第2章 相交线与平行线 习题课件 2025-2026学年北师大版数学七年级下册

该初中数学课件聚焦“相交线与平行线”章节中的对顶角、补角和余角，通过光线折射、三角尺摆放等生活实例及泰勒斯发现对顶角相等的历史背景导入，衔接直线位置关系旧知，为后续平行线学习搭建知识支架。 其亮点在于以情境化题目（如光的折射角度计算）培养几何直观，通过对顶角相等论证、余角补角关系推导发展推理意识，分层练习题（选择、解答题）提升运算能力与应用意识，助力学生用数学眼光观察现实，教师可借点拨优化教学，提高课堂效率。

第二章　相交线与平行线 2 探索直线平行的条件 第2课时 利用内错角、同旁内角判定两直线平行 返回 1．如图所示，下列说法中正确的有(　　) ①∠A与∠B是同旁内角； ②∠2与∠1是内错角； ③∠A与∠C是内错角； ④∠A与∠1是同位角． A．1个　 B．2个　 C．3个 D．4个 C 2 2．如图，下列能判定AB∥CD的条件有(　　) ①∠B＋∠BCD＝180°；②∠1＝∠2； ③∠3＝∠4；④∠B＝∠5. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3 返回 【点拨】①利用同旁内角互补判定两直线平行，正确；②利用内错角相等判定两直线平行．因为∠1＝∠2，所以AD∥BC，而不能判定AB∥CD，故错误；③利用内错角相等判定两直线平行，正确；④利用同位角相等判定两直线平行，正确．故选C. 【答案】 C 3. [观察·交流]如图，将三个相同的三角尺不重叠不留空隙地拼在一起，观察图形，在线段AB，AC，AE，ED，EC，DB中，相互平行的线段有(　　) A．4组 B．3组 C．2组 D．1组 5 返回 【点拨】∠B＝∠DCE，则AB∥EC(同位角相等，两直线平行)；∠BCA＝∠CAE，则AE∥DB(内错角相等，两直线平行)；∠ACE＝∠DEC，则AC∥ED(内错角相等，两直线平行)．互相平行的线段有：AE∥DB，AB∥EC，AC∥ED，共3组．故选B. 【答案】 B 4. 如图，________是∠1和∠6的同位角，________是∠1和∠6的内错角，________是∠6的同旁内角． ∠3 返回 ∠5 ∠4 7 5. 如图，在四边形ABCD中，点F在AD的延长线上，点E在AB的延长线上，如果添加一个条件，使AB∥DC，那么可添加的条件为_____________________________． (写出一个即可) 返回 ∠ADC＋∠A＝180°(答案不唯一) 8 返回 6．如图是一个由4条射线构成的“鱼”形图案，∠1＝50°，∠2＝50°，∠3＝130°.找出图中所有的平行线，并说明理由． 【解】BF∥CE，BC∥EF.理由 如下：因为∠1＝50°，∠2＝50°，所以∠1＝∠2，所以BF∥CE.因为∠2＝50°，∠3＝130°，所以 ∠2＋∠3＝180°，所以BC∥EF. 9 7．如图，点O在直线AB上，F是DE上一点，连接OF，OC平分∠AOF，OD平分∠BOF. 10 (1)试说明：OC⊥OD； 11 (2)若∠D与∠1互余，试说明：ED∥AB. 【解】因为∠COD＝90°，所以∠1＋∠BOD＝90°.因为∠D与∠1互余，所以∠1＋∠D＝90°，所以∠D＝∠BOD，所以ED∥AB. 返回 12 8．下列各图中，能画出AB∥CD的是(　　)   A．①②③　 B．①②④ C．③④　 D．①②③④ 13 返回 【点拨】由同位角相等，两直线平行可知①③正确；由内错角相等，两直线平行可知②④正确． 【答案】 D 9．一次数学活动中，检验两条纸带①、②的边线是否平行，嘉嘉和淇淇采用两种不同的方法：嘉嘉将纸带①沿AB折叠，量得∠1＝∠2＝59°；淇淇将纸带②沿CD折叠，发现CN与CM重合，DQ与DP重合(点C在MN上，点D在PQ上)，展开后得到折痕CD，如图所示． 15 下列判断正确的是(　　)  A．只有纸带①的边线平行 B．只有纸带②的边线平行 C．纸带①，②的边线都平行 D．纸带①，②的边线都不平行 16 【点拨】如图①，因为∠1与∠3互为对顶角，所以∠1＝∠3＝59°.又因为∠1＝∠2＝59°，所以∠3＝∠2＝59°.所以∠4＝∠5＝180°－59°－59°＝62°.所以∠2≠∠4.所以纸带①的边线不平行； 返回 如图②，因为沿CD折叠，CN与CM重合，DQ与DP重合，所以∠MCD＝90°，∠PDC＝90°. 所以∠MCD＋∠PDC＝180°. 所以纸带②的边线平行．故选B. 【答案】 B 10．如图是由五个同样的三角形组成的图案，三角形的三个角分别为36°，72°，72°，则图中共有________对平行线． 5 19 返回 【点拨】如图，因为∠BAJ＝∠AIE＝72°，所以AB∥EH.因为∠BFC＝∠FCD＝72°，所以BJ∥CD.因为∠CBF＝∠BJA＝72°，所以BC∥AI.因为∠EDG＝∠CGD＝72°，所以DE∥CF. 因为∠AEH ＝∠EHD＝72°， 所以AE∥DG.故共有5对平行线． 11．将一块三角板ABC(∠BAC＝90°，∠ABC＝30°)按如图方式放置，使A，B两点分别落在直线m，n上．对于给出的五个条件：①∠1＝25.5°，∠2＝55°30′；②∠2＝2∠1；③∠1＋∠2＝90°；④∠ACB＝∠1＋∠2；⑤∠ABC＝∠2－∠1.