24.2 第2课时 垂径分弦（作业课件）【优翼·学练优】2025-2026学年九年级数学下册同步备课（沪科版）

该初中数学课件聚焦九年级下册“圆的基本性质——垂径分弦”，核心知识点涵盖圆的对称性、垂径定理及其推论与应用。通过折叠圆形纸片得到最大正方形的操作导入，衔接圆的对称性，搭建从直观操作到抽象定理的学习支架。 其亮点在于融合跨学科（化学烧瓶液面计算）、数学文化（《九章算术》“圆材埋壁”）及中考真题变式，以数学眼光观察现实，通过条件变式和易错分析培养推理思维，借助拱桥、水管水位等问题发展模型意识。学生能提升应用能力，教师可依托分层题目实现高效教学。

2026春季学期 《学练优》·九年级数学下·HK 第24章　圆 24.2　圆的基本性质 第2课时　垂径分弦 目 录 CONTENTS 01 A学习理解 02 B应用实践 03 C迁移创新 知识点一　圆的对称性 1. 下列说法中，不正确的是(　B　) A. 圆既是轴对称图形又是中心对称图形 B. 圆的每一条直径都是它的对称轴 C. 圆有无数条对称轴 D. 圆的对称中心是它的圆心 B 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 使得两边完全重合，展开，记两条折痕分别为 2. 教材P14探究变式 如图，一张圆形纸片，简 述如何通过折叠得到最大的正方形，画出简易的 示意图. 解：先将纸片对折，使得两边完全重合，再对折， AC，BD(AC⊥BD)，两条折痕的交点O即为圆心. 两条折痕分别交圆O于点A，C和B，D，则四边 形ABCD即为所求最大的正方形. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 知识点二　垂径定理及其推论 3. 如图，已知☉O的直径AB⊥弦CD于点E，则下 列结论不一定正确的是(　B　) B A. CE＝DE B. AE＝OE C. ＝ D. △OCE≌△ODE 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 4. 如图，AB是☉O的弦，C是AB的中点.若AB＝ 8，OC＝3，则半径OB的长为(　C　) A. 3 B. 4 C. 5 D. 10 C 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 (1)(2025·宜宾中考)如图，AB是☉O的弦，半径 OC⊥AB于点D. 若AB＝8，OC＝5，则OD的长 是(　A　) A. 3 B. 2 C. 6 D. A 条件变式 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 (2)(2025·合肥瑶海区二模)如图，OA，OB，OC都 是☉O的半径，AC，OB交于点D. 若AD＝CD＝ 4，OD＝3，则BD的长为(　B　) A. 2.5 B. 2 C. 1.5 D. 1 B 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 5. 新课标动态思维 (2025·六安裕安区期末)如图， 已知☉O的半径为5，弦PQ＝6，R是弦PQ上任意 一点，则线段OR的长可能是(　D　) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 D 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 知识点三　垂径定理的应用 6. 教材P16例3变式 一个圆弧形蔬菜大棚的剖面如 图所示，已知AB＝16m，半径OA＝10m，则高度 CD的长为(　B　) A. 2m B. 4m C. 6m D. 8m B 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 7. 跨学科化学 如图，化学实验室有一个腹部呈球 形的烧瓶，球的半径为6cm，瓶内液体已经过半， 最大深度CD＝8cm，则此时液面宽度AB为(　C　) A. 10cm B. 4 cm C. 8 cm D. 4 cm C 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 8. 新情境数学文化 “圆材埋壁”是我国古代数学 著作《九章算术》中的一个问题，用现在的数学语 言表述是：如图，OC⊥AB，垂足为D，CD＝1 寸，AB＝1尺，则☉O的直径是 寸.(注：1尺 ＝10寸) 26　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 9. (2025·亳州期末)如图，半径为6的☉O沿弦AB折 叠，弧AB恰好经过圆心O，则弦AB的长为(　B　) A. 10 B. 6 C. 11 D. 5 B 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 10. 已知点C在☉O的弦AB上，AC＝6，BC＝2， OC＝ ，则AB的弦心距为(　B　) A. B. 3 C. 2 D. 2 B 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 11. 经典题 已知☉O的半径为13，弦AB∥弦 CD，AB＝10，CD＝24，且两弦AB与CD位于圆 心的同侧，则它们之间的距离为 ⁠. 