16.3.2 第2课时 一次函数图象与坐标轴的交点及实际问题中一次函数的图象 课件 2025-2026学年华东师大版八年级数学下册

华东师大版（新教材）数学8年级下册培优备精做课件 16.3.2 第2课时 一次函数图象与坐标轴的交点及实际问题中一次函数的图象 第16章 函数及其图象 授课教师： Home . 班 级： 八年级（---）班 . 时 间： . 2026年4月7日 华东师大版八年级下册数学 16.3.2 第2课时 一次函数图象与坐标轴的交点及实际问题中一次函数的图象 一、核心知识点梳理 （一）一次函数图象与坐标轴的交点（核心重点） 1. 交点的定义：一次函数$$y = kx + b$$（$$k eq 0$$）的图象是一条直线，它与x轴、y轴的交点，是直线与坐标轴唯一的公共点，也是后续分析图象位置、解决实际问题的关键。 2. 与y轴的交点（纵截距相关）： - 求解方法：y轴上所有点的横坐标为0，因此令解析式中$$x = 0$$，代入计算对应的y值，即可得到交点坐标。 - 具体推导：令$$x = 0$$，则$$y = k \times 0 + b = b$$，因此一次函数与y轴的交点坐标为$$(0, b)$$。 - 关键说明：b是一次函数的纵截距，当$$b > 0$$时，交点在y轴正半轴；当$$b = 0$$时，交点为原点（此时函数为正比例函数）；当$$b < 0$$时，交点在y轴负半轴。 3. 与x轴的交点（横截距相关）： - 求解方法：x轴上所有点的纵坐标为0，因此令解析式中$$y = 0$$，解关于x的一元一次方程，即可得到交点坐标。 - 具体推导：令$$y = 0$$，则$$kx + b = 0$$（$$k eq 0$$），解得$$x = -\frac{b}{k}$$，因此一次函数与x轴的交点坐标为$$\left(-\frac{b}{k}, 0\right)$$。 - 关键说明：$$-\frac{b}{k}$$是一次函数的横截距，当$$-\frac{b}{k} > 0$$时，交点在x轴正半轴；当$$-\frac{b}{k} = 0$$时，交点为原点（此时b=0，函数为正比例函数）；当$$-\frac{b}{k} < 0$$时，交点在x轴负半轴。 4. 交点的应用： - 快速画图象：结合与x轴、y轴的两个交点，用“两点法”可快速、准确画出一次函数图象； - 判断图象经过的象限：根据两个交点的位置，结合k的符号，可直接判断直线经过的象限； - 求线段长度：交点到原点的距离可通过坐标直接计算（如与y轴交点$$(0, b)$$到原点的距离为$$|b|$$）。 （二）实际问题中一次函数的图象（核心难点） 1. 核心特征：实际问题中的一次函数，其图象通常不是无限延伸的直线，而是线段、射线（受自变量实际取值范围限制），且自变量和函数值均为非负数（如时间、路程、价格、数量等不能为负数）。 2. 解题核心思路（三步法）： - 列解析式：根据实际问题中的数量关系，确定自变量x（表示变化的量，如时间、数量）和因变量y（表示随x变化的量，如路程、总价），列出一次函数解析式$$y = kx + b$$（$$k eq 0$$）； - 确定自变量取值范围：结合实际意义，确定x的取值范围（如时间x≥0、数量x为非负整数、路程x≤总路程等）； - 画图象：根据解析式和x的取值范围，用“两点法”描出端点（注意端点虚实：包含取值用实心点，不包含用空心点），再连接端点得到图象（线段或射线），并标注图象的实际意义（如横纵坐标代表的量、单位）。 3. 常见实际场景及图象特点： - 行程问题：y表示路程，x表示时间，图象通常为线段（从起点到终点，时间和路程均为非负），倾斜程度表示速度（k的绝对值越大，速度越快）； - 计费问题：y表示总费用，x表示计费量（如用电量、用水量、行驶里程），图象可能为线段（单一计费标准）或折线（分段计费），起点纵坐标通常为固定费用（b>0）； - 购物问题：y表示总价，x表示购买数量，图象为线段（数量为非负整数，若允许小数则为射线），k表示单价（k>0）。 4. 图象信息解读：从实际问题的函数图象中，可获取以下关键信息： - 起点：x=0时的y值（如固定费用、初始路程）； - 终点：x取最大值时的y值（如总路程、总费用）； - 变化趋势：图象上升（y随x增大而增大）、下降（y随x增大而减小）或水平（y不变，如停留、固定费用阶段）； - 特殊点：与坐标轴的交点（如x轴交点表示y=0时的x值，即“耗尽”“结束”的时刻/数量）。 （三）易错点补充（针对性突破） 1. 交点求解错误：① 求与x轴交点时，误令x=0（正确令y=0）；② 解$$kx + b = 0$$时，计算失误（如移项错误、符号错误）；③ 忽略交点坐标的书写格式（需用括号，横坐标在前、纵坐标在后）。 2. 忽略自变量取值范围：① 画实际问题的图象时，未结合实际意义限制x的取值，画出无限延伸的直线；② 端点虚实混淆（包含取值用实心点，不包含用空心点）。 3. 解读图象错误：① 混淆横纵坐标代表的实际意义（如误将x当作路程、y当作时间）；② 误将图象的倾斜程度当作实际速度（需结合横纵坐标的单位计算）；③ 忽略分段计费图象的转折点（转折点表示计费标准变化的时刻）。 4. 列解析式与实际意义不符：① 搞错k和b的实际意义（如将单价当作b，固定费用当作k）；② 未考虑实际场景中的限制条件（如数量不能为负数、路程不能超过总距离）。 5. 正比例函数与实际问题混淆：当b=0时，函数为正比例函数，图象过原点，但实际问题中若存在固定费用（b≠0），误当作正比例函数列解析式。 二、典型题型解析（分层突破） 题型1：求一次函数图象与坐标轴的交点坐标 例1：求一次函数$$y = -2x + 6$$的图象与x轴、y轴的交点坐标，并说明交点在坐标轴的位置。 解：（1）求与y轴的交点： 令$$x = 0$$，代入解析式得：$$y = -2 \times 0 + 6 = 6$$， ∴ 与y轴的交点坐标为$$(0, 6)$$，该点在y轴正半轴。 （2）求与x轴的交点： 令$$y = 0$$，则$$-2x + 6 = 0$$， 移项得：$$-2x = -6$$，解得$$x = 3$$， ∴ 与x轴的交点坐标为$$(3, 0)$$，该点在x轴正半轴。 题型2：根据交点求一次函数解析式 例2：已知一次函数$$y = kx + b$$（$$k eq 0$$）的图象与x轴交于点$$(4, 0)$$，与y轴交于点$$(0, -2)$$，求该一次函数的解析式。 解：① 已知交点坐标，将$$(4, 0)$$和$$(0, -2)$$代入$$y = kx + b$$，得方程组： $$\begin{cases} 4k + b = 0 \\ 0 \times k + b = -2 \end{cases}$$ ② 解方程组：由第二个方程得$$b = -2$$，将$$b = -2$$代入第一个方程，得$$4k - 2 = 0$$，解得$$k = \frac{1}{2}$$； ③ 综上，该一次函数的解析式为$$y = \frac{1}{2}x - 2$$。 题型3：实际问题中一次函数解析式的列写与图象绘制 例3：某商店出售瓶装矿泉水，每瓶售价2元，另收取包装押金1元（购买时支付，退瓶时退还，不计入费用），设购买x瓶矿泉水，总支付费用为y元（不含押金）。 （1）求y与x之间的一次函数解析式； （2）确定自变量x的取值范围； （3）画出该函数的图象。 解：（1）列解析式：每瓶售价2元，购买x瓶的总费用为2x元，押金不计入费用， ∴ 解析式为$$y = 2x$$（$$k eq 0$$，b=0，为正比例函数）； （2）自变量取值范围：购买数量x为非负整数（x≥0，且x为整数）； （3）画图象： ① 找特殊点：当x=0时，y=0，交点为$$(0, 0)$$（实心点，x=0有实际意义，购买0瓶费用为0）； 当x=1时，y=2，交点为$$(1, 2)$$；x=2时，y=4，交点为$$(2, 4)$$； ② 描点：描出$$(0, 0)$$、$$(1, 2)$$、$$(2, 4)$$等符合条件的点（均为实心点）； ③ 连线：用直线连接各点，延伸至x为正整数的方向（图象为射线，起点为$$(0, 0)$$，向右上方延伸）； ④ 标注：标注横纵坐标代表的意义（x：购买瓶数，y：总费用/元）。 题型4：解读实际问题中的一次函数图象 例4：如图，是小明从家骑车去图书馆，停留一段时间后骑车回家的路程y（km）与出发时间x（min）的函数图象，根据图象回答下列问题： （1）小明家到图书馆的距离是多少km？ （2）小明在图书馆停留了多长时间？ （3）小明去图书馆和回家的骑车速度分别是多少km/min？ 解：（1）图象中y的最大值为6km，即小明家到图书馆的距离是6km； （2）停留阶段图象为水平线段，对应的x从15min到40min，停留时间为40 - 15 = 25min； （3）① 去图书馆：路程6km，时间15min，速度=路程÷时间=6÷15 = 0.4km/min； ② 回家：路程6km，时间从40min到60min，用时20min，速度=6÷20 = 0.3km/min。 