能判定直线 m∥n的有________．(填序号) ①⑤ 21 返回 【点拨】①因为∠1＝25.5°，∠1＋∠ABC＝55.5°＝∠2＝55°30′，所以m∥n；②没有指明∠1的度数，当∠1≠30°时，∠2≠∠1＋30°，此时直线m与n不平行，故∠2＝2∠1不能判定直线m∥n；③∠1＋∠2＝90°不能判定直线m∥n；④∠ACB＝∠1＋∠2不能判定直线m∥n；⑤∠ABC＝∠2－∠1，则∠2＝∠ABC＋∠1，能判定直线m∥n.故答案为①⑤. 12．直线AB和CD被直线MN所截，MN分别交AB，CD于点E，F. (1)如图①，EG平分∠BEF，FH平分∠DFE(平分的是一对同旁内角)，则∠1与∠2满足______________时，AB∥CD； 【点拨】因为EG平分∠BEF，FH平分∠DFE，所以∠BEF＝2∠1，∠DFE＝2∠2.又因为∠1＋∠2＝90°，所以∠BEF＋∠DFE＝2(∠1＋∠2)＝180°.所以AB∥CD. ∠1＋∠2＝90° 23 (2)如图②，EG平分∠MEB，FH平分 ∠DFE(平分的是一对同位角)，则 ∠1与∠2满足_________时， AB∥CD； 【点拨】因为EG平分∠MEB，FH平分∠DFE，所以∠MEB＝2∠1，∠DFE＝2∠2.又因为∠1＝∠2，所以∠MEB＝∠DFE.所以AB∥CD. ∠1＝∠2 24 (3)如图③，EG平分∠AEF，FH平分∠DFE(平分的是一对内错角)，则∠1与∠2满足什么条件时，AB∥CD.为什么？ 【解】当∠1＝∠2时，AB∥CD. 理由：因为EG平分∠AEF，FH平分∠DFE， 所以∠AEF＝2∠1，∠DFE＝2∠2. 又因为∠1＝∠2，所以∠AEF＝∠DFE. 所以AB∥CD. 返回 25 13. (1)光线从空气斜射入水中会产生折射现象，同时光线从水中斜射入空气也会产生折射现象．如图①，光线AB从空气射入水中，再从水中射入空气，形成光线CD，根据光学知识有∠1＝∠2，∠3＝∠4， 请判断直线AB与直线CD是否平行，并 说明理由． 【解】AB∥CD.理由如下：如图①，  因为∠3＋∠5＝180°，∠4＋∠6＝180°，∠3＝∠4， 所以∠5＝∠6， 又因为∠1＝∠2， 所以∠1＋∠5＝∠2＋∠6， 即∠ABC＝∠BCD.所以AB∥CD. (2)如图②，直线EF上有两点A，C，分别引射线AB，CD，∠BAF＝110°，∠DCF＝40°，射线AB，CD分别绕点A，C以每秒1°和每秒4°的速度同时顺时针转动． 设时间为t，在射线CD转动一周的时间内， 是否存在某时刻，使得CD与AB平行？若存 在，直接写出所有满足条件的时间t，若不 存在，请说明理由． 【解】存在，当t为10秒或70秒时，CD∥AB. 【点拨】分三种情况讨论：①如图②，当AB，CD在EF的两侧时，因为转动前∠BAF＝110°，∠DCF＝40°，所以转动后∠ACD＝180°－40°－(4t)°＝140°－(4t)°，∠BAC＝110°－t°.要使AB∥CD，则转动后需满足 ∠ACD＝∠BAF，所以140°－(4t)°＝110°－ t°，解得t＝10秒，(180°－40°)÷4°＝35(秒)， 所以0秒<t<35秒，故t＝10秒符合题意； ②如图③，当AB，CD都在EF的右侧时，易得转动后∠DCF＝360°－(4t)°－40°＝320°－(4t)°，∠BAC＝110°－t°，要使AB∥CD，则转动后需满足∠DCF＝∠BAC，所以320°－(4t)°＝110°－t°，解得t＝70秒，因为(360°－40°)÷4＝80(秒)，所以35秒<t<80秒，故t＝70秒符合题意； 返回 ③如图④，当AB，CD都在EF的左侧时，易得转动后∠DCF＝(4t)°－(360°－40°)＝(4t)°－320°，∠BAC＝t°－110°，要使AB∥CD，则转动后需满足∠DCF＝∠BAC，所以(4t)°－320°＝t°－110°，解得t＝70秒，而此时t>80秒，故此情况不存在．综上所述，当t为10秒或70秒时，CD与AB平行． 【解】因为OC平分∠AOF，OD平分∠BOF， 所以∠COF＝∠AOF，∠DOF＝∠BOF. 因为∠AOF＋∠BOF＝180°， 所以∠COD＝∠COF＋∠DOF＝(∠AOF＋∠BOF)＝90°，所以OC⊥OD. $ 第二章　相交线与平行线 1 两条直线的位置关系 第2课时 垂线 返回 1．如图，直线AB与CD相交于点O.下列说法不正确的是(　　) A．若∠AOC＝90°，则AB⊥CD B．若AB⊥CD，垂足为O，则∠BOD＝90° C．当∠COB＝90°时，称直线AB与直线CD互相垂直 D．AB与CD相交于点O，点O为垂足 D 2 2．利用三角尺，过直线l外的点P作直线l的垂线，下列各图中，三角尺操作正确的是(　　) C 返回 3 3．在跳远比赛中，某同学从点C处起跳后，在沙池留下的脚印如图所示，测量线段AB的长度作为他此次跳远成绩(最近着地点到起跳线的最短距离)，依据的数学原理是(　　) A．垂线段最短　 B．两点确定一条直线 C．两点之间，线段最短　 D．以上都不对 返回 A 4 4. 如图是集热板示意图，集热板与太阳光线垂直时，光能利用率最高．