16.1 第2课时 求自变量的取值范围与函数值 课件 2025-2026学年华东师大版八年级数学下册

华东师大版（新教材）数学8年级下册培优备精做课件 16.1 第2课时 求自变量的取值范围与函数值 第16章 函数及其图象 授课教师： Home . 班 级： 八年级（---）班 . 时 间： . 2026年4月7日 华东师大版八年级下册数学 16.1 第2课时 求自变量的取值范围与函数值 一、核心知识点梳理 （一）自变量的取值范围（核心重点） 1. 定义：自变量的取值范围是指能使函数表达式有意义，且符合实际问题意义的自变量的所有取值，是函数的重要组成部分，没有取值范围的函数是不完整的。 2. 确定原则（优先级：实际意义＞解析式意义）： - 先考虑实际问题背景：若函数描述的是实际场景（如时间、长度、人数、路程等），自变量取值必须符合实际，即使解析式有意义，不符合实际的取值也需舍去（如时间不能为负数，人数为正整数）。 - 再考虑函数解析式有意义：针对不同类型的解析式，有明确的取值要求，常见类型如下： 3. 常见解析式的取值范围（高频考点）： - 整式型（如$$y = 2x + 3$$、$$y = x^2 - 1$$）：自变量x可取全体实数（整式对自变量无限制）。 - 分式型（如$$y = \frac{1}{x-2}$$、$$y = \frac{x+3}{2x+5}$$）：自变量x需满足分母不为0（分母为0时，分式无意义）。 - 二次根式型（如$$y = \sqrt{x-1}$$、$$y = \sqrt{2x + 4}$$）：自变量x需满足根号下的表达式非负（即被开方数≥0，二次根式的结果为非负数）。 - 复合型（如$$y = \frac{\sqrt{x+2}}{x-3}$$）：同时满足多个条件，需取所有条件的公共部分（如该式需满足x+2≥0且x-3≠0，即x≥-2且x≠3）。 4. 注意：① 若解析式中含多个限制条件，需先分别求出每个条件的取值范围，再求它们的公共部分；② 字母参数型函数（如$$y = \frac{1}{x - a}$$），需明确参数的取值，确保分母不为0。 （二）函数值的概念及求法 1. 定义：对于函数y是x的函数，当自变量x取一个确定的值时，对应的y的值叫做这个自变量取值对应的函数值；若x = a时，对应的函数值记为$$y|_{x=a}$$（或$$f(a)$$）。 2. 核心求法（三步法）： - 第一步：判断自变量的取值是否在自变量的取值范围内（若不在，该取值对应的函数值不存在）； - 第二步：将自变量的具体值代入函数解析式，替换所有x； - 第三步：计算化简，得出对应的函数值（分式需化简，二次根式需化为最简形式）。 3. 逆向应用：已知函数值，求自变量的值，步骤为：① 令函数解析式等于已知函数值，列出方程；② 解方程，求出x的值；③ 检验x的值是否在自变量的取值范围内，符合范围的为有效解，不符合的舍去。 （三）易错点补充（针对性突破） 1. 求取值范围时，忽略实际意义：如“长方形的长x（cm）与面积y（cm²）的函数y = 3x”，x需满足x＞0，而非全体实数。 2. 分式型函数，误将分子为0当作限制条件：分式有意义的条件是分母不为0，与分子无关（分子为0影响的是函数值为0，不影响函数是否有意义）。 3. 求函数值时，未先检验自变量取值：直接代入计算，忽略自变量取值不在范围内，导致函数值不存在的情况。 4. 逆向求自变量时，忘记检验：解方程后不验证x是否在取值范围内，导致出现无效解。 二、典型题型解析（分层突破） 题型1：求单一类型解析式的自变量取值范围 例1：求下列函数中自变量x的取值范围： （1）$$y = 3x - 5$$（2）$$y = \frac{2}{x + 4}$$ （3）$$y = \sqrt{5 - 2x}$$ 解：（1）解析式为整式，自变量x可取全体实数； （2）解析式为分式，分母不能为0，即x + 4 ≠ 0，解得x ≠ -4； （3）解析式为二次根式，被开方数非负，即5 - 2x ≥ 0，解得$$x \leq \frac{5}{2}$$。 题型2：求复合型解析式的自变量取值范围 例2：求函数$$y = \frac{\sqrt{x - 1}}{x - 3}$$中自变量x的取值范围。 解：该函数为二次根式与分式的复合型，需同时满足两个条件： ① 二次根式有意义：x - 1 ≥ 0，解得x ≥ 1； ② 分式有意义：x - 3 ≠ 0，解得x ≠ 3； 综上，自变量x的取值范围是x ≥ 1且x ≠ 3。 