8.2 特殊的平行四边形 章节测试卷2025-2026学年苏科版数学八年级下册

8.2 特殊的平行四边形 章节测试卷2025-2026学年苏科版数学八年级下册 一．选择题（共6小题） 1．菱形ABCD中，∠A：∠B＝1：5，若周长为8，则此菱形的高等于（　　） A． B．4 C．1 D．2 2．两个正方形按如图所示位置摆放，若∠2＝65°，则∠1＝（　　） A．115° B．125° C．155° D．165° 3．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB＝5．若∠BAD＝120°，则AC的长是（　　） A．2.5 B．5 C．6 D．10 4．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，∠ABD＝60°，AB＝4，则BC的长为（　　） A． B． C．6 D．8 5．如图，在长方形ABCD中，AB＝3，AD＝4，P是AD上一个动点，PE⊥AC于E，PF⊥BD与F，则PE+PF的值为（　　） A．2.3 B．2.4 C．2.5 D．2.6 6．在锐角三角形ABC中，AH是BC边上的高，分别以AB、AC为一边，向外作正方形ABDE和ACFG，连接CE、BG和EG，EG与HA的延长线交于点M，下列结论：①BG＝CE；②BG⊥CE；③∠EAM＝∠ABC；④AM是△AEG的中线．其中正确结论的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二．填空题（共10小题） 7．如图，在菱形ABCD中，面积为96，对角线AC与BD相交于点O．已知AC＝12，则AB的长为　 　 ． 8．已知矩形两对角线夹角为60°，对角线长为2cm，则矩形面积为　 　 ． 9．添加一个条件，使矩形ABCD是正方形，这个条件可能是 　 　 ． 10．菱形的两条对角线长分别为6，8，则这个菱形的面积为　 　 ． 11．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC，若AC＝4，则CE的长为　 　 ． 12．如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm，点P从点A出发沿AB以1cm/s的速度向点B移动，同时，点Q从点B出发沿BC以2cm/s的速度向点C移动，则　 　 秒后△DPQ 的面积为31cm2． 13．如图，在长方形ABCD中，AD＝3，AB＝2，BF＝DE，则CE+DF的最小值是　 　 ． 14．如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，将CD沿射线CA的方向平移，点C、D分别与点O、E重合，连接AE，若∠1＝α，则∠E＝　 　 ．（请用含α的式子表示） 15．如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，点E在AD边上，连接并延长EO交BC于点F．若AB＝2，∠BAD＝60°，则△DOE与△COF的面积之和为 　 　 ． 16．如图，在矩形ABCD中，AB＝9，AD＝4．E为CD边上一点，CE＝6，连接AE．点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿着边BA向终点A运动，连接PE．设点P运动的时间为t秒，当t为 　 　 时，△PAE为直角三角形． 三．解答题（共10小题） 17．如图，在菱形ABCD中，点E、F分别在边BC、DC上，连接AE、AF，分别交对角线BD于点M、N，∠AEB＝∠AFD．求证：BM＝DN． 18．如图，在矩形ABCD中，AE平分∠BAD交CD于点E，连接BE，点F为BE的中点，连接CF，若AB＝3，AD＝2，求CF的长． 19．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，AB＝BC，∠D＝45°，CD的垂直平分线交CD于E，交AD于F，交BC的延长线于G，若AD＝a． （1）求证：四边形ABCF是正方形； （2）求BG的长． 20．如图，在菱形ABCD中，点P是AD边的中点，延长CD至Q，使得DQ＝AD，连接BP，AQ，求证：∠Q＝∠APB． 21．