春分日兰州正午太阳光线与水平面的夹角β为54°.若使光能利用率最高，则集热板与水平面夹角α的度数是(　　) A．26°　 B．30°　 C．36°　 D．54° C 返回 5 5．如图，∠BAC＝90°，AD⊥BC，垂足为D，则下列说法：①AB与AC互相垂直；②AD与AC互相垂直；③点C到AB的垂线段是线段AB；④点A到BC的距离是线段AD的长度；⑤线段AB的长度是点B到AC的距离；⑥线段AB是点B到AC的距离．其中正确的有(　　) A．2个　　 B．3个　 C．4个 D．5个 返回 B 6 返回 6．如图所示，若BO⊥OA，CO⊥OA，则直线OB与OC_______，其理由是___________________________ _________________________. 重合 在同一平面内，过一点有且只 有一条直线与已知直线垂直 7 7. 作图并回答： (1)如图，点P在∠AOB的边OA上． ①过点P作OA的垂线交OB于点C. ②作点P到OB的垂线段PM. 【解】①如图所示，PC即为所求． ②如图所示，PM即为所求． 8 (2)上述作图中，线段________的长度表示点P到OB的距离； (3)线段PM，PC与OC的大小关系是____________(用“<”连接)，判断依据是_________________________________ ___________________. PM 返回 PM<PC<OC 直线外一点与直线上各点连接的所有 线段中，垂线段最短 9 8．如图，A点表示一个村庄，MN表示一条河道．某测绘队在河道MN上选一点P，测量∠APN的度数与线段AP的长度如下表所示： ∠APN的度数 52.3° 69.3° 88.8° 93.5° 105.8° 117.8° AP的长度/m 693 587 549 550 570 620 10 则下面说法正确的是(　　) A．村庄A到河道MN的距离等于549 m B．村庄A到河道MN的距离小于549 m C．村庄A到河道MN的距离大于549 m D．村庄A到河道MN的距离等于550 m 11 返回 【点拨】当 AP⊥MN时，AP的长为村庄A到河道MN的距离．因为90°＞88.8°，所以村庄A到河道MN的距离小于549 m．故选B. 【答案】B 9．[2025嘉兴月考]如图，一副三角尺的两个直角顶点C，F叠放在一起，其中∠A＝30°，∠B＝60°，∠D＝∠E＝45°，三角尺ABC不动，三角尺DEF可绕点C旋转，有下列结论：①∠BCE＋∠ACD随∠ACD的变化而变化；②当∠BCE＝3∠ACD时，DE一定垂直于AC. 下列说法正确的是(　　) A．①正确，②正确 B．①错误，②正确 C．①正确，②错误 D．①错误，②错误 13 【点拨】①如图①，因为∠BCE＝∠ACB＋∠ACE＝90°＋∠ACE，所以∠BCE＋∠ACD＝90°＋∠ACE＋∠ACD＝90°＋90°＝180°.如图②，∠BCE＋∠ACD＝360°－∠ACB－∠DCE＝360°－90°－90°＝180°.综上，∠BCE＋∠ACD＝180°， 是定值，故①错误． ②设∠ACD＝α，则∠BCE＝3α.如图①，因为 ∠BCD＋∠ACE＝∠BCE－∠ACD，　 所以∠BCD＋∠ACE＝3α－α＝2α.因为∠BCD＝90°－∠ACD＝∠ACE，所以∠BCD＝∠ACE＝α＝∠ACD，所以∠ACD＝45°＝∠D，所以易得DE⊥AC. 返回 如图②，由①得∠BCE＋∠ACD＝180°，　 所以3α＋α＝180°，解得α＝45°，即∠ACD＝45°. 又因为∠D＝45°，所以∠ACD＝∠D， 所以AC∥DE.此时DE不垂直于AC， 故②错误．故选D. 【答案】D 10. 已知∠AOB＝35°，以O为顶点作射线OC，OD.若∠AOC＝2∠AOB，OD⊥OB，则∠COD的度数为____________________． 15°，55°，125°或165° 17 【点拨】分情况讨论： (1)OC，OD在直线OB同侧．  当OC，OD在直线OB上方时，如图①. 因为∠AOB＝35°，∠AOC＝2∠AOB， 所以∠AOC＝70°， 所以∠BOC＝∠AOC＋∠AOB＝105°. 因为OD⊥OB，所以∠BOD＝90°， 所以∠COD＝∠BOC－∠BOD＝15°； 18 当OC，OD在直线OB下方时，如图②. 因为∠AOB＝35°，∠AOC＝2∠AOB， 所以∠BOC＝∠AOB＝35°. 因为OD⊥OB， 所以∠BOD＝90°， 所以∠COD＝∠BOD－∠BOC＝55°； 19 (2)OC，OD在直线OB异侧． 当OC在直线OB上方、OD在直线OB下方时，如图③. 因为∠AOB＝35°，∠AOC＝2∠AOB，所以∠AOC＝70°.因为OD⊥OB，所以∠BOD＝90°， 所以∠COD＝ 360°－∠AOC－∠AOB－∠BOD＝165°； 20 当OC在直线OB下方、OD在直线OB上方时，如图④. 因为∠AOB＝35°，∠AOC＝2∠AOB， 所以∠BOC＝∠AOB＝35°. 因为OD⊥OB，所以∠BOD＝90°， 所以∠COD＝∠BOD＋∠BOC＝125°. 综上所述，∠COD的度数为15°，55°，125°或165°. 返回 21 11．