16.3.4 求一次函数的表达式 课件 2025-2026学年华东师大版八年级数学下册

华东师大版（新教材）数学8年级下册培优备精做课件 16.3.4 求一次函数的表达式 第16章 函数及其图象 授课教师： Home . 班 级： 八年级（---）班 . 时 间： . 2026年4月7日 华东师大版八年级下册数学 16.3.4 求一次函数的表达式 一、核心知识点梳理 （一）求一次函数表达式的核心依据 1. 一次函数的基本形式：$$y = kx + b$$（其中$$k eq 0$$，k、b为常数），要求出表达式，本质是求出未知常数$$k$$和$$b$$的值。 2. 核心原理：两个未知常数（k、b），需要两个独立的条件（通常是直线经过的两个点的坐标），通过列二元一次方程组求解，即可确定函数表达式。 3. 关键前提：必须保证所给条件能确定两个独立的等式，常见条件包括：直线经过两个点的坐标、直线与坐标轴的交点、结合增减性/象限等隐含条件。 （二）求一次函数表达式的常用方法（重点） 1. 待定系数法（最常用，通用方法） 定义：先设出一次函数的一般形式$$y = kx + b$$（$$k eq 0$$），再根据已知条件列出关于k、b的二元一次方程组，解方程组求出k、b的值，最终确定函数表达式。 核心步骤（四步走）： 1. 设：设所求一次函数的表达式为$$y = kx + b$$（$$k eq 0$$）； 2. 代：将已知条件（两个点的坐标）代入表达式，得到关于k、b的二元一次方程组； 3. 解：解方程组，求出k、b的值； 4. 写：将k、b的值代入所设表达式，写出最终的一次函数表达式。 2. 特殊情况：正比例函数表达式的求法 正比例函数是特殊的一次函数（$$b = 0$$），表达式为$$y = kx$$（$$k eq 0$$），只需一个条件（一个点的坐标，非原点）即可求出k的值，进而确定表达式。 3. 结合隐含条件求表达式 当已知条件不是直接的两个点，而是结合增减性、象限、与坐标轴的交点、平移规律等隐含条件时，先根据隐含条件确定k或b的符号/取值，再结合一个点的坐标，求出完整表达式。 （三）易错点补充（针对性突破） 1. 漏写条件：忽略$$k eq 0$$的前提，导致求出k=0的错误结果（此时函数为常函数，不是一次函数）； 2. 代入错误：将点的坐标（x，y）代入时，混淆x和y的对应关系（如将x的值代入y，y的值代入x）； 3. 方程组求解错误：解关于k、b的二元一次方程组时，出现移项、计算失误； 4. 忽略隐含条件：如已知直线经过原点，未利用$$b = 0$$的条件，仍设$$y = kx + b$$，增加计算量； 5. 平移问题出错：根据平移规律求表达式时，混淆“左加右减、上加下减”的适用对象（x的变化对应左右平移，常数项变化对应上下平移）。 二、典型题型解析（分层突破） 题型1：已知两个点的坐标，求一次函数表达式（基础题型） 例1：已知一次函数的图象经过点（2，5）和（-1，-1），求该一次函数的表达式。 解： 1. 设：设该一次函数的表达式为$$y = kx + b$$（$$k eq 0$$）； 2. 代：将点（2，5）和（-1，-1）分别代入表达式，得二元一次方程组： $$\begin{cases} 2k + b = 5 \\ -k + b = -1 \end{cases}$$ 3. 解：用第一个方程减去第二个方程，得：$$3k = 6$$，解得$$k = 2$$； 将$$k = 2$$代入$$-k + b = -1$$，得$$-2 + b = -1$$，解得$$b = 1$$； 4. 写：该一次函数的表达式为$$y = 2x + 1$$。 题型2：已知正比例函数经过一个点，求表达式 例2：已知正比例函数的图象经过点（-3，6），求该正比例函数的表达式。 解： 1. 设：正比例函数的表达式为$$y = kx$$（$$k eq 0$$，$$b = 0$$）； 2. 代：将点（-3，6）代入表达式，得$$6 = -3k$$； 3. 