专题02平行线的概念及判定期中复习讲义（8大常考题型+提升测试）-2025-2026学年人教版数学七年级下学期.

专题02平行线的概念及判定期中复习讲义 期中复习◆重点 核心定义：限定同一平面，永不相交的两条直线，为平行线。 公理延伸：熟记平行推论，活用传递规律，突破判断与证明大题。 三大判定：同位相等、内错相等、同旁互补，均可证两直线平行。 易错谨记：以角判线是判定，以线推角是性质，解题严禁混淆逆推。 核心题型◆归纳 题型1平面内两直线的位置关系. 题型2用直尺、三角板、画平行线. 题型3平行公理及推论的应用. 题型4同位角相等两直线平行. 题型5内错角相等两直线平行. 题型6同旁内角互补两直线平行. 题型7在同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行. 题型8提升测试. 重点知识◆梳理 知识点01、核心概念 平行线定义：同一平面内，永不相交的两条直线叫做平行线，如下图，记作：a∥b。 平行公理：过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行。 平行公理推论：平行于同一条直线的两条直线互相平行。（平行传递性） 符号表示：若 a∥b，b∥c，则 a∥c。 知识点02、平行线三大核心判定 前提：两条直线被第三条直线（截线）所截，形成 “三线八角”，判定逻辑为 “角的关系→直线平行”。 同位角相等，两直线平行； 内错角相等，两直线平行； 同旁内角互补，两直线平行。 补充平行判定：同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行。符号表示：若 a⊥c，b⊥c，则 a∥b，为证明题常用辅助判定方法。 知识点03、平行线经典模型 1.铅笔头模型（拐点向内） 模型特征：两条平行线被折线截取，拐点向内凹陷，形成封闭图形； 核心结论：拐点处所有角的和为360°； 解题关键：过每个拐点作平行线，结合 “同旁内角互补” 推导。 2.猪蹄模型（拐点向外） 模型特征：两条平行线被折线截取，拐点向外凸起，呈 “Z” 型； 核心结论：拐点处两个相关角相等（单拐点）；多拐点时，对应角的和相等； 解题关键：过拐点作平行线，结合 “内错角相等” 推导。 3.鹰嘴模型（拐点向上 / 向下） . 模型特征：两条平行线被折线截取，拐点向上或向下凸起； 核心结论：拐点处的角等于另外两个相关角的差； 解题关键：通过辅助线转化角的关系，区分 “和” 与 “差” 的结论，避免混淆。知识点04、易错点提醒 判定：角的关系→直线平行（已知角，证平行）； 性质：直线平行→角的关系（已知平行，求角的度数），二者不可混淆。 高频易错点：① 忽略 “同一平面” 前提，误判异面直线为平行； ② 混淆同位角、内错角、同旁内角的位置，乱套判定定理； ③ 误用平行传递性，将垂直关系直接传递； ④ 混淆 “互补” 与 “相等”，误将同旁内角 “相等” 当作判定条件。 知识点05、知识点总结 概念：同一平面、永不相交，是平行线的核心特征； 判定：记准 “同位等、内错等、同旁补” 三招，结合垂直判定辅助解题； 模型：掌握辅助线作法（过拐点作平行线），灵活运用三大经典模型。 题型解析◆精准备考 题型1平面内两直线的位置关系 1．在平面上，有不共线的4条直线，交点个数最多是个，最少是个，则的值(    ) A．6 B． C． D．5 【答案】C 【分析】先分别求出4条直线交点最多的个数m和最少的个数n，再计算即可得到结果． 【详解】如下图所示，要使得交点最多，则两两相交且无公共交点，此时有6个交点，即， 如下图所示，要使得交点最少，则两两平行，此时没有交点，即， ． 2．同一平面内有a,b,c三条直线，如果，，那么b与c的位置关系是（　　） A．互相平行 B．互相垂直 C．重合 D．以上都有可能 【答案】B 【分析】根据已知条件结合平行线性质推导b与c的位置关系即可． 【详解】解：∵同一平面内，，， ∴根据平行线的性质，若一条直线垂直于两条平行线中的一条，则它也垂直于另一条， ∴，即b与c互相垂直． 因此答案选B． 3．在同一平面内有2023条直线，，，，……，如果，，，……，那么直线与的位置关系是________． 【答案】 垂直 【分析】本题考查垂线、平行线的规律问题，解题的关键是找出规律．根据垂直的定义和平行线的性质可得依次是垂直，垂直，平行，平行，4个一循环，依此可得，的位置关系． 【详解】解：∵在同一平面内有2023条直线，若，，，…… ∴与 依次是垂直，垂直，平行，平行，…， ∵， ∴与的位置关系是垂直． 故答案为：垂直． 题型2用直尺、三角板、画平行线 1．如图，利用三角尺和直尺可以准确的画出直线，请将下面弄乱的操作步骤按正确的顺序排列好应是（    ） ①沿直尺下移三角尺；  ②用直尺紧靠三角尺的另一条边；③沿三角尺的边作出直线；④作直线，并用三角尺的一条边贴住直线． A．④①②③ B．④②①③ C．④②③① D．