题型5：分段计费问题的图象与解析式 例5：某城市居民用电收费标准如下：每月用电量不超过50度，每度0.5元；超过50度的部分，每度0.6元，设每月用电量为x度，总电费为y元。 （1）求y与x之间的一次函数解析式（分段表示）； （ 2026年4月7日星期二10时33分2秒 2026年4月7日星期二10时33分5秒 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 问题1 作出一次函数 y = －2x + 5 的图象 列表： x … 0 2.5 … y = -2x+5 … … 0 5 描点、连线: A B y x 取坐标轴上的点或是坐标是整数的点比较简单. 一次函数与坐标轴的交点 y = -2x+5 1 一次函数 y = kx + b (k≠0) (1) 当 x = 0 时， y =0 · k + b = b， 所以一次函数 y = kx + b 经过 ( 0 ， b ) 点. (2) 当 y = 0 时， k x + b = 0， x = 所以一次函数 y = k x + b 经过( ， 0)点. 归纳总结 因为正比例函数是一次函数 y = kx + b，当 b = 0 时的特殊情况 所以正比例函数 y = kx 是经过 ( 0，0 ) 和 ( 1，k ) 的一条直线，即正比例函数过原点. 例1 求直线 y = -2x - 3 与 x 轴和 y 轴的交点，并画出这条直线. 解：直线与 x 轴的交点为 ( ，0 )，与 y 轴的交点 为 ( 0，-3 ). 过两点画出直线. 典例精析 例2 如图，直线 y＝2x＋3 与 x 轴相交于点 A，与 y 轴相交于点 B. (1)求 A，B 两点的坐标； 解：(1)令y＝0，得x＝ ∴A 点坐标为 ( ，0 )； 令 x＝0，得 y＝3， ∴B 点坐标为(0，3)． 典例精析 例2 如图，直线 y＝2x＋3 与 x 轴相交于点 A， 与 y 轴相交于点 B. (2) 过点 B 作直线 BP 与 x 轴相交于点 P， 且使 OP＝2OA，求△ABP 的面积． (2) 设 P 点坐标为(x，0)，依题意，得x＝±3. ∴P 点坐标为 P1(3，0)或 P2(－3，0)． ∴S△ABP1＝ × ×3＝ ， S△ABP2＝ × ×3＝ . ∴△ABP 的面积为 或 . 直线 y = kx+b （k ≠ 0）与 坐标轴的交点 注意：|b|，| | 是直线 y＝kx＋b(k≠0) 与坐标轴的两交点和原点构成的直角三角形的两直角边的长． 与 x 轴的交点坐标为 ( ，0) 与 y 轴的交点坐标为 (0 ，b) 方程 kx + b = 0 的解是 x = 方法总结 分析：在实际问题中，我们可以在表示时间的 t 轴和表示路程的 s 轴上分别选取适当的单位长度，画出平面直角坐标系. 实际问题中的一次函数图象 例3 本节问题1 中，汽车距北京的路程 s (km) 与汽车在高速公路上行驶的时间 t (h) 之间的函数关系式是 s = 285 - 95t ，试画出这个函数的图象. 2 O 190 285 1 2 3 t (时) 95 4 s (千米) 当 s = 0 时，t 的值为 3，又 t≥0，所以自变量 t 的取值范围为 0≤t≤3.函数的图象是一条线段. 画出这个函数的图象，并讨论: 这里自变量的取值范围是什么，函数的图象是怎样的 ? O 190 285 1 2 3 t (时) 95 4 s(千米) 思考 这里的图象是直线的一部分 ( 一条线段 ) ，线段的两个端点反映了怎样的实际情境 ? (0， 285) 表示的是刚准备出发的时候， (3，0) 表示行驶了 3 个小时刚到北京. 例4 今有一根弹簧，不悬挂重物时的长度为 12 cm，悬挂的重物每增加 1 kg (重物不超过 8 kg)，弹簧的长度就增加 0.5 cm.写出弹簧的长度 y (cm)和悬挂物的质量 x (kg)之间的函数关系式，指出自变量的取值范围，并画出这个函数的图象. 解：函数关系式为 自变量 x 的取值范围为 0≤x≤8. 函数图象如图： 典例精析 例5 试说明无论 m 为何值，函数 y = (m + 1) x + 2m﹣6 的图象都过某一定点. 解：由 y = (m + 1)x + 2m - 6，得 y - x + 6 = (x + 2)m. 令 y - x + 6 = 0 ，x + 2 = 0. 