19.3.2 第2课时 菱形的判定（讲解课件）【优翼·学练优】2025-2026学年八年级数学下册同步备课（沪科版）

该初中数学课件聚焦菱形的判定，涵盖定义法、四边相等的四边形是菱形、对角线互相垂直的平行四边形是菱形三大核心知识点。课堂导入通过复习菱形定义与性质，以问题链引导学生思考“还有其他判定方法吗”，搭建新旧知识联系的学习支架。 其亮点在于以探究式学习培养数学眼光与思维，如通过尺规作图猜想“四边相等的四边形是菱形”，结合证明过程强化推理意识，例题中矩形各边中点连线等情境问题体现模型意识。学生能提升几何直观与逻辑推理能力，教师可借助分层例题和变式练习高效开展教学。

19.3.2 菱形 第19章 四边形 第2课时 菱形的判定 优翼八下数学教学课件（HK） 一组邻边相等 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. 平行四边形 菱形的性质 菱形 两组对边平行 四条边相等 两组对角分别相等 邻角互补 两条对角线互相垂直平分 每一条对角线平分一组对角 边 角 对角线 复习引入 问题 菱形的定义是什么？性质有哪些？ 导入新课 根据菱形的定义，可得菱形的第一个判定的方法： 且 AB = AD， ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形， ∴ 四边形 ABCD 是菱形. 数学语言 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. A B C D 思考 还有其他的判定方法吗？ 小刚：分别以 A、C 为圆心，以大于 AC 的长为半径作弧，两条弧分别相交于点 B，D，依次连接 A、B、C、D 四点. 已知线段 AC，你能用尺规作图的方法作一个菱形 ABCD，并使 AC 为该菱形的一条对角线吗？ C A B D 想一想：根据小刚的作法你有什么猜想？你能验证小刚的作法对吗？ 猜想：四条边相等的四边形是菱形. 四条边相等的四边形是菱形 新课讲授 证明：∵ AB = BC = CD = AD， ∴ AB = CD，BC = AD. ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形. 又∵ AB = BC， ∴ 四边形 ABCD 是菱形. 已知：如图，四边形 ABCD 中，AB = BC = CD = AD. 求证：四边形 ABCD 是菱形. 证一证 A B C D 四条边都相等的四边形是菱形. AB = BC = CD = AD 几何语言描述： 在四边形 ABCD 中，∵ AB = BC = CD = AD， ∴ 四边形 ABCD 是菱形. A B C D 菱形 ABCD 菱形的判定定理： 归纳总结 四边形 ABCD A B C D 下列命题中正确的是 （ ） A. 一组邻边相等的四边形是菱形 B. 三条边相等的四边形是菱形 C. 四条边相等的四边形是菱形 D. 四个角相等的四边形是菱形 C 练一练 证明：∵∠1 =∠2，AE = AC，AD = AD， ∴△ACD≌△AED (SAS). 同理，△ACF≌△AEF. ∴ CD = ED，CF = EF. 又∵ EF = ED， ∴ CD = ED = CF = EF. ∴ 四边形 CDEF 是菱形. 2 例1 如图，在△ABC 中，AD 是角平分线， 点 E、F 分别在 AB、 AD 上，且 AE = AC，EF = ED. 求证：四边形 CDEF 是菱形. A C B E D F 1 典例精析 例2 如图，在△ABC 中，∠B＝90°，AB＝6 cm，BC＝8 cm. 将△ABC 沿射线 BC 方向平移 10 cm，得到△DEF，A，B，C 的对应点分别是 D，E，F，连接AD. 求证：四边形 ACFD 是菱形． 证明：由平移的性质得 CF＝AD＝10 cm，DF＝AC. ∵∠B＝90°，AB＝6 cm，BC＝8 cm， ∴ AC＝DF＝AD＝CF. ∴ 四边形 ACFD 是菱形． 四边形的条件中存在多个关于边的等量关系时，运用四条边都相等来判定一个四边形是菱形比较方便. 归纳 H G F E D C B A 证明：连接 AC、BD. ∵ 四边形 ABCD 是矩形， ∴ AC = BD. ∵ 点 E、F、G、H 为各边中点， ∴ EF = FG = GH = EH， ∴ 四边形 EFGH 是菱形. 