如图，一辆汽车在直线公路AB上由A向B行驶，M，N分别是位于公路AB两侧的两所学校． 22 (1)汽车在公路上行驶时，会对两所学校教学都造成影响，当汽车行驶到何处时，分别对这两所学校的影响最大？请在图上标出来． 【解】如图，过点M作ME⊥AB，垂足为E，过点N作NF⊥AB，垂足为F.则当汽车行驶到E处时，对M学校影响最大；当汽车行驶到F处时，对N学校影响最大． 23 (2)当汽车由A向B行驶时，在哪一段上对两学校影响越来越大？在哪一段上对两学校影响越来越小？在哪一段上对M学校影响逐渐减小而对N学校影响逐渐增大？ 【解】当汽车由A向E行驶时，对两学校影响越来越大；当汽车由F向B行驶时，对两学校影响越来越小；当汽车由E向F行驶时，对M学校影响逐渐减小而对N学校影响逐渐增大． 返回 24 12. 定义：从∠α(90°＜∠α＜180°)的顶点出发，在角的内部作一条射线，若该射线将∠α分成的两个角中有一个角与∠α互为补角，则称该射线为∠α的“好线”． 25 如图，点O在直线AB上，OC，OD在直线AB上方，且OC⊥OD，射线OE是∠AOD的“好线”． (1)若∠BOD＝26°，且OE在∠COD内部，则∠COE＝________； 64° 26 (2)若OE恰好平分∠AOC，请求出∠BOD的度数； 27 (3)若OF是∠AOE的平分线，OG是∠BOC的平分线，请画出图形，探究∠EOF与∠DOG的数量关系，并说明理由． 【解】∠EOF＝2∠DOG或∠EOF＋∠DOG＝45°. 理由如下：如图①，当OE在∠AOC内部时， 因为∠AOD＋∠BOD＝180°， ∠AOE＋∠AOD＝180°，所以∠AOE＝∠BOD. 28 29 30 返回 31 【解】因为OE平分∠AOC，且OE是∠AOD的“好线”，所以∠AOE＝∠COE＝∠BOD. 所以∠BOD＝×(180°－90°)＝30°. 因为OF是∠AOE的平分线， 所以∠EOF＝∠AOE＝∠BOD. 因为OG是∠BOC的平分线，所以∠BOG＝∠BOC＝×(90°＋∠BOD)＝45°＋∠BOD.所以∠DOG＝∠BOG－∠BOD＝45°－∠BOD.所以∠EOF＋∠DOG＝45° 如图②，当OE在∠COD内部时，因为∠AOD＋∠EOD＝180°，∠AOD＋∠BOD＝180°，所以∠DOE＝∠BOD. 因为OF平分∠AOE，OG平分∠BOC， 所以∠EOF＝∠AOE，∠BOG＝∠BOC. 所以∠DOG＝∠BOC－∠BOD＝(90°＋∠BOD)－ ∠BOD＝45°－∠BOD，∠EOF＝∠AOE＝×(180°－2∠BOD)＝90°－∠BOD，所以∠EOF＝2∠DOG. 综上所述，∠EOF＝2∠DOG或∠EOF＋∠DOG＝45°. $ 第二章　相交线与平行线 3 平行线的性质 返回 1．[2025浙江]如图，直线a，b被直线c所截．若a∥b，∠1＝91°，则(　　) A．∠2＝91° B．∠3＝91° C．∠4＝91° D．∠5＝91° B 2 2．[2025长沙]如图，AB∥CD，直线EF与直线AB，CD分别交于点E，F，直线EG与直线CD交于点G.若∠1＝70°，∠2＝50°，则∠GEF的度数为(　　) A．50° B．60° C．65° D．70° B 返回 3 3．一副三角尺按照如图方式摆放，其中∠B＝30°，DE∥AB，则∠ACE的度数为(　　) A．5° B．10° C．15° D．25° 4 【点拨】设AB与CD交于点F.由题意可得∠D＝90°，∠ECD＝45°，∠A＝60°.因为DE∥AB，所以 ∠AFC＝∠D＝90°，所以∠ACF＝90°－∠A＝30°，所以∠ACE＝∠ECD－∠ACF＝45°－30°＝15°.故选C. 返回 【答案】 C 4．如图，∠1＝∠2＝40°，MN平分∠EMB，则∠3＝________. 110° 6 返回 5. 某乡要修建一条灌溉水渠，如图，水渠从A村沿北偏东65°方向到B村，从B村沿北偏西25°方向到C村，若水渠从C村保持与AB的方向一致修建，则∠1的度数为________°. 返回 90 8 6．如图，AD平分∠BAC，且与线段BC相交于点F，E是AC上一点，连接EF，∠D＝∠BAD，∠CEF＋∠ABD＝180°. 9 (1)请说明：AC∥BD； 【解】因为AD平分∠BAC，所以∠CAD＝∠BAD. 又因为∠D＝∠BAD，所以∠CAD＝∠D，所以AC∥BD. 10 返回 (2)请判断EF与AB的位置关系，并说明理由． 【解】EF∥AB. 理由：因为AC∥BD，所以∠BAC＋∠ABD＝180°. 又因为∠CEF＋∠ABD＝180°， 所以∠BAC＝∠CEF，所以EF∥AB. 11 7. 一种路灯的示意图如图所示，其底部支架AB与吊线FG平行，灯杆CD与底部支架AB所成锐角α＝15°，顶部支架EF与灯杆CD所成锐角β＝45°，则EF与 FG所成锐角的度数为(　　) A．60° B．55° C．50° D．45° 12 【点拨】如图，过点E作EH∥AB，因为AB∥FG，所以AB∥EH∥FG.所以∠BEH＝α＝15°，∠FEH＋∠EFG＝180°.因为β＝45°，所以∠FEH＝180°－45°－15°＝120°.所以∠EFG＝180°－∠FEH＝180°－120°＝60°.