解得 x = -2 ，y = -8. 所以，无论 m 为何值，函数 y = (m + 1)x + 2m - 6 的图象都过点 (-2，-8). 一次函数的图象可能是一条直线，也可能是一条线段，还可能是一条射线，一条折线或离散的点，这全部取决于自变量的_________，因此在解题时应具体问题具体分析． 取值范围 方法总结 一次函数 y＝kx＋b(k≠0)的图象： 当 x≤a 或 x≥a 时，函数 y＝kx＋b 的图象是射线； 当 a≤x≤c(a＜c) 时，函数 y＝kx＋b 的图象是线段； 当 x 取几个整数时，函数 y＝kx＋b 的图象是一条直线上的几个点． 返回 A 中考考法 16 返回 中考考法 17 3．如图，直线AB：y＝2x－k过点M(k，2)，并且分别与x轴，y轴相交于点A和点B． (1)k的值为________； 2 中考考法 18 (2)求点A和点B的坐标； 【解】∵k＝2，∴直线AB：y＝2x－2. 当y＝0时， 2x－2＝0，解得x＝1；当x＝0时，y＝－2， ∴点A的坐标为(1，0)，点B的坐标为(0，－2)． 中考考法 19 返回 (3)将直线AB向上平移3个单位长度得直线l，若C为直线l上一点，且 S△AOC＝3，求点C 的坐标． 中考考法 20 中考考法 21 返回 【答案】C 中考考法 22 5．如图，函数y＝－2x＋2的图象分别与x轴，y轴交于A，B两点，点C在第一象限，AC⊥AB，且AC＝AB，则点C的坐标为________． (3，1) 中考考法 23 【点拨】过点C作CD⊥x轴于点D，如图．当x＝0时，y＝2，∴B(0，2)，∴OB＝2.当y＝0时，x＝1，∴A(1，0)，∴OA＝1.∵AC⊥AB，∴∠BAC＝90°.∴∠BAO＋∠CAD＝90°. 中考考法 24 返回 中考考法 25 6．如图，在平面直角坐标系中，若折线y＝－|x－2|＋1与直线y＝kx＋2k(k＞0)有且仅有一个交点，则k的取值范围是___________． 中考考法 26 中考考法 27 返回 中考考法 28 10 中考考法 29 一次函数 与坐标轴的交点 实际问题中的一次函数 与 x 轴的交点是( ，0)，与 y 轴的交点是(0，b) 自变量的取值范围决定函数图象 1．如图，一次函数y＝2x－3的图象与x轴交于点A，则点A关于y轴的对称点的坐标是(　　) A． B． C．(0，3) D．(0，－3) － 【点拨】当x＝0时，y＝m(x＋1)＝m，y＝n(x－2)＝－2n.∵直线y＝m(x＋1)(m≠0)与直线y＝n(x－2)(n≠0)的交点在y轴上，∴m＝－2n.∴＋＝＋＝－. 2．[南充中考]已知直线y＝m(x＋1)(m≠0)与直线y＝n(x－2)(n≠0)的交点在y轴上，则＋的值是________． 【解】将直线AB：y＝2x－2向上平移3个单位长度， 得直线l：y＝2x＋1.设点C的坐标为(m，2m＋1)． ∵S△AOC＝3，∴×|2m＋1|×1＝3.∴2m＋1＝±6，解得m＝或m＝－.∴点C的坐标为或. 4．已知直线y＝－x－4与y轴、x轴分别交于点A，B，则点O到直线AB的距离为(　　) A．3 B．4 C． D．12 【点拨】对于y＝－x－4，令x＝0，则y＝－4，故点A的坐标为(0，－4)，∴OA＝4.令y＝0，则x＝－3，故点B的坐标为(－3，0)，∴OB＝3.∴AB＝＝5.设点O到直线AB的距离为h.∵S△AOB＝·h·AB＝OA·OB，即×5h＝×3×4，∴h＝，即点O到直线AB的距离为. 又∵∠BAO＋∠ABO＝90°，∴∠ABO＝∠CAD.在△ABO和△CAD中， ∴△ABO≌△CAD.∴AD＝OB＝2，CD＝OA＝1. ∴OD＝OA＋AD＝1＋2＝3.∴点C的坐标为(3，1)． k>1或k＝ 【点拨】∵y＝kx＋2k＝k(x＋2)，∴直线y＝kx＋2k经过定点(－2，0)．∵折线y＝－|x－2|＋1的最高点坐标为(2，1)．∴当直线y＝kx＋2k恰好经过点(2，1)时， 直线与折线只有一个交点，如图所示． ∴1＝2k＋2k，解得k＝. 当k＝1时，直线y＝kx＋2k与折线在x＜2时的图象平行，此时没有交点；当k＞1时，直线y＝kx＋2k与折线在x＜2时的图象有一个交点；当<k<1时，直线与折线无交点； 当0<k<时，直线与折线有两个交点．综上所述，k的取值范围为k＞1或k＝. 7．如图，直线y＝x＋6与x轴，y轴分别交于点E，F，x轴上有一点A，其坐标为(－6，0)． (1)EF的长为________． $