例3 如图，顺次连接矩形 ABCD 各边中点，得到四边形 EFGH，求证：四边形 EFGH 是菱形. 10 C A B D E F G H 【变式题】如图，顺次连接对角线相等的四边形 ABCD 各边的中点，得到的四边形 EFGH 是什么四边形？ 解：四边形 EFGH 是菱形. 又∵AC = BD， ∵点 E、F、G、H 为各边中点， ∴EF=FG=GH=HE. ∴ 四边形 EFGH 是菱形. 顺次连接对角线相等的四边形的各边中点，得到的四边形是菱形. 归纳 理由如下：连接 AC、BD. C A B D E F G H 【变式题】如图，顺次连接对角线相等的四边形 ABCD 各边的中点，得到的四边形 EFGH 是什么四边形？ 解：四边形 EFGH 是菱形. 又∵AC = BD， ∵点 E、F、G、H 为各边中点， ∴EF=FG=GH=HE. ∴ 四边形 EFGH 是菱形. 顺次连接对角线相等的四边形的各边中点，得到的四边形是菱形. 归纳 理由如下：连接 AC、BD. 思考 我们知道，把两张等宽的纸条交叉重叠在一起得到的四边形是平行四边形，你能进一步判断重叠部分四边形 ABCD 的形状吗？ A C D B 分析：易知四边形 ABCD 是平行四边形，只需证一组邻边相等即可进一步判断. 由题意可知 BC 边上的高和 CD 边上的高相等（AE = AF）， 通过证△ABE≌△ADF（AAS），即得 AB = AD. 请补充完整的证明过程 E F 猜想：对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 你能证明这一猜想吗？ 我们用一长一短两根细木条，在它们的中点处固定一个小钉，做成一个可以转动的十字，四周围上一根橡皮筋，可得到一个平行四边形. 那么转动木条，这个平行四边形什么时候变成菱形? 对此你有什么猜想？ 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 14 证明： ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形， ∴ OA = OC. 又∵ AC⊥BD， ∴ BD 是线段 AC 的垂直平分线. ∴ BA = BC. ∴ □ABCD 是菱形（菱形的定义）. A B C O D 已知：如图，四边形 ABCD 是平行四边形，对角线 AC 与 BD 相交于点 O ，AC⊥BD. 求证：□ABCD 是菱形. 证一证 对角线互相垂直的平行四边形是菱形. AC⊥BD 几何语言描述： 在 □ABCD 中，∵ AC⊥BD， ∴ □ABCD 是菱形. A B C D 菱形 ABCD A B C D □ABCD 菱形的判定定理： 归纳总结 例4 如图，□ABCD 的两条对角线 AC、BD 相交于点 O，AB = 5，AO = 4，BO = 3. 求证：四边形 ABCD 是菱形. A B C D O 又∵ 四边形 ABCD 是平行四边形， ∵ OA = 4，OB = 3，AB = 5， 证明： 即 AC⊥BD. ∴ AB2 = OA2 + OB2. ∴△AOB 是直角三角形， 典例精析 ∴ 四边形 ABCD 是菱形. 例5 如图，矩形 ABCD 的对角线 AC 的垂直平分线与边 AD、BC 分别交于点 E、F，求证：四边形 AFCE 是菱形. A B C D E F O 1 2 证明：∵ 四边形 ABCD 是矩形， ∴ AE∥FC，∴∠1 =∠2. ∵ EF 垂直平分 AC， ∴ AO = OC. 又∠AOE =∠COF， ∴△AOE≌△COF. ∴ EO = FO. ∴ 四边形 AFCE 是平行四边形. 又∵ EF⊥AC，∴ 四边形 AFCE 是菱形. 练一练 在四边形 ABCD 中，对角线 AC，BD 互相平分，若添加一个条件使得四边形 ABCD 是菱形，则这个条件可以是 （ 　 ） A．∠ABC = 90° B．AC⊥BD C．AB = CD D．AB∥CD B 例3 如图，在△ABC 中，D、E 分别是 AB、AC 的中点，BE＝2DE，延长 DE 到点 F，使得 EF＝BE，连接 CF. (1) 求证：四边形 BCFE 是菱形； 证明：∵ D、E 分别是 AB、AC 的中点， ∴ DE∥BC，且 BC＝2DE. 