18.2 第2课时 勾股定理的逆定理的应用（讲解课件）【优翼·学练优】2025-2026学年八年级数学下册同步备课（沪科版）

该初中数学课件聚焦勾股定理的逆定理应用，通过回顾勾股定理及逆定理内容，结合“快速填一填”巩固基础，以军事航海等实际问题导入，搭建从定理到应用的学习支架，衔接前后知识脉络。 其亮点在于以实际问题为载体，培养学生用数学眼光抽象几何模型，通过推理验证（如港口轮船航行方向计算）发展推理意识，用数学语言表达解决方案。采用“问题引导—模型构建—应用总结”教学法，助力学生提升应用能力，也为教师提供清晰教学流程。

18.2 勾股定理的逆定理 第18章 勾股定理 第2课时 勾股定理的逆定理的应用 优翼八下数学教学课件（HK） 问题 前面的学习让我们对勾股定理及其逆定理的知识有了一定的认识，你能说出它们的内容吗? 回顾与思考 a2 + b2 = c2 (a，b 为直角边，c 为斜边) Rt△ABC 中∠C 是直角 勾股定理 勾股定理的逆定理 △ABC 中 a2 + b2 = c2 (a，b 为较短边，c 为最长边） △ABC 为直角三角形，且∠C 是直角 导入新课 (2) 等腰△ABC 中，AB = AC = 10 cm，BC = 12 cm， 则 BC 边上的高是 cm. 8 (1) 已知 △ABC 中，BC = 41，AC = 40，AB = 9，则 此三角形为 三角形， 是最大角. 直角 ∠A 快速填一填： 思考 前面我们已经学习了运用勾股定理解决实际生活中的很多问题，那么勾股定理的逆定理可以解决哪些实际问题呢？你能举举例吗？ 在军事和航海上经常要确定方向和位置，需要用到一些数学知识和方法，其中勾股定理的逆定理也是常用知识之一，这节课让我们一起来学习吧！ 1 2 例1 如图，某港口 P 位于东西方向的海岸线上. “远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行 16 海里，“海天”号每小时航行 12 海里. 它们离开港口一个半小时后分别位于点 Q，R 处，且相距 30 海里. 如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号 沿哪个方向航行吗？ N E P Q R 勾股定理的逆定理的应用 新课讲授 问题1 认真审题，弄清已知是什么，要解决的问题是什么？ 1 2 N E P Q R 16×1.5 = 24 12×1.5 = 18 30 “远航”号的航向、两艘船的一个半小时后的航程及距离已知，如图. 问题2 由于我们现在所能得到的都是线段长，要求角，由此你联想到了什么？ 实质是要求出两艘船航向 所成角. 勾股定理的逆定理 解：根据题意得 PQ = 16×1.5 = 24 (海里)， PR = 12×1.5 = 18 (海里)， QR = 30 海里. ∵242 + 182 = 302，即 PQ2 + PR2 = QR2，∴∠QPR = 90°. 由“远航”号沿东北方向航行可知∠1 = 45°， ∴∠2 = 45°，即“海天”号沿西北方向航行. N E P Q R 1 2 解决实际问题的步骤：构建几何模型 (从整体到局部)；标注有用信息，明确已知和所求；应用数学知识求解；④得到实际问题的解. 归纳 【变式题】 如图，南北方向 PQ 以东为我国领海，以西为公海，晚上 10 时 28 分，我边防反偷渡巡逻101号艇在 A 处发现正西方向的 C 处有一艘可疑船只正向我领海靠近，便立即通知在 PQ 上 B 处巡逻的103号艇注意其动向，经检测，AC = 10 海里，BC = 8 海里，AB = 6 海里，若该船只的速度为 12.8 海里/时，则可疑船只最早何时进入我领海？ 东 北 P A B C Q D 分析：根据勾股定理的逆定理可得 △ABC 是直角三角形，然后利用勾股定理及面积公式可求出 BD 的长，再利用勾股定理便可求得 CD 的长，进而求得所需时间. 解：∵ AC = 10，AB = 6，BC = 8， ∴ AC2 = AB2 + BC2， 即△ABC 是直角三角形. 