16.3.3 一次函数的性质 课件 2025-2026学年华东师大版八年级数学下册

华东师大版（新教材）数学8年级下册培优备精做课件 16.3.3 一次函数的性质 第16章 函数及其图象 授课教师： Home . 班 级： 八年级（---）班 . 时 间： . 2026年4月7日 华东师大版八年级下册数学 16.3.2 第2课时 一次函数图象与坐标轴的交点及实际问题中一次函数的图象 一、核心知识点梳理 （一）一次函数图象与坐标轴的交点（核心重点） 1. 交点的定义：一次函数$$y = kx + b$$（$$k eq 0$$）的图象是一条直线，它与x轴、y轴的交点，是直线与坐标轴唯一的公共点，也是后续分析图象位置、解决实际问题的关键。 2. 与y轴的交点（纵截距相关）： - 求解方法：y轴上所有点的横坐标为0，因此令解析式中$$x = 0$$，代入计算对应的y值，即可得到交点坐标。 - 具体推导：令$$x = 0$$，则$$y = k \times 0 + b = b$$，因此一次函数与y轴的交点坐标为$$(0, b)$$。 - 关键说明：b是一次函数的纵截距，当$$b > 0$$时，交点在y轴正半轴；当$$b = 0$$时，交点为原点（此时函数为正比例函数）；当$$b < 0$$时，交点在y轴负半轴。 3. 与x轴的交点（横截距相关）： - 求解方法：x轴上所有点的纵坐标为0，因此令解析式中$$y = 0$$，解关于x的一元一次方程，即可得到交点坐标。 - 具体推导：令$$y = 0$$，则$$kx + b = 0$$（$$k eq 0$$），解得$$x = -\frac{b}{k}$$，因此一次函数与x轴的交点坐标为$$\left(-\frac{b}{k}, 0\right)$$。 - 关键说明：$$-\frac{b}{k}$$是一次函数的横截距，当$$-\frac{b}{k} > 0$$时，交点在x轴正半轴；当$$-\frac{b}{k} = 0$$时，交点为原点（此时b=0，函数为正比例函数）；当$$-\frac{b}{k} < 0$$时，交点在x轴负半轴。 4. 交点的应用： - 快速画图象：结合与x轴、y轴的两个交点，用“两点法”可快速、准确画出一次函数图象； - 判断图象经过的象限：根据两个交点的位置，结合k的符号，可直接判断直线经过的象限； - 求线段长度：交点到原点的距离可通过坐标直接计算（如与y轴交点$$(0, b)$$到原点的距离为$$|b|$$）。 （二）实际问题中一次函数的图象（核心难点） 1. 核心特征：实际问题中的一次函数，其图象通常不是无限延伸的直线，而是线段、射线（受自变量实际取值范围限制），且自变量和函数值均为非负数（如时间、路程、价格、数量等不能为负数）。 2. 解题核心思路（三步法）： - 列解析式：根据实际问题中的数量关系，确定自变量x（表示变化的量，如时间、数量）和因变量y（表示随x变化的量，如路程、总价），列出一次函数解析式$$y = kx + b$$（$$k eq 0$$）； - 确定自变量取值范围：结合实际意义，确定x的取值范围（如时间x≥0、数量x为非负整数、路程x≤总路程等）； - 画图象：根据解析式和x的取值范围，用“两点法”描出端点（注意端点虚实：包含取值用实心点，不包含用空心点），再连接端点得到图象（线段或射线），并标注图象的实际意义（如横纵坐标代表的量、单位）。 3. 常见实际场景及图象特点： - 行程问题：y表示路程，x表示时间，图象通常为线段（从起点到终点，时间和路程均为非负），倾斜程度表示速度（k的绝对值越大，速度越快）； - 计费问题：y表示总费用，x表示计费量（如用电量、用水量、行驶里程），图象可能为线段（单一计费标准）或折线（分段计费），起点纵坐标通常为固定费用（b>0）； - 购物问题：y表示总价，x表示购买数量，图象为线段（数量为非负整数，若允许小数则为射线），k表示单价（k>0）。 4. 