16.4.2 反比例函数的图象和性质 课件 2025-2026学年华东师大版八年级数学下册

华东师大版（新教材）数学8年级下册培优备精做课件 16.4.2 反比例函数的图象和性质 第16章 函数及其图象 授课教师： Home . 班 级： 八年级（---）班 . 时 间： . 2026年4月7日 华东师大版八年级下册数学 16.4.2 反比例函数的图象和性质 一、核心知识点梳理（深化拓展，衔接上一课时） （一）回顾与衔接 上一课时我们认识了反比例函数的定义，其解析式有三种等价形式：$$y = \frac{k}{x}$$（$$k eq 0$$）、$$xy = k$$（$$k eq 0$$）、$$y = kx^{-1}$$（$$k eq 0$$）。本节课我们将重点探究反比例函数的图象细节、性质应用，以及比例系数$$k$$的几何意义，突破上一课时的基础认知，掌握解题核心技巧。 （二）反比例函数的图象（细节深化，重点突破） 1. 图象的精细特征（补充上一课时遗漏细节） 1. 图象形状：仍是双曲线，由两支互不相交的曲线组成，且两支关于原点对称（上一课时基础上，补充：两支曲线的“伸展趋势”一致，如$$k > 0$$时，两支均呈“从左上到右下”的平滑曲线，无限靠近坐标轴）。 2. 图象与坐标轴的关系：双曲线永远不会与x轴、y轴相交（核心原因：$$x eq 0$$、$$y eq 0$$），但会“无限靠近”坐标轴——当x的绝对值无限增大时，y的绝对值无限趋近于0（靠近x轴）；当x的绝对值无限减小时，y的绝对值无限增大（靠近y轴）。 3. k的绝对值对图象的影响：$$|k|$$越大，双曲线的两支越“远离”坐标轴；$$|k|$$越小，双曲线的两支越“靠近”坐标轴（例：$$y = \frac{6}{x}$$比$$y = \frac{2}{x}$$的图象更远离坐标轴）。 2. 图象的画法（规范步骤，纠正易错点） 延续上一课时的描点法，补充规范细节，避免绘制错误，步骤如下： 1. 列表：① 选取x的值时，以0为中心，左右对称选取（正数、负数各3-4个，互为相反数，方便计算y值，且能体现图象对称性）；② 避开x=0，选取整数或简单分数，计算对应的y值（确保x、y的符号与k一致）；③ 示例（以$$y = \frac{4}{x}$$为例）： x-4-2-1124y-1-2-4421 2. 描点：准确描出表格中的坐标点，区分清楚不同象限的点（第一、三象限或第二、四象限），不混淆正负坐标。 3. 连线：用平滑的曲线连接同一象限内的点，不可画成直线或折线；两支曲线分别绘制，不相交、不与坐标轴接触，体现“无限靠近”的特征。 （三）反比例函数的性质（深化应用，突破难点） 反比例函数的性质核心由比例系数$$k$$的符号决定，在上一课时基础上，补充性质的应用细节和易错提醒，具体如下： 常数$$k$$的符号 图象分布 增减性（核心应用） 对称性（补充应用） 易错提醒 $$k > 0$$ 第一、三象限 ① 在每个象限内，y随x的增大而减小；② 若两个点在同一象限，x越大，y越小；③ 若两个点在不同象限，第一象限的y值恒大于第三象限的y值。 ① 关于原点中心对称（若点$$(x, y)$$在图象上，则$$(-x, -y)$$也在图象上）；② 关于直线$$y = x$$、$$y = -x$$轴对称（可用于求对称点坐标）。 不可省略“每个象限内”，跨象限不满足增减性（如$$y = \frac{4}{x}$$，x=-1时y=-4，x=1时y=4，x增大但y也增大）。 $$k < 0$$ 第二、四象限 ① 在每个象限内，y随x的增大而增大；② 若两个点在同一象限，x越大，y越大；③ 若两个点在不同象限，第二象限的y值恒大于第四象限的y值。 