第17章 专题4 二次三项式的因式分解[教材拓展]（作业课件）【优翼·学练优】2025-2026学年八年级数学下册同步备课（沪科版）

该初中数学课件聚焦二次三项式的因式分解，通过回顾形如x²+(p+q)x+pq的分解方法，引出利用一元二次方程求根公式分解一般形式ax²+bx+c(a≠0)的方法，搭建从已知到未知的学习支架。 其亮点在于通过公式推导培养抽象能力，结合例题（如3x²-x-1的分解）和练习（如判断4x²-5x+2能否分解、求2x²-3x+m+1中m的范围）发展推理能力与应用意识，帮助学生掌握分解步骤，教师可借此提升教学效率。

2026春季学期 《学练优》·八年级数学下·HK 第17章　一元二次方程及其应用 专题4　二次三项式的因式分解 [教材拓展] 　　我们把形如ax2＋bx＋c(a≠0)的多项式叫作关 于x的二次三项式.在了解形如x2＋(p＋q)x＋pq的 二次三项式分解因式的方法的基础上，现在介绍利 用求出一元二次方程的根的方法，将一般的二次三 项式在实数范围内分解因式. 　　ax2＋bx＋c＝a(x2＋ x＋ )＝a[x2－(x1＋ x2)x＋x1x2]＝a(x－x1)(x－x2)，这就是说，在分解 二次三项式ax2＋bx＋c(a≠0)的因式时，可先求出 方程ax2＋bx＋c＝0的两个根x1，x2，然后再写成 ax2＋bx＋c＝a(x－x1)(x－x2). 例：在实数范围内分解因式：3x2－x－1. 解：∵3x2－x－1＝0的根为x1＝ ，x2＝ ， ∴3x2－x－1＝3(x－ )(x－ ). 1. 试仿照上例在实数范围分解因式： (1)x2－2x－1； 解：方程x2－2x－1＝0中， a＝1，b＝－2，c＝－1， ∴b2－4ac＝(－2)2－4×1×(－1)＝4＋4＝8. ∴x＝ ＝ ＝1± . ∴x1＝1＋ ，x2＝1－ . ∴x2－2x－1＝2(x－1＋ )(x－1－ ). 解：方程x2－2x－1＝0中， a＝1，b＝－2，c＝－1， ∴b2－4ac＝(－2)2－4×1×(－1)＝4＋4＝8. ∴x＝ ＝ ＝1± . ∴x1＝1＋ ，x2＝1－ . ∴x2－2x－1＝2(x－1＋ )(x－1－ ). 2 3 1 (2)2x2－8x－3. 解：方程2x2－8x－3＝0中，a＝2， b＝－8，c＝－3， ∴b2－4ac＝(－8)2－4×2×(－3)＝64＋24＝88. ∴x＝ ＝ ＝ ＝ . ∴x1＝ ，x2＝ . ∴2x2－8x－3＝2(x－ )(x－ ). 解：方程2x2－8x－3＝0中，a＝2， b＝－8，c＝－3， ∴b2－4ac＝(－8)2－4×2×(－3)＝64＋24＝88. ∴x＝ ＝ ＝ ＝ . ∴x1＝ ，x2＝ . ∴2x2－8x－3＝2(x－ )(x－ ). 2 3 1 2. 判断下列二次三项式能否在实数范围内分解因式 并说明理由. (1)4x2－5x＋2； 解：(1)令4x2－5x＋2＝0， ∵b2－4ac＝(－5)2－32＝－7＜0， ∴方程4x2－5x＋2＝0无实数解， 则4x2－5x＋2不能在实数范围内分解因式. 解：(1)令4x2－5x＋2＝0， ∵b2－4ac＝(－5)2－32＝－7＜0， ∴方程4x2－5x＋2＝0无实数解， 则4x2－5x＋2不能在实数范围内分解因式. 2 3 1 (2)3t2＋7t＋3. 解：(2)令3t2＋7t＋3＝0， ∵b2－4ac＝72－36＝13＞0， ∴方程3t2＋7t＋3＝0有实数解， 则3t2＋7t＋3能在实数范围内分解因式. 解：(2)令3t2＋7t＋3＝0， ∵b2－4ac＝72－36＝13＞0， ∴方程3t2＋7t＋3＝0有实数解， 则3t2＋7t＋3能在实数范围内分解因式. 2 3 1 3. 若二次三项式2x2－3x＋m＋1可以在实数范围内 分解因式，试求m的取值范围. 解：由二次三项式2x2－3x＋m＋1 可以在实数范围内分解因式， 得方程2x2－3x＋m＋1＝0有实数根， ∴Δ＝b2－4ac＝(－3)2－4×2(m＋1)≥0，解得 m≤ . 又由题意可知m＋1≠0，得m≠－1， ∴m的取值范围是m≤ 且m≠－1. 解：由二次三项式2x2－3x＋m＋1 可以在实数范围内分解因式， 得方程2x2－3x＋m＋1＝0有实数根， ∴Δ＝b2－4ac＝(－3)2－4×2(m＋1)≥0，解得m≤ . 又由题意可知m＋1≠0，得m≠－1， ∴m的取值范围是m≤ 且m≠－1. 2 3 1 $