又∵ BE＝2DE，EF＝BE， ∴ EF＝BC，EF∥BC. ∴ 四边形 BCFE 是平行四边形. 又∵ EF＝BE，∴ 四边形 BCFE 是菱形. 菱形的性质与判定的综合运用 解：∵∠BCF＝120°， ∴∠EBC＝60°. ∴△EBC 是等边三角形. ∴ 菱形的边长为 4，高为 . ∴ 菱形的面积为 . (2) 若 CE＝4，∠BCF＝120°，求菱形 BCFE 的面积. 判定一个四边形是菱形时，要结合条件灵活选择方法．如果可以证明四条边相等，可直接证出是菱形；如果只知道一组邻边相等或对角线互相垂直，可以先尝试证明这个四边形是平行四边形． 归纳 练一练 如图，在 □ABCD 中，AC 平分∠DAB，AB = 2，求 □ABCD 的周长. 解：在 □ABCD 中，AD∥BC，AB∥CD， ∴∠DAC =∠ACB，∠BAC =∠ACD. ∵ AC 平分∠DAB， ∴∠DAC =∠BAC. ∴∠DAC =∠ACD. ∴ AD = CD. ∴ 四边形 ABCD 为菱形. ∴ 菱形 ABCD 的周长为 4AB = 4×2 = 8. 2. 一边长为 13 cm 的平行四边形，两条对角线的长分别 为 24 cm 和 10 cm，则其面积为 . 120 cm2 1. 判断下列说法是否正确： (1) 对角线互相垂直的四边形是菱形； (2) 对角线互相垂直且平分的四边形是菱形； (3) 对角线互相垂直，且有一组邻边相等的 四边形是菱形； (4) 两条邻边相等，且一条对角线平分一组 对角的四边形是菱形． √ ╳ ╳ ╳ 当堂练习 3. 如图，将△ABC 沿 BC 方向平移得到 △DCE，连接 AD，增加下列条件能够判定四边形 ACED 为菱形的是（　　） A．AB = BC B．AC = BC C．∠B = 60° D．∠ACB = 60° B 解析：∵ 将△ABC 沿 BC 方向平移得到△DCE， ∴ AC∥DE，AC = DE. ∴ 四边形 ACED 为平行四边形. 当 AC = BC 时， 平行四边形 ACED 是菱形． 故选 B． A B C D O E 4. 如图，矩形 ABCD 的对角线相交于点 O，DE∥AC， CE∥BD. 求证：四边形 OCED 是菱形. 证明：∵ DE∥AC，CE∥BD， ∴ 四边形 OCED 是平行四边形. ∵ 四边形 ABCD 是矩形， ∴ OC = OD. ∴ 四边形 OCED 是菱形. 25 B C A D O E M N 证明：∵ MN 是 AC 的垂直平分线， ∴ AE = CE，AD = CD，OA = OC， ∠AOD =∠EOC = 90°. ∵ CE∥AB，∴ ∠DAO =∠ECO. ∴ △ADO≌△CEO (ASA). ∴ AD = CE. ∴ 四边形 ADCE 是平行四边形. 又∵ DE⊥AC， ∴ 四边形 ADCE 是菱形. 5. 如图，△ABC 中，AC 的垂直平分线 MN 交 AB 于点 D，交 AC 于点 O，CE∥AB 交 MN 于点 E，连接 AE、CD.求证：四边形 ADCE 是菱形. 证明：由尺规作∠BAF 的平分线的过程可得 AB = AF，∠BAE =∠FAE. ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形， ∴ AD∥BC. ∴∠FAE =∠AEB. ∴∠BAE =∠AEB. ∴ AB = BE. ∴ BE = FA. ∴ 四边形 ABEF 为平行四边形. ∵ AB = AF，∴ 四边形 ABEF 为菱形. 6.如图，在平行四边形 ABCD 中，用直尺和圆规作∠BAD 的平分线交 BC 于点 E，连接 EF． （1）求证：四边形 ABEF 为菱形； （2）AE，BF 相交于点 O，若 BF = 6，AB = 5，求 AE 的长． 解：∵ 四边形 ABEF 为菱形， ∴ AE⊥BF，BO = FB = 3，AE = 2AO． 在 Rt△AOB 中，由勾股定理得 AO = 4， ∴ AE = 2AO = 8． 有一组邻边相等的平行四边形是菱形 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 四边相等的四边形是菱形 运用定理进行计算和证明 菱形的判定 定义法 判定定理 课堂小结 $