第24章 专题3 圆中教材典图研究（作业课件）【优翼·学练优】2025-2026学年九年级数学下册同步备课（沪科版）

该初中数学课件聚焦九年级下册圆的核心内容，围绕垂径图、等腰图、角平分线图三大教材典图展开，通过梳理已知条件与基本结论，搭建从概念理解到问题解决的学习支架，帮助学生衔接圆的性质与几何推理。 其亮点在于以教材典图为载体，结合例题变式与多解法（如角平分线图作垂线、补短法），培养几何直观与推理意识，落实数学思维。学生能深化知识理解，教师可获得系统教学资源，提升教学效率。

2026春季学期 《学练优》·九年级数学下·HK 第24章　圆 专题 3　圆中教材典图研究 典图一　垂径图(HK九下P15图24－20) [已知条件]直径AB⊥弦CD. [基本结论] ①OC2＝OE2＋CE2， BE2＋CE2＝BC2， AE2＋CE2＝AC2； ②AC2－AE2＝OC2－OE2＝BC2－BE2. 1. 如图，☉O的直径CD＝10，AB是☉O的弦， AB⊥CD，垂足为M，OM＝ OD，则弦AB的长 为 ⁠. 8　 2 3 4 5 6 1 2. 如图，☉O的弦AB⊥CD，点E为垂足，AE＝ 3，BE＝7，且AB＝CD，则☉O的半径为 ⁠. 　 2 3 4 5 6 1 3. (2025·合肥模拟)如图，AB是☉O的弦，半径 OD⊥AB于点C，AE为直径，AB＝8，CD＝2， 则线段CE的长为 ⁠. 2 　 2 3 4 5 6 1 典图二　等腰图(HK九下P37T6图变式) [已知条件]AB＝AC，AB是直径，CA 延长线交☉O于E. [基本结论]①AD⊥BC； ②∠BAD＝∠CAD； ③BE⊥AC； ④BD＝CD＝DE. 2 3 4 5 6 1 4. 如图，在△ABC中，AB＝AC，AB为☉O的直 径，☉O分别交AC，BC于点D，E，连接DE， AE. 若DE＝15，AE＝20，则AC的长为 ⁠. 25　 2 3 4 5 6 1 5. 如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的 ☉O交BC于点D，交CA的延长线于点E. (1)求证：BD＝CD； (1)证明：如图，连接AD. ∵AB为直径， ∴∠ADB＝90°，即AD⊥BC. ∵AB＝AC， ∴BD＝CD. (1)证明：如图，连接AD. ∵AB为直径， ∴∠ADB＝90°，即AD⊥BC. ∵AB＝AC， ∴BD＝CD. 2 3 4 5 6 1 (2)连接ED，若AC＝5，ED＝4，求AE的长. 5. 如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的 ☉O交BC于点D，交CA的延长线于点E. (1)证明：如图，连接AD. ∵AB为直径， ∴∠ADB＝90°，即AD⊥BC. ∵AB＝AC， ∴BD＝CD. 2 3 4 5 6 1 (2)解：如图，连接BE，则∠AEB＝90°. ∵BD＝CD，∴BC＝2ED＝8.设AE＝x，则CE ＝x＋5. 在Rt△ABE和Rt△CBE中， ∵AB2－AE2＝BE2＝BC2－CE2， ∴52－x2＝82－(x＋5)2. ∴x＝ ，即AE的长为 . (2)解：如图，连接BE，则∠AEB＝90°. ∵BD＝CD，∴BC＝2ED＝8.设AE＝x， 则CE ＝x＋5. 在Rt△ABE和Rt△CBE中， ∵AB2－AE2＝BE2＝BC2－CE2， ∴52－x2＝82－(x＋5)2. ∴x＝ ，即AE的长为 . 2 3 4 5 6 1 典图三　角平分线图(RJ九上P87例4图) [已知条件]AB是直径，CD平分 ∠ACB，DE⊥CD. [基本结论]① ＝ ，等腰直角三角 形ABD； ②CA＋CB＝ CD； ③S四边形ACBD＝S△CDE. 2 3 4 5 6 1 6. 如图，☉O的直径AB的长为10，弦AC的长为 6，∠ACB的平分线交☉O于点D，求CD的长. 2 3 4 5 6 1 解：方法一：如图，过点A作AE⊥CD于点E， ∵AB为☉O的直径，CD平分∠ACB， ∴∠ACE＝ ∠ACB＝45°. ∴AE＝CE＝ AC＝ 3 . 连接AD，BD，则AD＝ AB＝5 . ∴DE＝ ＝4 . ∴CD＝CE＋DE＝ 7 . 2 3 4 5 6 1 方法二(补短法)：延长CB至点M， 使BM＝AC＝ 6，连接DM， 证△DMB≌△DCA，∠CDM＝ 90°， ∴CA＋CB＝CM＝ CD＝14.∴CD＝7 . DM＝DC，BC＝8， 2 3 4 5 6 1 方法三(作垂线)：过点D作DG⊥AC于点G， 作DF⊥BC于点F，证△DAG≌△DBF， ∴AG＝BF，四边形CGDF为正方形.∴CG＝ CF. ∴6＋AG＝8－BF，解得AG＝1.∴CG＝7，CD ＝ CG＝7 . 方法三(作垂线)：过点D作DG⊥AC于点G， 作DF⊥BC于点F，证△DAG≌△DBF， ∴AG＝BF，四边形CGDF为正方形. ∴CG＝ CF. ∴6＋AG＝8－BF，解得AG＝1. ∴CG＝7，CD ＝ CG＝7 . 2 3 4 5 6 1 $