如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AB∥DC，AB＝BC，BD平分∠ABC，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE． （1）求证：四边形ABCD是菱形； （2）若，OE＝8，求BD的长． 22．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，分别过点B，D作BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分别为点E、F． （1）求证：四边形BEDF是平行四边形； （2）四边形BEDF能否是菱形？简要说明你的理由； （3）若DF＝EF，CE＝7，AB＝13，求平行四边形ABCD的面积． 23．如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且点O是AC的中点，点E，F在AC上，且AE＝CF，DF∥EB． （1）求证：△BOE≌△DOF； （2）若，则四边形ABCD是什么特殊四边形？请说明理由． 24．如图，四边形ABCD是正方形，点E为ABCD内一点，将BE绕点B顺时针旋转90°得到BF，连接EF、AE、CF，EF与CB交于点G． （1）求证：AE＝CF； （2）若∠ABE＝55°，求∠EGC的大小． 25．如图1，点E、F分别在菱形ABCD的边BC、CD上，且BE＝DF． （1）求证：∠BAE＝∠DAF； （2）如图2，若∠EAF＝∠B，连接EF，M是EF中点，连接AM，在不添加字母和任何辅助线的情况下，直接写出图中的所有直角三角形． 26．阅读下面的例题及点拨，并解决问题： 如图①，在等边△ABC中，M是BC边上一点（不含端点B，C），N是△ABC的外角∠ACH的平分线上一点，且AM＝MN．求证：∠AMN＝60°． （1）点拨：如图②，作∠CBE＝60°，BE与NC的延长线相交于点E，得等边△BEC，连接EM．易证：△ABM≌△EBM（SAS），请完成剩余证明过程： （2）拓展：如图③，在正方形A1B1C1D1中，M1是B1C1边上一点（不含端点B1，C1），N1是正方形A1B1C1D1的外角∠D1C1H1的平分线上一点，且A1M1＝M1N1．求证：∠A1M1N1＝90°． 参考答案与试题解析 一．选择题（共6小题） 题号 1 2 3 4 5 6 答案 C C B A B D 1．菱形ABCD中，∠A：∠B＝1：5，若周长为8，则此菱形的高等于（　　） A． B．4 C．1 D．2 【分析】过点D作DE⊥AB于点E，利用直角三角形的30度角的性质，即可解决问题． 【解答】解：∵菱形ABCD的周长为8， ∴AD＝AB＝2，AD∥BC， ∴∠A+∠B＝180°， ∵∠A：∠B＝1：5， ∴∠A＝30°． 过点D作DE⊥AB于点E， ∴， ∴此菱形的高等于1． 故选C． 2．两个正方形按如图所示位置摆放，若∠2＝65°，则∠1＝（　　） A．115° B．125° C．155° D．165° 【分析】根据正方形的性质和同角的余角相等进行解答即可． 【解答】解：如图，两个正方形按如图所示位置摆放， 由题意可得，∠2+∠5＝∠5+∠4＝90°， ∴∠4＝∠2＝65°， ∴∠3＝90°﹣∠4＝25°， ∴若∠2＝65°，则∠1＝180°﹣∠3＝155°， 故选：C． 3．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB＝5．若∠BAD＝120°，则AC的长是（　　） A．2.5 B．5 C．6 D．10 【分析】首先根据菱形的性质知AB＝BC，再由∠BAD＝120°求出∠ABC＝60°，得△ABC是等边三角形，即可求出AC的长． 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AD∥BC，AB＝BC， ∵∠BAD＝120°， ∴∠ABC＝180°﹣120°＝60°， ∴△ABC是等边三角形， ∴AC＝AB＝5． 故选：B． 4．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，∠ABD＝60°，AB＝4，则BC的长为（　　） A． B． C．6 D．8 【分析】利用矩形对角线的性质证明△OAB为等边三角形，然后求出对角线AC，再由勾股定理求出 BC． 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，AC、BD相交于点O， ∴∠B＝90°，AC＝BD，，， ∴OA＝OB＝OC， ∵∠ABD＝60°， ∴△OAB是等边三角形， ∵AB＝4， ∴AC＝8， ∴． 