16.3.2 第1课时 一次函数图象的画法及其平移 课件 2025-2026学年华东师大版八年级数学下册

华东师大版（新教材）数学8年级下册培优备精做课件 16.3.2 第1课时 一次函数图象的画法及其平移 第16章 函数及其图象 授课教师： Home . 班 级： 八年级（---）班 . 时 间： . 2026年4月7日 华东师大版八年级下册数学 16.3.2 第1课时 一次函数图象的画法及其平移 一、核心知识点梳理 （一）一次函数图象的基本性质 1. 图象形状：一次函数$$y = kx + b$$（$$k eq 0$$）的图象是一条直线，因此一次函数的图象也叫做直线$$y = kx + b$$。 2. 核心结论：因为“两点确定一条直线”，所以画一次函数的图象时，无需描出大量点，只需找到直线上的两个特殊点，描点后连接即可，这种方法叫做“两点法”，是画一次函数图象最简便的方法。 3. 特殊点的选取（优先选易计算、易描点的点）： - 与y轴的交点：令$$x = 0$$，代入解析式得$$y = b$$，即交点坐标为$$(0, b)$$（b是一次函数的截距）； - 与x轴的交点：令$$y = 0$$，代入解析式得$$kx + b = 0$$，解得$$x = -\frac{b}{k}$$，即交点坐标为$$\left(-\frac{b}{k}, 0\right)$$； - 特殊情况（正比例函数）：正比例函数$$y = kx$$（$$k eq 0$$）是特殊的一次函数（$$b = 0$$），其图象必过$$(0, 0)$$原点，因此画正比例函数图象时，只需再找一个点（如$$(1, k)$$），两点连线即可。 （二）一次函数图象的画法（重点：两点法） 1. 核心方法：两点法（优先选取与x轴、y轴的交点），步骤简洁，准确率高，具体步骤如下： - 找：根据一次函数解析式$$y = kx + b$$，找出直线上的两个特殊点（通常为与x轴、y轴的交点）； - 描：在平面直角坐标系中，准确描出这两个点，注意描点时标记清楚坐标，正比例函数需注意原点的位置； - 连：用直尺画一条平滑的直线，连接两个点，直线两端可适当延长（注意结合自变量取值范围，若有范围限制，需标注端点虚实）； - 验：可额外找一个点代入解析式，验证该点是否在直线上，确保图象绘制正确。 2. 补充方法：描点法（通用方法），步骤为“列表→描点→连线”，适用于所有函数图象绘制，具体如下： - 列表：根据自变量x的取值范围，选取3-5个均匀分布的x值（优先选整数），计算出对应的y值，整理成表格； - 描点：根据表格中的坐标$$(x, y)$$，在坐标系中描出所有点； - 连线：用直线连接所有描出的点，即为一次函数的图象（一次函数图象必为直线，若描点后无法连成直线，说明计算或描点有误）。 3. 关键提醒：画图象时，务必标注坐标轴名称、单位长度，以及描出的特殊点坐标，避免因无标注导致错误。 （三）一次函数图象的平移规律（核心难点） 1. 平移前提：一次函数图象平移时，比例系数k不变（k决定直线的倾斜程度，k不变则直线的倾斜方向和倾斜程度不变，平移后两条直线平行），只改变常数项b（b决定直线与y轴的交点位置）。 2. 核心平移规律（以基础直线$$y = kx$$为基准）： - 上下平移（沿y轴方向）： - 向上平移n个单位（$$n > 0$$）：解析式变为$$y = kx + n$$（常数项b增加n）； - 向下平移n个单位（$$n > 0$$）：解析式变为$$y = kx - n$$（常数项b减少n）； - 口诀：上加下减，只变b。 - 左右平移（沿x轴方向）： - 向左平移n个单位（$$n > 0$$）：解析式变为$$y = k(x + n)$$（整理后为$$y = kx + kn$$，常数项b变为$$kn$$）； - 向右平移n个单位（$$n > 0$$）：解析式变为$$y = k(x - n)$$（整理后为$$y = kx - kn$$，常数项b变为$$-kn$$）； - 口诀：左加右减，变x括弧（注意：左右平移是在x的基础上加减n，不是在整个解析式后加减n）。 3. 拓展延伸（以任意一次函数$$y = kx + b$$为基准）： - 向上平移n个单位：$$y = kx + b + n$$； - 向下平移n个单位：$$y = kx + b - n$$； - 向左平移n个单位：$$y = k(x + n) + b = kx + kn + b$$； - 向右平移n个单位：$$y = k(x - n) + b = kx - kn + b$$。 4. 记忆技巧：平移规律可结合图象理解，上下平移直接改变与y轴的交点位置（b的变化），左右平移间接改变与y轴的交点位置（通过x的变化影响b的等效值），且k始终不变，平移后直线与原直线平行。 （四）易错点补充（针对性突破） 1. 画图象时出错：① 未用两点法，描点过多且不准确；② 正比例函数忘记过原点，误选两个非原点的点，增加计算难度；③ 连线时不用直尺，导致直线不平整。 2. 平移规律混淆：① 左右平移时，误在解析式后加减n（正确是在x的括弧内加减）；② 上下平移时，误改变k的值（k不变，只变b）；③ 混淆“左加右减”，向左平移误减n，向右平移误加n。 3. 忽略自变量取值范围：平移后未结合原函数的自变量取值范围，导致图象绘制超出实际范围，或未标注端点虚实。 4. 验证图象错误：绘制完成后，未找额外点验证，导致因计算错误（如求交点坐标时出错），画出错误图象。 5. 混淆平移方向与解析式变化：误将“向上平移”当作“减n”，“向下平移”当作“加n”，与口诀相反。 二、典型题型解析（分层突破） 题型1：用两点法画一次函数图象 例1：用两点法画出一次函数$$y = 2x - 4$$的图象，并标注关键点坐标。 解：步骤如下： 1. 找特殊点（与x轴、y轴的交点）： ① 令$$x = 0$$，则$$y = 2 \times 0 - 4 = -4$$，得到与y轴的交点$$A(0, -4)$$； ② 令$$y = 0$$，则$$2x - 4 = 0$$，解得$$x = 2$$，得到与x轴的交点$$B(2, 0)$$； 2. 描点：在平面直角坐标系中，准确描出点$$A(0, -4)$$和$$B(2, 0)$$，标注坐标； 3. 连线：用直尺连接A、B两点，并向两端适当延长，得到直线$$y = 2x - 4$$，即为该一次函数的图象； 4. 验证：取$$x = 1$$，则$$y = 2 \times 1 - 4 = -2$$，点$$(1, -2)$$在直线上，验证图象正确。 题型2：画正比例函数图象 例2：画出正比例函数$$y = -3x$$的图象，用两点法完成。 解：步骤如下： 1. 找特殊点（正比例函数必过原点）： ① 原点$$O(0, 0)$$（必过点）； ② 令$$x = 1$$，则$$y = -3 \times 1 = -3$$，得到另一个点$$C(1, -3)$$； 2. 描点：描出$$O(0, 0)$$和$$C(1, -3)$$，标注坐标； 3. 连线：用直尺连接两点，向两端延长，得到直线$$y = -3x$$，即为该正比例函数的图象； 4. 验证：取$$x = -1$$，则$$y = 3$$，点$$(-1, 3)$$在直线上，验证正确。 题型3：一次函数图象的平移（由解析式求平移后解析式） 例3：已知一次函数$$y = 2x + 3$$，根据平移要求，求平移后的函数解析式： （1）向上平移2个单位；（2）向下平移5个单位；（3）向左平移3个单位；（4）向右平移4个单位。 解：根据平移规律（k不变，只变相关系数）： （1）向上平移2个单位，“上加下减”，解析式为$$y = 2x + 3 + 2 = 2x + 5$$； （2）向下平移5个单位，“上加下减”，解析式为$$y = 2x + 3 - 5 = 2x - 2$$； （3）向左平移3个单位，“左加右减（变x括弧）”，解析式为$$y = 2(x + 3) + 3 = 2x + 6 + 3 = 2x + 9$$； （4）向右平移4个单位，“左加右减（变x括弧）”，解析式为$$y = 2(x - 4) + 3 = 2x - 8 + 3 = 2x - 5$$。 题型4：由平移后的解析式求原解析式（逆向应用） 例4：已知一次函数$$y = kx + b$$的图象，向右平移2个单位后得到解析式$$y = 3x - 1$$，求原一次函数的解析式。 解：逆向应用平移规律（向右平移2个单位→原图象向左平移2个单位可得到平移后的图象）： 平移后的解析式为$$y = 3x - 1$$，原解析式是其向左平移2个单位得到的； 根据“左加右减”，向左平移2个单位，解析式变为$$y = 3(x + 2) - 1$$； 整理得：$$y = 3x + 6 - 1 = 3x + 5$$； 综上，原一次函数的解析式为$$y = 3x + 5$$。 题型5：结合平移判断图象位置 例5：已知直线$$y = 2x + 1$$，将其向下平移3个单位，判断平移后的直线经过哪些象限，并说明理由。 解：1. 求平移后的解析式：向下平移3个单位，解析式为$$y = 2x + 1 - 3 = 2x - 2$$； 2. 判断象限：由解析式$$y = 2x - 2$$可知，$$k = 2 > 0$$，$$b = -2 < 0$$； ∵ $$k > 0$$，∴ 直线从左到右上升，必经过第一、三象限； ∵ $$b = -2 < 0$$，∴ 直线与y轴交于负半轴，必经过第四象限； 综上，平移后的直线经过第一、三、四象限。 三、课堂练习题 一、选择题（每题3分，共15分） 1. 