16.5 第1课时 一次函数与二元一次方程(组) 课件 2025-2026学年华东师大版八年级数学下册

华东师大版（新教材）数学8年级下册培优备精做课件 16.5 第1课时 一次函数与二元一次方程(组) 第16章 函数及其图象 授课教师： Home . 班 级： 八年级（---）班 . 时 间： . 2026年4月7日 华东师大版八年级下册数学 16.5 第1课时 一次函数与二元一次方程(组) 一、核心知识点梳理（衔接旧知，突破重点） （一）回顾与衔接 此前我们已经学习了一次函数（$$y = kx + b$$，$$k eq 0$$）和二元一次方程（组）的基础内容：二元一次方程是含有两个未知数，且含未知数的项的次数都是1的整式方程；二元一次方程组是由两个二元一次方程组成的方程组，其解是使两个方程同时成立的未知数的值。本节课的核心的是建立一次函数与二元一次方程（组）的联系，学会用函数图象解决方程组的解，实现“数”（方程）与“形”（图象）的转化。 （二）一次函数与二元一次方程的关系（核心重点） 1. 核心关联：二元一次方程可以转化为一次函数 任何一个二元一次方程（整理成标准形式$$ax + by + c = 0$$，其中$$a eq 0$$、$$b eq 0$$），都可以通过移项、变形，转化为一次函数的形式$$y = kx + b$$（$$k eq 0$$）。 推导示例：将二元一次方程$$2x + y = 5$$转化为一次函数形式： 移项得：$$y = -2x + 5$$，此时即为一次函数，其中$$k = -2$$，$$b = 5$$。 2. 解的对应关系（关键难点） 1. 二元一次方程的所有解，都对应着其对应的一次函数图象上的点的坐标； 2. 反之，一次函数图象上所有点的坐标$$(x, y)$$，都是其对应的二元一次方程的解； 3. 补充说明：一个二元一次方程有无数组解，对应一次函数图象上无数个点，这些点构成了一条直线（即一次函数的图象）。 示例：二元一次方程$$2x + y = 5$$的解有$$\begin{cases} x=0 \\ y=5 \end{cases}$$、$$\begin{cases} x=1 \\ y=3 \end{cases}$$、$$\begin{cases} x=2 \\ y=1 \end{cases}$$等，这些解对应的点$$(0,5)$$、$$(1,3)$$、$$(2,1)$$，都在一次函数$$y = -2x + 5$$的图象上；反之，该直线上任意一点的坐标，都满足方程$$2x + y = 5$$。 （三）一次函数与二元一次方程组的关系（核心难点） 1. 方程组与函数图象的对应 一个二元一次方程组，对应着两个一次函数，这两个一次函数的图象（两条直线）的位置关系，直接决定了方程组解的情况，具体对应如下： 二元一次方程组的解的情况 对应的两个一次函数图象的位置关系 核心说明 有唯一一组解 两条直线相交 交点的坐标$$(x, y)$$，就是方程组的唯一解 无解 两条直线平行（$$k_1 = k_2$$且$$b_1 eq b_2$$） 两条直线没有交点，因此方程组没有能同时满足两个方程的解 有无数组解 两条直线重合（$$k_1 = k_2$$且$$b_1 = b_2$$） 两条直线完全重合，所有点的坐标都满足两个方程，因此有无数组解 2. 用一次函数图象解二元一次方程组的步骤（实操重点） 1. 转化：将方程组中的两个二元一次方程，分别转化为一次函数的形式（$$y = kx + b$$）； 2. 绘图：在同一平面直角坐标系中，画出这两个一次函数的图象（两条直线）； 3. 找交点：观察图象，找到两条直线的交点坐标（若有交点）； 4. 写解：交点的横坐标为方程组中x的值，纵坐标为y的值，即为方程组的解；若直线平行，方程组无解；若直线重合，方程组有无数组解。 注意：用图象法解方程组，结果是近似值，若要得到精确解，需结合代数方法（代入消元法、加减消元法）验证。 （四）易错点汇总（针对性突破，规避失分） 1. 转化错误：将二元一次方程转化为一次函数时，移项、变号失误（如将$$2x + y = 5$$误转化为$$y = 2x + 5$$）； 2. 对应关系混淆：误将二元一次方程的解与反比例函数图象对应，或混淆“方程的解”与“函数图象上的点”的关系； 3. 