故选：A． 5．如图，在长方形ABCD中，AB＝3，AD＝4，P是AD上一个动点，PE⊥AC于E，PF⊥BD与F，则PE+PF的值为（　　） A．2.3 B．2.4 C．2.5 D．2.6 【分析】连接OP，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，可求得OA＝OD＝以及△AOD的面积，继而可得S△AOD＝（PE+PF），则可求得答案． 【解答】解：连接OP， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠BAD＝90°，AC＝BD，OA＝OC，OB＝OD， ∴OA＝OD＝BD，S△AOD＝S△AOB， ∵AB＝3，AD＝4， ∴S矩形ABCD＝3×4＝12，BD＝5， ∴S△AOD＝S矩形ABCD＝3，OA＝OC＝， ∵S△AOD＝S△AOP+S△DOP＝OA•PE+OD•PF＝××PE+××PF＝（PE+PF）＝3， ∴PE+PF＝2.4． 故选：B． 6．在锐角三角形ABC中，AH是BC边上的高，分别以AB、AC为一边，向外作正方形ABDE和ACFG，连接CE、BG和EG，EG与HA的延长线交于点M，下列结论：①BG＝CE；②BG⊥CE；③∠EAM＝∠ABC；④AM是△AEG的中线．其中正确结论的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据正方形的性质可得AB＝AE，AC＝AG，∠BAE＝∠CAG＝90°，然后求出∠CAE＝∠BAG，再利用“边角边”证明△ABG和△AEC全等，根据全等三角形对应边相等可得BG＝CE，判定①正确；设BG、CE相交于点N，根据全等三角形对应角相等可得∠ACE＝∠AGB，然后求出∠CNG＝90°，根据垂直的定义可得BG⊥CE，判定②正确；过点E作EP⊥HA的延长线于P，过点G作GQ⊥AM于Q，根据同角的余角相等求出∠ABH＝∠EAP，再利用“角角边”证明△ABH和△EAP全等，根据全等三角形对应角相等可得∠EAM＝∠ABC判定③正确，全等三角形对应边相等可得EP＝AH，同理可证GQ＝AH，从而得到EP＝GQ，再利用“角角边”证明△EPM和△GQM全等，根据全等三角形对应边相等可得EM＝GM，从而得到AM是△AEG的中线，可判定④正确． 【解答】解：在正方形ABDE和ACFG中，AB＝AE，AC＝AG，∠BAE＝∠CAG＝90°， ∴∠BAE+∠BAC＝∠CAG+∠BAC， 即∠CAE＝∠BAG， 在△ABG和△AEC中， ， ∴△ABG≌△AEC（SAS）， ∴BG＝CE，故①正确； 设BG、CE相交于点N， ∵△ABG≌△AEC， ∴∠ACE＝∠AGB， ∵∠NCF+∠NGF＝∠ACF+∠AGF＝90°+90°＝180°， ∴∠CNG＝360°﹣（∠NCF+∠NGF+∠F）＝360°﹣（180°+90°）＝90°， ∴BG⊥CE，故②正确； 过点E作EP⊥HA的延长线于P，过点G作GQ⊥AM于Q， ∵AH⊥BC， ∴∠ABH+∠BAH＝90°， ∵∠BAE＝90°， ∴∠EAP+∠BAH＝180°﹣90°＝90°， ∴∠ABH＝∠EAP， 在△ABH和△EAP中， ∴△ABH≌△EAP（AAS）， ∴∠EAM＝∠ABC，故③正确， EP＝AH， 同理可得GQ＝AH， ∴EP＝GQ， 在△EPM和△GQM中， ， ∴△EPM≌△GQM（AAS）， ∴EM＝GM， ∴AM是△AEG的中线，故④正确． 综上所述，①②③④结论都正确，即正确的个数有4个； 故选：D． 二．填空题（共10小题） 7．如图，在菱形ABCD中，面积为96，对角线AC与BD相交于点O．已知AC＝12，则AB的长为　10　 ． 【分析】利用菱形面积公式求出另一条对角线，再利用菱形对角线互相垂直平分的性质和勾股定理求出边长． 【解答】解：∵，菱形ABCD的面积为96， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：10． 8．已知矩形两对角线夹角为60°，对角线长为2cm，则矩形面积为　cm2 ． 【分析】作出图形，根据矩形的对角线互相平分且相等求出OA＝OB，然后求出△AOB是等边三角形，根据等边三角形的性质求出AB，再利用勾股定理列式计算即可得解． 