与$$k > 0$$时一致，关于原点、直线$$y = x$$、$$y = -x$$对称。 同上，增减性仅在同一象限内成立，跨象限无此规律。 （四）比例系数$$k$$的几何意义（新增重点，中考高频） 这是本节课的核心新增知识点，也是解题的重要技巧，重点掌握以下两个结论： 1. 结论1：过反比例函数$$y = \frac{k}{x}$$（$$k eq 0$$）图象上任意一点$$P(x, y)$$，作x轴、y轴的垂线，垂足分别为A、B，则四边形OAPB（矩形）的面积为$$|k|$$。 2. 结论2：过反比例函数$$y = \frac{k}{x}$$（$$k eq 0$$）图象上任意一点$$P(x, y)$$，作x轴（或y轴）的垂线，垂足为A，则△OAP（直角三角形）的面积为$$\frac{1}{2}|k|$$。 推导过程：∵ 点$$P(x, y)$$在反比例函数图象上，∴ $$xy = k$$；矩形OAPB的长为$$|x|$$，宽为$$|y|$$，面积=$$|x| \times |y| = |xy| = |k|$$；直角三角形OAP的面积=$$\frac{1}{2} \times |x| \times |y| = \frac{1}{2}|k|$$，与点P的位置无关，仅与$$|k|$$有关。 （五）易错点汇总（针对性突破，规避失分） 1. 图象绘制易错：① 用直线或折线连接点，未用平滑曲线；② 让双曲线与x轴、y轴相交；③ 选取x的值不对称，导致图象不完整、不对称。 2. 增减性应用易错：① 省略“每个象限内”，误判跨象限的增减性；② 已知两点坐标，未判断是否在同一象限，直接根据x的大小比较y的大小。 3. k的几何意义易错：① 计算面积时忘记加绝对值，导致面积为负数；② 混淆矩形和直角三角形的面积公式，误将三角形面积算成$$|k|$$。 4. 对称性应用易错：求对称点时，混淆中心对称和轴对称的规律（中心对称：横、纵坐标都变号；轴对称：关于$$y = x$$对称，横、纵坐标互换）。 5. k的符号与图象对应易错：误将$$k &lt; 0$$的图象画在第一、三象限，或$$k > 0$$的图象画在第二、四象限。 二、典型题型解析（分层突破，贴合课时重点） 题型1：反比例函数图象的判断与绘制（基础巩固） 例1：（1）判断反比例函数$$y = -\frac{5}{x}$$的图象分布、增减性，并说明理由；（2）用描点法画出该函数的图象。 解：（1）∵ 反比例函数$$y = -\frac{5}{x}$$中，$$k = -5 < 0$$， ∴ 图象分布在第二、四象限；在每个象限内，y随x的增大而增大。 （2）描点法绘制步骤： ① 列表：选取x的对称值，计算对应的y值： x -5 -1 -0.5 0.5 1 5 y 1 5 10 -10 -5 -1 ② 描点：在平面直角坐标系中，描出（-5,1）、（-1,5）、（-0.5 2026年4月7日星期二10时34分48秒 2026年4月7日星期二10时34分49秒 反比例函数的图象和性质 例1 画反比例函数 y = 的图象. 这个函数中自变量 x 的取值范围是不等于零的一切实数，列出 x 与 y 的对应值表： x … -6 -3 -2 -1 … 1 2 3 6 … y … -1 -2 -3 -6 … 6 3 2 1 … 1 双曲线 描点连线 思考 这两条曲线会与 x 轴、y 轴相交吗？为什么 ? 试一试 画出函数 的图象. 解：这个函数中自变量 x 的取值范围是不等于零的一切实数，列出 x 与 y 的对应值表： x … -6 -3 -2 -1 … 1 2 3 6 … y … 1 2 3 6 … -6 -3 -2 -1 … 描点连线 思考 这两条曲线与 有什么区别 ? 