④③①② 【答案】B 【分析】本题考查了画平行线，根据同位角相等两直线平行判断即可． 【详解】解：根据同位角相等两直线平行则正确的操作步骤是④②③①， 故选：B． 2．如图，已知一点A和直线l，现过点A作直线l的平行线，则可作平行线（    ） A．1条 B．2条 C．0或1条 D．无数条 【答案】C 【分析】分两种情况讨论：当A在直线上时，过A不能作直线的平行线，所以为0条，当A在直线外时，根据同一平面内过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行进行求解即可． 【详解】解：当A在直线上时，过A不能作直线的平行线，所以为0条， 当A在直线外时， 同一平面内过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行， 故选：C． 【点睛】本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记同一平面内过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行． 3．如图是利用直尺移动三角板过直线外一点作直线的平行线的方法，小明经过多次实践后发现只能作一条平行线，这反映了______ ．    【答案】过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 【分析】根据平行公理可得答案． 【详解】解：由图可得，过直线外一点，能且只能画出一条平行线， 这反映了：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行． 故答案为：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行． 【点睛】本题考查平行公理，熟练掌握平行线的判定与性质是解答本题的关键． 题型3平行公理及推论的应用 1．下列说法正确的是（   ） A．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 B．相等的角是对顶角 C．两点之间，线段最短 D．若，则点是的中点 【答案】C 【分析】本题考查平行公理、线段性质和中点定义，熟练掌握以上知识是解题的关键． 选项A需考虑点是否在直线外；选项B混淆了相等角与对顶角的关系；选项C是公理，正确；选项D忽略点是否在线段上． 【详解】解：A、∵过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，但选项A未指定“直线外一点”，∴ A错误； B、∵对顶角相等，但相等的角不一定是对顶角（如等腰三角形底角），∴ B错误； C、∵两点之间所有连线中线段最短，这是几何公理，∴ C正确； D、∵点是中点需满足点在线段上且，但选项D未指定点在线段上，∴ D错误； 故选：C． 2．下列说法正确的是（　　） A．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 B．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 C．直线外一点到这条直线的垂线段叫做这点到直线的距离 D．连接两点的线段的长度叫做两点之间的距离 【答案】D 【分析】本题考查了几何的基本概念，包括垂线、平行线、点到直线的距离和两点之间距离的定义．掌握以上相关的定义是解题的关键．通过相关定义逐项分析即可． 【详解】A、在同一平面内，过一点（无论点在直线上还是直线外）有且只有一条直线与已知直线垂直，强调在同一平面内，选项A不符合题意； B、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，但过直线上一点没有直线与已知直线平行（重合不算平行），选项B不符合题意； C、直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离，而垂线段是图形，选项C不符合题意； D、连接两点的线段的长度叫做两点之间的距离，选项D符合题意． 故选：D． 3．如图所示的长方体，观察并回答下列问题． （1）用符号表示两条棱的位置关系：①______；②______；③______；④______． （2）与所在的直线不相交，它们______平行线（填“是”或“不是”），由此可知，在______内，不相交的两条直线才是平行线． 【答案】 不是 同一平面 【分析】本题考查直线的位置关系，长方体，解题的关键是熟练掌握长方体的性质． （1）根据长方形的性质，判断长方体两条棱之间的位置关系即可； （2）根据图形，写出答案即可． 【详解】（1）解：∵长方体的各个面均为长方形，长方形对边平行，邻边互相垂直， ∴，，，，， ∴，， 故答案为：①，②，③，④； （2）解：由图可知，与不是平行线， ∵与不在同一平面内，与所在的直线不相交，也不平行， ∴在同一平面内，不相交的两条直线才是平行线， 故答案为：⑤不是，⑥同一平面． 