根据三角形面积公式有 BC·AB = AC·BD， 即 6×8 = 10BD，解得 BD = 在 Rt△BCD 中， 东 北 P A B C Q D 又∵ 该船只的速度为 12.8 海里/时， 6.4÷12.8 = 0.5(小时) = 30 (分钟). ∴ 可疑船只最快需要 30 分钟进入我领海，即最早在晚上 10 时 58 分进入我领海. 例2 一个零件的形状如图所示，按规定这个零件中∠A 和∠DBC 都应为直角，工人师傅量得这个零件各边的尺寸如图所示，这个零件符合要求吗? D A B C 4 3 5 13 12 D A B C 图 图 在△BCD 中， ∴△BCD 是直角三角形，∠DBC 是直角. 因此，这个零件符合要求. 解：在 △ABD 中， ∴△ABD 是直角三角形，∠A 是直角. D A B C 4 3 5 13 12 1. A、B、C 三地两两间的距离如图所示，A 地在 B 地的 正东方向，C 地在 B 地的什么方向？ 解：∵ BC2 + AB2 = 52 + 122 = 169， AC2 = 132 = 169， ∴ BC2 + AB2 = AC2. 即△ABC 是直角三角形， ∠B = 90°. 答：C 地在 B 地的正北方向． 练一练 A B C 5 cm 12 cm 13 cm 2. 如图是一农民建房时挖地基的平面图，按标准应为长方形，他在挖完后测量了一下，发现 AB = DC = 8 m，AD = BC = 6 m，AC = 9 m，请你运用所学知识帮他检验一下挖的是否合格. 解：∵ AB = DC = 8 m，AD = BC = 6 m， ∴ AB2 + BC2 = 82 + 62 = 64 + 36 = 100． 又∵ AC2 = 92 = 81， ∴ AB2＋BC2 ≠ AC2． ∴∠ABC ≠ 90°． ∴ 该农民挖的不合格． 例3 如图，四边形 ABCD 中，∠B = 90°，AB = 3，BC = 4，CD = 12，AD = 13，求四边形 ABCD 的面积. 解析：连接 AC，把四边形分成两个三角形.先用勾股定理求出 AC 的长度，再利用勾股定理的逆定理判定 △ACD 是直角三角形. A D B C 3 4 13 12 勾股定理及其逆定理的综合应用 解：连接 AC. A D B C 3 4 13 12 在 Rt△ABC 中， 在 △ACD 中， AC2 + CD2 = 52 + 122 = 169 = AD2， ∴△ACD 是直角三角形，且∠ACD = 90°. ∴S四边形ABCD = SRt△ABC + SRt△ACD = 6 + 30 = 36. 四边形问题中，对角线是常作的辅助线，它可以把四边形问题转化成两个三角形的问题.在使用勾股定理的逆定理解决问题时，它与勾股定理是“黄金搭档”，经常一起使用. 归纳 【变式题1】如图，四边形 ABCD 中，AB⊥AD，已知 AD = 3 cm，AB = 4 cm，CD = 12 cm，BC = 13 cm，求四边形 ABCD 的面积. 解：连接 BD. 在 Rt△ABD 中，由勾股定理得 BD2 = AB2+AD2 = 42 + 32， ∴ BD = 5 cm. 又∵ CD = 12 cm，BC = 13 cm， ∴ BC2 = CD2 + BD2. ∴△BDC 是直角三角形. ∴ S四边形ABCD = SRt△BCD - SRt△ABD = BD•CD - AB•AD = ×(5×12 - 3×4) = 24 (cm2)． C B A D 【变式题2】如图，在四边形 ABCD 中，AC⊥DC，△ADC 的面积为 30 cm2，DC = 12 cm，AB = 3 cm，BC = 4 cm，求 △ABC 的面积. 解: ∵ S△ACD = 30 cm2，DC ＝12 cm. ∴ AC = 5 cm. 又∵ ∴△ABC 是直角三角形，∠B 是直角. ∴ D C B A （1）证明：∵CD = 1，BC＝ ，BD = 2， ∴ CD2 + BD2 = BC2. ∴ △BDC 是直角三角形. （2）解：设腰长 AB = AC = x，则 AD = x - 1. 