【分析】当圆柱与圆锥等底等高时，圆柱的体积是圆锥体积的3倍，圆锥的体积是圆柱体积的，此时圆柱体的体积与圆锥体的体积比是3∶1。而题目未提及圆柱与圆锥是否等底等高，如果圆柱与圆锥不是等底等高的情况，它们的体积比就不一定是3∶1，所以题目的说法是错误的。 【详解】由分析得：圆柱体的体积与圆锥体的体积比不一定是3∶1。 故答案为：× 21．× 【分析】根据题意，把一个圆柱削成一个圆锥，如果削成的圆锥与圆柱等底等高，那么圆锥的体积是圆柱体积的；如果削成的圆锥与圆柱不是等底等高，那么圆锥的体积就不是圆柱体积的；据此判断。 【详解】把一个圆柱削成一个与它等底等高的圆锥，这个圆锥的体积才是圆柱体积的。 原题说法错误。 故答案为：× 【点睛】明确等底等高的圆柱和圆锥体积之间的关系是解题的关键。 22．× 【分析】圆柱体积＝底面积×高＝πr2h，半径扩大到原来的几倍，体积就扩大到原来的倍数×倍数，据此分析。 【详解】3×3＝9，一个圆柱的底面半径扩大3倍，高不变，体积扩大9倍。 故答案为：× 【点睛】关键是数量掌握圆柱体积公式。 23．√ 【分析】正方体的棱长总和＝棱长×12，根据棱长之和公式求出正方体的棱长，正方体的表面积＝棱长×棱长×6，据此解答。 【详解】正方体的棱长：24÷12＝2（厘米） 表面积：2×2×6 ＝4×6 ＝24（平方厘米） 所以，正方体的表面积是24平方厘米。 故答案为：√ 【点睛】灵活运用正方体的棱长之和公式求出正方体的棱长是解答题目的关键。 24．15700cm3 【分析】观察可知，要求圆柱与圆锥的体积的和，根据半径＝直径÷2、圆柱的体积公式、圆锥的体积公式，代入数据计算即可。 【详解】（cm） （cm3） 25．8厘米 【分析】从图中可以得知乙容器（长方体）中水的长、宽、高（水深），根据长方体的体积公式：，代入数值计算可以求出水的体积。图甲为圆柱形容器，已知底面半径，根据圆的面积公式：，代入数值计算可求底面积。因为水的体积不变（相等），所以根据，代入数值计算，即可求出水深。 【详解】10×10×6.28 ＝100×6.28 ＝628（立方厘米） 628÷（3.14×52） ＝628÷78.5 ＝8（厘米） 答：这时水深8厘米。 【点睛】此题重点考查立体图形的容积和底面积、高、容积之间的关系。 26．6.28dm2；1.57dm3 【分析】根据题意，圆柱侧面展开图的面积就是这个长方形的面积，根据长方形的长是圆柱的底面周长，长方形的宽是圆柱的高，可计算出圆柱的底面半径：，再根据圆柱的体积＝，求出体积。 【详解】圆柱侧面积为：31.4×20＝628（cm2） 628cm2＝6.28dm2 圆柱底面半径为：31.4÷3.14÷2 ＝10÷2 ＝5（cm） 圆柱体积为：5×5×3.14×20 ＝78.5×20 ＝1570（cm3） 1570cm3＝1.57dm3 答：这个圆柱的侧面积是6.28dm2；体积是1.57dm3。 27．4.71立方米；3297千克 【分析】分析题目，先根据圆的半径＝C÷π÷2求出圆柱的底面半径，再根据圆柱的体积公式：V＝πr2h，把数据代入公式求出稻谷的体积；再用稻谷的体积乘每立方米稻谷的质量即可解答。 【详解】3.14×（6.28÷3.14÷2）2×1.5 ＝3.14×（2÷2）2×1.5 ＝3.14×12×1.5 ＝3.14×1×1.5 ＝3.14×1.5 ＝4.71（立方米） 4.71×700＝3297（千克） 答：这堆稻谷的体积是4.71立方米，这个粮囤存放的稻谷重3297千克。 28．314立方厘米 【分析】1．求上升的水的体积：放入铁块后水面上升，上升的水的形状为圆柱体。根据圆柱体积公式V＝πr2h（其中r为底面半径，h为高），已知圆柱形容器底面半径r＝10厘米，水面从5厘米上升到9厘米，则上升的高度h＝9－5＝4厘米，可求出上升的水的体积。 2．分析等底等高圆柱和圆锥体积关系：因为圆柱和圆锥等底等高，根据所学知识，等底等高的圆柱体积是圆锥体积的3倍。把圆锥体积看作1份，那么圆柱体积就是3份，它们的体积和就是1＋3＝4份。 3．求圆锥体积：上升的水的体积等于圆柱和圆锥的体积和，已求出体积和以及它们体积份数关系，用体积和除以总份数4，就可得到1份的体积，也就是圆锥的体积。 【详解】上升水的体积： V＝πr2h ＝3.14×102×（9－5） ＝3.14×100×4 ＝314×4 ＝1256（立方厘米） 因为等底等高圆柱体积是圆锥体积的3倍，所以圆锥体积为： 1256÷（3＋1） ＝1256÷4 ＝314（立方厘米） 答：这个圆锥形铁块的体积是314立方厘米。 29．8164千克 【分析】根据圆锥的体积公式：V＝πr2h，圆柱的体积公式：V＝πr2h，把数据代入公式求出这个粮囤能装稻谷的体积，然后再乘每立方米稻谷的质量即可。 【详解】[×3.14×（2÷2）2×1.5＋3.14×（2÷2）2×3.5]×650 ＝[×3.14×12×1.5＋3.14×12×3.5]×650 ＝[×1.5×1×3.14＋3.14×3.5]×650 ＝[3.14×0.5＋10.99]×650 ＝[1.57＋10.99]×650 ＝12.56×650 ＝8164（千克） 答：这囤稻谷一共有8164千克。 30．（1）21.98平方米；（2）9.42立方米 【分析】（1）由题意可知，抹水泥的面积就是圆柱的侧面积和底面积的和，根据圆柱的侧面积公式、半径＝直径÷2、圆的面积公式，代入数据计算即可。 （2）要求圆柱的容积，根据圆柱的体积公式，代入数据计算即可。 【详解】2÷2＝1（米） （1）3.14×12＋3.14×2×3 ＝3.14×1＋3.14×2×3 ＝3.14＋18.84 ＝21.98（平方米） 答：抹水泥的面积是21.98平方米。 （2）3.14×12×3 ＝3.14×1×3 ＝9.42（立方米） 答：这个蓄水池可以容纳9.42立方米水。 答案第12页，共12页 答案第11页，共12页 学科网（北京）股份有限公司 $