图象信息解读：从实际问题的函数图象中，可获取以下关键信息： - 起点：x=0时的y值（如固定费用、初始路程）； - 终点：x取最大值时的y值（如总路程、总费用）； - 变化趋势：图象上升（y随x增大而增大）、下降（y随x增大而减小）或水平（y不变，如停留、固定费用阶段）； - 特殊点：与坐标轴的交点（如x轴交点表示y=0时的x值，即“耗尽”“结束”的时刻/数量）。 （三）易错点补充（针对性突破） 1. 交点求解错误：① 求与x轴交点时，误令x=0（正确令y=0）；② 解$$kx + b = 0$$时，计算失误（如移项错误、符号错误）；③ 忽略交点坐标的书写格式（需用括号，横坐标在前、纵坐标在后）。 2. 忽略自变量取值范围：① 画实际问题的图象时，未结合实际意义限制x的取值，画出无限延伸的直线；② 端点虚实混淆（包含取值用实心点，不包含用空心点）。 3. 解读图象错误：① 混淆横纵坐标代表的实际意义（如误将x当作路程、y当作时间）；② 误将图象的倾斜程度当作实际速度（需结合横纵坐标的单位计算）；③ 忽略分段计费图象的转折点（转折点表示计费标准变化的时刻）。 4. 列解析式与实际意义不符：① 搞错k和b的实际意义（如将单价当作b，固定费用当作k）；② 未考虑实际场景中的限制条件（如数量不能为负数、路程不能超过总距离）。 5. 正比例函数与实际问题混淆：当b=0时，函数为正比例函数，图象过原点，但实际问题中若存在固定费用（b≠0），误当作正比例函数列解析式。 二、典型题型解析（分层突破） 题型1：求一次函数图象与坐标轴的交点坐标 例1：求一次函数$$y = -2x + 6$$的图象与x轴、y轴的交点坐标，并说明交点在坐标轴的位置。 解：（1）求与y轴的交点： 令$$x = 0$$，代入解析式得：$$y = -2 \times 0 + 6 = 6$$， ∴ 与y轴的交点坐标为$$(0, 6)$$，该点在y轴正半轴。 （2）求与x轴的交点： 令$$y = 0$$，则$$-2x + 6 = 0$$， 移项得：$$-2x = -6$$，解得$$x = 3$$， ∴ 与x轴的交点坐标为$$(3, 0)$$，该点在x轴正半轴。 题型2：根据交点求一次函数解析式 例2：已知一次函数$$y = kx + b$$（$$k eq 0$$）的图象与x轴交于点$$(4, 0)$$，与y轴交于点$$(0, -2)$$，求该一次函数的解析式。 解：① 已知交点坐标，将$$(4, 0)$$和$$(0, -2)$$代入$$y = kx + b$$，得方程组： $$\begin{cases} 4k + b = 0 \\ 0 \times k + b = -2 \end{cases}$$ ② 解方程组：由第二个方程得$$b = -2$$，将$$b = -2$$代入第一个方程，得$$4k - 2 = 0$$，解得$$k = \frac{1}{2}$$； ③ 综上，该一次函数的解析式为$$y = \frac{1}{2}x - 2$$。 题型3：实际问题中一次函数解析式的列写与图象绘制 例3：某商店出售瓶装矿泉水，每瓶售价2元，另收取包装押金1元（购买时支付，退瓶时退还，不计入费用），设购买x瓶矿泉水，总支付费用为y元（不含押金）。 （1）求y与x之间的一次函数解析式； （2）确定自变量x的取值范围； （3）画出该函数的图象。 解：（1）列解析式：每瓶售价2元，购买x瓶的总费用为2x元，押金不计入费用， ∴ 解析式为$$y = 2x$$（$$k eq 0$$，b=0，为正比例函数）； （2）自变量取值范围：购买数量x为非负整数（x≥0，且x为整数）； （3）画图象： ① 找特殊点：当x=0时，y=0，交点为$$(0, 0)$$（实心点，x=0有实际意义，购买0瓶费用为0）； 当x=1时，y=2，交点为$$(1, 2)$$；x=2时，y=4，交点为$$(2, 4)$$； ② 描点：描出$$(0, 0)$$、$$(1, 2)$$、$$(2, 4)$$等符合条件的点（均为实心点）； ③ 连线：用直线连接各点，延伸至x为正整数的方向（图象为射线，起点为$$(0, 0)$$，向右上方延伸）； ④ 标注：标注横纵坐标代表的意义（x：购买瓶数，y：总费用/元）。 