题型3：结合实际意义求自变量取值范围 例3：一个游泳池的容积为2000m³，注水管每小时注水100m³，注水量y（m³）与注水时间t（h）的函数关系式为y = 100t，求自变量t的取值范围。 解：结合实际意义，注水时间t≥0，注水量y≤2000； 令100t ≤ 2000，解得t ≤ 20； 综上，自变量t的取值范围是0 ≤ t ≤ 20。 题型4：求函数值 例4：已知函数$$y = \frac{2x - 3}{x + 1}$$（x ≠ -1），求： （1）当x = 0时，对应的函数值； （2）当x = 2时，对应的函数值； （3）当x = -2时，对应的函数值。 解：（1）x = 0在取值范围（x ≠ -1）内，代入得：$$y = \frac{2 \times 0 - 3}{0 + 1} = -3$$； （2）x = 2在取值范围（x ≠ -1）内，代入得：$$y = \frac{2 \times 2 - 3}{2 + 1} = \frac{1}{3}$$； （3）x = -2在取值范围（x ≠ -1）内，代入得：$$y = \frac{2 \times (-2) - 3}{-2 + 1} = \frac{-7}{-1} = 7$$。 题型5：已知函数值求自变量的值 例5：已知函数$$y = \sqrt{x + 2} - 1$$（x ≥ -2），当y = 2时，求x的值。 解：令y = 2，列出方程：$$\sqrt{x + 2} - 1 = 2$$； 移项得：$$\sqrt{x + 2} = 3$$； 两边平方得：x + 2 = 9，解得x = 7； 检验：x = 7 ≥ -2，在自变量取值范围内，故x = 7是所求的值。 三、课堂练习题 一、选择题（每题3分，共15分） 1. 函数$$y = \frac{1}{2x - 6}$$中，自变量x的取值范围是（ ） 2. 函数$$y = \sqrt{3x - 9}$$中，自变量x的取值范围是（ ） 3. 函数$$y = \frac{\sqrt{x + 1}}{x - 2}$$中，自变量x的取值范围是（ ） 4. 已知函数$$y = 2x + 5$$，当x = -1时，函数值y为（ ） 5. 已知函数$$y = \frac{x - 4}{x + 3}$$（x ≠ -3），当y = 0时，x的值为（ ） 二、填空题（每题3分，共15分） 1. 函数$$y = 4x^2 - 2x + 1$$中，自变量x的取值范围是______。 2. 函数$$y = \frac{\sqrt{2x + 6}}{x - 5}$$中，自变量x的取值范围是______。 3. 已知函数$$y = 3x - 2$$，当x = 3时，函数值y = ______；当y = 7时，x = ______。 4. 若函数$$y = \frac{x + 1}{x - a}$$（x ≠ a）有意义，则a的取值______（写出一个即可）。 5. 一个长方形的宽为4cm，面积y（cm²）与长x（cm）的函数关系式为y = 4x，自变量x的取值范围是______。 三、解答题（共30分） 1. （8分）求下列函数中自变量x的取值范围： 2. （8分）已知函数$$y = \frac{2x + 1}{x - 1}$$（x ≠ 1），求： 3. （14分）已知函数$$y = \sqrt{x + 3} + \frac{1}{x - 1}$$，完成下列问题： 参考答案 一、选择题 二、填空题 三、解答题 1. （1）全体实数；（2）4x + 8 ≠ 0，解得x ≠ -2；（3）7 - x ≥ 0，解得x ≤ 7；（4）x - 2 ≥ 0且x + 4 ≠ 0，解得x ≥ 2。 2. （1）x + 3 ≥ 0且x - 1 ≠ 0，解得x ≥ -3且x ≠ 1；（2）当x = 5时，$$y = \sqrt{5 + 3} + \frac{1}{5 - 1} = 2\sqrt{2} + \frac{1}{4}$$；（3）令y = 2，得$$\sqrt{x + 3} + \frac{1}{x - 1} = 2$$，解得$$x = 2 + 2\sqrt{2}$$（检验：符合取值范围，舍去增根）。 2026年4月7日星期二10时32分52秒 2026年4月7日星期二10时32分54秒 思考 上个课时的三个问题中，要使函数有意义，自变量能取哪些值？ 