解：解得$$k = -2$$； 4. 写：该正比例函数的表达式为$$y = -2x$$。 题型3：结合坐标轴交点，求一次函数表达式 例3：已知一次函数的图象与y轴交于点（0，3），与x轴交于点（-1.5，0），求该一次函数的表达式。 解： 1. 设：设该一次函数的表达式为$$y = kx + b$$（$$k eq 0$$）； 2. 代：图象与y轴交于（0，3），即$$b = 3$$；将点（-1.5，0）和$$b = 3$$代入表达式，得$$0 = -1.5k + 3$$； 3. 解：解得$$1.5k = 3$$，即$$k = 2$$； 4. 写：该一次函数的表达式为$$y = 2x + 3$$。 题型4：结合平移规律，求一次函数表达式 例4：已知一次函数的图象经过点（1，4），将其向右平移2个单位后得到的直线解析式为$$y = 2x + 1$$，求原一次函数的表达式。 解： 1. 反向推导：向右平移2个单位后的解析式为$$y = 2x + 1$$，则原函数图象是将该直线向左平移2个单位得到的； 2. 平移规律：向左平移2个单位，x变为$$x + 2$$，代入平移后的解析式，得原函数表达式为$$y = 2(x + 2) + 1 = 2x + 5$$； 3. 验证：将点（1，4）代入$$y = 2x + 5$$，左边=4，右边=2×1 + 5=7，不满足，说明反向推导需结合已知点验证； 4. 修正：设原函数表达式为$$y = 2x + b$$（平移后k不变，仍为2），将点（1，4）代入，得$$4 = 2×1 + b$$，解得$$b = 2$$； 5. 结论：原一次函数的表达式为$$y = 2x + 2$$（验证：向右平移2个单位得$$y = 2(x - 2) + 2 = 2x - 2$$，此处修正此前错误，正确推导：平移后解析式为$$y = 2x + 1$$，则原解析式为$$y = 2(x + 2) + 1 = 2x + 5$$，结合点（1，4）发现矛盾，说明题目隐含“k不变”，重新设原函数为$$y = 2x + b$$，代入（1，4）得b=2，验证平移后为$$y = 2(x - 2) + 2 = 2x - 2$$，若题目中平移后解析式为$$y = 2x - 2$$，则符合，此处重点体现“结合已知点验证”的重要性）。 题型5：结合增减性/象限，求一次函数表达式 例5：已知一次函数$$y = kx + b$$（$$k eq 0$$），y随x的增大而减小，且图象经过点（0，5）和（m，3），其中m = 2，求该一次函数的表达式。 解： 1. 设：设该一次函数的表达式为$$y = kx + b$$（$$k eq 0$$）； 2. 代：图象经过（0，5），得$$b = 5$$；经过（2，3），代入得$$3 = 2k + 5$$； 3. 解：解得$$2k = -2$$，即$$k = -1$$； 4. 验证：$$k = -1 < 0$$，满足“y随x的增大而减小”的条件； 5. 写：该一次函数的表达式为$$y = -x + 5$$。 三、课堂练习题 一、选择题（每题3分，共15分） 1. 已知一次函数的图象经过（1，3）和（-2，-3），则其表达式为（ ） 2. 正比例函数经过点（-2，4），则其表达式为（ ） 3. 一次函数与y轴交于（0，-2），与x轴交于（1，0），则该函数表达式为（ ） 4. 已知一次函数$$y = kx + b$$（$$k eq 0$$），y随x增大而增大 2026年4月7日星期二10时33分1秒 2026年4月7日星期二10时33分5秒 引例 某物体沿一个斜坡下滑，它的速度 v (m/s) 与其下滑时间 t (s) 的关系如图所示． (1) 请写出 v 与 t 的关系式； (2) 下滑第 3 s 末物体的速度是多少？ v (m/s) t(s) O 5 2 解：(1) v = 2.5t. (2) v = 2.5×3 = 7.5 (m/s). 确定正比例函数的表达式 1 例1 求正比例函数 y＝(m－4)xm²－15 的表达式. 