16.4.1 反比例函数 课件 2025-2026学年华东师大版八年级数学下册

华东师大版（新教材）数学8年级下册培优备精做课件 16.4.1 反比例函数 第16章 函数及其图象 授课教师： Home . 班 级： 八年级（---）班 . 时 间： . 2026年4月7日 华东师大版八年级下册数学 16.4.1 反比例函数 一、核心知识点梳理 （一）反比例函数的定义（核心重点） 1. 定义：一般地，形如$$y = \frac{k}{x}$$（其中$$k$$为常数，且$$k eq 0$$）的函数，叫做反比例函数。 2. 解析式的三种等价形式（重点掌握，灵活运用）： - 基本形式：$$y = \frac{k}{x}$$（$$k eq 0$$）； - 乘积形式：$$xy = k$$（$$k eq 0$$）（最易判断，若两个变量的乘积为非零常数，则为反比例函数）； - 负指数形式：$$y = kx^{-1}$$（$$k eq 0$$）（与一次函数区分，x的次数为-1，而非1）。 3. 关键前提： - 常数$$k eq 0$$（若$$k = 0$$，则解析式变为$$y = 0$$，是常函数，不是反比例函数）； - 自变量$$x eq 0$$（分母不能为0），函数值$$y eq 0$$； - 自变量x的次数为-1（区别于一次函数x的次数为1、二次函数x的次数为2）。 4. 实际意义：反比例函数反映的是两个变量“乘积为定值”的变化关系，即一个变量随另一个变量的增大而减小（或增大），且变化规律成反比例。 （二）反比例函数的图象与性质（核心难点） 1. 图象形状与分布 1. 图象形状：反比例函数$$y = \frac{k}{x}$$（$$k eq 0$$）的图象是双曲线，由两条互不相交的曲线组成（称为双曲线的两支）。 2. 图象分布（由k的符号决定，与一次函数b的作用不同，反比例函数图象分布仅由k决定）： - 当$$k > 0$$时：双曲线的两支分别位于第一、三象限； - 当$$k < 0$$时：双曲线的两支分别位于第二、四象限； - 关键提醒：双曲线永远不会与x轴、y轴相交（因为$$x eq 0$$、$$y eq 0$$），但会无限靠近坐标轴。 2. 反比例函数的性质（结合k的符号） 常数k的符号 图象分布 函数的增减性（重点） 图象对称性 $$k &gt; 0$$ 第一、三象限 在每个象限内，y随x的增大而减小（注意：“每个象限内”不可省略，跨象限不满足此规律） 关于原点对称（若点$$(x, y)$$在图象上，则点$$(-x, -y)$$也在图象上）；关于直线$$y = x$$、$$y = -x$$对称 $$k < 0$$ 第二、四象限 在每个象限内，y随x的增大而增大（同样，“每个象限内”不可省略） 与$$k > 0$$时一致，关于原点、直线$$y = x$$、$$y = -x$$对称 3. 反比例函数图象的画法（描点法，三步法） 1. 列表：根据自变量x的取值范围（$$x eq 0$$），选取x的一些值（正数、负数各选3-4个，尽量选整数，方便计算），计算出对应的y值，整理成表格（注意x、y的符号与k一致）； 2. 描点：在平面直角坐标系中，根据表格中的坐标$$(x, y)$$，准确描出所有点，注意区分第一、三象限或第二、四象限的点； 3. 连线：用平滑的曲线（不可画成直线）连接同一象限内的点，得到双曲线的一支；另一支同理，注意两支曲线互不相交，且无限靠近坐标轴。 （三）反比例函数与一次函数的区别（易混点对比） 对比项目 一次函数 反比例函数 解析式形式 $$y = kx + b$$（$$k eq 0$$） $$y = \frac{k}{x}$$（$$k eq 0$$）（或$$xy = k$$、$$y = kx^{-1}$$） 自变量次数 x的次数为1 x的次数为-1 图象形状 直线 双曲线（两支） 自变量取值范围 x为全体实数（无限制） $$x eq 0$$（分母不能为0） 增减性 整个定义域内，y随x增大而增大（$$k > 0$$）或减小（$$k < 0$$） 每个象限内，y随x增大而减小（$$k > 0$$）或增大（$$k < 0$$），跨象限不成立 （四）易错点补充（针对性突破） 1. 定义判断错误：① 忽略$$k eq 0$$的条件，误将$$y = \frac{0}{x}$$当作反比例函数；② 混淆自变量次数，将$$y = kx^2$$、$$y = kx$$误判为反比例函数。 