在 Rt△ADB 中，∵AB2 = AD2 + BD2， ∴ x2 = (x - 1)2 + 22， 解得 用到了方程的思想 例4 如图，△ABC 中，AB = AC，D 是 AC 边上的一点，CD = 1，BC = ，BD = 2． （1）求证：△BCD 是直角三角形； （2）求△ABC 的面积． 1. 医院、公园和超市的平面示意图如图所示，超市在医院的南偏东 25° 方向，且到医院的距离为 300 m，公园到医院的距离为 400 m. 若公园到超市的距离为 500 m，则公园在医院的北偏东 的方向. 东 医院 公园 超市 北 65° 当堂练习 2. 五根小木棒，其长度分别为 7，15，20，24，25，现将他们摆成两个直角三角形，其中摆放方法正确的是 （　　） A B C D D 3. 如图，某探险队的 A 组由驻地 O 点出发，以 12 km/h的速度前进，同时，B 组也由驻地 O 出发，以 9 km/h的速度向另一个方向前进，2 h 后同时停下来，这时 A，B 两组相距 30 km．问 A，B 两组行进的方向成直角吗？请说明理由. 解：出发 2 小时，A 组行了 12×2 = 24 (km)，B 组行了 9×2 = 18 (km)． ∵ A，B 两组相距 30 km，且 242 + 182 = 302， ∴ △AOB 为直角三角形，即 A，B 两组行进的方向成直角． 4. 如图，在 △ABC 中，AB = 17，BC = 16，BC 边上的中线 AD = 15，试说明：AB = AC. 解：∵ BC = 16，AD 是 BC 边上的中线， ∴ BD = CD = BC = 8. ∵ 在 △ABD 中，AD2 + BD2 = 152 + 82 = 172 = AB2， ∴ △ABD 是直角三角形，即∠ADB = 90°． ∴ △ADC 是直角三角形. 在 Rt△ADC 中， ∴AB = AC. 5. 在寻找某坠毁的飞机的过程中，两艘搜救艇接到消息，在海面上有疑似漂浮目标 A，B．于是，一艘搜救艇以 16 海里/时的速度离开港口 O（如图）沿北偏东 40° 的方向向目标 A 的前进，同时，另一艘搜救艇也从港口 O 出发，以 12 海里/时的速度向着目标 B 出发，1.5 小时后，他们同时分别到达目标 A、B，此时，他们相距 30 海里．问第二艘搜救艇的航行方向是北偏西多少度？ 解：根据题意得 OA = 16×1.5 = 24(海里)， OB = 12×1.5 = 18(海里)， ∵OB2 + OA2 = 242 + 182 = 900，AB2 = 302 = 900， ∴OB2 + OA2 = AB2. ∴∠AOB = 90°. ∵第一艘搜救艇以 16 海里/时的速度离开港口 O 沿北偏东 40° 的方向向目标 A 的前进，即∠AOD = 40°， ∴∠BOD = 50°. 即第二艘搜救艇的航行方向是北偏西 50 度． 解：∵△ABC 中 AB∶BC∶CA = 3∶4∶5，且周长为 36 cm， ∴ AB = 36× = 9 cm，BC = 12 cm，AC = 15 cm. ∴ AB 2 + BC 2 = AC 2，即 △ABC 是直角三角形． 经过 3 秒时，BP = 9 - 3×2 = 3 (cm)， BQ = 12 - 1×3 = 9 (cm)． 在 Rt△PBQ 中，由勾股定理得 6. 如图，在 △ABC 中，AB∶BC∶CA = 3∶4∶5，且周长为 36 cm，点 P 从点 A 开始沿 AB 边向点 B 以每秒 2 cm 的速度移动，同时点 Q 从点 C 沿 CB 边向点 B 以每秒 1 cm 的速度移动，求经过 3 秒时，PQ 的长. 勾股定理的逆定理的应用 应用 航海问题 方法 认真审题，画出符合题意的图形，并构建直角三角形，再运用勾股定理及其逆定理来解决问题 与勾股定理结合解决不规则图形等问题 课堂小结 $