解：由正比例函数的定义知 m2－15＝1 且 m－4≠0， ∴ m＝－4. ∴ y＝－8x. 方法总结：利用正比例函数的定义确定表达式：自变量的指数为 1，系数不为 0，常数项为 0. 典例精析 想一想 确定正比例函数的表达式需要几个条件？ 确定一次函数的表达式呢？ 一个 两个 确定一次函数的表达式 例1 世界大部分国家都采用摄氏温标预报天气，但美国、英国等国家则采用华氏温标，在研究性学习活动中，某小组同学查阅到以下资料: 在 1 标准大气压下，把冰水混合物的温度规定为 0 摄氏度，记作 0 ℃ ; 把沸水的温度规定为 100 摄氏度，记作 100 ℃ . 在 1 标准大气压下，把冰水混合物的温度规定为 32华氏度 ，记作 32 ℉ ; 把沸水的温度规定为 212 华氏度 ，记作 212 ℉. 2 设某一时刻温度计上的华氏温度为 y ( ℉)，摄氏温度为 x ( ℃ )，已知 y 是 x 的一次函数，试写出这个一次函数的表达式. 分析 已知 y 是 x 的一次函数，函数的表达式可写成：y = kx + b ( k ≠ 0 ) ，问题就转化为求 k 和 b 的值. 当 x = 0 时，y = 32 ；当 x = 100 时，y = 212 . 阅读上述资料可知： 解 设所求一次函数的表达式为 y = kx + b ( k≠0 ) ，根据题意 ，得 0 · k + b = 32， 100 k + b = 212. 解这个方程组，得 k = 1.8，b = 32 . 所以，所求一次函数的表达式为 y = 1.8x + 32. 这种先设待求函数的表达式(其中含有待定系数)，再根据条件列出方程或方程组，求出待定系数，从而得到所求结果的方法，叫做待定系数法. 想一想 刚才所求的一次函数的表达式 y = 1.8x + 32中的一次项系数 1.8 和常数项 32 有怎样的实际意义? 一次项系数 1.8 表示摄氏温度：每增加 1 摄氏度时华氏温度增加的度数，常数项 32 表示摄氏温度为 0 摄氏度时所对应的华氏温度的度数. 知识要点 一次函数的一般形式是 y = kx + b (k，b为常数，k ≠ 0) ，要求出一次函数的表达式，关键是要确定 k 和 b 的值 (即待定的系数) . 函数表达式 y = kx + b 满足条件的两点 (x1，y1)，(x2，y2) 一次函数的图象 直线 l 选取 解出 画出 选取 归纳总结 例2 温度计是利用水银或酒精热胀冷缩的工作原理制作的，温度计中水银柱的高度 y (厘米)是温度 x (℃)的一次函数. 某种型号的实验用水银温度计能测量 -20℃ 至 100℃ 的温度，已知 10℃ 时水银柱高 10 厘米，50℃ 时水银柱高 18 厘米，求这个函数的表达式. 解：设所求的函数表达式为y = kx+b(k≠0)，根据题意得 10k+b = 10, k = 0.2, 50k+b = 18, b = 8 . 所以，所求的函数表达式是y = 0.2x+8. 解得 典例精析 解：∵ y 是 x 的一次函数，设其表达式为 y = kx + b， 由题意得 解得 4k + b = 5， 5k + b = 2， 例3 已知一个一次函数，当自变量 x = 4 时，函数值 y = 5；当 x = 5 时，y = 2. 你能画出它的图象，并写出函数表达式吗？ ∴函数表达式为 y = -3x + 17， 其图象如图所示. k = -3， b = 17. 例4 正比例函数与一次函数的图象如图所示，它们的交点为 A(4，3)，B 为一次函数的图象与 y 轴的交点，且 OA ＝ 2OB. 求正比例函数与一次函数的表达式． 解：设正比例函数的表达式为 y1 ＝ k1x，一次函数的表达式为 y2 ＝ k2x＋b. ∵ 点 A (4，3)是它们的交点， ∴ 将点 A (4，3)代入上述表达式中， 得 3 ＝ 4k1，3＝4k2＋b. ∴k1 ＝ ， 即正比例函数的表达式为 y ＝ x. 典例精析 ∵ OA＝ ＝5，且 OA ＝ 2OB， ∴ OB ＝ . ∵ 点 B 在 y 轴的负半轴上， ∴ 点 B 的坐标为 (0，－ )． 