题型4同位角相等两直线平行. 1．如图，由，则可得出（    ） A． B． C．且 D． 【答案】B 【详解】解：∵， ∴， 和没有条件求证． 2．如图，下列推理错误的是（   ） A．∵，∴ B．∵，∴ C．∵，∴ D．∵，∴ 【答案】C 【分析】根据平行线的判定定理，逐项判断即可． 【详解】解：A、∵， ∴，故本选项正确，不符合题意； B、∵， ∴，故本选项正确，不符合题意； C、，无法得到，故本选项错误，符合题意； D、∵， ∴，故本选项正确，不符合题意； 3．如图，平分，，，则_______（写出一组平行线）． 【答案】 【分析】根据平角和角平分线的定义，求出的度数，根据同位角相等，两直线平行，即可得出结果． 【详解】解：∵，平分， ∴， ∴， ∴， ∴． 题型5内错角相等两直线平行 1．如图，是过点A的直线，要使，应有（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行线的判定逐项判断即可． 【详解】解：，，均不能判定， 当时，根据内错角相等，两直线平行可得， 故选项C符合题意． 2．如图，在中，，点在直线上，边在直线上，直线被所截．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平行线的判定可逐个判定即可． 【详解】解：A、∵，， ∴的邻补角的度数为，故的邻补角即的同位角不等于， ∴不成立，故选项A不符合题意； B、∵，， ∴的对顶角度数为，故的对顶角即的内错角不等于， ∴不成立，故选项B不符合题意； C、，， ∴的邻补角，故的邻补角即的同位角不等于， ∴不成立，故选项C不符合题意； D、∵，，， ∴， ∴，故选项D符合题意． 3．如图，以下四个结论：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则，其中正确的结论是__________（填序号）． 【答案】 ①④ 【分析】根据内错角相等，两直线平行，进行判断即可． 【详解】解：若，则，结论①正确，符合题意； 若，不能推出，结论②错误，不符合题意； 若，则，结论③错误，不符合题意；结论④正确，符合题意； 结论正确的是：①④． 题型6同旁内角互补两直线平行. 1．下列说法错误的是（   ） A．若，，则 B．若，则 C．若，则 D．，则 【答案】C 【分析】根据平行线的判定定理进行判断即可． 【详解】解：A、由平行于同一直线的两条直线平行知，说法正确； B、根据内错角相等，两直线平行知，说法正确； C、不是直线被第三条直线所截得的同位角或内错角，无法判断直线的位置关系，说法错误； D、根据同旁内角互补，两直线平行知，说法正确； 从而错误的说法是C． 2．如图，在下列给出的条件中，不能判定的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平行线判定定理逐项分析判断，即可解题． 【详解】解：A. ，，    能判定，不符合题意； B. ，，能判定，不符合题意； C. ，，能判定，不符合题意； D. ，不能判定，符合题意． 3．已知，如图，，，，．将下列推理过程补充完整： （1）∵（已知）， ∴______； （2）∵（已知）， ∴______，（______________） （3）∵（已知）， ∴_______________，（___________） 【答案】 内错角相等，两直线平行 同旁内角互补，两直线平行 【分析】根据平行线的判定，求解即可． 【详解】解：（1）∵（已知）， ∴； （2）∵（已知）， ∴，（内错角相等，两直线平行） （3）∵（已知）， ∴（同旁内角互补，两直线平行）． 题型7在同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行 1．已知，，是同一平面内的三条直线，下列说法正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】D 【详解】解：由，，是同一平面内的三条直线， 、∵，， ∴，该选项错误，不符合题意； 、∵，， ∴，该选项错误，不符合题意； 、∵，， ∴，该选项错误，不符合题意； 、根据平行公理的推论，同一平面内平行于同一条直线的两条直线互相平行， ∵，， ∴，该选项正确，符合题意． 2．下面各语句中，正确的个数是（    ） ①连接两点之间的线段，叫做两点间的距离；②垂直于同一条直线的两条直线平行； ③若，则是的平分线；④等角的余角相等； ⑤过一点有且只有一条直线与已知直线平行；⑥两个角的两边分别平行，那么这两个角相等；⑦垂线段最短；⑧． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题主要考查了两点间距离，平行公理，平行线的判定，余角的性质，角的转换，角平分线定义，垂线段最短，熟练掌握相关的定义和性质，是解题的关键．