5 第19章 四边形-【暑假大串联】2024-2025学年八年级数学暑假作业教材衔接（沪科版）

第 一 部 分 夯 实 基 础 第19章 四边形 1.多边形 在平面内,由一些线段 组成 的图形叫做多边形;画出多边形的任何一条 边所在的直线,如果整个多边形都在这条直 线的 ,那么这个多边形叫做凸多边 形,否则叫凹多边形. 2.多边形的对角线的条数 根据多边形的对角线的定义,从四边形 的一个顶点可以引一条对角线;从五边形的 一个顶点可以引两条对角线,那么从n 边形 的一个顶点可以引出 条对角线.n 边形共有n 个顶点,共有n(n-3)条对角线, 但每条对角线都算两遍,所以n 边形共有 条对角线. 3.平行四边形的性质与判定 平行四边形的性质: ; ; . 平行四边形的判定方法: ; ; . 4.矩形的性质与判定 矩形具有平行四边形的所有性质; 矩形的四个角都是直角; 矩形的 相等. 是矩形; 是矩形. 5.菱形的性质与判定 菱形具有平行四边形的所有性质,除此 之外它也具有自己特殊的性质: ; . 是菱形; 是 菱形; 是菱形. 6.正方形的性质 正方形具有四边形、平行四边形、矩形、 菱形的所有的性质. 边的性质: ;角的性 质: ;对角线的性质: . 7.正方形的判定 的矩形是正方形; 的菱形是正方形; 的平行四边形是正方形. 例1 已知:如图,四边形ABCD 中,AD∥ BC,点E 是CD 的中点,BE 的延长线与AD 的延长线相交于点F,连接BD,CF,判断四 边形BCFD 的形状,并说明你的结论. 解析:由已知,易知BC∥DF,故只需利用三 角形全等证明BC=DF 即可. 答案:解:∵点E 是DC 中点,∴DE=CE. ∵AD∥BC,F 在AD 延长线上, ∴∠DFE=∠EBC,∠FDE=∠ECB. 在△BCE 与△FDE 中, ∠DFE=∠EBC ∠FDE=∠ECB DE=CE ì î í ï ï ï ï , ∴ △BCE ≌ △FDE (AAS),∴BC 74 第 一 部 分 夯 实 基 础 =DF. 又∵BC∥DF, 所以四边形BCFD 是平行四边形. 例2 矩形一个内角的平分线把矩形的一边 分成3cm和5cm,则矩形的周长为 ( ) A.16cm B.22cm或26cm C.26cm D.以上都不对 解析:如图,∵矩形 ABCD 中BE 是角平分 线,∴ ∠ABE = ∠EBC.∵AD ∥BC,∴ ∠AEB=∠EBC.∴∠AEB=∠ABE.∴AB =AE.∵平分线把矩形的一边分成3cm和5 cm.当 AE=3cm 时:则 AB=CD=3cm, AD=CB=8cm,则矩形的周长是:22cm; 当AE=5cm时:AB=CD=5cm,AD=CB =8cm,则周长是:26cm.故选B. 答案:B 例3 用折纸的方法,可以直接剪出一个正 五边形,折纸过程如图所示,则∠α等于 ( ) A.108° B.90° C.72° D.60° 解析:如下图,由折叠可知,矩形纸被折了10 层,故∠AOB=36°,剪出一个正五边形,正 五边形 的 每 一 个 内 角 为108°,故∠OAB= 54°,∴∠α=36°+54°=90°,故∠α=90°. 答案:B 例4 如图,四边形 ABCD 是矩形,对角线 AC,BD 相交于点O,BE∥AC 交DC 的延 长线于点E. (1)求证:BD=BE. (2)若∠DBC=30°,BO=4,求四边形 ABED 的面积. 解析:(1)根据矩形的对角线相等可得AC= BD,然后证明四边形ABEC 是平行四边形, 再根据平行四边形的对边相等可得 AC= BE,从而得证. (2)根 据 矩 形 的 对 角 线 互 相 平 分 求 出 BD 的长度,再根据30°角所对的直角边等于 斜边的一半求出CD 的长度,然后利用勾股 定理求出BC 的长度,再利用梯形的面积公 式列式计算即可得解. 答案:解:(1)证明:∵四边形ABCD 是矩形, ∴AC=BD,AB∥CD. ∵BE∥AC,∴四边形ABEC 是平行四 边形, ∴AC=BE,∴BD=BE. (2)∵在矩形ABCD 中,BO=4, ∴BD=2BO=2×4=8, ∵∠DBC=30°, ∴CD= 1 2BD= 1 2×8=4 , ∴AB=CD=CE=4,DE=CD+CE= CD+AB=4+4=8, 在 Rt△BCD 中,BC= BD2-CD2 = 82-42=43, ∴四边形ABED 的面积= 1 2 (4+8)× 43=243. 