16.2.2 第2课时 二次根式的混合运算（讲解课件）【优翼·学练优】2025-2026学年八年级数学下册同步备课（沪科版）

该初中数学课件聚焦二次根式的混合运算，通过回顾整式乘除法法则，引导学生类比迁移，构建从整式运算到二次根式运算的知识支架，帮助理解混合运算法则及乘法公式的应用。 其亮点在于以类比思维和问题驱动为核心，结合典例精析、变式训练及实际问题（如路基土石方计算），培养学生运算能力与应用意识。小结系统梳理方法，学生能提升解题技能，教师可高效突破重难点。

16.2.2 二次根式的加减 第2课时 二次根式的混合运算 第16章 二次根式 八年级下册数学（沪科版） 1. 掌握二次根式的混合运算的运算法则.（重点） 2.会运用二次根式的混合运算法则进行有关的运算.（难点） 学习目标 问题1 单项式与多项式、多项式与多项式的乘法法则分别是什么? 问题2 多项式与单项式的除法法则是什么? m (a + b + c) = ma + mb + mc； (m + n)(a + b) = ma + mb + na + nb. (ma + mb + mc)÷m = a + b + c. 导入新课 分配律 单×多 转化 前面两个问题的思路是： 思考 若把字母 a，b，c，m 都用二次根式代替(每个同学任选一组)，然后对比归纳，你们发现了什么？ 单×单 问题1 整式乘法运算中的乘法公式有哪些? 平方差公式：(a + b)(a - b) = a2 - b2. 完全平方公式：(a ± b)2 = a2 ± 2ab + b2. 问题2 整式的乘法公式对于二次根式的运算也适用吗? 整式的乘法公式就是 多项式×多项式 前面我们已经知道二次根式运算可类比整式运算，所以适用哟！ 利用乘法公式进行二次根式的运算 1 新知探究 例1 计算： 典例精析 解 = 3 - 1 = 2 1. 计算： 解： 练一练 进行二次根式的混合运算时，一般先将二次根式化为最简二次根式，再根据题目的特点确定合适的运算方法，同时要灵活运用乘法公式、因式分解等来简化运算. 归纳 解：原式 解：原式 二次根式的加、减、乘、除混合运算与整式运算一样，体现在：运算律、运算顺序、乘法法则仍然适用. 例2 计算： 解：(1)原式 二次根式的混合运算及应用 2 二次根式的混合运算，先要弄清运算种类，再确定运算顺序：先乘除，再加减，有括号的要先算括号内的，最后按照二次根式相应的运算法则进行. 归纳 解：原式 此题可类比“多项式×多项式”，即 (x + a)(x + b) = x2 + (a + b)x + ab 解：(1) 原式 (2) 原式 【变式题】计算： 有绝对值符号的，同括号一样，先去绝对值，注意去掉绝对值后，得到的数应该为正数. 归纳 例3 计算： 解 2.计算： 解：(1)原式 练一练 例4 甲、乙两个城市间计划修建一条城际铁路， 其中有一段路基的横断面设计为上底宽 ，下底宽 ，高 的梯形，这段路基长 500 m，那么这段路基的土石方 (即路基的体积，其中路基的体积 = 横断面面积×长度) 为多少立方米呢？ 解：路基的土石方等于路基横断面面积乘路基的长度，所以这段路基的土石方为： 答：这段路基的土石方为 例5 已知 试求 x2 + 2xy + y2 的值. 解：x2 + 2xy + y2 = (x + y)2. 把 代入上式得 原式 = 求代数式的值 3 用整体代入法求代数式值的方法：求关于x，y的对称式(即交换任意两个字母的位置后，代数式不变)的值，一般先求 x+y,xy,x-y, 等的值，然后将所求代数式适当变形成只含 x+y,xy,x-y, 等的式子，再代入求值. 归纳 解：∵ ， ∴ ∴ x3y + xy3 = xy(x2 + y2) = xy[(x + y)2 - 2xy] 【变式题】 已知 ，求 x3y + xy3. 前面我们学习二次根式的除法法则时，学会了二次根式分母有理化的方法，比如: 思考 如果分母不是单个的二次根式，而是含二次根式的和差，如 等，该怎样使分母有理化呢？ 根据整式的乘法公式在二次根式中也适用，你能想到什么好方法吗？ 知识拓展 例6 计算： 解： 分母形如 的式子，将分子、分母同乘 ，构造平方差公式，可使分母有理化. 归纳 【变式题】已知 ，求 . 解：∵ 解决二次根式的化简求值问题时，先化简已知条件，再用乘法公式变形、代入求值即可. 归纳 3.已知 的整数部分是 a，小数部分是 b，求 a2 - b2 的值. 解： 练一练 二次根式混合运算 乘法公式 化简求值 分母有理化 化简运算和求代数式的值 (a+b)(a－b)=a2－b2 (a±b)2=a2±2ab+b2 (x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab 课堂小结 1. 下列计算中正确的是（ ） B 2. 计算： 5 3. 设 则 a b (填“>”“ < ” 或“= ”). = 课后练习 4. 计算： 解：原式 解：原式 解：原式 5. 在一个边长为 cm 的正方形内部，挖去一个边长为 cm 的正方形，求剩余部分的面积. 解：由题意得 即剩余部分的面积是 6. (1) 已知 ，求 的值； 解：x2－2x－3=(x－3)(x+1) (2) 已知 ，求 的值. 解： 7. 阅读下列材料，然后回答问题： 在进行类似于二次根式 的运算时，通常有如下两种方法将其进一步化简： 方法一： 方法二： 能力提升：  (1) 请用两种不同的方法化简： (2) 化简： 解：(1) 本文件著作权为创作公司所有, 仅限于教师教学及其他非商业性和非盈利性用途。如发现盗用、转卖、网络传播等侵权行为, 本公司将依法追究其相应法律责任。 部分素材选自网络, 如有争议, 请联系删改。 声 明 $