根据两点间距离，平行公理，平行线的判定，余角的性质，角的转换，角平分线定义，垂线段最短，逐项进行判断即可． 【详解】解：①两点之间的线段长度叫做两点间的距离，故原说法错误； ②在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，故原说法错误； ③若，则是的平分线错误，可能不在内部，故原说法错误； ④等角的余角相等正确； ⑤过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故原说法错误； ⑥两个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补，故原说法错误； ⑦垂线段最短正确； ⑧正确； 综上，正确的有④、⑦、⑧共3个． 故选：B． 3．小可在纸上画了25条直线，，…，．若，，，，…．照此规律，则与的位置关系为___________． 【答案】平行或重合 【分析】此题考查了平行线与垂线的关系，注意找到规律：四个一循环，是解此题的关键. 首先根据题意判断与，，，的关系，即可得到规律：四个一循环，即可求解. 【详解】解：， ， ， ， ， ， 同理可得：，其中或与或可能重合， 与的位置关系为平行或重合. 故答案为：平行或重合. 过关检测◆提升 一、单选题 1．下列文字语言与图形语言相符的是（    ） A．点P在直线n上 B．点M在的外部 C．直线m、n相交于点B D．可以用表示 【答案】C 【分析】此题考查了点与直线的位置关系、角的内部与外部、两直线相交、角的表示等知识．根据相关知识逐项进行判断即可． 【详解】解：A. 点P在直线n外，故文字语言与图形语言不相符，不符合题意； B. 点M在的内部，故文字语言与图形语言不相符，不符合题意； C. 直线m、n相交于点B，故文字语言与图形语言相符，符合题意；     D. 不可以用表示，故文字语言与图形语言不相符，不符合题意； 故选：C 2．一个四棱柱的棱中，平行的棱至少有（   ）对． A．2 B．4 C．6 D．10 【答案】D 【分析】本题考查立体图形中平行的棱． 根据四棱柱的性质，即可求解． 【详解】解：四棱柱的侧棱互相平行，各个侧面都是平行四边形，当底面的四条棱互不平行时，平行棱的对数最少， 如图，在四棱柱中，，，，，，，，，，，共有对， ∴一个四棱柱的棱中，平行的棱至少有对． 故选：D． 3． 下列说法错误的是（　　） A．对顶角相等 B．两点之间所有连线中，线段最短 C．等角的补角相等 D．过任意一点P，都能画一条直线与已知直线平行 【答案】D 【分析】根据对顶角的含义可判断A，根据两点之间，线段最短可判断B，根据等角的补角的性质可得C，根据过直线外一点画已知直线的平行线可判断D，从而可得答案． 【详解】解：A、对顶角相等，正确； B、两点之间所有连线中，线段最短，正确； C、等角的补角相等，正确； D、过直线外一点P，都能画一条直线与已知直线平行，错误； 故选：D． 【点睛】本题考查的是对顶角的性质，两点之间，线段虽短，等角的补角的性质，过直线外一点画已知直线的平行线，熟记基本概念与性质是解本题的关键． 4．下列说法中，正确的是（   ） A．经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直 B．经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 C．同位角相等 D．直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离 【答案】B 【分析】本题考查了垂直的性质、平行公理、同位角、点到直线的距离，根据相关知识点逐一判断选项的正误即可． 【详解】解：A、在同一平面内，经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故原说法错误，不符合题意； B、经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故原说法正确，符合题意； C、同位角不一定相等，故原说法错误，不符合题意； D、直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，故原说法错误，不符合题意； 故选：B． 5．如果，那么．这个结论的依据是（   ） A．等量代换 B．平行线的定义 C．经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行 D．如果两条直线和第三条直线平行，那么这两条直线平行 【答案】D 【分析】本题考查了平行公理及推论，由，利用“如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行”，即可得出． 【详解】解：∵（已知）， ∴（如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）． 故选：D． 二、填空题 6．