17.3 一元二次方程根的判别式（讲解课件）【优翼·学练优】2025-2026学年八年级数学下册同步备课（沪科版）

该初中数学课件聚焦一元二次方程根的判别式，通过“追本溯源”梳理巴比伦人到韦达的历史贡献，结合配方法回顾搭建学习支架，帮助学生从具体解法过渡到抽象概念的理解。 其亮点是融合历史背景与数学推理，以“追本溯源”培养数学眼光（抽象能力），配方法推导过程发展数学思维（推理能力），典例与分层练习强化数学语言（模型意识）。学生能深化概念理解，教师可借助清晰结构提升教学效率。

17.3 一元二次方程根的判别式 第 17 章 一元二次方程 八年级下册数学（沪科版） 学习目标 1.理解并掌握一元二次方程根的判别式的概念； 2.会用判别式判断一元二次方程的根的情况； 3.根据一元二次方程的根的情况确定字母的取值范围. (重、难点) 符号化语言，提炼出核心表达式 b²－4ac 巴比伦人、花剌子模 笛卡尔 拉格朗日 从具体解法中 提炼出“解的存在性与系数关系”的直观认知. 术语定型与理论扩展，完成了从“实用解法”到“抽象概念”的升华. 追本溯源 韦达 回顾：用配方法解方程 ax2 + bx +c = 0 (a ≠ 0). 解：二次项系数化为 1，得 x2 + x + = 0. 配方，得 x2 + x + ( )2 = ( )2 - . 即 (x + )2 = 问题1：接下来能直接开平方吗？ 一元二次方程根的判别式 1 新知探究 问题2：什么情况下可以直接开平方？什么情况下不能直接开？ 我们知道，(x + )2≥0，4a2＞0. 当 b2–4ac＞0 时，x1 = ，x2 = 当 b2–4ac = 0 时，x1 = x2 = 当 b2–4ac＜0 时，不能开方(负数没有平方根)， 所以此时原方程没有实数根. 两个不相等的实数根 两个相等的实数根 没有实数根 判别式的情况 根的情况 我们把 b2 - 4ac 叫作一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 根的判别式，通常用符号“Δ”表示，即 Δ = b2 - 4ac. Δ > 0 Δ = 0 Δ < 0 知识要点 3. 判别根的情况，得出结论。 1. 化为一般式，确定 a，b，c 的值； 根的判别式应用方法 2. 计算 Δ 的值，确定 Δ 的符号； 知识要点 典例精析 例1 用根的判别式判别下列方程根的情况： 解 (1) 因为 Δ = (-3)2 -4×5×( -2) = 49＞0， 所以原方程有两个不相等的实数根. (2) 原方程可变形为 25y ² -20y + 4 = 0， 因为 Δ = ( -20)² -4×25×4 = 0， 所以原方程有两个相等的实数根. (1) 5x² - 3x - 2 = 0； (2) 25y² + 4 = 20y； (3) 2x² +x +1= 0. (3) 因为 Δ = ()² - 4×2×1 = -5 < 0， 所以原方程没有实数根. 1. 不解方程，判断下列方程的根的情况. (1) 3x2 + 4x - 3 = 0； (2) 4x2 = 12x - 9； 解：(1)这里 a = 3，b = 4，c = -3， ∴ Δ = b2 - 4ac = 42 - 4×3×(-3) = 52>0. ∴ 方程有两个不相等的实数根. (2)将方程整理，得 4x2 - 12x + 9 = 0. ∴ Δ = (-12)2 - 4×4×9 = 0. ∴ 方程有两个相等的实数根. 练一练 (3) 7y = 5(y2 + 1). 解：将方程整理，得 5y2 - 7y + 5 = 0， ∴ Δ = (-7)2 - 4×5×5 = -51<0. ∴ 方程没有实数根。 2.按要求完成下列表格： Δ 的值 根的情况 0 4 有两个相等的实数根 没有实数根 有两个不相等的实数根 判断一元二次方程根的情况的方法： 利用根的判别式判断一元二次方程根的情况时，要先把方程转化为一般形式 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0). Δ = b2 - 4ac > 0 时，方程有两个不相等的实数根； Δ = b2 - 4ac = 0 时，方程有两个相等的实数根； Δ = b2 - 4ac < 0 时，方程无实数根。 方法归纳 例2 若关于 x 的一元二次方程 kx2 - 2x - 1 = 0 有两个不相等的实数根，则 k 的取值范围是 ( ) A. k > -1 B. k > -1 且 k ≠ 0 C. k < 1 D. k < 1 且 k ≠ 0 解析：由于方程有两个不相等的实数根，故 Δ > 0，同时二次项系数不能为 0，即 ，k ≠ 0，解得 k > -1 且 k ≠ 0. B 1. 关于 x 的一元二次方程 有两个实根，则 m 的取值范围是 . 注意：一元二次方程有实根，说明方程可能有两个不等实根或两个相等实根两种情况. 解析：由题意知，Δ = (-2)2 - 4m≥0， 解得 m≤1． m≤1 课后练习 2. 不解方程，判断下列方程的根的情况. (1) 2x2 + 3x - 4 = 0; (2) x2 - x + = 0; 解：(1) 这里 a = 2，b = 3，c = -4， ∴ Δ = 32 - 4×2×(-4) = 41>0. ∴ 原方程有两个不相等的实数根. (2) 这里 a = 1，b = -1，c = ， ∴ Δ = (-1)2 - 4×1× = 0. ∴ 原方程有两个相等的实数根. 解：这里 a = 1，b = -1，c = 1， ∴ Δ = ( -1)2 - 4×1×1 = -3 < 0. ∴ 原方程没有实数根. (3) x2 - x + 1 = 0. 3. 不解方程，判别关于 x 的方程 的 实数根的情况. 解： ∴ 原方程一定有两个实数根. 能力提升： 4. 在等腰△ABC 中，三边分别为 a，b，c，其中 a = 5，若关于 x 的方程 x2 + (b + 2)x + 6 - b = 0 有两个相等的实数根，求△ABC 的周长. 解：∵ 所给方程有两个相等的实数根， ∴ Δ = (b + 2)2 - 4×(6 - b) = b2 + 8b - 20 = 0. 解得 b = 2 或 b = -10 (舍去). 当 a为底，b为腰时，2 + 2<5，不能构成三角形，舍去； 当 b为底，a为腰时，5 - 2 < 5 < 5 + 2，能构成三角形. ∴ △ABC 的三边长为 5，5，2，周长为 12. 根的判别式：Δ = b2 - 4ac Δ > 0 时，方程有两个不相等的实数根 Δ < 0 时，方程没有实根 Δ = 0 时，方程有两个相等的实根 课堂小结 本文件著作权为创作公司所有, 仅限于教师教学及其他非商业性和非盈利性用途。如发现盗用、转卖、网络传播等侵权行为, 本公司将依法追究其相应法律责任。 部分素材选自网络, 如有争议, 请联系删改。 声 明 $