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴OA＝OB＝×2＝1（cm）． ∵两对角线的夹角∠AOB＝60°， ∴△AOB是等边三角形， ∴AB＝OA＝1cm． 在Rt△ABC中，矩形的长BC＝＝＝（cm2）． 故答案为：cm2． 9．添加一个条件，使矩形ABCD是正方形，这个条件可能是 AB＝AD（或AC⊥BD答案不唯一）　 ． 【分析】根据正方形的判定方法添加即可． 【解答】解：AB＝AD（或AC⊥BD答案不唯一）． 理由：∵四边形ABCD是矩形， 又∵AB＝AD， ∴四边形ABCD是正方形． 或∵四边形ABCD是矩形， 又∵AC⊥BD， ∴四边形ABCD是正方形， 故答案为：AB＝AD（或AC⊥BD答案不唯一）． 10．菱形的两条对角线长分别为6，8，则这个菱形的面积为　24　 ． 【分析】菱形的面积等于对角线乘积的一半，由此可得出结果． 【解答】解：∵菱形的两条对角线长分别为6和8， ∴菱形的面积为． 故答案为：24． 11．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC，若AC＝4，则CE的长为　2　 ． 【分析】先根据矩形的性质得到对角线相等且互相平分，再由两组对边分别平行判定四边形OCED是平行四边形，最后结合矩形性质得出OC＝OD，从而判定该平行四边形为菱形，进而得到CE＝OC，求出CE的长度． 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AC＝BD＝4，，， ∴OC＝OD＝2． ∵CE∥BD，DE∥AC， ∴四边形OCED是平行四边形． ∵OC＝OD， ∴平行四边形OCED是菱形， ∴CE＝OC＝2． 故答案为：2． 12．如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm，点P从点A出发沿AB以1cm/s的速度向点B移动，同时，点Q从点B出发沿BC以2cm/s的速度向点C移动，则　1或5　 秒后△DPQ 的面积为31cm2． 【分析】设运动x秒钟后△DPQ的面积为31cm2，则AP＝xcm，BP＝（6﹣x）cm，BQ＝2xcm，CQ＝（12﹣2x）cm，利用分割图形求面积法结合△DPQ的面积为31cm2，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论． 【解答】解：设运动x秒钟后△DPQ的面积为31cm2，则AP＝xcm，BP＝（6﹣x）cm，BQ＝2xcm，CQ＝（12﹣2x）cm， S△DPQ＝S矩形ABCD﹣S△ADP﹣S△CDQ﹣S△BPQ， ＝， ＝， ＝x2﹣6x+36＝31， 解得：x1＝1，x2＝5． 故运动1秒或5秒后△DPQ的面积为31cm2． 故答案为：1或5． 13．如图，在长方形ABCD中，AD＝3，AB＝2，BF＝DE，则CE+DF的最小值是　　 ． 【分析】延长CB到点M，使得BM＝CD，连接DM，证明△ECD≌△FMB（SAS）转化得到DF+FM≥DM，当D，F，M三点共线时，CE+DF取得最小值，勾股定理解答即可． 【解答】解：如图，在长方形ABCD中，AD＝3，AB＝2，延长CB到点M，使得BM＝CD，连接DM， ∴∠MBF＝∠CDE＝∠DCM＝90°，AB＝CD＝CM＝2，BC＝AD＝3， ∴CM＝BC+BM＝3+2＝5， 在△ECD和△FMB中， ， ∴△ECD≌△FMB（SAS）， ∴CE＝MF， 连接DM， ∵DF+FM≥DM， ∴DF+CE≥DM， 故当D，F，M三点共线时，DF+CE取得最小值， 在直角三角形CDM中，由勾股定理得最小值为：， 故答案为：． 14．如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，将CD沿射线CA的方向平移，点C、D分别与点O、E重合，连接AE，若∠1＝α，则∠E＝　90°﹣α　 ．（请用含α的式子表示） 【分析】由矩形性质得OA＝OC＝OD，∠BCD＝90°，由此得∠ODC＝∠OCD，进而得∠ODC＝∠OCD＝90°﹣α，再由平移性质得OE＝CD，OE∥CD，继而得∠AOE＝∠OCD，由此依据“SAS”判定△AOE和△OCD全等得∠E＝∠ODC，据此可得∠E的度数． 