如图，点E在的延长线上，对于给出的四个条件：①；②；③；④，其中能判断的是______（填写序号）． 【答案】 ②③/③② 【分析】找到与对应的内错角，同位角和同旁内角，根据平行线的判定定理：内错角相等，两直线平行；同位角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行，判断选项即可 【详解】解：①与是和被所截的内错角，故当，则，而非，错误； ②与是和被所截的内错角，故当，则，正确； ③与是和被所截的同位角，故当，则，正确； ④与是和被所截的同旁内角，故当，则，而非，错误． 7．如图所示，，那么图形中的平行线有___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行线的判定定理，熟练掌握内错角相等，两直线平行这一判定方法是解题的关键． 根据已知角相等的条件，利用内错角相等，两直线平行的判定定理，分别判断两组直线的平行关系． 【详解】解：∵， ∴（内错角相等，两直线平行）． 故答案为：． 8．如图，填空． （1）当______时，，理由：____________； （2）当______时，，理由：____________； （3）当______时，，理由：____________． 【答案】 同位角相等，两直线平行 内错角相等，两直线平行 同旁内角互补，两直线平行 【分析】结合图形，依据已知平行线识别“三线八角”模型中的同位角、内错角、同旁内角，再对应匹配平行线的三大判定定理，完成条件与判定依据的填空即可． 【详解】解：（1）当 时，，理由：同位角相等，两直线平行； （2）当 时，，理由：内错角相等，两直线平行； （3）当 时，，理由：同旁内角互补，两直线平行． 9．将一副三角尺按如图所示的方式放置在直线上，则与的位置关系是__________，其根据是___________． 【答案】 平行 在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行 【分析】根据平行线的判定定理求解即可． 【详解】解：， 故， 故平行；理由是：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行． 10．正方体中，与某一条棱在同一平面的平行棱有_________条． 【答案】 【分析】本题考查立体图形中棱的平行关系．正方体中每条棱属于两个面，在每个面中，存在一条对边与给定棱平行且共面，因此满足条件的棱有两条． 【详解】解：设给定棱为．在正方体中，棱同时属于两个面，例如面和面． 在面中，棱与平行且共面； 在面中，棱与平行且共面． 不存在其他棱与既平行又共面． 故答案为． 三、解答题 11．如图，直线与直线相交于，请完成下列各题： (1)过点画，交于点； (2)过点画，垂足为； (3)连接，比较线段与的长短，用“”连接． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 (3) 【分析】（1）按要求作图即可； （2）按要求作图即可； （3）根据“垂线段最短”比较线段与的长短即可． 【详解】（1）解：如图所示： （2）解：如图所示： （3）解：如图， ∵垂线段最短， ∴． 12．如图，与相交于点E，，，，P是上的一点． (1)判断与的位置关系． (2)若，判断与是否平行，并说明理由． 【答案】(1) (2)PE与BF不平行，见解析 【分析】（1）利用同旁内角互补，两直线平行求解即可． （2）证明即可判定． 【详解】（1）解：（1），， ． ，，， （2）解：与不平行理由如下： ，， ． ， ， 与不平行； 13．如图，点O在直线上，平分，平分，F是上一点，连接． (1)求证：； (2)若与互余，求证：． 【答案】(1)详见解析 (2)详见解析 【分析】（1）利用角平分线的定义结合平角的性质即可证明； （2）利用，结合已知求得，根据“内错角相等，两直线平行”即可证明． 【详解】（1）证明：∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵与互余， ∴， ∴， ∴． 14．如图，三角形中，． 请依次解决下列问题：    (1)作交于点D，作于点E； (2) 度；与的位置关系是 ； (3)点A到直线的距离是图中线段 的长度． 【答案】(1)见解析 (2)30； (3) 【分析】（1）利用三角板的两条直角边作图即可； （2）由垂直的定义可得，进而可求出的度数；根据垂直于同一直线的两条直线互相平行可判断与的位置关系； （3）根据点到直线距离的定义求解即可． 【详解】（1）如图，    （2）∵， ∴， ∵， ∴． ∵，， ∴． 故答案为：30；； （3）∵， ∴点A到直线的距离是图中线段的长度． 故答案为：． 【点睛】本题考查了垂线的定义及作法，角的和差，平行线的判定，以及点到直线的距离，熟练掌握各知识点是解答本题的关键． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02平行线的概念及判定期中复习讲义 期中复习◆重点 核心定义：限定同一平面，永不相交的两条直线，为平行线。 公理延伸：熟记平行推论，活用传递规律，突破判断与证明大题。 三大判定：同位相等、内错相等、同旁互补，均可证两直线平行。 易错谨记：以角判线是判定，以线推角是性质，解题严禁混淆逆推。 核心题型◆归纳 题型1平面内两直线的位置关系. 题型2用直尺、三角板、画平行线. 题型3平行公理及推论的应用. 题型4同位角相等两直线平行. 题型5内错角相等两直线平行. 题型6同旁内角互补两直线平行. 题型7在同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行. 题型8提升测试. 重点知识◆梳理 知识点01、核心概念 平行线定义：同一平面内，永不相交的两条直线叫做平行线，如下图，记作：a∥b。 平行公理：过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行。 平行公理推论：平行于同一条直线的两条直线互相平行。（平行传递性） 符号表示：若 a∥b，b∥c，则 a∥c。 知识点02、平行线三大核心判定 前提：两条直线被第三条直线（截线）所截，形成 “三线八角”，判定逻辑为 “角的关系→直线平行”。 同位角相等，两直线平行； 内错角相等，两直线平行； 同旁内角互补，两直线平行。 补充平行判定：同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行。符号表示：若 a⊥c，b⊥c，则 a∥b，为证明题常用辅助判定方法。 知识点03、平行线经典模型 1.铅笔头模型（拐点向内） 模型特征：两条平行线被折线截取，拐点向内凹陷，形成封闭图形； 核心结论：拐点处所有角的和为360°； 解题关键：过每个拐点作平行线，结合 “同旁内角互补” 推导。 2.猪蹄模型（拐点向外） 模型特征：两条平行线被折线截取，拐点向外凸起，呈 “Z” 型； 核心结论：拐点处两个相关角相等（单拐点）；多拐点时，对应角的和相等； 解题关键：过拐点作平行线，结合 “内错角相等” 推导。 3.鹰嘴模型（拐点向上 / 向下） . 模型特征：两条平行线被折线截取，拐点向上或向下凸起； 核心结论：拐点处的角等于另外两个相关角的差； 解题关键：通过辅助线转化角的关系，区分 “和” 与 “差” 的结论，避免混淆。知识点04、易错点提醒 判定：角的关系→直线平行（已知角，证平行）； 性质：直线平行→角的关系（已知平行，求角的度数），二者不可混淆。 高频易错点：① 忽略 “同一平面” 前提，误判异面直线为平行； ② 混淆同位角、内错角、同旁内角的位置，乱套判定定理； ③ 误用平行传递性，将垂直关系直接传递； ④ 混淆 “互补” 与 “相等”，误将同旁内角 “相等” 当作判定条件。 知识点05、知识点总结 概念：同一平面、永不相交，是平行线的核心特征； 判定：记准 “同位等、内错等、同旁补” 三招，结合垂直判定辅助解题； 模型：掌握辅助线作法（过拐点作平行线），灵活运用三大经典模型。 题型解析◆精准备考 题型1平面内两直线的位置关系 1．在平面上，有不共线的4条直线，交点个数最多是个，最少是个，则的值(    ) A．6 B． C． D．5 2．同一平面内有a,b,c三条直线，如果，，那么b与c的位置关系是（　　） A．互相平行 B．互相垂直 C．重合 D．以上都有可能 3．在同一平面内有2023条直线，，，，……，如果，，，……，那么直线与的位置关系是________． 题型2用直尺、三角板、画平行线 1．如图，利用三角尺和直尺可以准确的画出直线，请将下面弄乱的操作步骤按正确的顺序排列好应是（    ） ①沿直尺下移三角尺；  ②用直尺紧靠三角尺的另一条边；③沿三角尺的边作出直线；④作直线，并用三角尺的一条边贴住直线． A．④①②③ B．④②①③ C．④②③① D．④③①② 2．如图，已知一点A和直线l，现过点A作直线l的平行线，则可作平行线（    ） A．1条 B．2条 C．0或1条 D．无数条 3．如图是利用直尺移动三角板过直线外一点作直线的平行线的方法，小明经过多次实践后发现只能作一条平行线，这反映了______ ．    题型3平行公理及推论的应用 1．下列说法正确的是（   ） A．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 B．相等的角是对顶角 C．两点之间，线段最短 D．若，则点是的中点 2．下列说法正确的是（　　） A．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 B．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 C．直线外一点到这条直线的垂线段叫做这点到直线的距离 D．连接两点的线段的长度叫做两点之间的距离 3．