图象判断错误：混淆两条直线平行、相交、重合的条件（平行需$$k_1 = k_2$$且$$b_1 eq b_2$$，重合需$$k_1 = k_2$$且$$b_1 = b_2$$）； 4. 图象法解方程组易错：① 画图不规范，导致交点坐标判断错误；② 忽略图象法的近似性，未用代数方法验证精确解； 5. 概念混淆：误将二元一次方程组的解，当作其中一个一次函数的解（需同时满足两个函数的坐标才是方程组的解）。 二、典型题型解析（分层突破，贴合课时重点） 题型1：二元一次方程与一次函数的转化（基础巩固） 例1：将下列二元一次方程转化为一次函数$$y = kx + b$$的形式，并判断点$$(2, 3)$$是否在该函数的图象上。 （1）$$3x + y = 9$$ （2）$$2x - 3y = 6$$ 解：（1）转化：移项得$$y = -3x + 9$$； 验证点$$(2, 3)$$：将$$x = 2$$代入$$y = -3x + 9$$，得$$y = -3 \times 2 + 9 = 3$$，与点的纵坐标相等， ∴ 点$$(2, 3)$$在该函数的图象上。 （2）转化：移项得$$-3y = -2x + 6$$，两边同时除以-3，得$$y = \frac{2}{3}x - 2$$； 验证点$$(2, 3)$$：将$$x = 2$$代入$$y = \frac{2}{3}x - 2$$，得$$y = \frac{2}{3} \times 2 - 2 = -\frac{2}{3} eq 3$$， ∴ 点$$(2, 3)$$不在该函数的图象上。 题型2：用图象法解二元一次方程组（核心应用） 例2：用图象法解二元一次方程组$$\begin{cases} x + y = 4 \\ 2x - y = 2 \end{cases}$$，并通过代数方法验证。 解：1. 转化函数形式： 由$$x + y = 4$$得：$$y = -x + 4$$； 由$$2x - y = 2$$得：$$y = 2x - 2$$。 2. 绘制图象： ① 画$$y = -x + 4$$：取两点$$(0, 4)$$、$$(4, 0)$$，描点连线； ② 画$$y = 2x - 2$$：取两点$$(0, -2)$$、$$(1, 0)$$，描点连线； 3. 找交点：观察图象，两条直线相交于点$$(2, 2)$$； 4. 验证（代数方法，加减消元法）： 将两个方程相加，得$$3x = 6$$，解得$$x = 2$$； 将$$x = 2$$代入$$x + y = 4$$，得$$y = 2$$； ∴ 方程组的解为$$\begin{cases} x = 2 \\ y = 2 \end{cases}$$，与图象法结果一致。 题型3：根据函数图象判断方程组的解的情况（拓展应用） 例3：已知两个一次函数$$y = k_1x + b_1$$和$$y = k_2x + b_2$$的图象，根据下列条件，判断对应的二元一次方程组$$\begin{cases} y = k_1x + b_1 \\ y = k_2x + b_2 \end{cases}$$的解的情况。 （1）$$k_1 = 2$$，$$b_1 = 3$$，$$k_2 = 2$$，$$b_2 = 5$$； （2）$$k_1 = -1$$，$$b_1 = 4$$，$$k_2 = 3$$，$$b_2 = 0$$； （3）$$k_1 = \frac{1}{2}$$，$$b_1 = -2$$，$$k_2 = \frac{1}{2}$$，$$b_2 = -2$$。 解：（1）∵ $$k_1 = k_2 = 2$$，且$$b_1 = 3 eq b_2 = 5$$， ∴ 两条直线平行，对应的方程组无解； （2）∵ $$k_1 = -1 eq k_2 = 3$$， ∴ 两条直线相交，对应的方程组有唯一一组解； （3）∵$$k_1 = k_2 = \frac{1}{2}$$，且$$b_1 = b_2 = -2$$， ∴ 两条直线重合，对应的方程组有无数组解。 题型4：结合解的情况求字母取值（难点突破） 例4：已知二元一次方程组$$\begin{cases} 2x + y = 5 \\ kx + 2y = 6 \end{cases}$$有唯一一组解，求k的取值范围。 解：1. 将两个方程转化为一次函数形式： 由$$2x + y = 5$$得：$$y = -2x + 5$$； 由$$kx + 2y = 6$$得：$$y = -\frac{k}{2}x + 3$$。 