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，对角线相交于点O， ∴OA＝OC＝OD，∠BCD＝90°， ∴∠ODC＝∠OCD， ∵∠BCD＝∠1+∠OCD＝90°，∠1＝α， ∴∠OCD＝90°﹣α， ∴∠ODC＝∠OCD＝90°﹣α， 由平移性质得：OE＝CD，OE∥CD， ∴∠AOE＝∠OCD， 在△AOE和△OCD中， ， ∴△AOE≌△OCD（SAS）， ∴∠E＝∠ODC＝90°﹣α， 故答案为：90°﹣α． 15．如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，点E在AD边上，连接并延长EO交BC于点F．若AB＝2，∠BAD＝60°，则△DOE与△COF的面积之和为 　　 ． 【分析】根据菱形性质得OD＝OB，OA＝OC，AD∥CB，AC⊥BD，∠BAO＝∠BAD＝30°，在Rt△AOB中，根据∠BAO＝30°得OD＝OB＝1，OA＝√3，进而得S△AOD＝OA•OD＝，再证明△OAE和△OCF全等得S△OAE＝S△OCF，由此得S△DOE+S△COF＝S△AOD，据此可得出答案． 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴OD＝OB，OA＝OC，AD∥CB，AC⊥BD，∠BAO＝1/2∠BAD， ∴△AOB和△AOD都是直角三角形， ∵∠BAD＝60°， ∴∠BAO＝∠BAD＝30°， 在Rt△AOB中，AB＝2，∠BAO＝30°， ∴OB＝AB＝1， 由勾股定理得：OA＝＝＝， ∴OD＝OB＝1， ∴S△AOD＝OA•OD＝＝， ∵AD∥CB， ∴∠OAE＝∠OCF，∠OEA＝∠OFC， 在△OAE和△OCF中， ， ∴△OAE≌△OCF（AAS）， ∴S△OAE＝S△OCF， ∴S△DOE+S△COF＝S△DOE+S△OAE＝S△AOD＝． 即△DOE与△COF的面积之和为． 故答案为：． 16．如图，在矩形ABCD中，AB＝9，AD＝4．E为CD边上一点，CE＝6，连接AE．点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿着边BA向终点A运动，连接PE．设点P运动的时间为t秒，当t为 　或6　 时，△PAE为直角三角形． 【分析】先求出DE＝3，则由勾股定理得AE＝5，依题意得BP＝t，则PA＝9﹣t，再由∠PAE＜∠BAD＝90°得当△PAE是直角三角形时，有以下两种情况：①当∠PEA＝90°时，过点P作PF⊥CD于点F，则四边形PFCB是矩形，进而得PF＝BC＝4，CF＝BP＝t，EF＝6﹣t，在Rt△PEF和△PAE中，由勾股定理得42+（6﹣t）2＝（9﹣t）2﹣52，由此可得t的值；②当∠APE＝90°时，则四边形PEDA是矩形，进而得PA＝DE＝3，则9﹣t＝3，由此可得t的值，综上所述即可得出答案． 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，且AB＝9，AD＝4， ∴CD＝AB＝9，BC＝AD＝4，∠BAD＝∠B＝∠C＝∠D＝90°， ∵E为CD边上一点，CE＝6， ∴DE＝CD﹣CE＝3， 在Rt△ADE中，由勾股定理得：AE＝＝＝5， 依题意得：BP＝t， ∴PA＝AB﹣BP＝9﹣t， ∵∠PAE＜∠BAD＝90°， ∴当△PAE是直角三角形时，有以下两种情况： ①当∠PEA＝90°时，过点P作PF⊥CD于点F，如图1所示： ∴∠PFC＝∠PFE＝∠B＝∠C＝90°， ∴四边形PFCB是矩形， ∴PF＝BC＝4，CF＝BP＝t， ∴EF＝CE﹣CF＝6﹣t， 在Rt△PEF和△PAE中，由勾股定理得：PE2＝PF2+EF2＝PA2﹣AE2， ∴42+（6﹣t）2＝（9﹣t）2﹣52， 解得：t＝； ②当∠APE＝90°时，如图2所示： ∴∠APE＝∠BAD＝∠D＝90°， ∴四边形PEDA是矩形， ∴PA＝DE＝3， ∴9﹣t＝3， 解得：t＝6， 综上所述：当t为或6时，△PAE为直角三角形． 故答案为：或6． 三．解答题（共10小题） 17．如图，在菱形ABCD中，点E、F分别在边BC、DC上，连接AE、AF，分别交对角线BD于点M、N，∠AEB＝∠AFD．求证：BM＝DN． 【分析】由菱形的性质和三角形内角和定理推出∠BAE＝∠DAF，再证明△ABM≌△ADN（ASA），即可得到BM＝DN． 【解答】证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝AD，∠ABC＝∠ADC，∠ABM＝∠ADN， ∵∠AEB＝∠AFD， ∴∠BAE＝∠DAF， ∴△ABM≌△ADN（ASA）， ∴BM＝DN． 