7　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 易错变式 如图，一下水管横截面为圆形，直径为100cm，下 雨前水面宽为60cm，一场大雨过后，水面宽为 80cm，则水位上升了 cm. 10或70　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 12. 教材P17练习T2变式 如图，在以O为圆心的两 个同心圆中，大圆的半径为5，大圆的弦AB与小圆 交于点C，D，AB＝8，CD＝3. (1)求AC的长； 解：(1)如图，过O作OH⊥AB于H. ∵OH⊥AB，AB＝8，CD＝3， ∴AH＝BH＝4，CH＝DH＝ .∴AC＝BD＝ (AB－CD)＝ . 解：(1)如图，过O作OH⊥AB于H. ∵OH⊥AB，AB＝8，CD＝3， ∴AH＝BH＝4，CH＝DH＝ . ∴AC＝BD＝ (AB－CD)＝ . 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 (2)求小圆的半径. 12. 教材P17练习T2变式 如图，在以O为圆心的两 个同心圆中，大圆的半径为5，大圆的弦AB与小圆 交于点C，D，AB＝8，CD＝3. 解：(1)如图，过O作OH⊥AB于H. ∵OH⊥AB，AB＝8，CD＝3， ∴ 解：(2)如图，连接OA和OD. ∵OA＝5，AH＝4， ∴由勾股定理得OH＝3.∵HD＝ ， ∴由勾股定理得OD＝ ＝ ， 即小圆的半径为 . 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 13. 如图，某地计划搭建一座圆弧形拱桥，跨度AB ＝32m，拱高CD＝8m(C为AB的中点，D为弧AB 的中点). (1)求该圆弧所在圆的半径； 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 解：(1)如图，设弧AB所在圆的圆心为O， 由题意可知CD⊥AB于C，延长DC经过O点， 设☉O的半径为Rm.∵AB＝32m，C为AB的中 点， ∴BC＝ AB＝16m.在Rt△OBC中，OB2＝OC2＋ CB2， ∴R2＝(R－8)2＋162，解得R＝20.∴圆弧所在圆 的半径为20m. 解：(1)如图，设弧AB所在圆的圆心为O， 由题意可知CD⊥AB于C，延长DC经过O点， 设☉O的半径为Rm.∵AB＝32m，C为AB的中点， ∴BC＝ AB＝16m.在Rt△OBC中， OB2＝OC2＋CB2， ∴R2＝(R－8)2＋162，解得R＝20. ∴圆弧所在圆的半径为20m. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 13. 如图，某地计划搭建一座圆弧形拱桥，跨度AB ＝32m，拱高CD＝8m(C为AB的中点，D为弧AB 的中点). (2)在距离桥的一端4m处欲立一桥墩EF支撑，求桥 墩的高度. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 解：(2)如图，作OH⊥FE于点H，连接OF， 则OH＝CE＝BC－BE＝16－4＝12(m). 在Rt△OHF中，HF＝ ＝16(m). ∵HE＝OC＝OD－CD＝20－8＝12(m)， ∴EF＝HF－HE＝16－12＝4(m). ∴在距离桥的一端4m处，桥墩高4m. 解：(2)如图，作OH⊥FE于点H，连接OF， 则OH＝CE＝BC－BE＝16－4＝12(m). 在Rt△OHF中，HF＝ ＝16(m). ∵HE＝OC＝OD－CD＝20－8＝12(m)， ∴EF＝HF－HE＝16－12＝4(m). ∴在距离桥的一端4m处，桥墩高4m. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 14. (2025·淮北期末)如图，在☉O中，弦AB的长为 8，点C在BO的延长线上，且 cos ∠ABC＝ ，OC ＝ OB. (1)求☉O的半径； 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 解：(1)如图，过点O作OD⊥AB，垂足为D. ∵AB＝8，∴AD＝BD＝ AB＝4. 在Rt△OBD中， cos ∠ABC＝ ， ∴OB＝ ＝ ＝5.∴☉O的半径为5. 解：(1)如图，过点O作OD⊥AB，垂足为D. ∵AB＝8，∴AD＝BD＝ AB＝4. 在Rt△OBD中， cos ∠ABC＝ ， ∴OB＝ ＝ ＝5.∴☉O的半径为5. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 (2)求∠BAC的正切值. 14. (2025·淮北期末)如图，在☉O中，弦AB的长为 8，点C在BO的延长线上，且 cos ∠ABC＝ ，OC ＝ OB. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 解：(2)如图，过点C作CE⊥AB，垂足为E. ∵OC＝ OB＝2.5， ∴BC＝7.5.∵OD⊥AB，∴OD∥CE. ∴ ＝ .∴ ＝ .∴BE＝6.∴AE＝AB－BE ＝8－6＝2. 在Rt△BCE中，CE＝ ＝ ＝4.5. 解：(2)如图，过点C作CE⊥AB，垂足为E. ∵OC＝ OB＝2.5， ∴BC＝7.5.∵OD⊥AB，∴OD∥CE. ∴ ＝ .∴ ＝ .∴BE＝6. ∴AE＝AB－BE ＝8－6＝2. 在Rt△BCE中， CE＝ ＝＝4.5. 在Rt△ACE中，tan∠BAC＝ ＝ ＝ ， ∴∠BAC的正切值为 . 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 $