第19章 综合与实践 特殊平行四边形的探究（作业课件）【优翼·学练优】2025-2026学年八年级数学下册同步备课（沪科版）

该初中数学课件聚焦第19章四边形的综合与实践，核心探究特殊平行四边形性质。课堂以矩形、正方形纸片折叠为导入，先通过操作感知矩形折叠中角度关系，再迁移至正方形折叠证全等、求边长，最后拓展到锐角三角形折叠探究菱形，构建从具体操作到抽象推理的学习支架。 其亮点是融合几何直观与推理能力，以折纸操作为载体，如矩形折叠感知∠MBC=30°，正方形折叠用HL证△MBQ≌△CBQ并结合勾股定理求CQ=4/3，锐角三角形折叠判断菱形并计算面积。学生在实践中发展创新意识，教师可通过分层探究提升教学效率。

2026春季学期 《学练优》·八年级数学下·HK 第19章　四边形 综合与实践　特殊平行四边形的探究 [主题]折纸 1. [素材]一张长方形纸片，一张正方形纸片 [操作感知]如图①，在矩形纸片ABCD的AD边上取 一点P，沿BP折叠，使点A落在矩形内部点M处， 把纸片展平，连接PM，BM. 若∠DPM＝60°， 则∠MBC的大小为 ⁠. 30°　 2 1 [迁移探究]如图②，将矩形纸片换成正方形纸片， 将正方形纸片ABCD按照[操作感知]进行折叠，并 延长PM交CD于点Q，连接BQ. (1)判断△MBQ与△CBQ的关系并证明； 2 1 解：△MBQ≌△CBQ，证明如下： ∵正方形纸片ABCD按照[操作感知]进行折叠， ∴AB＝BM＝BC，∠A＝∠BMP＝∠BMQ＝ ∠C＝90°. 在Rt△MBQ和Rt△CBQ中， ∴Rt△MBQ≌Rt△CBQ(HL)，即 △MBQ≌△CBQ. 解：△MBQ≌△CBQ，证明如下： ∵正方形纸片ABCD按照[操作感知]进行折叠， ∴AB＝BM＝BC， ∠A＝∠BMP＝∠BMQ＝∠C＝90°. 在Rt△MBQ和Rt△CBQ中， ∴Rt△MBQ≌Rt△CBQ(HL)， 即△MBQ≌△CBQ. 2 1 (2)若正方形ABCD的边长为4，点P为AD的中点， 则CQ的长为 ⁠. 　 2 1 [解析]设CQ的长为x， ∵正方形ABCD的边长为4，点P为AD的中点， ∴DQ＝4－x，PM＝AP＝PD＝ ×4＝2. 由(1)得△MBQ≌△CBQ， ∴MQ＝CQ＝x.∴PQ＝PM＋MQ＝2＋x. 在Rt△PDQ中，PQ2＝PD2＋DQ2， 即(2＋x)2＝22＋(4－x)2，解得x＝ ， 即CQ＝ .故答案为 . [解析]设CQ的长为x， ∵正方形ABCD的边长为4，点P为AD的中点， ∴DQ＝4－x，PM＝AP＝PD＝ ×4＝2. 由(1)得△MBQ≌△CBQ， ∴MQ＝CQ＝x.∴PQ＝PM＋MQ＝2＋x. 在Rt△PDQ中，PQ2＝PD2＋DQ2， 即(2＋x)2＝22＋(4－x)2，解得x＝ ， 即CQ＝ .故答案为 . 2 1 2. [素材]一张锐角三角形纸片 [实践操作] 步骤1：如图②，沿过点A的直线折叠，使得AB落 在AC边上，得折痕AD，展平纸片； 步骤2：再次折叠该三角形纸片，使得点A与点D重 合，得折痕EF，再次展平纸片； 步骤3：连接DE，DF， 则四边形AFDE是以∠A 为一个内角的四边形. 2 1 [实践探索] (1)请你按步骤2、步骤3在图③中把图补充完整； 2 1 解：(1)图形如图③所示，AD，EF为折痕. 解：(1)图形如图③所示，AD，EF为折痕. 2 1 (2)判断四边形AFDE的形状，用你所学的数学知识 说明理由； 2 1 解：(2)四边形AFDE是菱形.理由：设AD，EF交 于点O. 由翻折变换的性质可知AE＝ED，FD＝FA， AD⊥EF，AD平分∠BAC， ∴∠EAO＝∠FAO，∠AOE＝∠AOF＝90°. ∴∠AEF＋∠EAO＝90°，∠AFE＋∠FAO＝90°. ∴∠AEF＝∠AFE. ∴AE＝AF. ∴AE＝DE＝DF＝AF. ∴四边形AEDF是菱形. 2 1 (3)当AB＝AC＝12，BC＝16时，则四边形AFDE 的面积为 ⁠. 16 　 2 1 $