18．如图，在矩形ABCD中，AE平分∠BAD交CD于点E，连接BE，点F为BE的中点，连接CF，若AB＝3，AD＝2，求CF的长． 【分析】先证明AD＝DE，进而求出CE的长，勾股定理求出BE的长，斜边上的中线求出CF的长即可． 【解答】解：∵矩形ABCD，AB＝3，AD＝2， ∴CD＝AB＝3，∠BCD＝90°，AB∥CD，BC＝AD＝2， ∴∠DEA＝∠BAE， ∵AE平分∠BAD， ∴∠DAE＝∠BAE， ∴∠DAE＝∠DEA， ∴DE＝AD＝2， ∴CE＝CD﹣DE＝1， 在Rt△BCE中，， ∵点F为BE的中点， ∴． 19．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，AB＝BC，∠D＝45°，CD的垂直平分线交CD于E，交AD于F，交BC的延长线于G，若AD＝a． （1）求证：四边形ABCF是正方形； （2）求BG的长． 【分析】（1）先根据∠B＝∠A＝∠AFC＝90°，判定四边形ABCF是矩形，再根据AB＝BC，即可得到四边形ABCF是正方形； （2）先判定△CEG≌△DEF（AAS），得出CG＝FD，再根据正方形ABCF中，BC＝AF，即可得到AF+FD＝BC+CG，即AD＝BG＝a． 【解答】解：（1）∵CD的垂直平分线交CD于E，交AD于F， ∴FC＝FD， ∴∠D＝∠FCD＝45°， ∴∠CFD＝90°，即∠AFC＝90°， 又∵AD∥BC，∠A＝90°， ∴∠B＝90°， ∴四边形ABCF是矩形， 又∵AB＝BC， ∴四边形ABCF是正方形； （2）∵FG垂直平分CD， ∴CE＝DE，∠CEG＝∠DEF＝90°， ∵BG∥AD， ∴∠G＝∠EFD， 在△CEG和△DEF中， ， ∴△CEG≌△DEF（AAS）， ∴CG＝FD， 又∵正方形ABCF中，BC＝AF， ∴AF+FD＝BC+CG， ∴AD＝BG＝a． 20．如图，在菱形ABCD中，点P是AD边的中点，延长CD至Q，使得DQ＝AD，连接BP，AQ，求证：∠Q＝∠APB． 【分析】根据菱形的性质及角的等量代换得到∠BAP＝∠ADQ，进而证得DQ＝AP，再证明△ADQ≌△BAP（SAS），即可得证． 【解答】证明：∵菱形ABCD， ∴AB∥CD，AB＝AD， ∴∠BAP+∠ADC＝180°， ∵∠ADC+∠ADQ＝180°， ∴∠BAP＝∠ADQ， ∵点P是AD边的中点， ∴AP＝PD＝AD， ∵DQ＝AD， ∴DQ＝AP， 在△ADQ和△BAP中， ， ∴△ADQ≌△BAP（SAS）， ∴∠Q＝∠APB． 21．如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AB∥DC，AB＝BC，BD平分∠ABC，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE． （1）求证：四边形ABCD是菱形； （2）若，OE＝8，求BD的长． 【分析】（1）根据BD平分∠ABC得到∠CBD＝∠DBA，证明∠CBD＝∠CDB，得到AB＝CD，证明四边形ABCD是平行四边形，再根据AB＝BC即可得到结论； （2）根据菱形的性质得到BD⊥AC，OA＝OC，BO＝DO，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半得到OE＝OA＝OC＝8，根据勾股定理，在Rt△BOC中，求得OB＝4，即可得到答案． 【解答】（1）证明：∵BD平分∠ABC， ∴∠DBA＝∠CBD， ∵AB∥CD， ∴∠DBA＝∠CDB， ∴∠CDB＝∠CBD， ∴BC＝CD， ∵AB＝BC， ∴AB＝CD， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵AB＝BC， ∴四边形ABCD是菱形； （2）解：∵四边形ABCD是菱形， ∴OA＝OC，BO＝DO，BD⊥AC， ∵CE⊥AB， ∴∠CEA＝90°， 在Rt△ACE中，O是AC的中点， ∴OE＝OA＝OC＝8， ∴AC＝2OE＝16， ∵， 在Rt△BOC中，， ∵OB＝OD， ∴BD＝2OB＝8． 22．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，分别过点B，D作BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分别为点E、F． （1）求证：四边形BEDF是平行四边形； （2）四边形BEDF能否是菱形？