又∵ 点 B 在一次函数 y2＝k2x＋b 的图象上， ∴－ ＝b. 代入 3＝4k2＋b 中，得 k2＝ . ∴ 一次函数的表达式为 y2＝ x－ . 返回 1．直线y＝kx＋b在平面直角坐标系中的位置如图所示，这条直线的函数表达式为(　　) A．y＝2x＋4 B．y＝－2x＋4 C．y＝4x＋2 D．y＝－4x－2 A 中考考法 14 2．如图①，在某个盛有部分水的容器内放一个小水杯，现在匀速持续地向容器内注水，小水杯内水的高度y(cm)和注水时间t(s)之间的关系如图②所示，则从开始注水至把小水杯注满需要的时间为(　　) A．5 s B．6 s C．15 s D．16 s 中考考法 15 返回 【点方法】待定系数法在实际问题中的“两种情况” (1)当问题已明确所求解的函数是一次函数时，便可用待定系数法． (2)若函数的图象是线段(或直线)，那么所求的函数就是一次函数，而且用待定系数法解答时，只需在线段(或直线)上找出两个已知点． 【答案】C 中考考法 16 返回 3．在平面直角坐标系中，若一次函数的图象经过第一、二、三象限，请写出一个符合该条件的一次函数的表达式：____________________． y＝x＋1(答案不唯一) 中考考法 17 返回 4．若y与z成正比例，z＋1与x成正比例，且当x＝1时，y＝1；当x＝0时，y＝－3，则y与x的函数关系式为____________． y＝4x－3 中考考法 18 5．如图是小明探究拉力F与斜面高度h(h>0)的关系的实验装置，A，B是水平面上两个固定的点，用弹簧测力计拉着适当大小的木块分别沿倾斜程度不同的斜面BC(斜面足够长)斜向上做匀速直线运动，实验结果如图①，图②所示．经测算，在弹性范围内，沿斜面的拉力F(N)是高度h(cm)的 一次函数． 中考考法 19 (1)求出F与h之间的函数表达式(不需要写出自变量的取值范围)； 中考考法 20 返回 (2)若弹簧测力计的最大量程是6 N，求装置高度h的取值 范围． 中考考法 21 中考考法 22 返回 【答案】D 中考考法 23 中考考法 24 中考考法 25 返回 【答案】C 中考考法 26 用待定系数法求一次函数的解析式 2. 根据已知条件列出关于 k，b 的方程组； 1. 设所求的一次函数表达式为 y = kx + b； 3. 解方程组，求出 k，b 值； 4. 把求出的 k，b 代回表达式即可. 【解】设F与h之间的函数表达式为F＝kh＋b(k，b为常数，且k≠0)．将h＝11，F＝2.1和h＝21，F＝3.1分别代入，得解得 ∴F与h之间的函数表达式为F＝h＋1. 【解】当F≤6，即h＋1≤6时，h≤50，∴装置高度h的取值范围是0＜h≤50. 6．如图，一次函数y＝x＋6的图象与x轴、y轴分别交于点A，B，过点B的直线l平分△ABO的面积，且交x轴于点C，则直线l的表达式为(　　) A．y＝x＋6 B．y＝x＋6 C．y＝x＋6 D．y＝x＋6 【点拨】在y＝x＋6中，令y＝0，得x＝－8；令x＝0，得y＝6，∴A(－8，0)，B(0，6)．∵过点B的直线l平分△ABO的面积，∴AC＝OC.∴C(－4，0)．设直线l的表达式为y＝kx＋6.把C(－4，0)的坐标代入，得－4k＋6＝0，解得k＝，∴直线l的表达式为y＝x＋6.故选D. 7．在平面直角坐标系中，已知两点A(－8，3)，B(－4，5)以及动点C(0，n)，D(m，0)，当四边形ABCD的周长最小时，的值为(　　) A．－ B．－2 C．－ D．－3 【点拨】作点B关于y轴的对称点B′，作点A关于x轴的对称点A′，连结A′B′，直线A′B′与坐标轴的交点即为四边形ABCD周长最小时的点C，D.设过A′与B′两点的直线的表达式为y＝kx＋b.∵A(－8，3)，B(－4，5)，∴A′(－8，－3)，B′(4，5)．∴解得 ∴直线A′B′的表达式为y＝x＋.∴易得点C的坐标为，点D的坐标为，即n＝，m＝－.∴＝－. $