题型4：解读实际问题中的一次函数图象 例4：如图，是小明从家骑车去图书馆，停留一段时间后骑车回家的路程y（km）与出发时间x（min）的函数图象，根据图象回答下列问题： （1）小明家到图书馆的距离是多少km？ （2）小明在图书馆停留了多长时间？ （3）小明去图书馆和回家的骑车速度分别是多少km/min？ 解：（1）图象中y的最大值为6km，即小明家到图书馆的距离是6km； （2）停留阶段图象为水平线段，对应的x从15min到40min，停留时间为40 - 15 = 25min； （3）① 去图书馆：路程6km，时间15min，速度=路程÷时间=6÷15 = 0.4km/min； ② 回家：路程6km，时间从40min到60min，用时20min，速度=6÷20 = 0.3km/min。 题型5：分段计费问题的图象与解析式 例5：某城市居民用电收费标准如下：每月用电量不超过50度，每度0.5元；超过50度的部分，每度0.6元，设每月用电量为x度，总电费为y元。 （1）求y与x之间的一次函数解析式（分段表示）； （ 2026年4月7日星期二10时33分5秒 2026年4月7日星期二10时33分9秒 探究1 画出 和 y = 3x－2 的图象，观察图象: 图象上点的位置： 逐步从 ___ 到 ___ 变化， 函数值 y 随自变量 x 的增大而____ . 【观察】当自变量 x 的值从小到大变化时，因变量 y 是如何变化的 ? 一次函数的性质 1 低 高 增大 探究2 画出 y = －x＋2 和 的图象，观察图象： 【观察】当自变量 x 的值从小到大变化时，因变量 y 是如何变化的? 图象上点的位置： 逐步从 ___ 到 ___ 变化， 函数值 y 随自变量 x 的增大而____ . 低 高 减小 问题 2 k ，b 的值跟图象有什么关系 ? 问题 1 探究 2 中这两个函数有什么共同性质 ? 它 与探究 1 两个函数有什么不同? k 的符号不同 函数值 y 随自变量 x 的增大而减小. 在一次函数 y = kx + b (k， b 为常数， k≠0) 中， 当 k＞0 时，y 的值随着 x 值的增大而增大； 这时函数的图象从左到右上升； 当 k＜0 时，y 的值随着 x 值的增大而减小. 这时函数的图象从左到右下降. 一次函数的性质： 知识要点 做一做 画出 y = - 2x + 2 的图象，结合图象回答： 在这个函数中，随着自变量 x 的增大，函数值 y 是增大还是减小? 它的图象从左到右怎样变化? 函数值 y 随着自变量 x 的增大而减小 ，它的图象从左到右下降. 例1 P1(x1，y1)，P2(x2，y2) 是一次函数 y = -0.5x + 3 图象上的两点，下列判断中，正确的是( ) A. y1＞y2 B. 当 x1＜x2 时，y1＜y2 C. y1＜y2 D. 当 x1＜x2 时，y1＞y2 D 解析：根据一次函数的性质： 当 k＜0 时，y 随 x 的增大而减小，所以D为正确答案. 提示：反过来也成立：当k＜0时，y 越大，x 就越小. 典例精析 思考：根据一次函数的图象判断 k，b 的正负，并说出直线经过的象限： k 0，b 0 ＞ ＞ k 0，b 0 k 0，b 0 ＞ ＞ ＜ = k 0，b 0 k 0，b 0 k 0，b 0 ＞ ＜ ＜ ＜ ＜ = y x o y x o y x o y x o y x o y x o 当 k＞0 时，直线 y = kx＋b 从左到右逐渐上升，y 随 x 的增大而增大. 当 k＜0 时，直线 y = kx＋b 从左到右逐渐下降，y 随 x 的增大而减小. ① b＞0 时，直线经过第一、二、四象限； ② b＜0 时，直线经过第二、三、四象限. ① b＞0 时，直线经过第一、二、三象限； ② b＜0 时，直线经过第一、三、四象限. 归纳总结 一次函数 y = kx＋b 中，k，b 的正负对函数图象及性质有什么影响？ 