18.1 第2课时 勾股定理的应用（讲解课件）【优翼·学练优】2025-2026学年八年级数学下册同步备课（沪科版）

该初中数学课件聚焦勾股定理的应用，涵盖实际问题转化、两点距离及最短路径等核心知识点。通过视频情景导入（小贤和一菲对话），结合竹竿进门等生活实例，引导学生将实际问题抽象为数学模型，搭建从生活到数学的学习支架。 其亮点是以梯子下滑、树折断等实例及圆柱展开等立体问题为载体，培养数学眼光（几何直观、空间观念）与思维（推理能力、运算能力）。通过归纳解题步骤、验证HL全等，强化模型意识。学生能提升问题解决能力，教师可借助系统案例与步骤高效教学。

18.1 勾股定理 第18章 勾股定理 第2课时 勾股定理的应用 优翼八下数学教学课件（HK） 情景引入 数学来源于生活，勾股定理的应用在生活中无处不在，观看下面视频，你们能理解小贤和一菲的做法吗？ 导入新课 问题 观看下面同一根长竹竿以三种不同的方式进门的情况，并结合小贤和一菲的做法，对于长竹竿进门之类的问题你有什么启发？ 这个跟我们学的勾股定理有关，将实际问题转化为数学问题 勾股定理的简单实际应用 新课讲授 例1 一个门框的尺寸如图所示，一块长 3 m，宽 2.2 m的长方形薄木板能否从门框内通过? 为什么? 2 m 1 m A B D C 典例精析 解：在 Rt△ABC 中，根据勾股定理， AC2 = AB2 + BC2 = 12 + 22 = 5， 因为 AC 大于木板的宽 2.2 m， 所以木板能从门框内通过. 分析：可以看出木板横着，竖着都 不能通过，只能斜着过. 门框的对角线 AC 的长度是斜着能通过的最大长度，只要AC 的长大于木板的宽就能通过. A B D C O 解：在 Rt△AOB 中，根据勾股定理得 OB2 = AB2 - OA2 = 2.62 - 2.42 = 1， ∴ OB = 1. 在Rt△COD 中，根据勾股定理得 OD2 = CD2 - OC2 = 2.62 - (2.4 - 0.5)2 = 3.15. ∴ 梯子的顶端沿墙下滑 0.5 m 时， 梯子底端并不是也外移 0.5 m，而是外移约 0.77 m. 例2 如图，一架 2.6 m 长的梯子 AB 斜靠在一竖直的墙 AO 上，这时 AO 为 2.4 m. 如果梯子的顶端 A 沿墙下滑 0.5 m，那么梯子底端 B 也外移 0.5 m 吗? 例3 在一次台风的袭击中，小明家房前的一棵大树在离地面 6 米处折断，树的顶部落在离树根底部 8 米处.你能告诉小明这棵树折断之前有多高吗？ 8 米 6米 8 米 6米 A C B 解：根据题意可以构建一个直角三角形模型，如图. 在 Rt△ABC 中， AC = 6 米，BC = 8 米， 由勾股定理得 ∴ 这棵树在折断之前的高度是 6 + 10 = 16（米）. 利用勾股定理解决实际问题的一般步骤： （1）读懂题意，分析已知、未知间的关系； （2）构造直角三角形； （3）利用勾股定理等列方程； （4）解决实际问题. 归纳总结 数学问题 直角三角形 勾股定理 实际问题 转化 建构 利用 决解 1. 湖的两端有 A，B 两点，从与 BA 方向成直角的 BC 方向上的点 C 测得 CA = 130 米，CB = 120 米，则 AB 为 ( ) A B C A. 50 米 B. 120 米 C. 100 米 D. 130 米 130 120 ? A 练一练 解：(1) 在 Rt△ABC 中，根据勾股定理得 ∴ 这条“近路”的长为 5 米. C A B 2. 如图，学校教学楼前有一块长为 4 米，宽为 3 米的长方形草坪，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在草坪内走出了一条“近路”，却踩伤了花草. (1) 求这条“近路”的长； (2) 他们仅仅少走了几步 (假设 2 步为 1 米)？ 别踩我,我怕疼! (2) 他们仅仅少走了 (3 + 4 - 5)×2 = 4 (步). 例4 如图，在平面直角坐标系中有两点 A(-3，5)，B(1，2)，求 A，B 两点间的距离. A 2 1 -3 -2 -1 -1 2 3 1 4 5 y O x 3 B C 解：如图，过点 A 作 x 轴的垂线，过点 B 作 x，y 轴的垂线，相交于点 C，连接 AB. 则 AC = 5 - 2 = 3，BC = 3 + 1 = 4. 在 Rt△ABC 中，由勾股定理得 ∴ A，B 两点间的距离为 5. 利用勾股定理求两点间的距离及验证“HL” 方法总结：两点间的距离公式：一般地，设平面上有任意两点 思考 在八年级上册中，我们曾经通过画图得到结论：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等 (HL)．学习了勾股定理后，你能证明这一结论吗？ 　　已知：如图，在 Rt△ABC 和 Rt△A′B′C′ 中，∠C = ∠C′ = 90°，AB = A′B′，AC = A′C′ ． 　　求证：△ABC≌△A′B′C′． A B C A B C′ ′ ′ 证明：在 Rt△ABC 和 Rt△A′B′C′ 中， ∠C =∠C′ = 90°， 根据勾股定理得 A B C A B C′ ′ ′ C B A 问题 在 A 点的小狗，为了尽快吃到 B 点的香肠，它选择 A B 路线，而不选择 A C B 路线，难道小狗也懂数学？ AC+CB ＞AB（两点之间，线段最短） 思考 在立体图形中，怎么寻找最短路线呢？ 