如图所示的长方体，观察并回答下列问题． （1）用符号表示两条棱的位置关系：①______；②______；③______；④______． （2）与所在的直线不相交，它们______平行线（填“是”或“不是”），由此可知，在______内，不相交的两条直线才是平行线． 题型4同位角相等两直线平行. 1．如图，由，则可得出（    ） A． B． C．且 D． 2．如图，下列推理错误的是（   ） A．∵，∴ B．∵，∴ C．∵，∴ D．∵，∴ 3．如图，平分，，，则_______（写出一组平行线）． 题型5内错角相等两直线平行 1．如图，是过点A的直线，要使，应有（   ） A． B． C． D． 2．如图，在中，，点在直线上，边在直线上，直线被所截．若，则（    ） A． B． C． D． 3．如图，以下四个结论：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则，其中正确的结论是__________（填序号）． 题型6同旁内角互补两直线平行. 1．下列说法错误的是（   ） A．若，，则 B．若，则 C．若，则 D．，则 2．如图，在下列给出的条件中，不能判定的是（　　） A． B． C． D． 3．已知，如图，，，，．将下列推理过程补充完整： （1）∵（已知）， ∴______； （2）∵（已知）， ∴______，（______________） （3）∵（已知）， ∴_______________，（___________） 题型7在同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行 1．已知，，是同一平面内的三条直线，下列说法正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 2．下面各语句中，正确的个数是（    ） ①连接两点之间的线段，叫做两点间的距离；②垂直于同一条直线的两条直线平行； ③若，则是的平分线；④等角的余角相等； ⑤过一点有且只有一条直线与已知直线平行；⑥两个角的两边分别平行，那么这两个角相等；⑦垂线段最短；⑧． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 3．小可在纸上画了25条直线，，…，．若，，，，…．照此规律，则与的位置关系为___________． 过关检测◆提升 一、单选题 1．下列文字语言与图形语言相符的是（    ） A．点P在直线n上 B．点M在的外部 C．直线m、n相交于点B D．可以用表示 2．一个四棱柱的棱中，平行的棱至少有（   ）对． A．2 B．4 C．6 D．10 3． 下列说法错误的是（　　） A．对顶角相等 B．两点之间所有连线中，线段最短 C．等角的补角相等 D．过任意一点P，都能画一条直线与已知直线平行 4．下列说法中，正确的是（   ） A．经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直 B．经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 C．同位角相等 D．直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离 5．如果，那么．这个结论的依据是（   ） A．等量代换 B．平行线的定义 C．经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行 D．如果两条直线和第三条直线平行，那么这两条直线平行 二、填空题 6．如图，点E在的延长线上，对于给出的四个条件：①；②；③；④，其中能判断的是______（填写序号）． 7．如图所示，，那么图形中的平行线有___________． 8．如图，填空． （1）当______时，，理由：____________； （2）当______时，，理由：____________； （3）当______时，，理由：____________． 9．将一副三角尺按如图所示的方式放置在直线上，则与的位置关系是__________，其根据是___________． 10．正方体中，与某一条棱在同一平面的平行棱有_________条． 三、解答题 11．如图，直线与直线相交于，请完成下列各题： (1)过点画，交于点； (2)过点画，垂足为； (3)连接，比较线段与的长短，用“”连接． 12．如图，与相交于点E，，，，P是上的一点． (1)判断与的位置关系． (2)若，判断与是否平行，并说明理由． 13．如图，点O在直线上，平分，平分，F是上一点，连接． (1)求证：； (2)若与互余，求证：． 14．如图，三角形中，． 请依次解决下列问题：    (1)作交于点D，作于点E； (2) 度；与的位置关系是 ； (3)点A到直线的距离是图中线段 的长度． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $