16.2 第1课时 平面直角坐标系 课件 2025-2026学年华东师大版八年级数学下册

华东师大版（新教材）数学8年级下册培优备精做课件 16.2 第1课时 平面直角坐标系 第16章 函数及其图象 授课教师： Home . 班 级： 八年级（---）班 . 时 间： . 2026年4月7日 华东师大版八年级下册数学 16.2 第1课时 平面直角坐标系 一、核心知识点梳理 （一）平面直角坐标系的概念 1. 定义：在平面内，由两条互相垂直、原点重合的数轴组成平面直角坐标系。其中，水平的数轴叫做x轴（或横轴），取向右为正方向；垂直的数轴叫做y轴（或纵轴），取向上为正方向；两轴的交点O叫做原点。 2. 核心特征：① 两条数轴互相垂直且原点重合；② x轴正方向向右，y轴正方向向上；③ 坐标轴上的点不属于任何象限。 3. 意义：平面直角坐标系可以把平面内的点与一对有序实数（坐标）建立一一对应关系，为研究函数图象、图形位置关系提供工具。 （二）象限的划分 1. 划分方法：x轴和y轴将平面分成四个部分，每个部分叫做一个象限，按逆时针方向依次称为第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。 2. 各象限内点的坐标特征（核心考点）： - 第一象限：横坐标（x）> 0，纵坐标（y）> 0，记为（正，正）； - 第二象限：横坐标（x）< 0，纵坐标（y）> 0，记为（负，正）； - 第三象限：横坐标（x）< 0，纵坐标（y）< 0，记为（负，负）； - 第四象限：横坐标（x）> 0，纵坐标（y）< 0，记为（正，负）。 3. 特殊点的坐标特征： - x轴上的点：纵坐标为0，记为（x，0）（x为任意实数）； - y轴上的点：横坐标为0，记为（0，y）（y为任意实数）； - 原点：坐标为（0，0），是x轴与y轴的交点。 （三）点的坐标表示与读写 1. 坐标的定义：平面内任意一点P，过点P作x轴的垂线，垂足对应的数叫做点P的横坐标；过点P作y轴的垂线，垂足对应的数叫做点P的纵坐标。把横坐标和纵坐标依次写在小括号里，中间用逗号隔开，记作（横坐标，纵坐标），这种有序实数对叫做点P的坐标。 2. 读写方法： - 读：点P（a，b）读作“点P的坐标是a，b”； - 写：先写横坐标，再写纵坐标，有序不能颠倒（如点A的横坐标是3，纵坐标是-2，记作A（3，-2））。 3. 关键提醒：坐标（a，b）与（b，a）（a≠b）表示两个不同的点，体现了“有序”的重要性（如（2，3）和（3，2）是不同的点）。 （四）平面内点与坐标的对应关系 1. 一一对应：平面内的每一个点，都有唯一的一对有序实数（坐标）与之对应；反过来，每一对有序实数，都能在平面内找到唯一的一个点与之对应。 2. 找点方法（描点）：已知点的坐标（x，y），在x轴上找到对应x的点，作x轴的垂线；在y轴上找到对应y的点，作y轴的垂线，两条垂线的交点就是该坐标对应的点。 3. 求坐标方法（读点）：已知平面内的点，过该点分别作x轴、y轴的垂线，垂足在x轴上对应的数为横坐标，在y轴上对应的数为纵坐标，组合起来就是该点的坐标。 （五）易错点补充（针对性突破） 1. 混淆象限顺序：误将象限按顺时针方向划分，或混淆第二、第四象限的坐标特征（如误将第二象限记为（正，负））。 2. 坐标书写颠倒：将纵坐标写在横坐标前面（如将（-1，2）写成（2，-1）），忽略坐标的“有序性”。 3. 误将坐标轴上的点归为某一象限：忽略“坐标轴上的点不属于任何象限”，如将（0，5）归为第一象限。 4. 描点时方向错误：x轴上负数在左侧、正数在右侧，y轴上负数在下方、正数在上方，容易出现描点位置颠倒的情况。 二、典型题型解析（分层突破） 题型1：判断点所在的象限或坐标轴 例1：判断下列各点所在的象限或坐标轴： （1）A（2，3） （2）B（-1，2） （3）C（-3，-4） （4）D（4，-1） （5）E（0，5） （6）F（-2，0） 解：（1）横坐标2>0，纵坐标3>0，点A在第一象限； （2）横坐标-1<0，纵坐标2>0，点B在第二象限； （3）横坐标-3<0，纵坐标-4<0，点C在第三象限； （4）横坐标4>0，纵坐标-1<0，点D在第四象限； （5）横坐标为0，点E在y轴上； （6）纵坐标为0，点F在x轴上。 题型2：根据象限确定点的坐标特征 例2：已知点P（a，b）在第二象限，且|a|=3，|b|=2，求点P的坐标。 