自变量 t 的取值范围: __________. 0 ≤ t ≤24 自变量的取值范围 8 6 4 2 0 -2 -4 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 T / ℃ t/h 1.某地一天内的气温变化图 1 自变量的取值范围：___________. n 取正整数 周岁 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 体重/kg 7.9 12.2 15.6 18.4 20.7 23.0 25.6 28.5 31.2 34.0 37.6 41.2 44.9 2.小蕾的各周岁时的体重，如下表 : 自变量的取值范围：______. r＞ 0 半径 r / m 1 1.5 2 2.6 3.2 ··· 圆面积 S / cm2 ··· π 2.25π 4π 6.76π 10.24π 3.圆的半径与面积的关系，如下表 : 　　根据刚才问题的思考，你认为函数的自变量可以取任意值吗? 　　在实际问题中，函数的自变量取值范围往往是有限制的，在限制的范围内，函数才有实际意义；超出这个范围，函数没有实际意义，我们把这种自变量可以取的数值范围叫函数的自变量取值范围． 解：根据等腰三角形的性质和三角形 内角和定理，可知 2x + y = 180， 得 y = 180 - 2x. 由于等腰三角形的底角只能是锐角， 所以自变量的取值范围是 0＜x＜90. y x 例1 等腰三角形顶角的度数 y 是底角度数 x 的函数，试写出这个函数关系式，并求出自变量 x 的取值范围. 典例精析 做一做：下列函数中自变量 x 的取值范围是什么？ -2 x 取全体实数 x 取全体实数 使函数关系式有意义的自变量的全体. ① 函数表达式有意义 求函数自变量的取值范围时，需要考虑： ② 符合实际 4.表达式是复合式时，自变量的取值是使各式成立的公共解. 3.表达式是偶次根式时，自变量的取值必须使被开方数为非负数.表达式是奇次根式时，自变量取全体实数； 1.表达式是整式时，自变量取全体实数； 2.表达式是分式时，自变量的取值要使分母不为 0； 归纳总结 t/ 分 0 1 2 3 4 5 … h / 米 … 3 11 45 37 37 11 由图象或表格可知：当 t = 0 时，h = 3， 那么，3 就是当 t = 0 时的函数值. 问题：右图反映了摩天轮上的一点的高度 h (m) 与旋转时间 t (min) 之间的关系，那么怎么表示它们各自大小呢？ 求函数值 2 例2 已知函数 (1) 求当 x = 2，3，-3 时，函数的值； (2) 求当 x 取什么值时，函数的值为 0. 把自变量 x 的值代入关系式中，即可求出函数的值. 解： (1) 当 x = 2 时，y = ； 当 x = 3 时，y = ； 当 x = -3 时，y = 7； (2)令 解得 x = ，即当 x = 时，y = 0. 典例精析 (1) 试写出重叠部分面积 y cm2 与 MA 长度 x cm 之间的函数关系式． 解 (1) 重叠部分的面积 у 与线段 MA 的长度 x 之间的函数关系式为 典例精析 这里自变量 x 的取值范围是什么？ 例3 如图，已知等腰直角三角形 ABC 的直角边长与正方形 MNPQ 的边长均为 10 cm，CA 与 MN 在同一直线上，开始时 A 点与 M 点重合，让△ABC 向右运动，最后A 点与 N 点重合． (2) 当 A 点从点 M 开始向右移动 1 cm 时，重叠部分的面积是多少?   所以当点 A 从点 M 开始向右移动时，重叠的部分面积是 cm2. 解 ：点 A 从点 M 开始向右移动 1 cm， 即 MA＝1 时，x＝1. 当 x＝1 时， 例4 汽车的油箱中有汽油 50 L，如果不再加油，那么油箱中的油量 y（单位：L）随行驶里程 x（单位：km）的增加而减少，平均耗油量为 0.1 L/km. (1) 写出表示 y 与 x 的函数关系的式子. 解:(1) 函数关系式为: y = 50－0.1x 0.1x 表示的意义是什么？ 典例精析 (2) 指出自变量 x 的取值范围； 自变量的取值范围是 0≤x≤500 汽车行驶里程，油箱中的油量均不能为负数！ (3) 汽车行驶 200 km 时，油箱中还有多少油？ 当 x = 200 时，函数 y 的值为 y = 50－0.1×200 = 30. 因此，当汽车行驶 200 km时，油箱中还有油 30 L . 问题二：x，y 之间存在怎样的数量关系？这种数量关系可以以什么形式给出？ 例5 一个三角形的周长为 y cm，三边长分别为 7 cm，3 cm 和 x cm. (1) 求 y 关于 x 的函数关系式； y = x + 10 这些函数值都有实际意义吗？ 分析：问题一：问题中包含了哪些变量？x，y 分别表示什么？ 根据题设，可得 y = x + 7 + 3 典例精析 例5 一个三角形的周长为 y cm，三边长分别为 7 cm，3 cm 和 x cm. (2) 求自变量 x 的取值范围. 4 < x < 10 分析：三角形的三边关系应满足：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边. 即 7 - 3 < x < 7 + 3. y = x + 10 (4 < x < 10) y 关于 x 的函数关系式： 对于实际问题中的函数，自变量的取值要符合实际意义. 返回 B 中考考法 16 返回 2．据史书记载，漏刻是中国古代的一种计时工具，是古代人民对函数思想的创造性应用．研究发现水位h(cm)与时间t(min)满足h＝0.4t＋2，当h为8时，t的值为________． 15 中考考法 17 返回 3．某市的出租车收费标准如下：3千米以内(包括3千米)收费8元，超过3千米后，每超1千米就加收2元．若某人乘出租车行驶的路程为x(x＞3)千米，则需付费用y(元)与x(千米)之间的关系式是____________． y＝2＋2x 中考考法 18 返回 4．科学家就蟋蟀每分钟鸣叫的次数与室外温度的数量关系做了如下记录：   如果这种数量关系不变，那么当室外温度为90℉时，蟋蟀每分钟鸣叫的次数是________． 200 蟋蟀每分钟鸣叫的次数 144 152 160 168 176 室外温度/℉ 76 78 80 82 84 中考考法 19 返回 A 中考考法 20 6．等腰三角形的周长是28 cm，腰长y(cm)是底边长x(cm)的函数，此函数关系式和自变量取值范围正确的是(　　) A．y＝－0.5x＋14(0<x<14) B．y＝－0.5x＋14(7<x<14) C．y＝－2x＋14(0<x<14) D．y＝－2x＋28(7<x<14) 中考考法 21 返回 【答案】A 中考考法 22 返回 7．根据如图所示的程序计算函数y的值，若输入的x的值是8和1时，输出的y值相等，则b的值为________． －10 中考考法 23 8．如图，在等腰直角三角形ABC中，直角边AB，BC都为10 cm，正方形DCFE的边长为10 cm，点B，C，F都在直线l上，若等腰直角三角形ABC以2 cm/s的速度沿着直线l向正方形DCFE移动，直到AB 与CD重合．设x s时，三角形与 正方形重叠部分的面积为y cm2． 中考考法 24 (1)写出y与x的关系式，并求出当x＝3.5时，y的值． 【解】∵三角形与正方形重叠部分是一个等腰直角三角形，且直角边长都是2x cm，∴y＝2x2. 在y＝2x2中，当x＝3.5时，y＝2×3.52＝24.5. 中考考法 25 (2)当重叠部分的面积是正方形面积的一半时，三角形移动了多长时间？ 【解】∵正方形的边长为10 cm，∴正方形面积的一半为50 cm2.在y＝2x2中，当y＝50时，2x2＝50，∴x2＝25，解得x＝5(负值已舍去)．∴三角形移动了5 s. 中考考法 26 (3)正方形边长改为30 cm，等腰直角三角形ABC的大小不变，当AB移动到EF上时停止移动． ①x的取值范围是____________； ②当x满足____________时，y＝50； 0≤x≤20 【点拨】易知，当y＝50时，三角形在正方形的内部运动，当B与C重合时，x＝5； 当三角形的顶点C与F重合时，x＝15，∴5≤x≤15. 5≤x≤15 中考考法 27 函数 自变量对应的因变量的值 符合实际意义 函数值 自变量的取值范围 1．下列函数中，自变量x的取值范围是x＞0的函数是(　　) A．y＝2 B．y＝ C．y＝x D．y＝ 5．在数轴上表示函数y＝的自变量x的取值范围正确的是(　　) 【点拨】由题意可得x＋2y＝28，整理得y＝－0.5x＋14.又由三角形两边之和大于第三边可知即解得0<x<14.故选A. $