18.2 第1课时 勾股定理的逆定理（讲解课件）【优翼·学练优】2025-2026学年八年级数学下册同步备课（沪科版）

该初中数学课件聚焦勾股定理的逆定理，通过复习勾股定理及计算问题回顾旧知，结合古埃及人结绳画直角、大禹治水传说等历史情境引入，搭建从“直角三角形边的关系”到“由边判定直角三角形”的学习支架。 其亮点在于以问题链驱动探究，从猜想三边长关系到构造全等三角形证明定理，培养推理意识。通过数字计算、比例关系、几何应用等例题变式，结合勾股数概念及拓展，强化应用意识。学生能提升逻辑推理与问题解决能力，教师可借助丰富实例优化教学流程。

18.2 勾股定理的逆定理 第18章 勾股定理 第1课时 勾股定理的逆定理 优翼八下数学教学课件（HK） B C A 问题1 勾股定理的内容是什么? 如果直角三角形的两条直角边长分别为 a，b，斜边为 c，那么 a2 + b2 = c2. b c a 问题2 求以线段 a，b 为直角边的直角三角形的斜边 c 的长： ① a＝3，b＝4； ② a＝2.5，b＝6； ③ a＝4，b＝7.5. c＝5 c＝6.5 c＝8.5 复习引入 思考 以前我们已经学过了通过角的关系来判定直角三角形，那可不可以通过边来判定直角三角形呢？ 导入新课 同学们知道古埃及人用什么方法得到直角的吗? 打 13 个等距的结，把一根绳子分成等长的 12 段，然后以 3 段，4 段，5 段的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角. 情景引入 （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） （13） （12） （11） （10） （9） 思考：从前面我们知道古埃及人认为一个三角形三边长分别为 3，4，5，那么这个三角形为直角三角形.按照这种做法真能得到一个直角三角形吗? 大禹治水 相传，我国古代的大禹在治水时也用了类似的方法确定直角. 下面有三组数，分别是一个三角形的三边长 a， b， c： ① 5，12，13； ② 7，24，25； ③ 8，15，17. 问题1 分别以每组数为三边长作出三角形，用量角器量一量，它们都是直角三角形吗？ 是 勾股定理的逆定理 新课讲授 下面有三组数分别是一个三角形的三边长 a， b， c： ① 5，12，13； ② 7，24，25； ③ 8，15，17. 问题2 这三组数在数量关系上有什么相同点？ ① 5，12，13 满足 52 + 122 = 132，② 7，24，25 满足 72 + 242 = 252， ③ 8，15，17 满足 82 + 152 = 172. 问题3 古埃及人用来画直角的三边满足这个等式吗？ 32 + 42 = 52，满足. a2 + b2 = c2 我觉得这个猜想不准确，因为测量结果可能有误差. 我也觉得猜想不严谨，前面我们只取了几组数据，不能以部分代表整体. 问题4 据此你有什么猜想呢? 由上面几个例子，我们猜想： 命题 如果三角形的三边长 a，b，c 满足 a2 + b2 = c2，那么这个三角形是直角三角形. △ABC≌△A′B′C′ 　　 ？ ∠C 是直角　　　 △ABC 是直角三角形　　 A　 B　 C　 a b c 已知：如图，△ABC 的三边长 a，b，c 满足 a2 + b2 = c2. 求证：△ABC 是直角三角形． 构造两直角边分别为a，b 的 Rt△A′B′C′ 证一证： 证明：作 Rt△A′B′C′，使∠C′=90°，A′C′ = b，B′C′ = a， ∴△ABC≌△A′B′C′(SSS). ∴∠C =∠C′ = 90°，即 △ABC 是直角三角形. 则 A′B′ 2=B′C′ 2 + A′C′2 = a2 + b2. A C a B b c 勾股定理的逆定理： 如果三角形的三边长 a ，b ，c 满足 a2 + b2 = c2， 那么这个三角形是直角三角形. A C B a b c 勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理，即已知三角形的三边长，且满足两条较小边的平方和等于最长边的平方，即可判断此三角形为直角三角形 ，最长边所对应的角为直角. 特别说明： 归纳总结 例1 下面以 a，b，c 为边长的三角形是不是直角三角形?如果是，那么哪一个角是直角？ (1) a = 15，b = 8，c = 17； 解：(1) ∵ 152 + 82 = 289，172 = 289，∴ 152 + 82 = 172. 根据勾股定理的逆定理，这个三角形是直角三角形， 且∠C 是直角. (2) a = 13，b = 14，c = 15. (2) ∵ 132 + 142 = 365，152 = 225， ∴ 132 + 142≠152，不符合勾股定理的逆定理. ∴ 这个三角形不是直角三角形. 根据勾股定理的逆定理，判断一个三角形是不是直角三角形，只要看两条较小边长的平方和是否等于最大边长的平方. 归纳 【变式题1】若△ABC 的三边 a，b，c 满足 a∶b∶ c = 3∶4∶5，试判断△ABC 的形状. 