17.1 一元二次方程（讲解课件）【优翼·学练优】2025-2026学年八年级数学下册同步备课（沪科版）

该初中数学课件聚焦一元二次方程的概念、一般形式及根，通过复习方程定义和已学方程类型，结合蔬菜产量增长率、长方形空地修路等实际问题，搭建从旧知到新知的学习支架，引导学生逐步理解新知识。 其亮点在于以实际情境培养数学眼光，通过对比一元一次方程抽象出一元二次方程特征，结合典例精析（如整体思想求代数式值）发展推理意识与模型意识。学生能提升抽象能力和应用意识，教师可借助结构化流程和丰富例题提高教学效率。

17.1 一元二次方程 第 17 章 一元二次方程及其应用 八年级下册数学（沪科版） 学习目标 1. 理解一元二次方程的概念. (重点) 2. 根据一元二次方程的一般形式，确定各项系数. 3. 理解并灵活运用一元二次方程概念解决有关问题. (难点) 没有未知数 1. 下列式子哪些是方程？ 2 + 6 = 8 2x + 3 5x + 6 = 22 x + 3y = 8 x - 5<18 代数式 一元一次方程 二元一次方程 不等式 分式方程 导入新课 2. 什么叫方程？我们学过哪些方程？ 含有未知数的等式叫作方程. 我们学过的方程有一元一次方程，二元一次方程（组）及分式方程，其中前两种方程属于整式方程。 3. 什么叫一元一次方程？ 含有一个未知数，且未知数的次数是 1 的整式方程叫作一元一次方程. 想一想：什么是一元二次方程呢？ 一元二次方程的概念 问题1 某蔬菜生产基地去年全年无公害蔬菜产量为 100 t，计划明年无公害蔬菜的产量比去年翻一番 ( 即为 200 t )．要实现这一目标，今年和明年无公害蔬菜产量的年平均增长率应是多少 ? ( 精确到 1 % ) 1 新知探究 根据数量关系绘制下图： 100x 100 100(1+x) 去年 今年 明年 100 100(1+x)x 分析 设这个生产基地今年和明年无公害蔬菜产量的年平均增长率是 x，那么， 明年无公害蔬菜产量为： 100 + 100x = 100(1 + x) ( t ), 今年无公害蔬菜产量为： 100(1+x)+100(1+x) · x =100(1+x)2 ( t ) . 根据题意，得 100(1 + x)² = 200. 化简，得 (1 + x)² = 2. 整理，得 x² + 2x -1 = 0. ① 问题1 某蔬菜生产基地去年全年无公害蔬菜产量为 100 t，计划明年无公害蔬菜的产量比去年翻一番 ( 即为 200 t )．要实现这一目标，今年和明年无公害蔬菜产量的年平均增长率应是多少 ? ( 精确到 1 % ) 问题2 如图，在一块宽 20 m、长 32 m 的长方形空 地上，修筑宽相等的三条小路( 两条纵向，一条横向，纵向与横向垂直 )，把长方形空地分成大小一样的六块，建成小花坛. 要使花坛的总面积为 570 m2，问小路的宽度为多少 ? 32 20 x 1. 若设小路的宽是 x m，则横向小路面积是_____m2，纵向小路的面积是 m2，两者重叠的面积是 m2. 思考 32x 2×20x 2x2 2. 由于花坛的总面积是 570 m2，你能根据题意列出方程吗？ 整理以上方程，可得 32×20 - ( 32x+2×20x ) + 2x2 = 570. x2 - 36x + 35 = 0 ②. 32 20 32-2x 20-x 想一想 有同学列出的方程是(20 - x)(32 - 2x) = 570. 这个方程对吗？ 观察与思考 方程①②都不是一元一次方程。那么这两个方程与一元一次方程的区别在哪里？它们有什么共同特点呢？ 共同特点： (1) 都是整式方程； (2) 只含一个未知数； (3) 未知数的最高次数是 2. x2 - 36x + 35 = 0 ② x² + 2x -1 = 0 ① 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2 的整式方程，叫作一元二次方程. ax2 + bx + c = 0 (a，b，c 为常数，a ≠ 0). 其中，ax2 叫作二次项，a 是二次项系数；bx 叫作一次项，b 是一次项系数； c 叫作常数项. 一元二次方程的概念 一元二次方程的一般形式 知识要点 想一想 为什么一般形式 ax2 + bx + c = 0 中要限制 a ≠ 0？b，c 可以为 0 吗？ 当 a = 0 时 bx+c = 0, 当 a ≠ 0，b = 0 时 ax2+c = 0, 当 a ≠ 0，c = 0 时 ax2+bx = 0, 当 a ≠ 0，b = c =0 时 ax2 = 0, 总结：只要满足 a ≠ 0 即可，b，c 可以为任意实数. 不符合定义； 符合定义； 符合定义； 符合定义. 例1 下列选项中，是关于 x 的一元二次方程的是 ( ) C 不是整式方程 含两个未知数 化简整理为 x2 - 3x + 2 = 0 少了先决条件 a ≠ 0 提示：判断一个方程是不是一元二次方程，首先看是不是整式方程，若是则进一步化简整理后再做判断。 典例精析 例2 a 为何值时，下列方程为一元二次方程？ (1) ax2 - x = 2x2； (2) (a - 1)x|a| + 1 - 2x - 7 = 0. 解：(1) 将方程整理，得 (a - 2)x2 - x = 0， 所以当 a - 2≠0，即 a≠2 时，原方程是一元二次方程. 方法点拨：根据一元二次方程的定义求参数的值时，根据未知数的最高次数等于 2，列出关于参数的方程，再排除使二次项系数等于 0 的参数值即可得解. (2) 由 | a | + 1 = 2，且 a - 1≠0 知，当 a = -1 时，原方程是一元二次方程. 例3 将方程 2x(x + 1) = 5 化为一般形式，并分别指出它的二次项、一次项和常数项及它们的系数。 解： 去括号，得 2x2 + 2x = 5. 移项，得该方程的一般形式为 2x2 + 2x - 5 = 0. 其中二次项是 2x2，系数是 2；一次项是 2x，系数是 2；常数项是 -5. 系数和项均包含前面的符号。 注意 使一元二次方程等号两边相等的未知数的值叫作一元二次方程的解（又叫作根）. 练一练：下面哪些数是方程 x2 – x – 6 = 0 的解？ -4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4. 解： 3 和 -2. 你注意到了吗？一元二次方程不止一个解(根) 一元二次方程的根 2 例4 已知方程 3x( x - 1 ) = 2( x + 2 ) + 4. (1) 把该方程化成一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数及常数项； 解 (1) 去括号，得 3x² - 3x = 2x + 4 + 4. 移项、合并同类项，得方程的一般形式： 3x² - 5x - 8 = 0 它的二次项系数是 3，一次项系数是 -5，常数项是 -8. 典例精析 (2) 把 x = -1 代入原方程的左右两边，得 左边 = 3×(-1)×(-1 - 1) = 6. 右边 = 2×(-1 + 2) + 4 = 6. 因为左边 = 右边，所以 -1 是该方程的根. 例4 已知方程 3x( x - 1) = 2( x + 2 ) + 4. (2) 判断 -1 是否为该方程的根， 例5 已知 a 是方程 x2 + 2x－2 = 0 的一个实数根，求 2a2 + 4a + 2022 的值。 解：由题意得 方法点拨：求代数式的值，先把已知解代入，再注意观察，有时需用到整体思想——求解时，将所求代数式中的某一部分看作一个整体，再将这个整体代入求值。 1. 下列哪些是一元二次方程？ 是 不是 是 不是 不是 是 (1) 3x + 2 = 5x - 2； (2) x2 = 0； (3) (x + 3)(2x - 4) = x2； (4) 3y2 = (3y + 1)(y - 2)； (5) x2 = x3 + x2 - 1； (6) 3x2 = 5x - 1. 课后练习 2. 填空： 方程 一般形式 二次项系数 一次项系数 常数项 -2 1 3 1 3 -5 4 0 -5 3 -2 （1） 有一块长方形铁皮，长 100 cm，宽 50 cm，在它的四角各切去一个边长为 x cm 正方形，然后将四周凸出部分折起，就能制作一个无盖方盒．如果制作的方盒的底面积为 3600 cm2，求切去的正方形的边长 x． 解：依题意知盒底的长为 (100 - 2x) cm，宽为 (50 - 2x) cm，则有 化简、整理，得 3. 请根据题意列出方程，并化为一般形式. 100 cm 50 cm x 3600 cm2 （2） 组织一次排球邀请赛，参赛的每两队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排 7 天，每天安排 4 场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参加比赛? 解：根据题意，列方程得 化简，得 4. 已知关于 x 的一元二次方程 x2 + ax + a = 0 的一个根是 3，求 a 的值. 解：由题意把 x = 3 代入方程 x2 + ax + a = 0，得 32 + 3a + a = 0， 9 + 4a = 0， 4a = -9， 5. 若关于 x 的一元二次方程 (m + 2)x2 + 5x + m2 - 4 = 0 有一个根为 0，求 m 的值. 二次项系数不为零不容忽视 解：将 x = 0 代入原方程，得 m2 - 4 = 0， 解得 m = ±2. ∵ m + 2 ≠ 0， ∴ m ≠ -2. ∴m = 2. 拓广探索：已知关于 x 的一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 的一个根为 1，求 a + b + c 的值. 解：由题意得 思考：(1) 若 a + b + c = 0，你能通过观察，求出方程 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 的一个根吗? 解：由题意得 ∴ 方程 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 必有一个根是 1. (2) 若 a - b + c = 0，且 4a + 2b + c = 0，你能通过观察，求出方程 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 的根吗? x1 = -1，x2 = 2. 一元二次方程 概念 是整式方程； 含一个未知数； 最高次数是 2 一般形式 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0), 其中 a ≠ 0 是一元二次方程的必要条件 根 使方程左右两边相等的未知数的值 课堂小结 本文件著作权为创作公司所有, 仅限于教师教学及其他非商业性和非盈利性用途。如发现盗用、转卖、网络传播等侵权行为, 本公司将依法追究其相应法律责任。 部分素材选自网络, 如有争议, 请联系删改。 声 明 $