例2 已知关于 x 的一次函数 y = (2k - 1)x + (2k + 1). 当 2k -1＞0 时，y 的值随 x 的值增大而增大. 解 2k -1＞0，得 k＞0.5. 当 2k + 1 = 0，即 k = -0.5 时， 函数 y = (2k -1)x + (2k + 1) 的图象经过原点. 典例精析 (2)当 k 满足什么条件时，y = (2k - 1)x + (2k + 1) 的图象经过原点？ (1)当 k 满足什么条件时，函数 y 的值随 x 的值的增大而增大？ (3) 当 k 满足什么条件时，函数 y = (2k - 1)x + (2k + 1)的图象与 y 轴的交点在 x 轴的下方？ 当 2k + 1＜0，函数 y = (2k - 1)x + (2k + 1) 的图象与 y 轴的交点在 x 轴的下方. 例2 已知关于 x 的一次函数 y = (2k - 1)x + (2k + 1). 解 2k + 1＜0，得 k＜-0.5. (4) 当 k 满足什么条件时，函数 y 的值随 x 的值的增大而减小且函数图象与 y 轴的交点在 x 轴的上方？ 当 2k - 1＜0 时，y 的值随 x 的值的增大而减小. 解得 k＜0.5. 当 2k + 1＞0，函数 y = (2k - 1)x + (2k + 1) 的图象与 y 轴的交点在 x 轴的上方. 解得 k＞-0.5. 所以此时 k 的取值范围为 -0.5＜k＜0.5. 例2 已知关于 x 的一次函数 y = (2k - 1)x + (2k + 1). 例3 已知一次函数 y = (1 - 2m)x + m - 1，求满足 下列条件的 m 的值： (1) 函数值 y 随 x 的增大而增大； (2) 函数图象与 y 轴的负半轴相交； (3) 函数的图象过第二、三、四象限. 解：(1) 由题意得 1 - 2m＞0，解得 (2) 由题意得 1 - 2m≠0 且 m - 1 < 0，即 m < 1，且 (3) 由题意得 1 - 2m < 0 且 m - 1 < 0，解得 典例精析 例4 某面食加工部每周用 10000 元流动资金采购面粉及其他物品，其中购买面粉的质量在 1500 kg-2000 kg 之间，面粉的单价为 3.6 元/千克，用剩余款额 y 元购买其他物品.设购买面粉的质量为 x kg. (1) 求 y 与 x 的函数关系式，并写出自变量的取值范围. 解: (1) 由题意，可知购买面粉的资金为 3.6x 元，总资金为10000 元，即3.6x+y＝10000，所以该函数关系式为: y = -3.6x+10000，其中 x 的取值范围是 1500≤x≤2000. 一次函数的性质的应用 2 (2) 求出购买其他物品的款额 y 的取值范围. 解：因为 y = -3.6x+10000，k = -3.6＜0，所以 y的值随 x 的值的增大而减小. 因为1500≤x≤2000， 所以 y 的值最大为 -3.6×1500+10000 = 4600； 最小为 -3.6×2000+10000 = 2800. 故y的取值范围为2800≤y≤4600. 返回 1．若一次函数y＝(m＋2)x＋1的函数值y随自变量x的增大而减小，则m的值可能是(　　) A．－3 B．－2 C．2 D．3 A 中考考法 16 2．已知点P(m，0)在x轴负半轴上，P1(－3，y1)，P2(5，y2)是正比例函数y＝mx的图象上的两个点，则y1，y2的大小关系是(　　) A．y1>y2 B．y1<y2 C．y1＝y2 D．不能确定 中考考法 17 返回 【点拨】因为点P(m，0)在x轴负半轴上，所以m<0.所以y随x的增大而减小．又因为P1(－3，y1)，P2(5，y2)是正比例函数y＝mx的图象上的两个点，且－3<5，所以y1>y2. 【答案】A 中考考法 18 返回 B 中考考法 19 中考考法 20 返回 【答案】C 中考考法 21 返回 5．[眉山月考]关于x的一次函数y＝(2a＋1)x＋a－2，若y随x的增大而增大，且图象与y轴的交点在原点下方，则实数a的取值范围是______________． 