所以EF与FG所成锐角的度数为60°.故选A. 【答案】 A 返回 8. 如图，同学们将平行于凸透镜主光轴的红光AB和紫光CD射入同一个凸透镜，折射光线BM，DN交于点O，与主光轴分别交于点F2，F1，由此发现凸透镜的焦点略有偏差．若∠ABM＝165°，∠CDN＝160°，则∠F1OF2的度数为(　　) A．165° B．160° C．155° D．145° 14 【点拨】如图，连接BD，因为AB∥CD，所以∠ABD＋∠CDB＝180°.因为∠ABM＝165°，∠CDN＝160°，所以∠ABD＋∠OBD＋∠CDB＋∠ODB＝325°.所以∠OBD＋∠ODB＝325°－180°＝145°.所以∠BOD＝180°－145°＝35°.所以∠F1OF2＝180°－∠BOD＝180°－35°＝145°.故选D. 【答案】 D 返回 9．如图，将一条对边互相平行的纸带进行两次折叠，折痕分别为AB，CD，若CD∥BE，且∠1＝30°，则∠2的度数是________． 60° 16 【点拨】如图，由折叠的性质，可得∠3＝∠1＝30°.因为纸带对边互相平行， 所以∠4＝∠1＋∠3＝60°. 又因为AC∥BD， 所以∠EBD＝180°－∠4＝120°. 又因为CD∥BE， 所以∠2＝180°－∠EBD＝180°－120°＝60°. 返回 10. 已知∠ABC＝90°，点D在∠ABC的边AB上，∠EDF＝36°，且∠EDF的一边与BC平行，则∠ADE的度数为________________． 90°或54°或126° 18 【点拨】分三种情况讨论： ①如图①所示，当DE∥BC时，∠ADE＝∠ABC＝90°； 　　 ②如图②所示，当DF∥BC，且DE位于DF上方时， 因为DF∥BC，所以∠ADF＝∠ABC＝90°. 所以∠ADE＝∠ADF－∠EDF＝90°－36°＝54°； ③如图③所示，当DF∥BC，且DE位于DF下方时， 因为DF∥BC，所以∠ADF＝∠ABC＝90°， 所以∠ADE＝∠ADF＋∠EDF＝90°＋36°＝126°. 综上所述， ∠ADE的度数 为90°或54°或126°. 返回 11．如图，若AB∥CD∥EF∥GH，∠OAB＝∠AOG＝108°，AO⊥OE，CO⊥OG，则∠OCD＋∠OEF＝_________ (∠OCD，∠OEF均小于180°)． 288° 21 【点拨】如图，过点O作OM∥AB，所以∠BAO＋∠MOA＝180°.又因为∠BAO＝108°，所以∠MOA＝180°－108°＝72°.因为AO⊥OE，所以∠AOE＝90°.所以∠MOE＝90°－72°＝18°.因为∠AOG＝108°，所以∠EOG＝∠AOG－∠AOE＝108°－90°＝18°.因为CO⊥OG，所以∠COG＝90°， 所以∠MOC＝∠COG－∠MOE－∠EOG＝ 90°－18°－18°＝54°，所以易得∠OCD＋ ∠OEF＝(180°×2)－(54°＋18°)＝288°. 返回 12. 综合与探究． 已知AB∥CD，E，F分别是AB，CD上的点，点P在AB，CD之间，连接PE，PF. (1)如图①，若∠AEP＝45°，∠EPF＝80°，求∠PFC的度数． 23 【解】如图，过点P作PM∥AB，所以∠AEP＝∠1.因为AB∥CD，所以PM∥CD.所以∠2＝∠PFC.所以∠EPF＝∠1＋∠2＝∠AEP＋∠PFC. 因为∠AEP＝45°，∠EPF＝80°， 所以∠PFC＝∠EPF－∠AEP＝ 80°－45°＝35°. (2)如图②，∠AEP与∠CFP的平分线交于点Q，猜想∠EPF与∠EQF之间有何数量关系？并说明理由． 25 【解】 ∠EPF＝2∠EQF.理由：由(1)可知∠EPF＝∠AEP＋∠CFP，同理可得∠EQF＝∠AEQ＋∠CFQ.因为EQ，FQ分别平分∠AEP，∠CFP，所以 ∠AEP＝2∠AEQ，∠CFP＝2∠CFQ.所以∠EPF＝∠AEP＋∠CFP＝2∠AEQ＋2∠CFQ＝2(∠AEQ＋∠CFQ)＝2∠EQF. 返回 26 13．将三角尺ABC与三角尺ADE摆放在一起，AC与AE重合(如图①)，∠ABC＝∠ADE＝90°，∠BAC＝30°，∠DAE＝45°.固定三角尺ADE不动， 将三角尺ABC绕点A顺时针旋转180° 后停止，设三角尺ABC旋转得三角 尺AB′C′. (1)当边AE落在∠B′AC′内时(如图②)，∠DAC′－∠B′AE的度数为________； 【点拨】因为∠DAC′＝∠DAE－∠C′AE＝45°－∠C′AE，∠B′AE＝∠B′AC′－∠C′AE＝30°－∠C′AE， 所以∠DAC′－∠B′AE＝45°－∠C′AE－(30°－∠C′AE)＝15°. 15° (2)三角尺ABC绕点A旋转的速度为每秒5°，设旋转时间为t秒．若三角尺AB′C′的一边与三角尺ADE的某边平行(不包含重合情况)，请写出所有符合条件的t的值． 