17.4 一元二次方程的根与系数的关系（讲解课件）【优翼·学练优】2025-2026学年八年级数学下册同步备课（沪科版）

该初中数学课件聚焦一元二次方程的根与系数关系，通过复习求根公式和判别式导入，搭建新旧知识联系的学习支架，引导学生从方程根的表达式中探索规律，逐步理解韦达定理的核心内容。 其亮点在于以严谨推导为基础，结合多样化应用题型，如已知一根求参数、利用定理求代数式值等，培养学生的推理能力与模型意识。通过“思考与提升”环节深化对定理的理解，帮助学生提升运算与问题解决能力，教师可借助系统的例题与练习高效开展教学。

17.4 一元二次方程的根与系数的关系 第17章 一元二次方程 八年级下册数学（沪科版） 学习目标 1. 探索一元二次方程的根与系数的关系. (难点) 2.不解方程利用一元二次方程的根与系数的关系解决问题. (重点) 1. 一元二次方程的求根公式是什么 ? 2. 如何用判别式来判断一元二次方程根的情况 ? 对于一元二次方程 ax2 + bx +c = 0 (a ≠ 0)，其判别式 Δ = b2 - 4ac. 当 Δ > 0 时，方程有两个不相等的实数根； 当 Δ = 0 时，方程有两个相等的实数根； 当 Δ < 0 时，方程无实数根。 导入新课 一元二次方程的根与系数的关系 思考 我们知道，一元二次方程 ax² + bx + c = 0 ( a≠0 , 且 b2 - 4ac ≥ 0 )的两根为： 观察 x1 ，x2 表达式的特点 ，你有什么发现 ? x1 = , x2 = 1 新知探究 证一证： 当 b2 - 4ac≥0 时，方程两根之和： 方程两根之和： 一元二次方程的根与系数的关系 如果 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 的两个根为 x1，x2，那么 这个关系通常称为韦达定理. 知识要点 思考与提升 (1) 如果将一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 的二次项系数化为 1 ，能化成什么样的形式 ? 因为 a≠0， 将 ax2 + bx + c = 0 的两边同时除以 a，得 这样就可以把原方程化成 x2 + px + q = 0 的形式. 归纳总结 对于二次项系数为 1 的一元二次方程 x2 + px + q = 0, x1 + x2 = -p, x1·x2 = q (x - x1)(x - x2) = 0 x2 - (x1 + x2) x + x1·x2 = 0 x2 + px + q = 0 x1 + x2 = -p, x1·x2 = q (2) 一元二次方程 (x - x1)(x - x2) = 0 (x1，x2 为已知数) 的两根是什么？若将此方程化为 x2 + px + q = 0 的形式，你能看出 x1，x2 与 p，q 之间的关系吗？ 有关韦达定理的常见的求值式子如下： 一元二次方程的根与系数的关系的应用 2 例1 利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积. (1) x2 + 7x + 6 = 0， (2) 2x2 - 3x - 2 = 0. 解： (1) 设方程的两根是 x1，x2，由韦达定理， 得 x1 + x2 = -7，x1·x2 = 6. (2) 设方程的两根是 x1，x2，由韦达定理， 得 x1 + x2 = ，x1·x2 = -1. 典例精析 想一想：本题还有别的解法吗？ 解 设方程的另一个根是 x2，则 例2 已知方程 2x2 + kx - 4 = 0 有两个根，其中一个根 是 -4，求它的另一个根及 k 的值. -4 + x2 = -4x2 = 解方程组，得 x2 = ， k = 7. 答：方程的另一个根为 ，k 的值为 7. 解 将 x = –4 代入方程，得 2×( –4 )2 + (–4 )k – 4 = 0. 解得 k = 7. 将 k = 7 代入方程，得 2x2 + 7x – 4 = 0， 例2 已知方程 2x2 + kx - 4 = 0 有两个根，其中一个根 是 -4，求它的另一个根及 k 的值. 解得 x1 = ， x2 = –4. 例3 设 x1，x2 是方程 x2 - 2(k - 1)x + k2 = 0 的两个实数根，且 x12 + x22 = 4，求 k 的值。 解：由方程有两个实数根，得 Δ = 4(k - 1)2 - 4k2≥0， 即 -8k + 4≥0， 由根与系数的关系得 x1 + x2 = 2(k - 1)，x1 x2 = k2. ∴ x12 + x22 = (x1 + x2)2 - 2x1x2 = 4(k - 1)2 - 2k2 = 2k2 - 8k + 4 = 4. 解得 k1 = 0，k2 = 4. ∵ ，∴ k = 0. 例4 方程 2x² - 3x - 1 = 0 的两个根记作 x1，x2， 求 x1 - x2 的值. ( x1 - x2 )² = ( x1 + x2 )² - 4x1x2 解 由韦达定理，得 x1 + x2 = ，x1x2 = . ∴ x1 - x2 = = ( )² + 4× = . 1.设 x1，x2 为方程 x2 - 4x + 1 = 0 的两个根，则 (1) x1 + x2 = ; (2) x1 · x2 = ; (3) ; (4) (x1 - x2)2 = . 4 1 14 12 练一练 数学拓展 二次三项式 ax² + bx + c ( abc≠0 ，a，b，c 为常数 ) 在实数范围内的因式分解 ，还可利用求一元二次方程 ax² + bx + c = 0 的根来进行 . 若 ax² + bx + c = 0 有两个根 x1 ，x2 ，则由根与系数的关系可知 二次三项式的因式分解 因此 例如，一元二次方程 3x2 -5x -12 = 0 的两个根 x1 = 3 ，x2 = ，则二次三项式 3x2 -5x -12 = 0 可以分解为 3( x -3 )( x + ). 思考 1. 在实数范围内，将 4x² + 8x -1 分解因式. 2. 二次三项式 2x² + 3x + 2 能否在实数范围内分解？ 解 令 4x² + 8x -1 = 0， 得 则 4x² + 8x -1 可以分解为 4( x +1 - )( x +1 + ). 2. 二次三项式 2x² + 3x + 2 能否在实数范围内分解? 解 令 2x² + 3x + 2 = 0， Δ = b2 - 4ac = 32 - 4×2×2 = -7＜0. 故这个方程无根. 因此二次三项式 2x² + 3x + 2 不能在实数范围内分解. 练一练 2. 已知一元二次方程 x2 + px + q = 0 的两根分别为 -2 和 1，则 p = ，q = . 1 -2 1. 如果 -1 是方程 2x2 - x + m = 0 的一个根，那么另一个根是 ，m = ____. ___ -3 课后练习 3. 已知方程 3x2 - 19x + m = 0 的一个根是 1，求它的另 一个根及 m 的值. 解：将 x = 1 代入方程中，得 3 - 19 + m = 0. 解得 m = 16. 设另一个根为 x1，则有 1 · x1 = ∴ x1 = 4. 已知 x1，x2 是方程 2x2 + 2kx + k - 1 = 0的两个根，且(x1 + 1)(x2 + 1) = 4. (1) 求 k 的值； (2) 求 (x1 - x2)2 的值。 解：(1)根据韦达定理，得 ∴ (x1 + 1)(x2 + 1) = x1x2 + (x1 + x2) + 1 = 解得 k = -7. (2) ∵ k = -7, ∴ 则 5. 设 x1，x2 是方程 3x2 + 4x – 3 = 0 的两个根，利用根与系数之间的关系，求下列各式的值： (1) (x1 + 1)(x2 + 1); (2) 解：由根与系数的关系，得 (1)(x1 + 1)(x2 + 1) = x1 x2 + x1 + x2 + 1 = (2) 6. 当 k 为何值时，方程 2x2 - kx + 1 = 0 的两根之差为 1？ 解：设方程两根分别为 x1，x2 (x1 > x2)，则 x1 - x2 = 1. ∵ (x1 - x2)2 = (x1 + x2)2 - 4x1x2 = 1, 由根与系数的关系，得 拓展提升 7. 已知关于 x 的一元二次方程 mx2 - 2mx + m - 2 = 0. （1）若方程有实数根，求实数 m 的取值范围； （2）若方程两根 x1，x2 满足 |x1 - x2| = 1，求 m 的值。 解：（1）∵ 方程有实数根， ∴ Δ = (-2m)2 - 4m(m - 2) = 4m2 - 4m2+ 8m = 8m≥0. ∵ m ≠ 0 ∴ m 的取值范围是 m＞0. （2）由韦达定理得 解得 m = 8，符合题意. ∵ |x1 - x2| = 1, 根与系数的关系 (韦达定理) 内 容 如果一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 的两个根分别是 x1，x2，那么 应 用 …… 课堂小结 本文件著作权为创作公司所有, 仅限于教师教学及其他非商业性和非盈利性用途。如发现盗用、转卖、网络传播等侵权行为, 本公司将依法追究其相应法律责任。 部分素材选自网络, 如有争议, 请联系删改。 声 明 $