2. 方程组有唯一一组解，说明两条直线相交，即$$k_1 eq k_2$$； 3. 其中$$k_1 = -2$$，$$k_2 = -\frac{k}{2}$$，因此： $$ -2 eq -\frac{k}{2} $$，解得$$k eq 4$$； ∴ k的取值范围是$$k eq 4$$。 三、课堂练习题 一、选择题（每题3分，共15分） 1. 将二元一次方程$$3x - 2y = 6$$转化为一次函数形式，正确的是（ ） 2. 下列点中，在二元一次方程$$x - y = 2$$ 2026年4月7日星期二10时34分51秒 2026年4月7日星期二10时34分54秒 一次函数与二元一次方程（组) 问题1 某单位准备印制一批证书 ，当地有甲、乙两个印刷厂 ，它们的印制质量都很好，甲厂收费分为制版费和印刷费两部分；乙厂不收制版费 ，直接按印刷数量收费 ，当印刷证书超过 2 千本时单价有优惠 ，甲、乙两厂的收费 y (千元) 关于印制的证书数量 x (千本) 的函数图象如图所示： 1 ② 印制证书多少本时，两厂实际收费相同? ③ 当印制证书 8 千本时，选择哪个印刷厂比较划算? (1) 根据图象回答: ① 甲厂的制版费及印刷费 单价各是多少? 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 7 8 x / 千本 y/千元 O 甲 乙 甲厂制版费 1 千元， 印刷费单价 0.5 千元/千本. 6 千本 甲厂 (2) 如果甲厂想把 8 千本证书印制的订单争取到手 ，在不降低制版费的前提下，印刷费部分的单价至少应降低多少? 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 7 8 x / 千本 y / 千元 O 甲 乙 y乙 = ( x ≥ 2 ). (2) 由图象经过点(0，1)和(2，2)，求得 当 x≥2 时，由图象经过点(2，3)和 (6，4)，求得 y甲 = . 根据题意，甲厂至少降价 500 元才能将印制工作承揽下来. 因为不降低制版费， y甲 = y乙 = (x≥2) 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 7 8 x/千本 y/千元 O 甲 乙 所以证书印刷单价至少降低 (元) 所以当印制 8 千本证书时，选择乙厂能节省费用 500 元. 当 x = 8 时，计算得 y甲 = 5，y乙 = 4.5， 思考 (1)“收费相同”在图象上怎样反映出来? 可以通过函数图象的交点反映出来 在图象上，点的位置越高， 对应的函数值就越大，收费就越多； 反之，点的位置越低，对应的函数值就越小，收费就越少. 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 7 8 x/千本 y/千元 O 甲 乙 (2) 如何在图象上看出收费的多少? 思考1 一次函数与二元一次方程有什么关系？ 一次函数 二元一次方程 一次函数 y = x+1 二元一次方程 y - x = 1 二元一次方程 y = x + 1 用方程观点看 用函数观点看 　　从式子（数）角度看： 由函数图象的定义可知： 直线 y = x + 1 上的每个点的坐标(x，y) 都能使等式 y = x + 1 成立，即 直线 y = x + 1 上的每个点的坐标都是二元一次方程 y = x + 1 的解. 思考2 从形的角度看，一次函数与二元一次方程有什么关系？ y甲 = 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 7 8 x/千本 y/千元 O 观察 在坐标系中分别画出两条直线 y = 2x - 5 和 y = -x +1 . 1.它们的交点坐标_____________. 2.方程组的解是__________. 这两个函数图象交点的坐标就是这个方程组的解. (2，-1) “数”的角度 “形”的角度 两个一次函数 y = k1x + b1 (k1≠0)， y = k2x + b2 (k2≠0) 的自变量 x，y 的一组相同的值⇔二元一次方程组 的解 直线 y = k1x + b1 (k1≠0)，y = k2x + b2 (k2≠0)的交点坐标 为(m，n) ⇔二元一次方程组 的解为 x = m，y = n 一次函数与二元一次方程组的关系 例2 利用一次函数的图象，求二元一次方程组 的解. 典例精析 分析：方程组中的第一个方程已经变化为一次函数的形式，第二个方程可变化成 y = . x y 例2 利用一次函数的图象，求二元一次方程组 的解. 解 分别作出一次函数的图像，得到两个函数的图象的交点是 (-4 ，1) . 即方程组的解为 典例精析 x y 拓展：一次函数 y1 = k1x + b1，y2 = k2x + b2 的图象与对应方程组的解 (1) 当 k1≠k2 时，两个一次函数的图象相交，对应的方程组有唯一的解； (2) 当 k1 = k2，b1≠b2时，两个一次函数的图象平行，对应的方程组无解； (3) 当 k1 = k2，b1 = b2 时，两个一次函数的图象重合，对应的方程组有无数个解. 返回 D 中考考法 14 返回 C 中考考法 15 返回 3．若以关于x，y的二元一次方程2x－y＋b＝0的解为坐标的点(x，y)都在直线y＝2x－b＋2上，则常数b的值为________． 1 中考考法 16 返回 1 x … 2 1 0 －1 … y1 … 0 3 6 9 … y2 … 6 3 0 －3 … 3 中考考法 17 【解】如图，在同一直角坐标系中 画出y＝－x＋4和y＝2x＋1的图象． 中考考法 18 返回 中考考法 19 6．某中学举行校庆活动，使用了两架小型无人机进行现场拍摄，1号机所在高度y1(m)与上升时间x(s)的函数图象如图所示；2号机从6 m高度，以0.5 m/s的速度上升，两架无人机同时起飞，设2号机所在高度为y2 (m)． 中考考法 20 (1)求1号机所在高度y1(m)与上升时间x(s)之间的函数表达式(不必写出x的取值范围)，并在图中画出2号机所在高度y2(m)与上升时间x(s)的函数图象． 中考考法 21 中考考法 22 返回 (2)在某时刻两架无人机能否位于同一高度？如果能，求此时两架无人机的高度；如果不能，请说明理由． 【解】在某时刻两架无人机能位于同一高度． 当y1＝y2时，x＋3＝0.5x＋6，解得x＝6. ∴x＋3＝6＋3＝9. ∴此时两架无人机的高度为9 m. 中考考法 23 中考考法 24 返回 【答案】A 中考考法 25 中考考法 26 返回 【答案】A 中考考法 27 一次函数与二元一次方程 解二元一次方程组 求对应两条直线交点的坐标 1．已知方程组的解为则一次函数y＝ 3x－1与y＝2x图象的交点坐标为(　　) A．(1，－2) B．(－1，2) C．(－1，－2) D．(1，2) 2．若直线y＝3x＋6与直线y＝2x－4的交点坐标为(a，b)，则解为的方程组是(　　) A． B． C． D． 4．一次函数y1＝k1x＋b和y2＝k2x的图象上一部分点的坐标如下表，则方程组的解为x＝________，y＝________． 5．用图象法解方程组 ∵函数y＝－x＋4和y＝2x＋1的图象交点P的坐标为(1，3)， ∴方程组的解为 【解】设y1＝kx＋b，将(0，3)，(9，12)分别代入，得 解得 ∴y1(m)与上升时间x(s)之间的函数表达 式为y1＝x＋3. 由题意得y2＝0.5x＋6，其函数图象如图所示． 7．已知关于x，y的二元一次方程组 无解，则一次函数y＝kx＋2的图象经过的象限是(　　) A．一、二、四 B．二、三、四 C．一、三、四 D．一、二、三 【点拨】∵关于x，y的二元一次方程组无解，∴直线y＝(2－k)x＋1与直线y＝(2k＋5)x＋3无交点，即两直线平行，∴2－k＝2k＋5，解得k＝－1.当k＝－1时，一次函数为y＝－x＋2，其图象经过第一、二、四象限． 8．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝x＋m与y＝nx＋1的图象分别与y轴交于点(0，4)，(0，1)，则关于x，y的二元一次方程组的解为(　　) A． 　　B． C． 　　D． 【点拨】因为一次函数y＝x＋m的图象与y轴交于点(0，4)，将一次函数y＝x＋m的图象向下平移3个单位长度得到一次函数y＝x＋m－3的图象，所以一次函数y＝x＋m－3的图象与y轴交于点(0，1).而一次函数y＝nx＋1的图象与y轴也交于点(0，1)，所以一次函数y＝x＋m－3与y＝nx＋1的图象的交点为(0，1)，所以关于x，y的二元一次方程组的解为 $