84 第 一 部 分 夯 实 基 础 一、选择题 1.已知▱ABCD 的面积为12,AB 边上 的高为3,则DC 边的长为 ( ) A.8 B.6 C.4 D.3 2.若O 是四边形ABCD 对角线的交点 且OA=OB=OC=OD,则四边形ABCD 是 ( ) A.平行四边形 B.矩形 C.正方形 D.菱形 3.若一个多边形除了一个内角外,其余 各内角之和是2570°,则这个角是 ( ) A.90° B.15° C.120° D.130° 4.如 图,▱ABCD 的 周 长 是 28cm, △ABC 的周长是22cm,则AC 的长为 ( ) A.6cm B.12cm C.4cm D.8cm 第4题 第5题 5.如图,▱ABCD 中,对角线AC 和BD 相交于点O,如果AC=12,BD=10,AB= m,那么m 的取值范围是 ( ) A.10<m<12 B.2<m<22 C.1<m<11 D.5<m<6 6.已知菱形的两条对角线长分别是4 cm和8cm,则与此菱形同面积的正方形的边 长是 ( ) A.8cm B.42cm C.22cm D.4cm 二、填空题 7.如图,平行四边形ABCD 的对角线相 交于点O,且AB≠AD,过O 作OE⊥BD 交 BC 于点E.若△CDE 的周长为10,则平行四 边形ABCD 的周长为 . 第7题 第8题 第9题 8.如图,菱形 ABCD 的边长为8cm, ∠A=60°,DE⊥AB 于点E,DF⊥BC 于点 F,则四边形BEDF 的面积为 cm2. 9.如图,矩形ABCD 对角线AC,BD 相 交于O,AE 平分∠BAD 交矩形一边于E, 若∠CAE=15°,则∠BOC= . 三、解答题 10.如图,已知:AB∥CD,BE⊥AD,垂 足为点E,CF⊥AD,垂足为点F,并且AE =DF.求证:四边形BECF 是平行四边形. 11.如图,在△ABC 中,∠ACB=90°, CD⊥AB 于 D,AE 平 分∠BAC,分 别 与 BC,CD 交于E,F,EH ⊥AB 于 H.连接 FH.求证:四边形CFHE 是菱形. 94 第 一 部 分 夯 实 基 础 12.已知:如图,在正方形ABCD 中,点 E,F 分别在BC 和CD 上,AE=AF. (1)求证:BE=DF. (2)连接AC 交EF 于点O,延长OC 至 点M,使OM=OA,连接EM,FM,判断四 边形AEMF 是什么特殊四边形? 并证明你 的结论. 13.如图,D 是△ABC 的边AB 上一点, CN∥AB,DN 交AC 于点M,若 MA=MC. (1)求证:CD=AN. (2)若AC⊥DN,∠CAN=30°,MN= 1,求四边形ADCN 的面积. 1.△ABC 中,∠C=90°,AC=3,BC= 4,以A,B,C,P 四点为顶点组成一个平行 四边形,则这个平行四边形的周长是 . 2.正方形ABCD 中,对角线AC=24cm, 点P 为AB 边上一点,则点P 到对角线AC, BD 的距离之和为 . 3.菱形两邻角的比为1∶5,它的高为 1.5cm,那么它的周长等于 cm. 4.如图,在四边形ABCD 中,AD∥BC, 且AD>BC,BC=6cm,P,Q 分别从A,C 同时出发,P 以1cm/s的速度由A 向D 运 动,Q 以2cm/s的速度由C 出发向B 运动, 设运动时间为xs.则当x= s时,四 边形ABQP 是平行四边形. 第4题 第5题 5.如图,在菱形ABCD 中,对角线AC 与 BD 相交于点O,AB=13,AC=10,过点D 作 DE∥AC 交BC 的延长线于点E,则△BDE 的 周长为 . 6.阅读材料:多边形边上或内部的一点 与多边形各顶点的连线,将多边形分割成若 干个小三角形.图1给出了四边形的具体分 割方法,分别将四边形分割成2个、3个、4个 小三角形. 请你按照上述方法将图2中的六边形进 行分割,并写出得到的小三角形的个数.试把 这一结论推广至n 边形. 05 第 一 部 分 夯 实 基 础 1.(淄博中考题)如图,菱形纸片ABCD 中,∠A=60°,折叠菱形纸片ABCD,使点C 落在DP(P 为AB 中点)所在的直线上,得 到经过点D 的折痕DE.则∠DEC 的大小为 ( ) A.78° B.75° C.60° D.45° 第1题 第2题 2.(资阳中考题)如图,点E 在正方形 ABCD 内,满足∠AEB=90°,AE=6,BE= 8,则阴影部分的面积是 ( ) A.48 B.60 C.76 D.80 3.