2. 增减性描述错误：省略“每个象限内”，如误说“当$$k > 0$$时，y随x的增大而减小”（跨象限不成立，如$$y = \frac{2}{x}$$，x=-1时y=-2，x=1时y=2，x增大但y也增大）。 3. 图象绘制错误：① 用直线连接描出的点（应为平滑曲线）；② 让双曲线与x轴、y轴相交；③ 同一象限内的点连线不平滑，或两支曲线相交。 4. 符号判断错误：根据k的符号误判图象分布，如$$k < 0$$时，误将图象画在第一、三象限。 5. 混淆反比例函数与一次函数的性质：将一次函数“k决定增减性、b决定交点”的规律，错误套用在反比例函数上（反比例函数无b，图象分布仅由k决定）。 二、典型题型解析（分层突破） 题型1：判断是否为反比例函数（基础题型） 例1：判断下列函数是否为反比例函数，说明理由： （1）$$y = \frac{3}{x}$$ （2）$$y = 3x$$ （3）$$xy = 5$$ （4）$$y = \frac{x}{3}$$ （5）$$y = 3x^{-1}$$ （6）$$y = \frac{3}{x} + 1$$ 解： （1）是反比例函数；理由：符合$$y = \frac{k}{x}$$的形式，其中$$k = 3 eq 0$$，满足定义； （2）不是反比例函数；理由：是一次函数（$$y = kx$$，$$k = 3 eq 0$$），x的次数为1，不是-1； （3）是反比例函数；理由：可化为$$y = \frac{5}{x}$$，符合反比例函数乘积形式$$xy = k$$（$$k = 5 eq 0$$）； （4）不是反比例函数；理由：是一次函数（$$y = \frac{1}{3}x$$），x的次数为1，不是-1； （5）是反比例函数；理由：可化为$$y = \frac{3}{x}$$，符合负指数形式$$y = kx^{-1}$$（$$k = 3 eq 0$$）； （6）不是反比例函数；理由：解析式为$$y = \frac{3}{x} + 1$$ 2026年4月7日星期二10时33分5秒 2026年4月7日星期二10时33分8秒 问题1 甲、乙两地相距 120 km，汽车从甲地匀速驶往乙地. 显然，汽车的行驶时间由行驶速度确定，时间是速度的函数，试写出这个函数的关系式. 反比例函数的概念 设汽车行驶的速度是 v 千米/时，从甲地到乙地的行驶时间是 t 小时. 时间＝路程÷速度 1 2 问题2 学校课外生物小组的同学准备自己动手，用旧围栏建一个面积为 24 cm2 的长方形饲养场. 设它的一边长为 x (m)，求另一边 y (m) 与 x 之间的函数关系. 长方形面积＝长×宽 xy＝24 思考 请大家观察这两个式子有什么共同点？ 　　一般地，形如　　 ( k 是常数，k ≠ 0 ) 的函数，叫做反比例函数 ，其中 x 是自变量，y 是函数. 自变量 x 的取值范围是不等于 0 的一切实数. 问题 1、2 中得到的函数，都是反比例函数. 知识要点 思考 反比例函数 (k ≠ 0) 的自变量 x 的取值范围，什么是所有非零实数？ 因为 x 作为分母，不能等于零，因此自变量 x 的取值范围是所有非零实数. 但实际问题中，应根据具体情况来确定反比例函数自变量的取值范围. 例如，在前面得到的第一个表达式 中，作为行驶时间的 t 的取值应满足 t＞0，且当 t 取每一个确定的值时，v 都有唯一确定的值与其对应. 想一想 反比例函数除了可以用 (k ≠ 0) 的形式表示之外，还有没有其他表达方式？ 反比例函数的三种表达方式 ( 注意 k ≠ 0 )： 1.下列函数是不是反比例函数？若是，请指出 k 的值. 是，k = 3 不是 不是 不是 是， 练一练 解：因为 是反比例函数， 所以 4－k2 = 0， k－2 ≠ 0. 解得 k =－2. 所以该反比例函数的表达式为 方法总结：已知某个函数为反比例函数，只需要根据反比例函数的定义列出方程 (组) 求解即可. 例1 若函数 是反比例函数，求 k 的值，并写出该反比例函数的表达式. 典例精析 例2 已知 y 是 x 的反比例函数，并且当 x = 2 时，y = 6. (1) 写出 y 关于 x 的函数表达式； 提示：因为 y 是 x 的反比例函数，所以设 .把 x = 2 和 y = 6 代入上式，就可求出常数 k 的值. 解：设 . 因为当 x = 2 时，y = 6，所以有 解得 k = 12. 因此 确定反比例函数的表达式 2 (2) 当 x = 4 时，求 y 的值. 解：把 x = 4 代入 ，得 方法总结：用待定系数法求反比例函数表达式的步骤： ① 设出含有待定系数的反比例函数表达式； ② 将已知条件(自变量与函数的对应值)代入表达式，得到关于待定系数的方程； ③ 解方程，求出待定系数的值； ④ 写出反比例函数的表达式. 例3 人的视觉机能受运动速度的影响很大，行驶中司机在驾驶室内观察前方物体是动态的，车速增加，视野变窄. 当车速为 50 km/h 时，视野为 80 度. 如果视野 f (度) 是车速 v (km/h) 的反比例函数，求 f 关于 v 的函数表达式，并计算当车速为 100 km/h 时视野的度数. 反比例函数简单应用 3 当 v = 100 时，f = 40. 所以当车速为 100 km/h 时视野为 40 度. 解：设 . 由题意知，当 v = 50 时，f = 80，所以 解得 k = 4000. 因此 返回 C 中考考法 13 返回 (1)这个函数的比例系数为________； (2)当x＝－10时，y的值为________； (3)当y＝6时，x的值为________． 中考考法 14 返回 3．某气球内充满了一定质量的气体，在温度不变的条件下，气球内气体的压强p(Pa)是气球体积V(m3)的反比例函数．当V＝1.2 m3时，p＝20 000 Pa．则当V＝1.5 m3时，p＝________Pa． 16 000 中考考法 15 返回 4．已知函数y＝(m－1)xm2－2是反比例函数，则m的值为________． －1 中考考法 16 5．写出下列问题中两个变量之间的函数表达式，并判断其是不是反比例函数． (1)三角形的面积为3 cm2，某一边上的高y(cm)随该边的长x(cm)的变化而变化； 中考考法 17 返回 (2)在检修100 m长的管道时，每天能完成10 m，剩下的未检修的管道长y(m)随检修天数x的变化而变化． 【解】∵y＋10x＝100，∴两个变量之间的函数表达式为y＝100－10x，不是反比例函数． 中考考法 18 中考考法 19 返回 【答案】A 中考考法 20 7．已知函数y＝2y1－y2，y1与x＋1成正比例，y2与x成反比例，当x＝1时，y＝4；当x＝2时，y＝3，则y与x的函数关系式为____________． 中考考法 21 返回 中考考法 22 8．[郴州月考]如图，王大爷准备用栅栏围建一个面积为 60 m2的长方形养鸡场ABCD，其中一边AB靠墙，墙长为15 m．设AD的长为x m，AB的长为y m． 中考考法 23 (1)求y与x之间的函数表达式，并求出自变量x的取值范围； 中考考法 24 返回 (2)现有两种方案，x＝4或x＝3，试选出合理的设计方案，并求出栅栏的总长． 中考考法 25 建立反比例函数模型 用待定系数法求反比例函数表达式 反比例函数：定义/三种表达方式 反比例函数 1．下列函数：①y＝x－2，②y＝，③y＝x－1，④y＝，⑤xy＝11，⑥y＝，⑦y＝，⑧＝1．其中y是x的反比例函数的有(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 － － 2．已知反比例函数y＝－． 【解】根据三角形的面积公式可得3＝xy，∴y＝，是反比例函数． 6．[济宁模拟]如图，在长方形ABCD中，AB＝3，BC＝5，E为BC边上的一个动点(点E不与点B，C重合)，连结AE，过点D作DF⊥AE于点F．设AE，DF的长度分别为x，y，则y与x的函数表达式为(　　) A．y＝　　 B．y＝x C．y＝x D．y＝3x＋5 【点拨】如图，连结DE.由题意得长方形ABCD的面积＝AB·BC＝3×5＝15，∴△AED的面积为×15＝.∵DF⊥AE，∴S△ADE＝AE·DF＝.∴xy＝15.∴y＝. y＝x＋＋ 【点拨】设y1＝k1(x＋1)，y2＝. ∵y＝2y1－y2，∴y＝2k1(x＋1)－. 由题意得解得 ∴y＝(x＋1)－，即y＝x＋＋. 【解】∵长方形ABCD的面积为60 m2，∴xy＝60. ∴y与x的函数表达式为y＝. ∵墙的长度是15 m，∴0<y≤15. ∴0<≤15，解得x≥4，即自变量x的取值范围是x≥4. 【解】由(1)知x的取值范围是x≥4，∴选x＝4比较合理． ∴栅栏的总长为2×4＋＝23(m)． $