利用勾股定理求最短距离 A B 蚂蚁从 A→B 的路线 问题：在一个圆柱形石凳上，小明在吃东西时留下了一点食物在 B 处，恰好在 A 处的一只蚂蚁捕捉到这一信息，于是它想沿侧面从 A 处爬向 B 处，问怎么走最近？最短路程怎么求？ B A 将侧面展开后，根据“两点之间线段最短”可得最近路线. 16 若已知圆柱体高为 12 cm，底面半径为 3 cm，π 取 3. B A 3 O 12 侧面展开图 12 3π A B A' A' 解：在 Rt△ABA′ 中，由勾股定理得 立体图形中求表面上两点间的最短距离，一般把立体图形展开成平面图形，根据“两点之间线段最短”确定最短路线，再根据勾股定理求最短路程. 归纳 例5 有一个圆柱形油罐，要以 A 点环绕油罐建梯子，正好建在 A 点的正上方点 B 处，问梯子最短需多少米(已知油罐的底面半径是 2 m，高 AB 是 5 m，π 取 3)? A B A B A' B' 解：油罐的展开图如图，则 AB' 为梯子的最短距离. AA' = 2×3×2 = 12， A'B' = 5，根据勾股定理得 即梯子最短需 13 米. 数学思想： 立体图形 平面图形 转化 展开 B 牛奶盒 A 【变式题】看到小蚂蚁终于找到食物的兴奋劲儿，小明灵光乍现，又拿出了长方体形状的牛奶盒，把小蚂蚁放在了点 A 处，并在点 B 处滴了一滴蜂蜜，你能帮小明求出蚂蚁找到蜂蜜的最短路程么？ 6 cm 8 cm 10 cm B B1 8 A B2 6 10 B3 AB12 =102 + (6 + 8)2 = 296， AB22 = 82 + (10 + 6)2 = 320， AB32 = 62 + (10 + 8)2 = 360， 解：由题意知有三种展开方法， 如图. ∴ AB1＜AB2＜AB3. ∴ 小蚂蚁找到蜂蜜的最短路程为 AB1，长为 . 8 6 6 10 8 由勾股定理得 例6 如图，一个牧童在小河的南 4 km 的 A 处牧马，而他正位于他的小屋 B 的西 8 km 北 7 km 处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家．他要完成这件事情所走的最短路程是多少？ 解：如图，作出点 A 关于河岸的对称点 A′， 连接 A′B，则 A′B 的长就是最短路程. 由题意得 A′C = 4 + 4 + 7 = 15 (km)， BC = 8 km. 在 Rt△A′CB 中，由勾股定理得 即最短路程是17 km. 牧童 A 小屋 B A′ C 东 北 求直线同侧的两定点到直线上一动点的距离之和最小的方法：先作其中一定点关于这条直线的对称点，连接对称点与另一定点的线段的长就是最小的距离之和，以此线段为斜边构造直角三角形，再结合勾股定理就能求出这个最小的距离之和． 归纳 如图是一个边长为 1 的正方体硬纸盒，现在 A 处有一只蚂蚁，想沿着正方体的外表面爬到 B 处吃食物，求蚂蚁爬行的最短路程是多少？ A B 解：由题意得 AC = 2，BC = 1. 在 Rt△ABC 中，由勾股定理得 AB2 = AC2 + BC2 = 22+ 12 = 5. ∴ AB = ，即最短路程为 . 2 1 A B C 练一练 1. 从电线杆上离地面 5 m 的 C 处向地面拉一条长为 7 m的钢缆，则地面钢缆 A 到电线杆底部 B 的距离是 ( ) A. 24 m B. 12 m C. m D. m D 导入新课 3. 已知点 (2，5)，(-4，-3)，则这两点的距离为____. 10 2. 如图，一支铅笔放在圆柱形笔筒中，笔筒的内部底面直径是 9 cm，内壁高 12 cm，则这只铅笔的长度可能是 (　　) A. 9 cm B. 12 cm C. 15 cm D. 18 cm D 4. 如图，有两棵树，一棵高 8 米，另一棵高 2 米，两棵树相距 8 米. 一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵 的树梢，问小鸟至少飞行多少米？ A B C 解：如图，过点 A 作 AC⊥BC 于点 C. 由题意得 AC = 8 (米)，BC = 8 - 2 = 6 (米)， 答：小鸟至少飞行 10 米. 5. 如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别等于 55 cm，10 cm 和 6 cm，A 和 B 是这个台阶的两个相对的端点，A 点上有一只蚂蚁，想到 B 点去吃可口的食物. 这只蚂蚁爬行的最短路程是多少？ B A A B C 解：台阶的展开图如图，连接 AB. 在 Rt△ABC 中，根据勾股定理得 AB2 = BC2＋AC2 = 552＋482 = 5329 = 732. ∴ AB = 73 cm. 6. 为筹备迎接新生晚会，同学们设计了一个圆筒形灯罩，底色漆成白色，然后缠绕红色油纸，如图.已知圆筒的高为 108 cm，其横截面周长为 36 cm，如果在表面均匀缠绕油纸 4 圈，应裁剪多长的油纸？ 能力提升： 解：如右下图，在 Rt△ABC 中， AC＝36 cm，BC＝108÷4 ＝27 (cm)． 由勾股定理，得 AB2＝AC2＋BC2 ＝362＋272＝2025＝452. ∴ AB＝45 cm. ∴ 整个油纸的长为 45×4＝180 (cm)． 勾股定理 的应用 用勾股定理解决实际问题 用勾股定理解决点的距离及最短路径问题 解决“HL”判定方法证全等的正确性问题 课堂小结 $