解：∵ 点P在第二象限，∴ 横坐标a<0，纵坐标b>0； 又∵ |a|=3，∴ a=±3，结合a<0，得a=-3； ∵ |b|=2，∴ b=±2，结合b>0，得b=2； ∴ 点P的坐标为（-3，2）。 题型3：描点与读点（坐标与点的对应） 例3：（1）在平面直角坐标系中，描出下列各点：A（1，2）、B（-2，1）、C（0，-3）、D（3，0）； （2）写出平面直角坐标系中，如图所示点E、F、G的坐标（假设图中网格为单位网格）。 解：（1）描点步骤：① 点A（1，2）：在x轴上找1，作x轴垂线；在y轴上找2，作y轴垂线，交点即为A； ② 点B（-2，1）：在x轴上找-2，作x轴垂线；在y轴上找1，作y轴垂线，交点即为B； ③ 点C（0，-3）：在y轴上找-3，即为点C（x轴上为0）； ④ 点D（3，0）：在x轴上找3，即为点D（y轴上为0）； （2）读点结果：E（-1，-2）、F（2，-1）、G（0，1）（结合网格，合理即可）。 题型4：根据点的位置求字母取值 例4：已知点M（m+1，2m-3），分别求满足下列条件的m的值： （1）点M在x轴上；（2）点M在y轴上；（3）点M在第一象限。 解：（1）∵ 点M在x轴上，∴ 纵坐标为0，即2m - 3 = 0，解得$$m = \frac{3}{2}$$； （2）∵ 点M在y轴上，∴ 横坐标为0，即m + 1 = 0，解得m = -1； （3）∵ 点M在第一象限，∴ 横坐标>0，纵坐标>0，即$$\begin{cases} m + 1 > 0 \\ 2m - 3 > 0 \end{cases}$$，解得$$m > \frac{3}{2}$$。 三、课堂练习题 一、选择题（每题3分，共15分） 1. 平面直角坐标系中，原点的坐标是（ ） 2. 点（-2，3）所在的象限是（ ） 3. 下列点中，在y轴上的是（ ） 4. 已知点P（a，-3）在第四象限，则a的取值范围是（ ） 5. 下列说法正确的是（ ） 二、填空题（每题3分，共15分） 1. 平面直角坐标系中，x轴的正方向是______，y轴的正方向是______。 2. 点（5，-4）在第______象限，点（-1，-2）在第______象限。 3. 若点A（x，y）在x轴上，则y = ______；若点A在y轴上，则x = ______。 4. 已知点B（m，n）在第二象限，且m = -2，则n的取值范围是______。 5. 坐标（3，-5）对应的点，横坐标是______，纵坐标是______。 三、解答题（共30分） 1. （8分）判断下列各点所在的象限或坐标轴： 2. （8分）已知点P（a，b），且|a|=4，|b|=3，回答下列问题： 3. （14分）已知点M（2x - 1，x + 3），完成下列问题： 参考答案 一、选择题 二、填空题 三、解答题 1. （1）第四象限；（2）y轴上；（3）第三象限；（4）x轴上。 2. （1）∵ 点P在第一象限，∴ a>0，b>0，又|a|=4，|b|=3，∴ P（4，3）； 3. （1）∵ 点M在x轴上，∴ x + 3 = 0，解得x = -3，此时2x - 1 = -7，∴ M（-7，0）； 2026年4月7日星期二10时33分10秒 2026年4月7日星期二10时33分15秒 思考2 你认为确定一个位置需要几个数据？ 思考1 老师在教室里想找一个学生： 提示1：只给一个数据“第 4 组”，你能确定老师要找的学生是谁吗？ 提示2：给出两个数据“第 4 组，第 2 排”，你能确定是谁了吗？ 用有序实数对确定点的位置 1 讲台 2 1 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 第2排 第4组 （组数，排数） 约定:组数在前，排数在后 (4，2) 上面的例子启发我们，为了确定物体在平面上的位置，可以用一对有序实数来确定平面点的位置. 例如，学生在教室里的位置可以简单地记作 (4，2). 想一想：(4，2) 与 (2，4) 是同一位置吗？ 3 1 4 2 5 -2 -1 O y 在平面上画两条互相垂直且具有公共原点的数轴，这就建立了平面直角坐标系. 1 2 3 4 5 -4 -3 -2 -1 x 竖直的数轴叫做 y 轴或纵轴，取向上为正方向 水平的数轴叫做 x 轴或横轴，取向右为正方向 两条数轴的交点 O 叫做坐标原点 知识要点 思考：如图，点 P 如何表示呢？ P M N 从点 P 分别向 x 轴和 y 轴作垂线，垂足分别为点 M 和点 N. 依次写出点 P 的横坐标和纵坐标，得到一对有序实数(3，2)，称为点 P 的坐标， 这时点 P 可记作 P(3，2)· 这时，点 M 在 x 轴上对应的数为 3，称为点 P 的横坐标； 点 N 在 y 轴上对应的数为 2，称为点 P 的纵坐标， 思考 我们知道，数轴上的点和全体实数是一一对应的，平面直角坐标系中的点和有序实数对也是对应的吗 ? 平面直角坐标系中的点和有序实数对也是一一对应的. A B C E F D 1 2 3 4 -1 -2 1 2 3 -1 -2 -3 【答案】 A（-2，0） B（0，-3） C（3，-3） D（4，0） E（3，3） F（0，3） y O x 例1 写出下图中的多边形 ABCDEF 各个顶点的坐标. 典例精析 在平面直角坐标系中，两条坐标轴 (即横轴和纵轴) 把平面分成如图所示的Ⅰ，Ⅱ ，Ⅲ，Ⅳ四个区域. 分别称为第一，二，三，四象限. 注意 坐标轴上的点不属于任何一个象限. 直角坐标系中点的坐标的特征 2 活动1 在右图中分别描出坐标是 (2，3)、(-2，3)、 (3，-2) 的点 Q 、S 、R ，Q (2，3) 与 P (3，2) 是同一个点吗 ? S (-2，3)与 R(3，-2) 是同一个点吗? Q S R P 都不是同一点. 活动2 分别写出下图中的点 A，B，C，D，E，F 的坐标，观察你所写出的这些点的坐标. 思考 (1) 在四个象限内的点的坐标各有什么特征? (2) 两条坐标轴上的点的坐标各有什么特征? A B C D E F (2, 3) (3, -2) (-2, -3) (-3, 0) (0, -2) (-2, 4) 点的位置 横坐标的符号 纵坐标的符号 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限 + + + - - - + - 1. 四个象限内的点的坐标特征. 点的位置 横坐标的符号 纵坐标的符号 在 x 轴的正半轴上 在 x 轴的负半轴上 在 y 轴的正半轴上 在 y 轴的负半轴上 0 ＋ ＋ － － 0 0 0 2. 两条坐标轴上的点的坐标特征. 例2 在平面直角坐标系中，描出下列各点，并指出它们分别在哪个象限. A (5，4)，B (-3，4)，C(-4 ，-1)，D(2，-4). (5，4) (-3，4) (-4 ，-1) (2，-4) 解：如图所示. 点 A 在第一象限， 点 B 在第二象限， 点 C 在第三象限， 点 D 在第四象限. 典例精析 例3 设点 M (a，b) 为平面直角坐标系中的点． (1) 当 a > 0，b < 0 时，点 M 位于第几象限？ (2) 当 ab > 0 时，点 M 位于第几象限？ (3) 当 a 为任意有理数，且 b < 0 时，点 M 位于哪里？ 解：(1) 点M 在第四象限. (2) 可能在第一象限 (a > 0，b > 0) 或者在第三象限( a < 0，b < 0 ). (3) 可能在第三象限 (a < 0，b < 0 ) 或者第四象限 (a > 0，b < 0 ) 或者 y 轴负半轴上 (a = 0，b < 0)． 典例精析 问题1 已知点 A 和一条直线 MN，你能画出这个点关于已知直线的对称点吗? A A′ M N 则 A′ 就是点 A 关于直线 MN 的对称点. O （2）延长 AO 至 A′，使 OA′ = AO. （1）过点 A 作 AO⊥MN， 垂足为点 O， 直角坐标系中对称点的坐标的特征 3 x y O 问题2 如图，在平面直角坐标系中你能画出点 A 关于x 轴的对称点吗? A (2，3) A′(2，-3) 你能说出点 A 与点 A' 坐标的关系吗？ 关于 x 轴对称的点的坐标的特点是: 横坐标相等，纵坐标互为相反数. 练一练: 1.点 P (-5，6) 与点 Q 关于 x 轴对称，则点 Q 的坐标为__________. 2.点 M (a，-5) 与点 N (-2，b) 关于 x 轴对称， 则 a =_____，b =_____. (-5，-6 ) -2 5 概括 x y O A (2，3) A′(-2，3) 问题3 如图，在平面直角坐标系中你能画出点 A 关于y 轴的对称点吗? 你能说出点A 与点 A' 坐标的关系吗？ 如图，分别写出以下各点关于原点对称的点的坐标. -4 -3 -2 -1O 1 2 3 4 5 x y 4321 -1 -2 -3 -4 E B A D C H F G M N Q 思考 关于原点对称的两点的坐标又有何特征呢？ P A(3，1)， B(1，3)， P(0，3)， C(-1，3)， D(-3，1)， M(0，3)， E(-3，-1) F(-1，-3) Q(0，-3) G(1，-3) H(3，-1) N(0，-3) O x y （x，y） M N （-x，-y） 关于原点对称的两点，横坐标和纵坐标都互为相反数. 归纳总结 例4 已知点 A (2a－b，5＋a)，B(2b－1，－a＋b)． (1)若点 A，B 关于 x 轴对称，求 a，b 的值； (2)若 A，B 关于 y 轴对称，求 (4a＋b)2022 的值． 解：(1)∵点 A，B 关于 x 轴对称， ∴ 2a－b＝2b－1，5＋a－a＋b＝0. 解得 a＝－8，b＝－5. (2)∵A，B 关于 y 轴对称， ∴ 2a－b＋2b－1＝0，5＋a＝－a＋b. 解得 a＝－1，b＝3.∴ (4a＋b)2022 ＝ 1. 解决此类题可根据关于 x 轴、y 轴对称的点的特征列方程(组)求解． 典例精析 1．关于平面直角坐标系，给出以下说法： ①坐标平面内的点可以用有序数对来表示； ②坐标原点不属于任何象限； ③x轴与y轴互相平行； ④在平面直角坐标系中，水平的数轴称为x轴或横轴，竖直的数轴称为y轴或纵轴． 其中正确的个数为(　　) A．1 B．2 C．3 D．0 C 返回 中考考法 23 返回 2．[成都中考]在平面直角坐标系xOy中，点P(－2，a2＋1)所在的象限是(　　) A．第一象限　 B．第二象限　 C．第三象限　　 D．第四象限 B 中考考法 24 返回 A 中考考法 25 返回 4．在平面直角坐标系的第四象限内有一点M，到x轴的距离为4，到y轴的距离为6，则点M的坐标为___________. (6，－4) 中考考法 26 返回 5．△ABC在平面直角坐标系中，已知A(1，0)，B(3，0)，如果△ABC的面积为1，那么点C的坐标可以是_________________．(只需写出一个即可) (2，1)(答案不唯一) 中考考法 27 (1，－3) 中考考法 28 返回 中考考法 29 返回 7．在直角坐标系中，已知点P(2m－4，3m＋1)．若直线PA平行于x轴，且A(－4，－2)，则点P的坐标为____________． (－6，－2) 【点拨】由直线PA平行于x轴，且A(－4，－2)，得3m＋1＝－2，即m＝－1，∴2m－4＝2×(－1)－4＝－6.∴点P的坐标为(－6，－2)． 中考考法 30 8．已知点P(m－5，2m＋3)，试分别根据下列条件，求出点P的坐标． (1)点P在坐标轴上； 中考考法 31 中考考法 32 返回 (2)点P到x轴、y轴的距离相等． 中考考法 33 返回 9．下列说法不正确的是(　　) A．点A(－a2－1，|b|＋1)一定在第二象限 B．点P(－2，3)到y轴的距离为2 C．若点P(x，y)中xy＝0，则点P在x轴上 D．若x＋y＝0，则点P(x，y)一定在第二、四象限的角平分线上 C 中考考法 34 平面直角坐标系 定义：原点、坐标轴 点的坐标 定义与符号特征 对称点的坐标特征 点的坐标的确定 3．若点N(1－2a，a)在第四象限，那么a的取值范围是(　　) A．a<0 B．a< C．0<a< D．0≤a< 6．已知点Q(a，b)的坐标满足二元一次方程组则点Q关于原点的对称点Q′的坐标为____________． 【点拨】①＋②，得2a＝－2，解得a＝－1，把a＝－1代入①，解得b＝3，∴Q(－1，3)． ∴点Q关于原点的对称点Q′的坐标为(1，－3)． 【解】∵点P在坐标轴上， ∴m－5＝0或2m＋3＝0，解得m＝5或m＝－. 当m＝5时，2m＋3＝13，此时点P的坐标为(0，13)； 当m＝－时，m－5＝－，此时点P的坐标为. 故点P的坐标为(0，13)或. 【解】∵点P到x轴、y轴的距离相等， ∴|m－5|＝|2m＋3|，∴m－5＝2m＋3或m－5＝－2m－3， 解得m＝－8或m＝. 当m＝－8时，点P的坐标为 (－13，－13)；当m＝时，点P的坐标为. 故点P的坐标为(－13，－13)或. $