简要说明你的理由； （3）若DF＝EF，CE＝7，AB＝13，求平行四边形ABCD的面积． 【分析】（1）由BE⊥AC于点E，DF⊥AC于点F，得BE∥DF，∠CEB＝∠AFD＝90°，由平行四边形的性质得CB∥AD，且CB＝AD，则∠BCE＝∠DAF，即可根据“AAS”证明△BCE≌△DAF，得BE＝DF，则四边形BEDF是平行四边形； （2）由BE⊥AC于点E，得BE＜BF，即BE≠BF，可知四边形BEDF不能是菱形； （3）由全等三角形的性质得CE＝AF＝7，BE＝DF，因为DF＝EF，所以BE＝EF，则AE＝7+EF＝7+BE，由∠AEB＝90°，AB＝13，根据勾股定理得（7+BE）2+BE2＝132，求得BE＝5，则BE＝DF＝EF＝5，求得AC＝19，则S△ABC＝S△CDA＝，所以S平行四边形ABCD＝2S△ABC＝95． 【解答】（1）证明：∵BE⊥AC于点E，DF⊥AC于点F， ∴BE∥DF，∠CEB＝∠AFD＝90°， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴CB∥AD，且CB＝AD， ∴∠BCE＝∠DAF， 在△BCE和△DAF中， ， ∴△BCE≌△DAF（AAS）， ∴BE＝DF， ∴四边形BEDF是平行四边形． （2）解：四边形BEDF不能是菱形， 理由：∵四边形BEDF是平行四边形， ∴点E与点F不能重合， ∵BE⊥AC于点E， ∴BE＜BF， ∴BE≠BF， ∴四边形BEDF不能是菱形． （3）解：由（1）得△BCE≌△DAF， ∴CE＝AF＝7，BE＝DF， ∵DF＝EF，AB＝13， ∴BE＝EF， ∴AE＝7+EF＝7+BE， ∵∠AEB＝90°， ∴AE2+BE2＝AB2， ∴（7+BE）2+BE2＝132， 解得BE＝5或BE＝﹣12（不符合题意，舍去）， ∴BE＝DF＝EF＝5， ∴AC＝CE+AF+EF＝7+7+5＝19， ∴S△ABC＝S△CDA＝×19×5＝， ∴S平行四边形ABCD＝2S△ABC＝2×＝95， ∴平行四边形ABCD的面积为95． 23．如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且点O是AC的中点，点E，F在AC上，且AE＝CF，DF∥EB． （1）求证：△BOE≌△DOF； （2）若，则四边形ABCD是什么特殊四边形？请说明理由． 【分析】（1）由点O是AC的中点，得到AO＝CO，求得OE＝OF，根据平行线的性质得到∠ODF＝∠OBE，根据全等三角形的判定定理得到结论； （2）根据全等三角形的性得到OB＝OD，根据矩形的判定定理即可得到结论． 【解答】（1）证明：∵点O是AC的中点， ∴AO＝CO， ∵AE＝CF， ∴OE＝OF， ∵DF∥EB， ∴∠ODF＝∠OBE， 在△BOE与△DOF中， ， ∴△BOE≌△DOF（AAS）； （2）解：四边形ABCD是矩形， 理由：∵△BOE≌△DOF， ∴OB＝OD， ∵AO＝OC， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵OD＝AC，OD＝BD， ∴AC＝BD， ∴四边形ABCD是矩形． 24．如图，四边形ABCD是正方形，点E为ABCD内一点，将BE绕点B顺时针旋转90°得到BF，连接EF、AE、CF，EF与CB交于点G． （1）求证：AE＝CF； （2）若∠ABE＝55°，求∠EGC的大小． 【分析】（1）根据旋转的性质，可得BE与BF的关系，根据余角的性质，可得∠ABE与∠CBF的关系，根据全等三角形的判定与性质，可得答案； （2）根据旋转的性质，可得BE与BF的关系，根据等腰直角三角形的性质，可得∠BEG根据三角形外角的性质，可得答案． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC，∠ABC＝90°． ∵BE绕点B顺时针旋转90°得到BF， ∴BE＝BF，∠EBF＝90°． ∵∠ABE+∠EBG＝90°，∠CBF+∠EBG＝90°， ∴∠ABE＝∠CBF． 在△ABE和△CBF中， ， ∴△ABE≌△CBF （SAS）， ∴AE＝CF； （2）解：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ABC＝90°． ∵∠ABE＝55°， ∴∠EBG＝90°﹣55°＝35° ∵BE绕点B顺时针旋转90°得到BF， ∴BE＝BF，∠EBF＝90°， ∴∠BEG＝∠BFG＝45°． ∵∠EGC是△BEG的外角， ∴∠EGC＝∠EBG+∠BEG＝35°+45°＝80°． 