一次函数$$y = kx + b$$（$$k eq 0$$）的图象是（ ） 2. 画一次函数图象最简便的方法是（ ） 3. 将直线$$y = 3x - 2$$向上平移3个单位，平移后的解析式为（ ） 4. 正比例函数$$y = kx$$（$$k eq 0$$）的图象必经过的点是（ ） 5. 将直线$$y = -2x + 4$$向右平移2个单位，平移后的解析式为（ ） 二、填空题（每题3分，共15分） 1. 画一次函数$$y = kx + b$$的图象时，优先选取的两个特殊点是______和______。 2. 正比例函数$$y = -4x$$的图象，可选取______和______两个点，用两点法画出。 3. 一次函数图象平移时，______不变（填“k”或“b”），只改变______（填“k”或“b”）。 4. 将直线$$y = 5x + 1$$向左平移3个单位，平移后的解析式为______。 5. 已知直线$$y = kx + b$$向下平移4个单位后得到$$y = 2x - 3$$，则原直线的解析式为______。 三、解答题（共30分） 2026年4月7日星期二10时33分11秒 2026年4月7日星期二10时33分16秒 在上一课的学习中，我们学会了函数图象的画法，分为三个步骤． ①列表 ②描点 ③连线 那么你能用同样的方法画出一次函数的图象吗？ 一次函数的图象的画法 1 观察所画出的这些一次函数的图象，你能发现什么? 在同一个平面直角坐标系中画出下列函数的图象. 做一做 (1) (2) (3) (4) 1 -1 2 3 4 5 -4 -3 -2 -5 1 2 3 4 5 -1 -2 -3 -4 -5 O 观察:这些函数的图象有什么特点? x y 一次函数 y = kx + b (k≠0) 的图象是一条直线. 通常也称为直线 y = kx + b. 特别地，正比例函数 y = kx (k≠0) 的图象是经过原点 O(0，0) 的一条直线. 思考：几个点可以确定一条直线? 画一次函数的图象时，只需要取几个点? 知识要点 (0，b) ( ，0) 一次函数 y = kx＋b (k≠0)的图象是一条直线，因此画一次函数图象时，只要确定两个点，再过这两点画直线就可以了. 一般过 (0，b) 和 ( ，0) O y = -2x-1 y = 0.5x+1 例1 用你认为最简单的方法画出下列函数的图象： (1) y = - 2x - 1； (2) y = 0.5x + 1. x 0 1 y = -2x -1 y = 0.5x +1 -1 -3 1 1.5 典例精析 一次函数图象的平移 【探究】观察 “做一做” 中画出的四个一次函数的图象，比较下列各组一次函数的图象有什么共同点和不同点: ① 与 ② 与 ③ 与 你能否从中发现一些规律? 对于直线 y = kx + b ( k、b 是常数，k≠0 ) ，常数 k 和 b 的取值对于直线的位置各有什么影响? 2 可以发现，两个一次函数，当系数 k 相同、b 不相同时，如图 1 -1 2 3 4 5 -4 -3 -2 -5 1 2 3 4 5 -1 -2 -3 -4 -5 O 共同点： y x 不同点： y＝3x＋2 y＝3x 两个一次函数互相平行，倾斜程度一致 两个一次函数与 y 轴的交点不一样 共同点： 不同点： 1 -1 2 3 4 5 -4 -3 -2 -5 1 2 3 4 5 -1 -2 -3 -4 -5 O y x 两个一次函数都经过点 (0，2)； 两函数的倾斜程度不一样. 而当 b 相同，系数 k 不相同时，有 观察函数的关系式及其图象，填写下表. y=3x y=3x+2 关系式 图象 y=3x y=3x+2 相同点：_______ 不同点： _______ 相同点：__________________ 不同点: __________________ y=3x+2 相同点：_______ 不同点： _______ 相同点：_____________________ 不同点： k 相同 b 不同 倾斜度一样（平行） 与 y 轴的交点不同 b 相同 k 不同 都与 y 轴相交于点(0，2) 倾斜度不一样(不平行) O 如果 k1＝ k2，那么这两条直线会______. 如果 b1＝b2，那么这两条直线会与 y 轴 ______________. 根据以上分析，可以得出： 对于两个一次函数 y = k1x + b1 和 y = k2x + b2 (k1、k2 均不为 0 ) 平行 相交于同一个点 特例 如果 b = 0，那么 ( 正比例 ) 函数 y = kx 的图象一定经过点(__，__)，即______. 