【解】如图①，当B′C′∥DE时，∠BAB′＝∠DAE＋∠BAC＝45°＋30°＝75°，所以t＝15； 如图②，当B′C′∥AE 时，∠CAB′＝∠AB′C′＝90°，所以∠BAB′＝∠CAB′＋∠BAC＝ 90°＋30°＝120°，所以t＝24； 如图③，当AC′∥DE时，∠DAC′＝∠ADE＝90°，所以∠BAB′＝∠BAC＋∠DAE＋∠DAB′＝∠BAC＋∠DAE＋(∠DAC′－∠C′AB′)＝ 30°＋45°＋(90°－30°)＝135°， 所以t＝27； 返回 如图④，当AB′∥DE时，∠B′AD＝∠ADE＝90°，所以∠BAB′＝∠B′AD＋∠DAE＋∠BAC＝90°＋45°＋30°＝165°，所以t＝33；如图⑤，当B′C′∥AD时，∠B′AD＝∠AB′C′＝90°，所以∠BAB′＝∠B′AD＋∠DAE＋∠BAC＝90°＋45°＋30°＝165°，所以t＝33. 综上，所有符 合条件的t的值 为15或24或27或33. 【点拨】因为∠2＝∠MEN，∠1＝∠2＝40°，所以 ∠1＝∠MEN，所以AB∥CD，所以∠3＋∠BMN＝180°.因为MN平分∠EMB，所以∠BMN＝×(180°－40°)＝70°，所以∠3＝180°－70°＝110°. $ 第二章　相交线与平行线 2 探索直线平行的条件 第1课时 利用同位角判定两直线平行 返回 1．如图，直线AB，CD，EF两两相交，下面不是同位角的是(　　) A．∠6和∠4 B．∠7和∠3 C．∠5和∠4 D．∠2和∠6 D 2 2. 如图，已知∠1＝90°，为保证两条铁轨平行，添加的下列条件中，正确的是(　　) A．∠2＝90° B．∠3＝90° C．∠4＝90° D．∠5＝90° C 返回 3 3．下列说法： ①不相交的两条直线是平行线； ②同位角相等，两直线平行； ③过一点有且只有一条直线与已知直线平行； ④若a∥b，b∥c，则a与c不相交． 其中正确的个数为(　　) A．1 B．2 C．3　 D．4 返回 B 4 4．如图，在同一平面内，经过直线a外一点O的4条直线中，与直线a相交的直线至少有(　　) A．4条 B．3条　 C．2条 D．1条 B 返回 5 5．如图，AB∥CD，过点E作EF∥AB，则EF与CD的位置关系是________，理由是 _______________________ _________． 返回 平行 平行于同一直线的两直线 互相平行 6 6．如图，已知AC⊥AE，BD⊥BF，∠1＝35°，∠2＝35°，AC与BD平行吗？AE与BF平行吗？补充完整下面的解答过程． 7 返回 解：因为∠1＝35°，∠2＝35°， 所以∠1＝∠2(____________)． 所以______∥______(_________________________)． 因为AC⊥AE，所以∠EAC＝90°. 所以∠EAB＝∠EAC＋∠1＝______． 同理可得∠FBG＝∠FBD＋∠2＝______． 所以∠EAB＝∠FBG. 所以______∥______(_______________________)． 等量代换 AC BD 同位角相等，两直线平行 125° 125° AE BF 同位角相等，两直线平行 8 7. 如图，在方格纸中，有两条线段AB，BC.利用方格纸完成以下操作： (1)过点A作BC的平行线AE. 【解】如图，AE即为所求． 9 (2)过点C作AB的平行线CF，与(1)中的平行线AE相交于点D. 【解】如图，CF和点D 即为所求． 10 (3)用符号表示出图中的一组平行线． 【解】AD∥BC.(答案不唯一) 返回 11 8．如图，能与∠α构成同位角的有(　　)  A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 B 返回 12 9．一辆汽车在笔直的公路上行驶，两次拐弯后，仍在原来的方向上平行前进，则两次拐弯的角度是(　　) A．第一次右拐80°，第二次左拐100° B．第一次左拐80°，第二次左拐100° C．第一次右拐80°，第二次右拐80° D．第一次左拐80°，第二次右拐80° 返回 D 13 10．如图，FA⊥MN于A，HC⊥MN于C，下列推理中错误的是(　　) A．由∠CAB＝∠NCD，得AB∥CD B．由∠DCG＝∠BAC，得AB∥CD C．由∠MAE＝∠ACG，∠DCG＝∠BAE，得AB∥CD D．由∠MAB＝∠ACD，得AB∥CD B 返回 14 11. 为响应国家新能源建设，某市公交站亭装上了太阳能电池板．当地某一季节的太阳光(平行光线)与水平线最大夹角为62°，如图，电池板AB与最大夹角时刻的太阳光线的夹角为90°，此时电池板CD与水平线夹角为48°，要使AB∥CD，需将电池板CD 逆时针旋转α(0°＜α＜90°)，则 α为________． 返回 20° 15 12．如图，直线l与直线AB，CD分别交于点E，F，∠1是它的补角的3倍，∠1－∠2＝90°.判断AB与CD的位置关系，并说明理由． 16 【解】AB∥CD.理由如下： 因为∠1是它的补角的3倍，∠1＋∠EFC＝180°. 所以∠1＝3∠EFC， 即∠1＋∠EFC＝4∠EFC＝180°. 所以∠EFC＝45°.所以∠1＝135°. 又因为∠1－∠2＝90°，所以∠2＝45°. 所以∠2＝∠EFC.所以AB∥CD. 返回 17 13．如图，∠ABC＝130°，AB⊥MN于点F，∠α＝40°，请你判断直线MN与直线ED的位置关系，并说明理由． 【解】MN∥ED.理由如下： 如图，过点B向点B右侧作BH⊥AB， 所以∠ABH＝90°.