第16章 函数及其图象 小结与复习 课件 2025-2026学年华东师大版八年级数学下册

华东师大版（新教材）数学8年级下册培优备精做课件 第16章 小结与复习 第16章 函数及其图象 授课教师： Home . 班 级： 八年级（---）班 . 时 间： . 2026年4月7日 华东师大版八年级下册数学 第16章 小结与复习 一、章节知识框架（理清脉络，串联全章） 本章核心围绕“函数”展开，从概念到应用，层层递进，核心脉络如下： 函数的概念 → 一次函数（正比例函数）→ 反比例函数 → 函数与方程、不等式的关系 → 函数在实际生活中的应用 核心思想：数形结合（用函数图象解决代数问题）、数学建模（将实际问题转化为函数问题）。 二、全章核心知识点梳理（重点突破，夯实基础） （一）函数的基本概念（全章基础） 1. 定义：在一个变化过程中，有两个变量x和y，如果对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么就说y是x的函数，x是自变量。 2. 关键判断：① 两个变量；② 自变量x每一个确定值，y有且只有一个值对应（唯一性）。 3. 函数的表示方法：① 解析式法（最常用，如$$y = kx + b$$）；② 列表法；③ 图象法（直观，体现变量变化趋势）。 4. 自变量取值范围：结合实际意义（如人数、时间、面积不能为负数）和解析式意义（如反比例函数中$$x eq 0$$）确定。 （二）一次函数与正比例函数（核心重点） 1. 解析式与定义 - 一次函数：一般形式$$y = kx + b$$（$$k eq 0$$），其中k是斜率，b是截距； - 正比例函数：特殊的一次函数，形式$$y = kx$$（$$k eq 0$$），特点是$$b = 0$$，图象过原点。 2. 图象与性质（核心难点） 函数类型 图象形状 k的符号影响 b的符号影响（一次函数） 增减性 一次函数$$y = kx + b$$（$$k eq 0$$） 一条直线 $$k > 0$$：直线从左到右上升；$$k < 0$$：直线从左到右下降 $$b > 0$$：直线交y轴正半轴；$$b < 0$$：交y轴负半轴；$$b = 0$$：过原点（正比例函数） $$k > 0$$：y随x增大而增大；$$k < 0$$：y随x增大而减小 正比例函数$$y = kx$$（$$k eq 0$$） 过原点的直线 同一次函数，决定直线升降 无（$$b = 0$$） 同一次函数 3. 一次函数解析式的求法（待定系数法） 1. 设：设一次函数解析式为$$y = kx + b$$（正比例函数设$$y = kx$$）； 2. 代：将图象上两个点的坐标（或两组x、y对应值）代入解析式，列出关于k、b的方程组； 3. 解：解方程组，求出k、b的值； 4. 写：写出完整的函数解析式，检验是否符合题意。 （三）反比例函数（核心重点） 1. 解析式与定义 - 定义：形如$$y = \frac{k}{x}$$（$$k eq 0$$）的函数，也可表示为$$xy = k$$或$$y = kx^{-1}$$； - 关键前提：$$k eq 0$$，自变量$$x eq 0$$，函数值$$y eq 0$$。 2. 图象与性质 k的符号 图象形状与分布 增减性 对称性 k的几何意义 $$k > 0$$ 双曲线，位于第一、三象限 每个象限内，y随x增大而减小（不可省略“每个象限内”） 关于原点、直线$$y = x$$、$$y = -x$$对称 过双曲线上任意一点作x轴、y轴垂线，形成的矩形面积为$$|k|$$，直角三角形面积为$$\frac{1}{2}|k|$$ $$k < 0$$ 双曲线，位于第二、四象限 每个象限内，y随x增大而增大（不可省略“每个象限内”） 同左 同左 （四）函数与方程、不等式的关系（数形结合核心） 1. 一次函数与一元一次方程 解方程$$kx + b = 0$$（$$k eq 0$$），本质是求一次函数$$y = kx + b$$的图象与x轴交点的横坐标； 拓展：解方程$$kx + b = m$$，对应求$$y = kx + b$$与$$y = m$$交点的横坐标。 2. 一次函数与一元一次不等式 解不等式$$kx + b > 0$$（或$$< 0$$），本质是求一次函数$$y = kx + b$$的图象在x轴上方（或下方）部分对应的x的取值范围； 关键：结合k的符号（增减性）判断解集方向，避免符号错误。 3. 一次函数与二元一次方程组 二元一次方程组的解，对应两个一次函数图象的交点坐标； 解的情况：① 相交→唯一解；② 平行（$$k_1 = k_2$$且$$b_1 eq b_2$$）→无解；③ 重合（$$k_1 = k_2$$且$$b_1 = b_2$$）→无数组解。 （五）函数在实际生活中的应用（应用重点） 1. 核心步骤：审题→建模（列一次/反比例函数解析式）→求解→检验→作答； 2. 常见场景：计费问题（分段计费）、行程问题、利润成本问题、产量面积问题； 3. 关键：找准等量关系，结合实际意义确定自变量取值范围，避免脱离场景的计算。 三、全章易错点汇总（规避失分，针对性纠错） 1. 函数概念易错：忽略“y的唯一性”，误判非函数关系；未结合实际意义确定自变量取值范围（如反比例函数漏写$$x eq 0$$）。 2026年4月7日星期二10时34分51秒 2026年4月7日星期二10时34分53秒 1. 常量与变量 叫变量， 叫常量. 2. 函数定义： 取值发生变化的量 取值固定不变的量 在一个变化过程中，如果有两个变量 x 与 y，并且对于 x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说 x 是自变量，y 是 x 的函数. 一、函数 3. 函数的图象：对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横坐标和纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象. 列表法 解析式法 图象法. 5. 函数的三种表示方法： 4. 描点法画图象的步骤：列表、描点、连线 一次函数 一般地，如果 y＝kx＋b (k、b是常数，k≠0)，那么 y 叫做 x 的一次函数. 正比例函数 特别地，当 b＝____时，一次函数 y＝kx＋b 变为 y＝ _____(k 为常数，k≠0)，这时 y 叫做 x 的正比例函数. 0 kx 二、一次函数 1. 一次函数与正比例函数的概念 2. 分段函数 当自变量的取值范围不同时，函数的表达式也不同，这样的函数称为分段函数. 函数 字母系数取值 （ k>0 ） 图象 经过的象限 函数性质 y＝kx + b (k ≠ 0) b > 0 y 随 x 增大而 增大 b = 0 b < 0 第一、三象限 第一、二、三象限 第一、三、四象限 3. 一次函数的图象与性质 函数 字母系数取值 （ k<0 ） 图象 经过的象限 函数性质 y＝kx + b (k ≠ 0) b > 0 y 随 x增大而 减小 b＝0 b < 0 第一、二、四象限 第二、四象限 第二、三、四象限 求一次函数表达式的一般步骤： (1) 先设出函数表达式； (2) 根据条件列出关于待定系数的方程（组）； (3) 解方程（组）求出表达式中未知的系数； (4) 把求出的系数代入设的表达式，从而具体写出这个表达式. 这种求表达式的方法叫待定系数法. 4. 用待定系数法求一次函数的表达式 求 ax+b = 0 (a，b 是 常数，a≠0) 的解 x 为何值时，函数 y = ax + b 的值为 0？ 从“数”的角度看 求 ax+b = 0 (a，b 是 　常数，a≠0) 的解 求直线 y = ax+b 与 x 轴交点的横坐标 从“形”的角度看 (1) 一次函数与一元一次方程 5. 一次函数与方程 一般地，任何一个二元一次方程都可以转化为一次函数 y = kx + b(k、b为常数，且k≠0) 的形式，所以每个二元一次方程都对应一个一次函数，也对应一条直线． (2) 一次函数与二元一次方程 二元一次方程的解 对应直线上点的坐标 三、反比例函数 1. 反比例函数的概念 定义：形如________ (k 为常数，且 k ≠ 0) 的函数称 为反比例函数，其中 x 是自变量，y 是 x 的函数，k 是比例系数． 三种解析式形式： 或 xy＝k 或 y＝kx－1 (k ≠ 0)． 【注意】(1) k ≠ 0；(2)自变量 x ≠ 0；(3)函数值 y ≠ 0. 2. 反比例函数的图象和性质 (1) 反比例函数的图象：反比例函数 (k≠0)的 图象是 ，它既是轴对称图形又是中心 对称图形. 反比例函数的图象的两条对称轴分别为直线 和 ；对称中心是 . 双曲线 原点 y = x y=－x (2) 反比例函数的性质 图象 所在象限 性质 (k≠0) k＞0 第________象限(x，y同号) 在每个象限内，y 随 x 的增大而_____ k＜0 第________象限(x，y异号) 在每个象限内，y 随 x 的增大而_____ x y o x y o 一、三 二、四 减小 增大 (3) 反比例函数中比例系数 k 的几何意义 反比例函数图象上的点 (x，y) 具有两坐标之 积为常数 (xy＝k) 这一特点，即过双曲线上任意一 点，向两坐标轴引垂线，两条垂线与坐标轴所围 成的矩形的面积为 . 推论：过双曲线上任意一点，向任一坐标轴引垂 线，垂线与坐标轴及这点与原点的连线所围成的 三角形的面积为 ． |k| 3. 反比例函数的应用 利用待定系数法确定反比例函数的解析式： ① 根据两变量之间的反比例关系，设 ； ② 代入 x，y 的一组对应值，或者该函数图象 上一个点的坐标，求出 k 的值； ③ 写出解析式. 返回 B 中考考法 15 返回 C 中考考法 16 返回 3．[广安中考]在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为(a，b)，且a，b满足(a－2)2＋|b＋3|＝0，则点A在第________象限． 四 中考考法 17 返回 4．在平面直角坐标系中，将正比例函数y＝－2x的图象向下平移3个单位长度得到一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象，则该一次函数的表达式为(　　) A．y＝－2x＋3 B．y＝－2x＋6 C．y＝－2x－3 D．y＝－2x－6 C 中考考法 18 5．关于一次函数y＝x＋1，下列说法正确的是(　　) A．图象经过第一、三、四象限 B．图象与y轴交于点(0，1) C．函数值y随自变量x的增大而减小 D．当x＞－1时，y＜0 中考考法 19 返回 【点拨】∵在一次函数y＝x＋1中，k＞0，b＞0，∴图象经过第一、二、三象限，故A不正确；当x＝0时，y＝1，∴图象与y轴交于点(0，1)，故B正确；∵一次函数y＝x＋1中，k＞0，∴函数值y随自变量x的增大而增大，故C不正确；∵当x＝－1时，y＝0，且函数值y随自变量x的增大而增大，∴当x＞－1时，y＞0，当x＜－1时，y＜0，故D不正确． 【答案】B 中考考法 20 6．一次函数y1＝kx－b和一次函数y2＝－2kx＋b在同一直角坐标系中的图象可能是(　　) 中考考法 21 【点拨】A.在y1＝kx－b中k＞0，b＜0，在y2＝－2kx＋b中 k＞0，b＞0，b的取值范围相矛盾，故本选项不符合题意；B.在y1＝kx－b中k＞0，b＜0，在y2＝－2kx＋b中k＞0，b＜0，k，b的取值范围一致，故本选项符合题意；C.在y1＝ kx－b中k＜0，b＜0，在y2＝－2kx＋b中k＞0，b＜0，k的取值范围相矛盾，故本选项不符合题意；D.在y1＝kx－b中 k＞0，b＜0，在y2＝－2kx＋b中k＜0，b＜0，k的取值范围相矛盾，故本选项不符合题意． 【答案】B 返回 中考考法 22 7．已知A(x1，y1)，B(x2，y2)是一次函数y＝(3－2m)x＋1的图象上的两点，且(x1－x2)(y1－y2)＜0，则m的取值范围为____________． 中考考法 23 返回 中考考法 24 8．下面是小明同学探究函数y＝|x－1|的图象和性质的过程，请补充完整． x … －2 －1 0 1 2 3 4 … y … 3 2 1 0 m 2 3 … (1)表格中为y与x的几组对应值，则m的值为______． 1 【点拨】当x＝2时，y＝m＝|2－1|＝1，故m的值是1. 中考考法 25 (2)在如图所示的平面直角坐标系xOy中，先根据上表描点，再画出该函数的图象． 【解】如图． 中考考法 26 返回 (3)观察图象，写出函数y＝|x－1|的一条性质． 【解】由图象可知，函数y＝|x－1|的图象关于直线x＝1 对称．(答案不唯一) 中考考法 27 中考考法 28 中考考法 29 返回 当－4<t<0时，点P(t，y1)在第三象限，点Q(t＋4，y2)在第一象限，∴y1<0，y2>0，∴y1<0<y2，故选项B，C错误，不符合题意；当t>0时，t＋4>0，∴P(t，y1)，Q(t＋4，y2)都在第一象限．∵t<t＋4，∴y1>y2>0，故选项D错误，不符合题意．故选A. 【答案】A 中考考法 30 (－1，－1) 中考考法 31 返回 中考考法 32 9 中考考法 33 返回 中考考法 34 12．如图，已知一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象分别与x轴，y轴交于A，B两点，若OA＝2，OB＝1，则关于x的方程kx＋b＝0的解为________． x＝－2 中考考法 35 返回 【点拨】∵OA＝2，∴一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象与x轴相交于点A(－2，0)．∴关于x的方程kx＋b＝0的解为x＝－2. 中考考法 36 返回 ①③④ 中考考法 37 14．如图，一次函数y＝kx＋b的图象经过点A(－6，0)，B(－1，5)． 中考考法 38 (1)若一次函数y＝－2x－3的图象与直线AB相交于点M，求点M的坐标； 中考考法 39 (2)求出点D的坐标．根据图象，直接写出关于x的不等式 kx＋b＞－2x－3≥0的解集； 【解】把y＝0代入y＝－2x－3，得－2x－3＝0，解得 x＝－1.5.∴点D的坐标为(－1.5，0)．观察图象可知，关于x的不等式kx＋b＞－2x－3≥0的解集为－3＜x≤－1.5. 中考考法 40 (3)在直线AB上存在异于点M的另一点P，使得△ADP的面积是△ADM的面积的2倍，请直接写出点P的坐标． 【解】点P的坐标为(0，6)或(－12，－6). 中考考法 41 返回 【点拨】∵△ADP与△ADM底边都是AD，△ADP的面积是△ADM的面积的2倍，∴△ADP的高就是点M到直线AD的距离的2倍．∴点P的纵坐标的绝对值是6，∴点P的纵坐标是±6.当y＝6时，则x＋6＝6，解得x＝0；当y＝－6时，则x＋6＝－6，解得x＝－12.∴点P的坐标为(0，6)或(－12，－6)． 中考考法 42 1．已知函数y＝＋，自变量x的取值范围是(　　) A．x＞1 B．x≥1且x≠2 C．x≥1 D．x≠2 2．下列式子：①y＝3x－5；②y＝；③y＝(x－1)2；④y2＝x；⑤y＝|x|．其中y是x的函数的有(　　) A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 m> 【点拨】∵A(x1，y1)，B(x2，y2)是一次函数y＝(3－2m)x＋1的图象上的两点，且(x1－x2)(y1－y2)＜0，∴x1－x2与y1－y2异号．∴y随x的增大而减小．∴3－2m＜0.∴m>. 9．反比例函数y＝的图象上有P(t，y1)，Q(t＋4，y2)两点．下列正确的选项是(　　) A．当t<－4时，y2<y1<0 B．当－4<t<0时，y2<y1<0 C．当－4<t<0时，0<y1<y2 D．当t>0时，0<y1<y2 【点拨】∵反比例函数y＝中，k＝4>0，∴此函数图象的两个分支分别位于第一、三象限，在每一象限内，y随x的增大而减小．当t<－4时，t＋4<0，∴P(t，y1)，Q(t＋4，y2)都在第三象限．∵t<t＋4，∴y2<y1<0，故选项A正确，符合题意； 10．[深圳中考]如图，同一平面直角坐标系下的正比例函数y＝ax的图象与反比例函数y＝的图象相交于点A和点B．若点A的横坐标为1，则点B的坐标为___________． 【点拨】由题意，得当x＝1时，ax＝，即a·1＝，∴a＝1.∴y＝x.∴当x＝1时，y＝x＝1.∴A(1，1)．∵正比例函数与反比例函数的图象均关于原点对称，∴点A，B关于原点对称．∴B(－1，－1)． 11．如图，已知双曲线y＝(x<0)经过Rt△OAB斜边OA的中点D，且与直角边AB相交于点C，连结OC．若点A的坐标为(－6，4)，则△AOC的面积为________． 【点拨】∵点D为Rt△OAB斜边OA的中点，且点A的坐标为(－6，4)，∴点D的坐标为(－3，2)．把(－3，2)代入 y＝(x<0)，可得k＝－6，∴双曲线的表达式为y＝－.易知C点的横坐标为－6，将x＝－6代入y＝－，得y＝1，∴点C的坐标为(－6，1)．∴AC＝3.易知OB＝6，∴S△AOC＝ AC·OB＝9. 13．如图，一次函数y1＝ax＋b与一次函数y2＝kx＋4的图象交于点P(1，3)，则下列说法正确的是_______(填序号)． ①方程ax＋b＝3的解是x＝1； ②方程组的解是 ③不等式ax＋b>kx＋4的解集是x>1； ④不等式4>kx＋4>ax＋b的解集是0<x<1． 【解】由题意得解得 ∴直线AB的表达式为y＝x＋6. 联立得方程组解得 ∴点M的坐标为(－3，3)． $