第16章 二次根式 小结与复习（讲解课件）【优翼·学练优】2025-2026学年八年级数学下册同步备课（沪科版）

该初中数学课件系统梳理了二次根式的概念、性质、运算及应用，通过要点梳理与考点分类，将二次根式的定义、性质、最简二次根式及加减乘除运算等核心内容串联，构建完整知识网络。 其亮点在于融入分类讨论、整体思想等解题思想，设计分层训练，如从基础判断到综合计算再到实际应用，培养学生运算能力与推理意识，助力学生巩固知识，教师精准把握学情提升复习效率。

小结与复习 第16章 二次根式 八年级下册数学（沪科版） 1. 二次根式的概念 一般地，形如____(a≥0) 的式子叫做二次根式. 对于二次根式的理解： ①带有二次根号；②被开方式是非负式，即 a≥0. 【易错点】 二次根式中，被开方式一定是非负式，否则就没有意义. 要点梳理 2. 二次根式的性质： 3. 最简二次根式 满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式： (1) 被开方数的因数是_______，因式是_______； (2) 被开方式中不含能__________的因数或因式． 开得尽方 整数 整式 4. 二次根式的乘除法则： 乘法： ＝______(a≥0，b≥0)； 除法： ＝____(a≥0，b＞0)． 可以先将二次根式化成_____________，再将 ______________进行合并． 同类二次根式 最简二次根式 5. 二次根式的加减： 类似合并同类项 逆用也适用. 注意平方差公式与完全平方公式的运用！ 6. 二次根式的混合运算 与有理数的混合运算类似：先算乘（开）方，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号里面的. 例1 求下列二次根式中字母 a 的取值范围: 解：(1) 由题意得 (3) ∵(a+3)2≥0，∴a为全体实数. (4) 由题意得 ∴ a≥0 且 a ≠ 1. 考点一 二次根式的相关概念及有意义的条件 考点讲练 求二次根式中字母的取值范围的基本依据： ① 被开方数大于或等于零； ② 分母中有字母时，要保证分母不为零. 方法归纳 1. 下列各式： 中，一定是二次根式的有 （ ） A. 3 个 B. 4 个 C. 5 个 D. 6 个 B 针对训练 2. 求下列二次根式中字母的取值范围： 解得 -5≤x＜3. 解：(1) 由题意得 ∴ x = 4. (2) 由题意得 例2 若 ，求 的值. 解：∵ ∴ x－1 = 0，3x + y－1 = 0，解得 x = 1，y = －2. 则 【解析】根据题意及二次根式与完全平方式的非负性可知 和 均为 0. 考点二 二次根式的性质 初中阶段主要涉及三种非负式： ≥0，|a|≥0，a2≥0. 如果若干个非负式的和为 0，那么这若干个非负式必都为 0. 这是求一个方程中含有多个未知数时的有效方法之一. 方法归纳 例3 实数 a，b 在数轴上的位置如图所示，请化简： b a 0 解：由数轴可以确定 a＜0，b＞0， ∴ ∴ 原式 = -a - (-a) + b = b. 解析：化简此代数式的关键是能准确地判断 a，b 的符号，然后利用绝对值及二次根式的性质化简. 4. 若1<a<3，化简 的结果是 . 2 3.若实数 a，b 满足 则 . 1 5. 将下列各数(式)写成一个非负数(式)的平方的形式： 针对训练 考点三 二次根式的运算及应用 例4 计算： 解： 二次根式的混合运算的运算顺序与整式的运算顺序一样，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号内的，在具体运算中可灵活运用运算律和乘法公式简化运算. 方法归纳 例5 把两张面积都为 18 的正方形纸片各剪去一个面积为 2 的正方形，并把这两张正方形纸片按照如图所示叠合在一起，做出一个双层底的无盖长方体纸盒．求这个纸盒的侧面积（接缝忽略不计）． 解： 8. 计算： 解：(1)原式 (2)原式 6. 下列运算正确的是 （ ） C 7. 若等腰三角形底边长为 ，底边上的高为 ，则三角形的面积为 . 针对训练 9. 交警为了估计肇事汽车在出事前的速度，总结出经验公式 ，其中 v 是车速（单位：千米每小时），d 是汽车刹车后车轮滑动的距离（单位：米），f 是摩擦系数．在某次交通事故调查中，测得d = 20 米，f = 1.2，请你帮交警计算一下肇事汽车在出事前的速度． 解：根据题意得 （千米/时）． 答：肇事汽车在出事前的速度是 千米/时． 例6 先化简，再求值： ，其中 . 解： 当 时，原式 解析：先利用分式的加减运算化简式子，然后代入数值计算即可. 考点四 二次根式的化简求值 例7 有这样一道题：“计算 的值，其中 x =2025”.小卿把“x=2025”错抄成“x = 2052”，但是她的计算结果仍然是正确的，这是为什么？ 解：∵ 原式 ∴ 无论 x 取何值，原式的值都为 -2. 10. 先化简，再求值： ，其中 解：原式 当 时， 原式 针对训练 考点五 本章解题思想方法 分类讨论思想 例8 已知 a 是实数，求 的值. 解： 分三种情况讨论： 当 a≤－2 时，原式 = (－a－2)－[－(a－1)] = －a－2+a－1 = －3； 当 －2＜a≤1 时，原式 = (a+2)+(a－1) = 2a + 1； 当 a＞1 时，原式 = (a + 2)－(a－1) = 3. 整体思想 例9 已知 ，求 的值. 解：∵ ∴ 类比思想 例10 阅读材料： 小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如 ，善于思考的小明进行了以下探索： 设 (其中 a、b、m、n 均为整数)，则有 这样小明就找到了一种把形似 的式子化为平方式的方法． 请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： (1)当 a、b、m、n 均为正整数时，若 ， 用含 m、n 的式子分别表示 a，b，得 a =_______， b =______； (2)利用所探索的结论，用完全平方式表示出： (3)请化简： m2+3n2 2mn 解： 加、减、乘、除运算 二次根式 性质 最简二次根式 课堂小结 见教材章末复习题 课后作业 本文件著作权为创作公司所有, 仅限于教师教学及其他非商业性和非盈利性用途。如发现盗用、转卖、网络传播等侵权行为, 本公司将依法追究其相应法律责任。 部分素材选自网络, 如有争议, 请联系删改。 声 明 eq \r(a) eq \r(\f(a,b)) eq \r(ab) $