(西 宁 中 考 题)如图,已知 OP 平分 ∠AOB,∠AOB=60°,CP=2,CP∥OA, PD⊥OA 于点D,PE⊥OB 于点E.如果点 M 是OP 的中点,则DM 的长是 ( ) A.2 B.2 C.3 D.23 第3题 第4题 4.(青岛中考题)如图,将矩形ABCD 沿 EF 折叠,使顶点C 恰好落在AB 边的中点 C'上,若AB=6,BC=9,则BF 的长为 ( ) A.4 B.32 C.4.5 D.5 5.(南 京 中 考 题)如 图,将 菱 形 纸 片 ABCD 折叠,使点A 恰好落在菱形的对角线 交点O 处,折痕为EF,若菱形ABCD 的边 长为2cm,∠A=120°,则EF= cm. 6.(长春中考题)探究:如图1,在△ABC 中,AB=AC,∠ABC=60°,延长 BA 至点 D,延长CB 至点E,使BE=AD,连接CD, AE,求证:△ACE≌△CBD. 应用:如图2,在菱形ABCF 中,∠ABC =60°,延长BA 至点D,延长CB 至点E,使 BE=AD,连接CD,EA,延长EA 交CD 于 点G,求∠CGE 的度数. 图1 图2 15 明如下:显然 S1= 3 4c 2,S2= 3 4a 2,S3= 3 4b 2.∵c2=a2+b2,∴S2+S3= 3 4 (a2+b2) = 3 4c 2=S1. 中考热身 1.C 2.A 3.C 4.25 5.10 6.5 7.解:(1)∵AD 平分∠CAB,DE⊥AB, ∠C=90°,∴CD=DE. ∵CD=3,∴DE=3. (2)在Rt△ABC 中,由勾股定理得:AB = AC2+BC2= 62+82=10, ∴△ADB 的面积为S△ADB= 1 2AB•DE = 1 2×10×3=15. 8.解:过点D 作DH⊥AC,∵∠CED= 45°,DH ⊥EC,DE = 2,∴EH =DH. ∵EH2+DH2=ED2,∴EH2=1,∴EH = DH=1,又∵∠DCE=30°,∴DC=2,HC= 3.∵∠AEB=45°,∠BAC=90°,BE=22, ∴AB=AE=2,∴AC=2+1+ 3=3+ 3, ∴S四边形ABCD= 1 2×2× (3+ 3)+ 1 2×1× (3 + 3)= 33+9 2 . 第19章 四边形 要点回顾 1.首尾顺次相接 同一侧 2.(n-3) n(n-3) 2 3.平行四边形的对边相等 平行四边形 的对角相等 平行四边形的对角线互相平分 一组对边平行且相等的四边形是平行四边 形 两组对边分别相等的四边形是平行四边 形 对角线互相平分的四边形是平行四边形 4.对角线 对角线相等的平行四边形 有三个角是直角的四边形 5.菱形的四条边都相等 菱形的两条对 角线互相垂直,并且每条对角线平分一组对角 一组邻边相等的平行四边形 四边都相等 的四边形 对角线互相垂直的平行四边形 6.正方形的四条边都相等,对边平行,邻 边垂直 正方形的四个角都是直角 正方形 的对角线互相垂直平分且相等,并且每条对角 线平分一组对角 7.一组邻边相等 有一个角是直角 有 一组邻边相等且有一个角是直角 基础过关 一、1.C 2.B 3.D 4.D 5.C 6.D 二、7.20 8.163 9.120° 三、10.证 明:∵BE ⊥AD,CF ⊥AD, ∴∠AEB=∠DFC=90°. ∵AB∥CD,∴∠A=∠D, 在△AEB 与△DFC 中, ∠AEB=∠DFC AE=DF ∠A=∠D{ , ∴△AEB≌△DFC(ASA), ∴BE=CF. ∵BE⊥AD,CF⊥AD,∴BE∥CF. ∴四边形BECF 是平行四边形. 11.证 明:∵ ∠ACB =90°,AE 平 分 ∠BAC,EH⊥AB,∴CE=EH. 在 Rt△ACE 和 Rt△AHE 中,AE = AE,CE=EH,由勾股定理得:AC=AH, ∵AE 平分∠CAB,∴∠CAF=∠HAF, 在△CAF 和△HAF 中, AC=AH ∠CAF=∠HAF AF=AF{ , ∴△CAF≌△HAF(SAS),∴∠ACD= ∠AHF.∵CD⊥AB,∠ACB=90°,∴∠CDA = ∠ACB =90°,∴ ∠B + ∠CAB =90°, ∠CAB+∠ACD=90°,∴∠ACD=∠B= ∠AHF.∴FH∥CE.∵CD⊥AB,EH⊥AB, ∴CF∥EH,∴四边形 CFHE 是平行四边 形,∵CE=EH,∴四边形CFHE 是菱形. 12.(1)证明:∵四边形ABCD 是正方形, ∴AB=AD,∠B=∠D=90°.