中考考法 22 6．已知关于x的一次函数y＝(3m＋1)x－m－1． (1)当m为何值时，该函数图象经过点(2，1)？ 【解】将点(2，1)的坐标代入，得2(3m＋1)－m－1＝1，解得m＝0. 中考考法 23 (2)若该函数图象经过第一、三、四象限，求实数m的取值范围． 中考考法 24 返回 (3)当m＝2且－10≤y≤11时，求相应x的取值范围． 【解】当m＝2时，y＝7x－3.∵－10≤y≤11， ∴－10≤7x－3≤11，解得－1≤x≤2. 中考考法 25 7．若一次函数y＝kx＋1在－2≤x≤2的范围内y的最大值比最小值大8，则下列结论成立的是(　　) A．k的值为2或－2 B．y的值随x的增大而减小 C．k的值为1或－1 D．在－2≤x≤2的范围内，y的最大值为3 中考考法 26 返回 【点拨】当x＝2时，y＝2k＋1；当x＝－2时，y＝－2k＋1.当k＞0时，y随x的增大而增大，则由题意可得2k＋1－ (－2k＋1)＝8，解得k＝2.此时在－2≤x≤2的范围内，y的最大值为2k＋1＝5；当k＜0时，y随x的增大而减小，则由题意可得－2k＋1－(2k＋1)＝8，解得k＝－2.此时在－2≤x≤2的范围内，y的最大值为－2k＋1＝5.综上，选项A结论正确. 【答案】A 中考考法 27 返回 8．[安徽中考]已知一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象经过点M(1，2)，且y随x的增大而增大．若点N在该函数的图象上，则点N的坐标可以是(　　) A．(－2，2)　 B．(2，1)　 C．(－1，3)　 D．(3，4) D 中考考法 28 中考考法 29 返回 【答案】D 中考考法 30 10．[无锡月考]函数y＝5－|x－3|，当－1≤x≤a时，这个函数的最大值为3a，则a的值为________． 1 中考考法 31 【点拨】当x≤3时，y＝5－|x－3|＝5＋x－3＝x＋2；当x＞3时，y＝5－|x－3|＝5－x＋3＝－x＋8，函数图象如图所示. 中考考法 32 返回 中考考法 33 一次函数的性质 当 k＞0 时，y 的值随 x 值的增大而增大； 当 k＜0 时，y 的值随 x 值的增大而减小. 3．正比例函数y＝ax(a≠0)的函数值y随自变量x的增大而减小，则一次函数y＝x＋a的图象大致是(　　) 4．下列四个选项中，不符合直线y＝x－3的性质与特征的是(　　) A．经过第一、三、四象限 B．y随x的增大而增大 C．与x轴交于点(－2，0) D．与y轴交于点(0，－3) 【点拨】A.∵k＝>0，b＝－3＜0，∴直线y＝x－3经过第一、三、四象限，故不符合题意；B.∵k＝>0，∴y随x的增大而增大，故不符合题意；C.∵当y＝0时，x－3＝0，解得x＝6，∴直线与x轴交于点(6，0)，故符合题意；D.当x＝0时，y＝x－3＝－3，∴直线与y轴交于点(0，－3)，故不符合题意． －<a<2 【解】∵该函数图象经过第一、三、四象限， ∴解得m>－. 9．[泰州月考]在平面直角坐标系中，已知一次函数y1＝ k(x＋1)－3(k≠0)和y2＝n(x－3)＋2(n≠0)，无论x取何值，始终有y2>y1，则n的取值范围为(　　) A．n< B．n> C．n≤且n≠0 D．n<且n≠0 【点拨】一次函数y1＝k(x＋1)－3(k≠0)的图象过定点(－1，－3)，一次函数y2＝n(x－3)＋2(n≠0)过定点(3，2)．∵无论x取何值，始终有y2>y1，∴两直线平行，且直线y2＝n(x－3)＋2(n≠0)在直线y1＝k(x＋1)－3(k≠0)上方，∴对于y2＝n(x－3)＋2(n≠0)，当x＝－1时，－4n＋2>－3，解得n<，∴n<且n≠0.故选D. 又因为当－1≤x≤a时，这个函数的最大值为3a，所以当a＜3时，a＋2＝3a，解得a＝1；当a≥3时，5＝3a，解得a＝(舍去)．综上所述，a的值为1. $