1.函数 的图象在哪两个象限？和函数 的图象有什么不同？ 【思考与讨论】 第二象限 第四象限 第一象限 第三象限 在每一个象限内， y 随 x 的增大而增大. 在每一个象限内， y 随 x 的增大而减小. 2. 反比例函数 的图象在哪两个象限由什么确定 ? 当 k > 0 时，函数的图象分布在一、三象限； 当 k < 0 时，函数的图象分布在二、四象限。 3. 试由所画出的两个函数的图象，总结一下反比例函数的变化规律：随着自变量 x 的增大，函数值 y 将会怎样变化 ? 反比例函数 有下列性质: (1) 若 k > 0 ，函数的图象在第_____、_____ 象限，在每个象限内，曲线从左向右下降，也就是说，当 x ＞ 0 (或 x < 0) 时， y 随 x 的增大而 _____ ； (2) 若 k < 0 ，函数的图象在第_____、_____ 象限，在每个象限内，曲线从左向右上升，也就是说，当 x > 0 ( 或 x < 0 ) 时， y 随 x 的增大而 _____ . 二 一 三 四 增大 减小 知识要点 【深入思考】这一性质在本节问题 1 和问题 2 中 反映了怎样的实际意义? 问题1 汽车的行驶时间与行驶速度的函数： 问题2 长方形饲养场一边长与另一边 y 的函数关系： 问题 1 反映的实际意义是当所走路程不变时，所用时间随速度的增大而减小. 问题 2 反映的实际意义是当长方形的面积一定时，它的一条边的长度增大时，它的另一边的长度减小. 思考 讨论反比例函数的增减性时 ，这里与一次函数不同 ，强调了“在每个象限内”，应该怎么理解 ? 因为自变量 x 的取值范围不同，一次函数自变量 x 的取值范围为全体实数，而反比例函数自变量 x 的取值范围为不等于 0 的一切实数，0 将自变量 x 的取值分为两个部分 ( 两个象限 )，在每个象限讨论增减性才是合理的. 例2 已知 y 是 x 的反比例函数，当 x = 2 时， ，求这个反比例函数的表达式. 解：设这个反比例函数的表达式为______(其中 k 为待定系数). 已知当 x = 2 时， 可得_______. 可以求得 k=_______. 所以这个反比例函数的表达式是_______. 典例精析 例3 已知反比例函数的图象经过点 A(2，6). (1) 这个函数的图象位于哪些象限？y 随 x 的增大如 何变化？ 解：因为点 A (2，6) 在第一象限，所以这个函数的 图象位于第一、三象限； 在每一个象限内，y 随 x 的增大而减小. 反比例函数的图象和性质的初步运用 2 (2) 点 B (3，4)，C ( ， )，D (2，5) 是否在这个函数的图象上？ 解：设这个反比例函数的解析式为 ，因为点 A (2，6)在其图象上，所以有 ，解得 k =12. 因为点 B，C 的坐标都满足该解析式，而点 D 的坐标不满足，所以点 B，C 在这个函数的图象上，点 D 不在这个函数的图象上. 所以该反比例函数的解析式为 . (1) 图象的另一支位于哪个象限？m 的取值范围是什么？ O x y 例4 如图，是反比例函数 图象的一支. 根据图象，回答下列问题： 解：因为这个反比例函数图象的一支位于第一象限，所以根据对称性知另一支位于第三象限. 又因为这个函数图象位于第一、三象限， 所以 m－5＞0，解得 m＞5. 典例精析 (2) 在这个函数图象的某一支上任取点 A (x1，y1) 和 点 B (x2，y2). 如果 x1＞x2，那么 y1 和 y2 有怎样的 大小关系？ 解：因为 m－5 ＞ 0， 所以在这个函数图象的任一支上，y 都随 x 的增大而减小. 因此，当x1＞x2时，y1＜y2. O x y 返回 D 中考考法 16 返回 B 中考考法 17 返回 C 中考考法 18 4．科技承载梦想，创新始于少年．某校科技社团的学生们制作了一艘轮船模型，实验过程中他们发现在某段航行过程中轮船模型的牵引力F(N)是其速度v(m·s－1)的反比例函数，其图象如图所示， 中考考法 19 中考考法 20 返回 【答案】B 中考考法 21 中考考法 22 返回 中考考法 23 中考考法 24 (2)这个函数的图象在哪几个象限？y随x的增大怎样变化？ 【解】∵－8＜0， ∴这个函数的图象位于第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大． 中考考法 25 (3)画出函数的图象． 【解】如图所示． 中考考法 26 返回 (4)点B(－2，4)，C(－1，5)在这个函数的图象上吗？ 【解】∵－2×4＝－8，－1×5＝－5≠－8， ∴点B(－2，4)在这个反比例函数的图象上，点C(－1，5)不在这个反比例函数的图象上． 中考考法 27 中考考法 28 返回 【答案】C 中考考法 29 反比例函数 (k ≠ 0) k k > 0 k < 0 图象 性质 图象位于第一、第三象限 图象位于第二、第四象限 在每一个象限内，y 随 x 的增大而减小 在每一个象限内，y 随 x 的增大而增大 1．[湖南中考]对于反比例函数y＝，下列结论正确的是(　　) A．点(2，2)在该函数的图象上 B．该函数的图象位于第二、四象限 C．当x<0时，y随x的增大而增大 D．当x>0时，y随x的增大而减小 2．若反比例函数y＝的图象位于第二、四象限，则k能取的最大整数为(　　) A．0 B．－1 C．－2 D．－3 3．[连云港中考]如图，正比例函数y1＝k1x(k1<0)的图象与反比例函数y2＝(k2<0)的图象交于A，B两点，点A的横坐标为－1．当y1<y2时，x的取值范围是(　　) A．x<－1或x>1 B．x<－1或0<x<1 C．－1<x<0或x>1 D．－1<x<0或0<x<1 下列说法不正确的是(　　) A．该段航行过程中，F随v的增大而减小 B．当F＞10 N时，v＞2 m·s－1 C．该段航行过程中，函数表达式为F＝ D．当v＝8 m·s－1时，F＝2.5 N 【点拨】A.根据图象可知，F·v是定值，F随v的增大而减小，选项正确，不符合题意；B.当F＞10 N时，v＜2 m·s－1，选项错误，符合题意；C.根据图象信息，函数表达式为F＝，选项正确，不符合题意；D.当v＝8 m·s－1时，F＝＝2.5(N)，选项正确，不符合题意．故选B. － 5．如图，反比例函数y＝(x＞0)与一次函数y＝x－2的图象交于点P(a，b)，则－的值为________． 【点拨】∵反比例函数y＝(x＞0)与一次函数y＝x－2的图象交于点P(a，b)，∴b＝，b＝a－2，∴ab＝6，a－b＝2，∴－＝＝－＝－＝－. 6．已知反比例函数y＝的图象经过点A(2，－4)． (1)求k的值． 【解】∵反比例函数y＝的图象经过点A(2，－4)， ∴1－k＝2×(－4)＝－8，解得k＝9. 7．[保定期末]如图是三个反比例函数y＝，y＝，y＝在x轴上方的图象，由此观察得到k1，k2，k3的大小关系为(　　) A．k1＞k2＞k3 B．k3＞k1＞k2 C．k2＞k3＞k1 D．k3＞k2＞k1 【点拨】由题图可知，反比例函数y＝的图象在第二象限，故k1＜0；反比例函数y＝，y＝的图象在第一象限，且y＝的图象距原点较远，故0＜k3＜k2.综合可得k2＞k3＞k1. $