在 Rt△ABE 和Rt△ADF 中,∵ AD=ABAF=AE{ ,∴Rt△ABE ≌Rt△ADF(HL),∴BE=DF. (2)解:四边形AEMF 是菱形,理由为: ∵四边形ABCD 是正方形,∴∠BCA= ∠DCA=45°(正方形的对角线平分一组对 角),BC=DC(正方形四条边相等),∵BE= DF(已证),∴BC-BE=DC-DF,即CE= CF,在△COE 和△COF 中, CE=CF ∠ACB=∠ACD OC=OC{ , ∴△COE≌△COF(SAS),∴OE=OF, 又OM=OA,∴四边形 AEMF 是平行四边 形.∵AE=AF,∴平行四边形 AEMF 是菱 形. 13.(1)证明:∵CN∥AB,∴∠DAC= ∠ACN.在△AMD 和△CMN 中, ∠DAC=∠ACN MA=MC ∠AMD=∠CMN{ , ∴△AMD≌△CMN (ASA),∴AD = CN.又AD∥CN,∴四边形ADCN 是平行四 边形, ∴CD=AN. (2)解:∵AC⊥DN,∠CAN=30°,MN ·9· =1,∴AN=2MN=2,AM= AN2-MN2 = 3,∴S△AMN= 1 2AM ·MN= 1 2× 3×1 = 3 2.∵ 四边形ADCN 是平行四边形, ∴S四边形ADCN=4S△AMN=23. 综合提升 1.14或16或18 2.12cm 3.12 4.2 5.60 6.略 中考热身 1.B 2.C 3.C 4.A 5.3 6.解:探究:∵AB=AC,∠ABC=60°, ∴△ABC 是等边三角形, ∴BC=AC,∠ACB=∠ABC, ∵BE=AD, ∴BE+BC=AD+AB, 即CE=BD. 在△ACE 和△CBD 中, CE=BD ∠ACB=∠ABC, AC=BC{ ∴△ACE≌△CBD(SAS); 应用:如图,连接 AC,易知△ABC 是等 边三角形, 由探究可知△ACE≌△CBD, ∴∠E=∠D. ∵∠BAE=∠DAG, ∴∠E+∠BAE=∠D+∠DAG, ∴∠CGE=∠ABC, ∵∠ABC=60°, ∴∠CGE=60°. 第20章 数据的初步分析 要点回顾 1. m n 2.(2)指每个小组的两个端点间的距离 3.(4)列频数分布表 (5)画频数分布直 方图 4.零 5.x x= 1 n (x1+x2+x3+…+xn) 6.从大到小(从小到大)排列起来 7.出现次数最多 8.一组数据中,各数据与这组数据的平 均数的差的平方的平均数叫做这组数据 s2 = 1 n [(x1-x)2+(x2-x)2+…+(xn-x)2] 基础过关 一、1.B 2.D 3.A 4.B 5.B 6.C 7.C 8.D 二、9.7 10.1.6 或 -0.4 11.1500 12.a2s2 13.10 14.2.8 15.75分 三、16.解:(1)x= 0+1-2-1+0-1+3 7 =0. (2)所选数据为-1,-2,3,-1,1; 理由:其和为0,则平均数为0,各数相对 平均数0的波动比第一组大,故方差大. 故答案为:-1,-2,3,-1,1.(答案不唯 一) 17.解:(1)由题意得90分的有5个;97 分的有3个;出现次数最多的是90分, ∴众数是90分;故答案为:5;3;90. (2)20×50%=10,如果该校想确定七年 级前50%的学生为“良好”等次,则“良好”等 次的测评成绩至少定为91分.故答案为91. (3)估计评选该荣誉称号的最低分数为 97分;理由:∵20×30%=6, ∴估计评选该荣誉称号的最低分数为97 分. 综合提升 1.5 2.5 5 3.(1)2.4 1.3 (2)1.3 4.D 5.D 6.B 7.B 8.(1)七年级众 数:80 八年级中位数:86 九年级平均数: 85.5 (2)①八年级 ②七年级 (3)九年级, 因为高分段人数多. 中考热身 1.A 2.B 3.A 4.A 5.解:(1)a=20÷0.1=200,b= 80 200= 0.4,c=200×0.3=60;条形统计图补充如图: (2)30000×0.4=12000(人). 6.解:(1)9.5 10 解析:把甲队的成绩 从小到大排列为:7,7,8,9,9,10,10,10,10, 10,最中间两个数的平均数是(9+10)÷2= 9.5(分),则中位数是9.5分; 乙队中10出现了4次,出现的次数最多, 则乙队成绩的众数是10分; 故答案为:9.5,10. (2)乙队的平均成绩是: 1 10 (10×4+8×2 ·01·