0 0 原点 归纳总结 例1 分别在同一个平面直角坐标系中画出下列函数的图象： （1）y = 2x 与 y = 2x + 3； 典例精析 x y y = 2x y = 2x + 3 O x y y = 2x + 1 y = x + 1 1 2 （2）y = 2x + 1 与 y = x + 1. 1 2 O y = x y = x + 2 y = x - 2 y 2 O x 2 ● ● 【探究归纳】观察三个函数图象的平移情况： 把一次函数 y=x+2， y=x-2 的图象与 y=x 比较，发现： (1) 这三个函数的图象形状都是 ，并且倾斜程度______． 直线 相同 y = x y = x + 2 y = x - 2 y 2 O x 2 ● ● (2) 函数 y = x 的图象经过原点，函数 y = x + 2 的图象与 y 轴交于点 ，即它可以看作由直线 y = x 向___ 平移 个单位长度而得到. 函数 y = x - 2 的图象与 y 轴交于点 ，即它可以看作由直线 y = x 向____平移____个单位长度而得到. (0，2) 上 2 (0，-2) 下 2 (3) 比较三个函数的表达式， 相同，它们的图象的位置关系是 . 系数 k 平行 一次函数 y = kx + b（k≠0）的图象经过点(0，b)，可以由正比例函数 y = kx 的图象平移 个单位长度得到 (当 b＞0时，向 平移；当 b＜0 时，向 平移). 下 上 | b | y = x y = x + 2 y = x - 2 y 2 O x 2 ● ● 归纳总结 例3 在同一直角坐标系中画出下列函数的图象，并说出它们有什么关系： (1) y= -2x (2) y = -2x-4 x y = -2x x y= -2x-4 0 0 1 -2 0 -4 -2 0 y = -2x y = -2x- 4 典例精析 O y=－2x y= － 2x － 4 观察直线 y=－2x与 y = －2x－4，可以知道，它们____________，并且第二条直线可以看作由第一条直线向____平移____个单位得到. 互相平行 下 4 返回 1．关于函数y＝－kx(k＜0)，下列结论不成立的是(　　) A．它是正比例函数 B．函数图象经过点(1，－k) C．图象经过第二、四象限 D．图象经过原点 C 中考考法 20 返回 2．将一次函数y＝2x－2的图象向上平移3个单位长度，若平移后的一次函数的图象经过点(－6，a)，则a的值为(　　) A．13 B．7 C．－8 D．－11 D 中考考法 21 返回 3．一次函数y＝kx－2k＋4(k≠0)的图象一定经过的点是(　　) A．(0，4) B．(3，4) C．(1，4) D．(2，4) D 中考考法 22 返回 4．将直线y＝3x－1向上平移m个单位长度，若平移后的直线经过第三、二、一象限，则m的值可以是________ (写出一个即可)． 2 (答案不唯一) 【点拨】由题意可知平移后的表达式为y＝3x－1＋m. ∵平移后的直线经过第三、二、一象限，∴m－1>0. ∴m>1. ∴m的值可以是2. 中考考法 23 5．如图，在所给平面直角坐标系中画出函数y＝2x－1的 图象． (1)列表： (2)描点并连线； x … －1 0 1 … y … －1    … 1 －3 【解】如图所示． 中考考法 24 (3)判断点A(－3，－5)，B(2，－3)，C(3，5)是否在函数 y＝2x－1的图象上； 【解】当x＝－3时，y＝2×(－3)－1＝－7，当x＝2时， y＝2×2－1＝3，当x＝3时，y＝2×3－1＝5， ∴A(－3，－5)，B(2，－3)不在函数y＝2x－1的图象上，C(3，5)在函数y＝2x－1的图象上． 中考考法 25 返回 (4)若点P(m，9)在函数y＝2x－1的图象上，求出m的值． 【解】∵点P(m，9)在函数y＝2x－1的图象上， ∴9＝2m－1，解得m＝5. 中考考法 26 6．[扬州中考]已知m2 025＋2 025m＝2 025，则一次函数y＝(1－m)x＋m的图象不经过(　　) A．第一象限　　 B．第二象限 C．第三象限　　 D．第四象限 中考考法 27 返回 【点拨】由题可知m>0，2 025m<2 025，∴0<m<1，∴1－m>0，∴一次函数y＝(1－m)x＋m的图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限，故选D. 【答案】D 中考考法 28 返回 7．一次函数y＝(3－a)x＋b－2在平面直角坐标系中的图象如图所示，化简：|a－3|－|2－b|＝____________． a＋b－5 中考考法 29 中考考法 30 一次函数 一次函数的图象的画法 一次函数的平移 8．已知直线y＝kx＋b与直线y＝2x－7平行，且将该直线向下平移5个单位长度后得到直线y＝ax－2，则＝________． $