25．如图1，点E、F分别在菱形ABCD的边BC、CD上，且BE＝DF． （1）求证：∠BAE＝∠DAF； （2）如图2，若∠EAF＝∠B，连接EF，M是EF中点，连接AM，在不添加字母和任何辅助线的情况下，直接写出图中的所有直角三角形． 【分析】（1）根据菱形的性质得到AB＝AD，∠B＝∠D，根据全等三角形的判定和性质得到∠BAE＝∠DAF； （2）根据全等三角形的性质得到AE＝AF，根据等腰三角形的性质得到AM⊥EF，求得∠AME＝∠AMF＝90°，根据菱形的性质得到∠B+∠C＝180°，求得∠AEC＝∠AFC，于是得到结论． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝AD，∠B＝∠D， 在△BAE与△DAF中， ， ∴△BAE≌△DAF（SAS）， ∴∠BAE＝∠DAF； （2）解：由（1）知，△BAE≌△DAF， ∴AE＝AF， ∵M是EF中点， ∴AM⊥EF， ∴∠AME＝∠AMF＝90°， ∴△AME，△AMF是直角三角形， ∵∠B+∠C＝180°， ∵∠B＝∠EAF， ∴∠EAF+∠C＝180°， ∴∠AEC+∠AFC＝180°， ∵∠AEB＝∠AFD， ∴∠AEC＝∠AFC， ∴∠AEC+∠AFC＝180°＝90°， ∴△AEB和△AFD是直角三角形， 故图中的所有直角三角形是△AME，△AMF，△AEB，△AFD． 26．阅读下面的例题及点拨，并解决问题： 如图①，在等边△ABC中，M是BC边上一点（不含端点B，C），N是△ABC的外角∠ACH的平分线上一点，且AM＝MN．求证：∠AMN＝60°． （1）点拨：如图②，作∠CBE＝60°，BE与NC的延长线相交于点E，得等边△BEC，连接EM．易证：△ABM≌△EBM（SAS），请完成剩余证明过程： （2）拓展：如图③，在正方形A1B1C1D1中，M1是B1C1边上一点（不含端点B1，C1），N1是正方形A1B1C1D1的外角∠D1C1H1的平分线上一点，且A1M1＝M1N1．求证：∠A1M1N1＝90°． 【分析】（1）作∠CBE＝60°，BE与NC的延长线相交于点E，得等边△BEC，连接EM，易证△ABM≌△EBM（SAS），可得AM＝EM，∠1＝∠2；又AM＝MN，则EM＝MN，可得∠3＝∠4；由∠3+∠1＝∠4+∠5＝60°，进一步可得∠1＝∠2＝∠5．又因为∠2+∠6＝120，所以∠5+∠6＝120°，所以∠AMN＝60°； （2）延长AB至E，使EB＝AB，连接EMC、EC，则EB＝BC，∠EBM中＝90°＝∠ABM，得出△EBC是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质得出∠BEC＝∠BCE＝45°，证出∠BCE+∠MCN＝180°，得出E、C、N，三点共线，由SAS证明△ABM≌△EBM得出AM＝EM，∠1＝∠2，得出EM＝MN，由等腰三角形的性质得出∠3＝∠4，证出∠1＝∠2＝∠5，得出∠5+∠6＝90°，即可得出结论． 【解答】证明：（1）点拨：如图2，作∠CBE＝60°，BE与NC的延长线相交于点E，得等边△BEC，连接EM， 易证△ABM≌△EBM（SAS）， ∴AM＝EM，∠1＝∠2； ∵AM＝MN， ∴EM＝MN， ∴∠3＝∠4； ∵∠3+∠1＝∠4+∠5＝60°， ∴∠1＝∠2＝∠5． ∵∠2+∠6＝120， ∴∠5+∠6＝120°， ∴∠AMN＝60°； （2）拓展：延长AB至E，使EB＝AB，连接EMC、EC，如图所示： 则EB＝BC，∠EBM中＝90°＝∠ABM， ∴△EBC是等腰直角三角形， ∴∠BEC＝∠BCE＝45°， ∵N是正方形ABCD的外角∠DCH的平分线上一点， ∴∠MCN＝90°+45°＝135°， ∴∠BCE+∠MCN＝180°， ∴E、C、N，三点共线， 在△ABM和△EBM中， ， ∴△ABM≌△EBM（SAS）， ∴AM＝EM，∠1＝∠2， ∵AM＝MN， ∴EM＝MN， ∴∠3＝∠4， ∵∠2+∠3＝45°，∠4+∠5＝45°， ∴∠1＝∠2＝∠5， ∵∠1+∠6＝90°， ∴∠5+∠6＝90°， ∴∠AMN＝180°﹣90°＝90°． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $