19.2 第3课时 平行四边形的判定（讲解课件）【优翼·学练优】2025-2026学年八年级数学下册同步备课（沪科版）

该初中数学课件聚焦平行四边形的判定，通过“小明制作平行四边形引发质疑”的情境导入，先回顾平行四边形的边、角、对角线性质，再自然过渡到判定定理探究，构建从性质到判定的知识支架。 其亮点在于以动手活动（如木条拼接、对角线中点重叠实验）培养学生几何直观与空间观念，通过严谨证明（如SAS证全等推导判定定理）发展推理能力，结合实际问题（选木条、补全菜园）强化应用意识。学生能在探究中深化理解，教师可借助丰富案例提升教学效率。

19.2 平行四边形 第19章 四边形 第3课时 平行四边形的判定 优翼八下数学教学课件（HK） 平行四边形的性质 边 平行四边形的对边平行 平行四边形的对边相等 角 平行四边形的对角相等 平行四边形的邻角互补 平行四边形的对角线互相平分 对角线 知识回顾 导入新课 学习了平行四边形之后，小明回家用细木棒钉制了一个平行四边形. 第二天，小明拿着自己动手做的平行四边形向同学们展示. 小辉却问：你凭什么确定这四边形就是平行四边形呢? 大家都困惑了…… 活动1：将两根同样长的木条 AD，BC 平行放置，再用木条 AB，DC 加固，得到的四边形 ABCD 是平行四边形. A B C D 猜想：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形. 平行四边形的判定定理1 新课讲授 连接 AC. ∵ AB∥CD，∴∠1 =∠2. 又 AB = CD，AC = CA， ∴ △ABC≌△CDA (SAS). ∴ ∠3 = ∠4. ∴ AD∥BC. ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形. B A D C 已知：如图，在四边形 ABCD 中，AB∥CD，AB = CD. 求证：四边形 ABCD 是平行四边形. 证明： 1 2 3 4 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形. ∵ AB = CD， AB∥CD， ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形. 几何语言： 平行四边形判定定理 1 B D C A 总结归纳 例1 如图，在平行四边形 ABCD 中，已知 AE，CF 分别是∠DAB，∠BCD 的平分线，求证：四边形 AFCE 是平行四边形． 证明：在 □ ABCD 中， ∠B =∠D，AB = CD，∠DAB =∠BCD. ∵ AE，CF 分别是∠DAB，∠BCD 的平分线， ∴∠BAE =∠DCF = ∠DAB = ∠BCD. ∴△ABE≌△CDF (ASA). 例1 如图，在平行四边形 ABCD 中，已知 AE，CF 分别是∠DAB，∠BCD 的平分线，求证：四边形 AFCE 是平行四边形． ∴ BE = DF. 则由 BC = DA 可得 CE = AF. 又∵ CE∥AF， ∴ 四边形 AFCE 是平行四边形. (一组对边平行且相等的四边形是平行四边形) 卢师傅要做一个平行四边形木框.他要从下面几根木条中选出四根来制作，可是他不知道该怎样选，请同学们帮他选一选，并说明是为什么. 7 cm 4 cm 3 cm 3 cm 5 cm 4 cm 阅读思考 4 cm 4 cm 4 cm 4 cm 3 cm 3 cm 3 cm 3 cm 发现：一组对边平行，另一组对边相等，或两组边分别相等的四边形都不一定是平行四边形. 4 cm 5 cm 3 cm 3 cm 活动2：用两根长 30 cm 的木条和两根长 20 cm 的木条作为四边形的四条边，能否拼成一个平行四边形？与同伴进行交流. 20 cm 30 cm 猜测：两组对边分别相等的四边形是平行四边形. 平行四边形的判定定理2 已知：四边形 ABCD 中，AB = CD，AD = CB. 求证：四边形 ABCD 是平行四边形. A B C D 连接 BD． 在 △ABD 和 △CDB 中， AB = CD， BD = DB， AD = CB， ∴△ABD≌△CDB (SSS). ∴∠1 =∠3，∠2 =∠4. ∴ AB∥CD，AD∥CB. ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形. 证明： 1 4 2 3 两组对边分别相等的四边形是平行四边形. ∵ AB = CD， AD = BC， ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形. 几何语言： 平行四边形判定定理 2 总结归纳 B D C A 例2 如图，在平行四边形 ABCD 中，E，F 分别是边 BC 和 AD 上的两点，且 AF = CE. 求证：四边形 AECF 为平行四边形. B A C D F E 证明：易得 △ABE≌△CDF (SAS). ∴ AE = CF. 又∵ AF = CE， ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形.（两组对边分别相等的四边形是平行四边形） 将两根木条 AC，BD 的中点重叠，并用钉子固定，再用一根橡皮筋绕端点 A，B，C，D 围成一个四边形.想一想，△AOB 与 △COD 全等吗？四边形 ABCD 的对边之间有什么关系？你得到什么结论？ A C B O D 合作探究 猜想：对角线互相平分的四边形是平行四边形. 平行四边形的判定定理3 已知：四边形 ABCD 中，OA = OC，OB = OD. 求证：四边形 ABCD 是平行四边形. 证明： 在△AOB 和 △COD 中， OA = OC，(已知) OB = OD，(已知) ∠AOB =∠COD，(对顶角相等) ∴ △AOB≌△COD (SAS). ∴ AB = CD，∠ABO =∠CDO. ∴ AB∥CD. ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形. A C B O D 对角线互相平分的四边形是平行四边形. ∵ OA = OC， OB = OD， ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形. 几何语言： 平行四边形判定定理 3 总结归纳 A C B O D 1. 请你判断下列四边形中哪些是平行四边形： ⑷ A D C B 110° 70° 110° ⑶ ⑴ A B C D O 5 ㎝ 5 ㎝ 4 ㎝ 4 ㎝ 4.8 ㎝ B A D C 4.8 ㎝ 7.6 ㎝ 7.6㎝ A B C D 120° 60° ⑵ 5 cm 5cm 练一练 ( ( ( ( ( √ √ √ √ 2. 已知：E、F 是平行四边形 ABCD 对角线 AC 上的两点，对角线 BD、AC 于点 O，并且 OE = OF. 求证：四边形 BFDE 是平行四边形. 证明： ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形， ∴ OB = OD. 又∵ OE = OF， ∴ 四边形 BFDE 是平行四边形. D O A B C E F 例3 已知：E、F 是平行四边形 ABCD 对角线 AC 上的两点，并且 AE = CF. 求证：四边形 BFDE 是平行四边形. O B A C E F D 证明：连接 BD. 在平行四边形 ABCD 中，OA = OC，OB = OD. ∵ AE = CF， ∴ OA - AE = OC - CF， 即 EO = FO. 又 ∵ BO = DO， ∴ 四边形 BFDE 是平行四边形. （对角线互相平分的四边形是平行四边形） 例4 填空：如图，在四边形 ABCD 中， （1）若 AB∥CD，则补充条件 ，可使四边形 ABCD 为平行四边形； （2）若 AB = CD，则补充条件 ，可使四边形 ABCD 为平行四边形； （3）若对角线 AC，BD 交于点 O， OA = OC = 3，OB = 5，则补充 条件 ，可使四边形 ABCD 为平行四边形. AD∥BC AD = BC OD = 5 B O D A C （4）如图，□ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，E，F 是 AC 上的两点，则补充条件 ，可使四边形 BFDE 为平行四边形. 试证明. B O D A C E F 证明： ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形， ∴ OA = OC，OB = OD. ∵ AE = CF， ∴ OA - AE = OC - CF，即 OE = OF. 又 OB = OD. ∴ 四边形 BFDE 是平行四边形. AE = CF 想想还有 其他证法吗？ 思考：我们可以从对角的关系出发来判定一个四边形是否为平行四边形吗？ A B C D 你能根据平行四边形的定义证明它们吗？ 已知：四边形 ABCD 中，∠A =∠C，∠B =∠D， 求证：四边形 ABCD 是平行四边形. A B C D 且∠A =∠C，∠B =∠D， ∵∠A +∠C +∠B +∠D = 360°， ∴ 2∠A + 2∠B = 360°， 即∠A +∠B = 180°. ∴ AD∥BC. ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形. 同理得 AB∥CD， 证明： 判定方法： 两组对角分别相等的四边形是平行四边形 想一想：判定一个四边形是平行边形可以从哪些角度思考?具体有哪些方法? 从边考虑 两组对边分别平行(定义法) 两组对边分别相等(判定定理2) 一组对边平行且相等（判定定理1） 从角考虑 从对角线考虑 平行四边形的判定法 两组对角分别相等（定义拓展） 对角线互相平分（判定定理3） 小明用手中六个全等的正三角形做拼图游戏时，拼成一个六边形．你能在图中找出所有的平行四边形吗？说说你的理由． A B C D O F E 试一试 解：有 6 个平行四边形，分别是： 　 □ ABOF，□ ABCO， □ BCDO，□ CDEO， □ DEFO，□ EFAO． 1. 能判定四边形 ABCD 是平行四边形的条件：∠A :∠B : ∠C :∠D 的值为（ ） A. 1 : 2 : 3 : 4 B. 1 : 4 : 2 : 3 C. 1 : 2 : 2 : 1 D. 3 : 2 : 3 : 2 D 2. 如图所示，△ABC 是等边三角形，P 是其内任意一点，PD∥AB，PE∥BC，PF∥AC，若 △ABC 的周长为 24，则 PD + PE + PF = . A F B D C E P 8 3. 已知 AD∥BC ，要使这个四边形 ABCD 为平行四边形，需要增加条件__________ ________. AD = BC 或 AB∥CD 当堂练习 4. 已知：如图，E，F 分别是平行四边形 ABCD 的边 AD，BC 的中点. 求证：BE = DF. D F E C B A 证明： ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形， ∴ AD∥BC， AD = BC. ∵ E，F 分别是 AD，BC 的中点， ∴ ED = BF，即 ED BF. ∥ = ∴ 四边形 EBFD 是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）. ∴ BE = DF（平行四边形的对边分别相等）. 5. 已知：如图，在四边形 ABCD 中，AB∥CD，E 是 BC 的中点，直线 AE 交 DC 的延长线于点 F．试判断四边形 ABFC 的形状，并证明你的结论． 解：四边形 ABFC 是平行四边形. 证明如下： ∵ AB∥CD，∴∠BAE =∠CFE. ∵ E 是 BC 的中点，∴ BE = CE. 又∵∠AEB =∠FEC， ∴ △ABE≌△FCE（AAS）. ∴ AE = FE． ∴ 四边形 ABFC 是平行四边形． 7. 现有一块等腰直角三角形铁板，要求切割一次，焊接成一个含有 45° 角的平行四边形 (不能有余料)，请你设计一种方案，并说明该方案正确的理由. 能力提升 A B C C A B F E D D C A B E A B C F D E 8. 老陈有一块平行四边形菜园地，夏季到来了，院子里瓜果飘香. 有一天突然下起了暴雨，将菜园地的一部分冲垮，老陈的菜园地与邻居家的菜园地之间的界限看不清了，巧的是，刚好保留了顶点 A 和 C. （1）如图，若你只有一把直尺和一个圆规，你能将图形补全吗？若能，请补全图形（不 写作法，只保留作图痕迹），并证 明四边形 ABCD 是平行四边形. A B C (2) 若 E 是 BC 边上的一点，只用一把无刻度的直尺在 AD 边上作点 F，使得 DF = BE， ①作出满足题意的点 F，简要说明作图过程. ②依据你的作图，证明：DF = BE. A B C E A B C D O F 从边考虑 两组对边分别平行(定义法) 两组对边分别相等(判定定理2) 一组对边平行且相等（判定定理1） 从角考虑 从对角线考虑 平行四边形的判定方法 两组对角分别相等（定义拓展） 对角线互相平分（判定定理3） 课堂小结 $