因为AB⊥MN，所以∠AFN＝90°. 所以∠AFN＝∠ABH.所以MN∥BH. 因为∠ABC＝130°， 所以∠HBD＝130°－90°＝40°. 又因为∠α＝40°，所以∠α＝∠HBD， 所以BH∥ED.所以MN∥ED. 返回 14. 定义：只有一组对角相等的四边形叫作等角四边形．如：在四边形ABCD中，若∠A＝∠C，且∠B≠∠D，则称四边形ABCD为等角四边形， 记作(A，C)等角四边形． (1)如图①，四边形ABCD是(A，C)等角四边 形，∠A＝80°，∠B＝65°，则∠D＝________°； 135 【点拨】因为四边形ABCD是(A，C)等角四边形，∠A＝80°，所以∠C＝∠A＝80°.又因为∠B＝65°，所以∠D＝360°－∠C－∠A－∠B＝135°. (2)如图②，四边形ABCD是(B，D)等角四边形，AE平分∠DAB，CF平分∠DCB，试说明：AE∥CF. 【解】因为四边形ABCD是(B，D)等角四边形，所以∠D＝∠B. 设∠D＝∠B＝α，因为在四边形ABCD中，∠DAB＋∠B＋∠DCB＋∠D＝360°，所以∠DAB＋∠DCB＝360°－2α. 因为AE平分∠DAB，CF平分∠DCB， 所以∠EAB＝∠DAB，∠BCF＝∠DCB. 所以∠EAB＋∠BCF＝(∠DAB＋∠DCB)＝180°－α. 因为在三角形BCF中，∠BCF＋∠CFB＋∠B＝180°， 所以∠BCF＋∠CFB＝180°－α. 所以∠EAB＝∠CFB.所以AE∥CF. $ 第二章　相交线与平行线 1 两条直线的位置关系 第1课时 对顶角、补角和余角 返回 1．下列说法正确的是(　　) A．不相交的两条直线是平行线 B．在同一平面内，不相交的两条射线叫作平行线 C．在同一平面内，两条直线不相交就重合 D．在同一平面内，没有公共点的两条直线是平行线 D 2 2．下列选项中，∠1和∠2是对顶角的是(　　) D 返回 3 3．如图，四条线段a，b，c，d中的一条与挡板另一侧的线段m平行，请借助直尺，判断该线段是(　　) A．a　 B．b　 C．c　 D．d 返回 C 4 4. 如图所示，有一个六边形零件，利用图中的量角器可以量出该零件内角的度数，则所量内角的度数为(　　) A．100° B．110° C．120° D．130° C 返回 5 5．若∠A的补角是102°，则∠A的余角为(　　) A．40°　 B．51°　 C．30°　 D．12° 返回 D 6 6．将一副三角尺按下列位置摆放，使∠1与∠2互为余角的摆放方式是(　　) 7 返回 【点拨】A.因为同角的余角相等，所以∠1＝∠2，但∠1与∠2不一定互余，故此选项不符合题意；B.因为∠1＋45°＝∠2＋45°＝180°，所以∠1＝∠2＝135°，即∠1与∠2不互为余角，故此选项不符合题意；C.因为∠1＋∠2＝180°，所以∠1与∠2不互为余角，故此选项不符合题意；D.因为∠1＋∠2＝180°－90°＝90°，所以∠1与∠2互为余角，故此选项符合题意．故选D. 【答案】 D 7．泰勒斯被誉为古希腊及西方第一位自然科学家和哲学家，据说“两条直线相交，对顶角相等”就是泰勒斯发现并论证的．论证“对顶角相等”使用的依据是________________． 同角的补角相等 9 返回 【点拨】如图，因为∠1＋∠2＝180°，∠3＋ ∠2＝180°，所以∠1＝∠3.所以论证“对顶角相等”使用的依据是同角的补角相等． 8. 当光线从空气斜射入水中时，光线的传播方向发生了变化，这种现象叫作光的折射．如图，MN为水面，直线AB⊥MN于点F，直线CD经过点F，一束光线沿CD射入水面，在点F处发生折射，沿FE射入水中，如果∠1＝42°，∠2＝30°，那么光的传播 方向改变了________°. 12 返回 11 9．如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠AOC. (1)若∠BOE＝145°，求∠AOC的度数． 【解】因为∠BOE＋∠AOE＝180°，∠BOE＝145°，所以∠AOE＝180°－145°＝35°.又因为OE平分∠AOC， 所以∠AOC＝2∠AOE＝70°. 12 (2)在图中画OE的反向延长线OF，OF是∠BOD的平分线吗？并说明理由． 【解】如图，OF即为所求． OF是∠BOD的平分线．理由如下： 由(1)知∠AOC＝2∠AOE， 又因为∠AOE＝∠BOF，∠AOC＝∠BOD， 所以∠BOD＝2∠BOF，所以OF是∠BOD的平分线． 13 (3)在(2)画得的图形中，与∠BOE互补的角有________个． 返回 【点拨】因为∠BOE＋∠AOE＝180°，所以∠AOE是∠BOE的补角．易知∠AOE＝∠COE＝∠BOF＝∠DOF，所以∠AOE，∠COE，∠BOF，∠DOF都是∠BOE的补角，共有4个． 4 14 10．如图，直线AB与CD相交于点D，∠CDB＝90°，∠1＝∠2，则图中互补的角有(　　) A．6对 B．3对 C．4对 D．5对 15 返回 【点拨】因为∠1＝∠2，所以∠BDE＝∠ADF.所以∠1＋∠BDE＝∠1＋∠ADF＝∠2＋∠BDE＝∠2＋∠ADF＝∠ADC＋∠BDC＝180°.所以互补的角有5对．故选D. 【答案】 D 11．若∠α和∠β互余，且∠α＞∠β，则下列表示∠β的补角的式子中，正确的有(　　) ①180°－∠β；②∠α＋90°；③2(∠α＋∠β)；④2∠α－∠β；⑤2∠α＋∠β. A．①②　 B．③④ C．①②⑤　 D．②③④ 17 返回 【点拨】因为∠α和∠β互余，所以∠α＋∠β＝90°.所以∠β＝90°－∠α.又因为∠β的补角为180°－∠β，所以其补角还可以表示为180°－(90°－∠α)＝∠α＋90°.因为∠α＋∠β＝90°，所以2∠α＋2∠β＝180°.所以∠β的补角还可以表示为2∠α＋2∠β－∠β＝2∠α＋∠β.故正确的有①②⑤. 【答案】 C 12．如图，已知直线AB和CD相交于点O，∠DOE是直角，OF平分∠AOE，∠BOD＝22°，则∠COF＝_______． 34° 19 返回 13．如图，O是直线AB上的一点，∠AOC和∠DOB互余，OE平分∠BOC，若∠DOE＝m，则∠AOC的度数为________．(用含m的代数式表示) 2m 21 返回 【点拨】因为O是直线AB上的一点，∠AOC和∠DOB互余，所以∠AOC＋∠DOB＋∠COD＝180°，∠AOC＋∠DOB＝90°，所以∠COD＝90°.因为∠DOE＝m，所以∠COE＝90°－m.因为OE平分∠BOC，所以∠BOC＝2∠COE＝180°－2m.因为∠AOC＋∠BOC＝180°，所以∠AOC ＝180°－∠BOC＝2m.故答案为2m. 14．如图，直线AB，CD相交于点O，OE，OF分别在∠BOC，∠AOD的内部，OD平分∠BOF. (1)图中∠AOF的补角是________； (2)若∠BOF＝40°，∠COE＝100°， 则∠BOE的度数为________； ∠BOF 60° 23 (3)若∠AOE＝∠EOF，试说明：∠COE＝∠DOE； 【解】因为OD平分∠BOF，所以∠DOF＝∠BOD. 又因为∠AOC＝∠BOD，所以∠AOC＝∠DOF. 又因为∠AOE＝∠EOF，所以∠AOE－∠AOC＝ ∠EOF－∠DOF，即∠COE＝∠DOE. 24 (4)若OB平分∠EOF，∠AOC∶∠AOF＝1∶3，求∠COE的度数． 【解】因为∠AOC＝∠BOD，∠AOC∶∠AOF＝1∶3， 所以∠BOD∶∠AOF＝1∶3，即∠AOF＝3∠BOD. 又因为∠DOF＝∠BOD，所以∠AOF＋∠BOD＋∠DOF＝3∠BOD＋∠BOD＋∠BOD＝180°，解得∠BOD＝36°.所以∠BOF＝72°.又因为OB平分∠EOF，所以∠BOE＝∠BOF＝72°.所以∠COE＝180°－∠BOD－∠BOE＝72°. 返回 25 15．如图，直线DE上有一点O，过点O在直线DE上方作射线OC，∠COE比它的补角大100°，将一直角三角尺AOB的直角顶点放在点O处，一条直角边OA在射线OD上，另一条直角边OB在直线DE的上方，将直角三角尺绕点O按每秒10°的速度逆时针旋转一周．设旋转时间为t秒． (1)求∠COE的度数． 【解】设∠COE＝x°，则其补角为(180－x)°，由题意得x－(180－x)＝100，解得x＝140，即∠COE＝140°. (2)若射线OC的位置保持不变，在旋转过程中，是否存在某个时刻，使得∠BOC＝∠BOE？若存在，请求出t的取值，若不存在，请说明理由． 当OB在直线DE下方时，如图①，可知∠BOE＋∠BOC＋∠COE＝360°，即2∠BOE＋∠COE＝360°.因为直角三角尺旋转了(10t)°，所以∠BOE＝(10t－90)°，所以2(10t－90)＋140＝360，解得t＝20.综上所述，当t＝2或20时， ∠BOC＝∠BOE. (3)若在三角尺开始转动的同时，射线OC也绕O点以每秒10°的速度顺时针旋转一周．从旋转开始多长时间．射线OC平分∠BOE.直接写出t的值．(本题中的角均为大于0°且小于180°的角) 返回 【点拨】因为∠DOE是直角，所以∠DOE＝90°.所以∠COE＝180°－∠DOE＝90°.因为∠AOC＝∠BOD＝22°，所以∠AOE＝∠AOC＋∠COE＝112°.又因为OF平分∠AOE，所以∠EOF＝∠AOE＝56°.所以∠COF＝∠COE－∠EOF＝34°. 【点拨】因为OD平分∠BOF，∠BOF＝40°，所以 ∠BOD＝∠BOF＝20°.又因为∠COE＝100°，所以 ∠BOE＝180°－∠BOD－∠COE＝60°. 【解】存在，当OB在直线DE上方时，此时OB平分∠COE，因为∠COE＝140°，所以∠BOC＝∠COE＝70°.当直角三角尺没有旋转时，易得∠BOC＝50°，所以直角三角尺旋转了70°－50°＝20°.所以旋转的时间为20÷10＝2(秒)． 【解】t＝或. 【点拨】OB，OC同时旋转(10t)°，如图②所示，∠COE＝(180°＋40°)－(10t)°＝(220－10t)°.因为2×(10t)°－∠COB＋50°＝360°，所以∠COB＝2×(10t)°－310°.因为∠COB＝∠COE，所以2×10t－310＝220－10t，解得t＝； 如图③，∠BOE＝180°－(10t－270)°＝(450－10t)°，∠COE＝(10t－220)°.因为射线OC平分∠BOE，所以2(10t－220)＝450－10t，解得t＝.综上，t的值为或. $