解：设 a = 3k，b = 4k，c = 5k (k＞0)， ∵ (3k)2 + (4k)2 = 25k2，(5k)2 = 25k2， ∴ (3k)2 + (4k)2 = (5k)2. ∴△ABC 是直角三角形，且∠C 是直角. 已知三角形三边的比例关系判断三角形形状：先设出参数，表示出三条边的长，再用勾股定理的逆定理判断其是否是直角三角形. 如果此直角三角形的三边中有两个相同的数，那么该三角形还是等腰直角三角形. 归纳 【变式题2】(1) 若△ABC 的三边 a，b，c，且 a + b = 4，ab = 1，c = ，试说明 △ABC 是直角三角形. 解：∵ a + b = 4，ab = 1， ∴ a2 + b2 = (a + b)2 - 2ab = 16 - 2 = 14. 又∵ c2 = 14， ∴ a2 + b2 = c2. ∴ △ABC 是直角三角形. (2) 若 △ABC 的三边 a，b，c 满足 a2 + b2 + c2 + 50 = 6a + 8b + 10c，试判断△ABC 的形状. 解：∵ a2 + b2 + c2 + 50 = 6a + 8b + 10c， ∴ a2 - 6a + 9 + b2 - 8b + 16 + c2 -10c + 25 = 0， 即 (a－3)² + (b－4)² + (c－5)² = 0. ∴ a = 3，b = 4，c = 5. 则有 a2 + b2 = c2. ∴△ABC 是直角三角形. 例2 如图，在正方形ABCD中，F 是 CD 的中点，E 为BC 上一点，且CE ＝ CB，试判断 AF 与 EF 的位置关系，并说明理由． 解：AF⊥EF. 理由如下： 设正方形的边长为 4a， 则 EC＝a，BE＝3a，CF＝DF＝2a. 在 Rt△ABE 中，AE2＝AB2＋BE2＝16a2＋9a2＝25a2； 在 Rt△CEF 中，EF2＝CE2＋CF2＝a2＋4a2＝5a2； 在 Rt△ADF 中，AF2＝AD2＋DF2＝16a2＋4a2＝20a2. ∴ 在 △AEF 中，AE2＝EF2＋AF2． ∴ △AEF 为直角三角形，且 AE 为斜边． ∴ ∠AFE＝90°，即AF⊥EF． 练一练 1. 下列长度的各组线段中，能构成直角三角形的是 (　 ) A．2，3，4 B．3，4，6 C．5，12，13 D．4，6，7 C 2. 一个三角形的三边的长分别是 3，4，5，则这个三角 形最长边上的高是 ( ) A．4 B．3 C．2.5 D．2.4 D 3. 若△ABC 的三边 a，b，c 满足 (a - b)(a2 + b2 - c2) = 0， 则△ABC 是________________________. 等腰三角形或直角三角形 如果三角形的三边长 a，b，c 满足 a2 + b2 = c2， 那么这个三角形是直角三角形. 满足 a2 + b2 = c2 的三个正整数，称为勾股数. 概念学习 勾股数 常见勾股数： 3，4，5； 5，12，13； 6，8，10； 7，24，25； 8，15，17； 9，40，41； 10，24，26 等等. 勾股数拓展： 一组勾股数，都扩大相同的倍数 k (k 为正整数)，得到一组新数，这组新数同样是勾股数. 下列各组数是勾股数的是 ( ) A. 6，8，10 B. 7，8，9 C. 0.3，0.4，0.5 D. 52，122，132 A 方法点拨：根据勾股数的定义，勾股数必须为正整数，先排除小数，再计算最大数的平方是否等于较小两数的平方和即可. 练一练 1. 下列各组数是勾股数的是 ( ) A. 3，4，7 B. 5，12，13 C. 1.5，2，2.5 D. 1，3，5 2. 将直角三角形的三边长扩大同样的倍数，则得到 的三角形 ( ) A. 是直角三角形 B. 可能是锐角三角形 C. 可能是钝角三角形 D. 不可能是直角三角形 B A 当堂练习 3. 已知 a、b、c 是△ABC 三边的长，且满足关系式 ，则 △ABC 的形状是 ________________． 等腰直角三角形 4. 一个三角形的三边长分别为 15 cm、20 cm、25 cm， 则这个三角形最长边上的高是_____cm. 12 5. 已知 △ABC 中，AB = n² - 1，BC = 2n，AC = n² + 1 (n 为大于 1 的正整数). 试问 △ABC 是直角三角形吗？ 若是，哪一条边所对的角是直角？请说明理由. 解：∵AB² + BC² = (n² - 1)² + (2n)² = n4 - 2n² + 1 + 4n² = n4 + 2n² + 1 = (n² + 1)² = AC²， ∴△ABC 是直角三角形，边 AC 所对的角是直角. 6. 如图，在四边形 ABCD 中，AB = 8，BC = 6，AC = 10，AD = CD = ，求四边形 ABCD 的面积. ∴△ABC 是直角三角形且∠B 是直角. ∴△ADC 是直角三角形且∠D 是直角. ∴ S四边形ABCD = 勾股定理 的逆定理 内容 作用 从三边数量关系判定一个三角形是否是直角形三角形 如果三角形的三边长 a、b、c 满足 a2 + b2 = c2，那么这个三角形是直角三角形 注意 最长边不一定是 c，直角也不一定是∠C 勾股数一定是正整数组 课堂小结 $