15.3 第1课时 分式方程及其解法（课件）--2025-2026学年华东师大版八年级数学下册

华东师大版（新教材）数学8年级下册培优备精做课件 15.3 第1课时 分式方程及其解法 第15章 分式 授课教师： Home . 班 级： 八年级（---）班 . 时 间： . 2026年4月7日 华东师大版八年级下册数学 15.3 第1课时 分式方程及其解法 练习题 一、选择题（每题3分，共18分） 1. 下列方程中，属于分式方程的是（） A. $$\frac{1}{2}x + 3 = 0$$ B. $$\frac{x}{3} + \frac{x}{2} = 1$$ C. $$\frac{1}{x-1} = 2$$ D. $$x^2 - 2x = 3$$ 1. 下列关于分式方程的说法，正确的是（） A. 分母中含有字母的方程就是分式方程 B. 分式方程的解一定是整数 C. 解分式方程时，去分母后得到的整式方程的解，都是原分式方程的解 D. 解分式方程的核心是去分母，转化为整式方程求解 1. 解分式方程$$\frac{1}{x} = \frac{2}{x+1}$$时，去分母后得到的整式方程是（） A. $$x+1 = 2x$$ B. $$x = 2(x+1)$$ C. $$2x = x+1$$ D. $$x(x+1) = 2$$ 1. 若分式方程$$\frac{x-3}{x-2} = \frac{m}{2-x}$$有增根，则增根是（） A. $$x=2$$ B. $$x=3$$ C. $$x=0$$ D. $$x=-2$$ 1. 解分式方程$$\frac{2}{x-1} + 1 = \frac{x}{x-1}$$，正确的步骤是（） A. 去分母得$$2 + 1 = x$$，解得$$x=3$$ B. 去分母得$$2 + x-1 = x$$，解得无解 C. 去分母得$$2 + x+1 = x$$，解得无解 D. 去分母得$$2 + x-1 = x$$，解得$$x=1$$ 1. 若$$x=2$$是分式方程$$\frac{ax-1}{x-1} = 2$$的解，则$$a$$的值为（） A. $$\frac{3}{2}$$ B. 2 C. $$\frac{5}{2}$$ D. 3 二、填空题（每题3分，共18分） 1. 分母中含有______的方程叫作分式方程。 2. 解分式方程的一般步骤：去分母、______、解整式方程、______、写出原方程的解。 3. 解分式方程时，去分母的依据是______，通常在方程两边同乘各分母的______。 4. 若整式方程的解使原分式方程的______为0，则这个解是原分式方程的增根，原分式方程无解。 5. 解分式方程$$\frac{3}{x} = \frac{4}{x+1}$$，去分母后得到的整式方程是______。 6. 若分式方程$$\frac{x}{x-3} + 1 = \frac{m}{x-3}$$有增根，则$$m$$的值为______。 三、判断题（每题2分，共10分） 1. $$\frac{x}{2} + \frac{1}{x} = 3$$是分式方程（） 2. 解分式方程时，增根是原分式方程的解（） 3. 解分式方程$$\frac{1}{x-2} = \frac{3}{x}$$，去分母得$$x = 3(x-2)$$（） 4. 分式方程$$\frac{2}{x} = \frac{3}{x+1}$$的解是$$x=2$$（） 5. 所有分式方程都有增根（） 四、解答题（共54分） 1. （8分）判断下列方程是否为分式方程，并说明理由： （1）$$\frac{x+1}{3} = \frac{2x-1}{2}$$ （2）$$\frac{2}{x} - \frac{1}{x+1} = 3$$ （3）$$x^2 + \frac{1}{x} = 5$$ （4）$$\frac{x-3}{5} = 0$$ 1. （8分）解下列分式方程： （1）$$\frac{1}{x} = \frac{2}{x+3}$$ （2）$$\frac{x-2}{x+2} = \frac{1}{2}$$ 1. （8分）解下列分式方程，并检验： （1）$$\frac{3}{x-1} = \frac{4}{x}$$ （2）$$\frac{2x}{x+1} = 1$$ 1. （10分）解下列分式方程，指出是否有增根： （1）$$\frac{1}{x-2} + 3 = \frac{x-1}{x-2}$$ （2）$$\frac{x}{x-1} - \frac{2}{x} = 1$$ 1. （10分）已知$$x=1$$是分式方程$$\frac{ax+1}{x-2} = \frac{3}{2}$$的解，求$$a$$的值。 1. （10分）当$$k$$为何值时，分式方程$$\frac{k}{x-1} + \frac{1}{x-2} = \frac{2k+2}{(x-1)(x-2)}$$有增根？ 参考答案 一、选择题 1. C 2. D 3. A 4. A 5. B 6. A 二、填空题 1. 未知数 2. 解整式方程；检验 3. 等式的基本性质；最简公分母 4. 分母 5. $$3(x+1) = 4x$$（或$$3x+3 = 4x$$） 6. 3 三、判断题 1. √ 2. ×（增根不是原分式方程的解） 3. √ 4. √ 5. ×（不是所有分式方程都有增根） 四、解答题 1. （1）不是分式方程，理由：分母中不含有未知数，是整式方程；（2）是分式方程，理由：分母中含有未知数$$x$$；（3）是分式方程，理由：分母中含有未知数$$x$$；（4）不是分式方程，理由：分母中不含有未知数，是整式方程。 2. （1）去分母得$$x+3 = 2x$$，解得$$x=3$$；检验：当$$x=3$$时，分母$$x=3 eq 0$$，$$x+3=6 eq 0$$，故$$x=3$$是原方程的解；（2）去分母得$$2(x-2) = x+2$$，解得$$x=6$$；检验：当$$x=6$$时，分母$$x+2=8 eq 0$$，故$$x=6$$是原方程的解。 3. （1）去分母得$$3x = 4(x-1)$$，解得$$x=4$$；检验：当$$x=4$$时，$$x-1=3 eq 0$$，$$x=4 eq 0$$，故$$x=4$$是原方程的解；（2）去分母得$$2x = x+1$$，解得$$x=1$$；检验：当$$x=1$$时，$$x+1=2 eq 0$$，故$$x=1$$是原方程的解。 4. （1）去分母得$$1 + 3(x-2) = x-1$$，解得$$x=2$$；检验：当$$x=2$$时，分母$$x-2=0$$，故$$x=2$$是增根，原方程无解；（2）去分母得$$x^2 - 2(x-1) = x(x-1)$$，解得$$x=2$$；检验：当$$x=2$$时，分母$$x-1=1 eq 0$$，$$x=2 eq 0$$，故$$x=2$$是原方程的解，无增根。 5. 将$$x=1$$代入方程得$$\frac{a \times 1 + 1}{1-2} = \frac{3}{2}$$，即$$\frac{a+1}{-1} = \frac{3}{2}$$，解得$$a = -\frac{5}{2}$$。 6. 去分母得$$k(x-2) + (x-1) = 2k+2$$，整理得$$(k+1)x = 3k+3$$；分式方程的增根为$$x=1$$或$$x=2$$；①当$$x=1$$时，$$(k+1) \times 1 = 3k+3$$，解得$$k=-1$$；②当$$x=2$$时，$$(k+1) \times 2 = 3k+3$$，解得$$k=-1$$；综上，$$k=-1$$时，分式方程有增根。 2026年4月7日星期二9时39分28秒 2026年4月7日星期二9时39分31秒 问题1 轮船在顺水时航行 80 km 所需的时间和在逆水中航行 60 km 所需的时间相同. 已知水流的速度是 3 km/h，问轮船在静水中的速度. 分式方程的概念 1 分析 设轮船在静水中的速度为 x km/h，根据题意，得 问题2 为了帮助遭受自然灾害的地区重建家园，某校团总支号召同学们自愿捐款.已知第一次捐款总额为 4800 元，第二次捐款总额为 5000 元，第二次捐款人数比第一次多 20 人，而且两次人均捐款额恰好相等 . 如果设第一次捐款人数为 x 人，那么 x 应满足怎样的方程？ 思考 上面问题中我们得到的两个方程有什么特点？ 分母中都含有未知数. 分式方程的概念 分式方程的特征 方程中含有分式，并且分母中含有未知数，像这样的方程叫做分式方程. (1) 是等式； (2) 方程中含有分母； (3) 分母中含有未知数. 知识要点 判一判 下列方程中，哪些是分式方程？哪些是整式方程？ 整式方程 分式方程 方法总结：判断一个方程是否为分式方程，主要是看分母中是否含有未知数(注意：π 是常数)． （2）怎样去分母？ （3）在方程两边乘什么样的式子才能把每一个分母 都约去？ （4）这样做的依据是什么？ 解分式方程最关键的问题是什么？ （1）如何把它转化为整式方程呢？ 如何去分母 你能试着解这个分式方程吗？ 分式方程的解法 2 方程的最简公分母是：(x + 3)(x - 3). 解：方程两边都乘以 (x + 3)(x - 3)，约去分母，得 80(x - 3) = 60(x + 3)， 解这个整式方程，得 x = 21. x = 21 是原分式方程的解吗？ 检验：将 x = 21 代入原分式方程中，左边 = = 右边， 因此 x = 21 是原分式方程的解. 解分式方程的基本思路：是将方程的两边都乘同一个整式，约去分母，把分式方程转化为整式方程来解.所乘的整式通常取方程中出现的各分式的最简公分母. 归纳总结 例1 解方程： 解 ：方程两边都乘以 (x2－1)，约去分母，得 解这个整式方程，得 x = 1. 典例精析 x = 1 是原分式方程的解吗？ 检验：将 x = 1 代入原分式方程检验，发现这时分母 x - 1 和 x2 - 1 的值都为 0，相应的分式方程无意义. 因此 x = 1 虽是整式方程 x + 1 = 2 的解，但不是原分式方程 的解. 实际上，这个分式方程无解. 想一想： 上面两个分式方程中，为什么 去分母后所得整式方程的解就是原分式方程的解， 而 去分母后所得整式方程的解却不是原分式方程的解呢？ 真相揭秘：分式两边同乘不为 0 的式子，所得整式方程的解与分式方程的解相同. 我们再来观察去分母的过程： 80(x-3)=60(x+3) 两边同乘(x+3)(x-3) 当x=21时，(x+3)(x-3)≠0 真相揭秘：分式两边同乘了等于 0 的式子，所得整式方程的等式必然成立（即整式方程的解与原分式方程无关），但其解使原分式方程中的分母为 0，故这个整式方程的解就不是原分式方程的解. x + 1 = 2 两边同乘(x2－1) 当 x=1 时，(x2－1)=0 在将分式方程变形为整式方程时，方程两边都乘以同一个含有未知数的整式，并约去了分母，有时可能产生不适合原分式方程的解(或根)，这种根通常称为增根. 因此，在解分式方程时必须进行检验. 解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程的分母为 0，所以分式方程的解必须检验． 分式方程解的检验——必不可少的步骤 怎样检验？ 归纳总结 检验方法： 将整式方程的解代入最简公分母，若最简公分母的值不为 0，则整式方程的解是原分式方程的解；如果为 0，即为增根. 如例1 中，把 x = 1 代入 x²－1，其值为 0， 可知 x = 1 是原分式方程的增根. 用框图的方式总结为： 分式方程 整式方程 去分母 解整式方程 x =a 检验 x =a是分式 方程的解 x =a不是分式 方程的解 x =a时 最简公分母是 否为零？ 否 是 解 方程两边都乘以 x ( x - 7 ) ，约去分母，得 100 ( x - 7 ) = 30x. 解这个整式方程，得 x = 10 . 例2 解方程： 检验: 把 x = 10 代入 x ( x - 7)，得 10×(10 - 7) ≠ 0 所以 x = 10 是原方程的解. 典例精析 例3 若关于 x 的分式方程 无解，求 m 的值． 解析：先把分式方程化为整式方程，再分两种情况讨论求解：整式方程无解与或其解使分式方程的最简公分母为零． 典例精析 解：方程两边同乘 (x＋2)(x－2) 得 2(x＋2)＋mx＝3(x－2)，即 (m－1)x＝-10. ① 当 m－1＝0 时，此方程无解，此时 m＝1； ② 整式方程的解使分式方程的最简公分母为零，即 x＝2 或 x＝－2. 当 x＝2 时，(m－1)×2＝－10，解得 m＝－4； 当 x＝－2 时，(m－1)×(－2)＝－10，解得 m＝6. ∴ m 的值是 1，－4 或 6. 返回 A 中考考法 21 返回 A 中考考法 22 返回 D 中考考法 23 返回 C 中考考法 24 返回 5．小美家有一辆燃油汽车和一辆纯电汽车，燃油汽车耗费6 000元油费行驶的路程与纯电汽车耗费1 000元电费行驶的路程相同，且每百公里的耗油费比耗电费约多50元，求纯电汽车每百公里的耗电费．设纯电汽车每百公里的耗电费为x元，可列分式方程为_____________________． 中考考法 25 返回 －1 中考考法 26 【解】方程两边都乘以(x＋2)(x－2)，约去分母， 得3(x－2)＋(x＋2)(x－2)＝x(x＋2)，解得x＝10. 检验：当x＝10时，(x＋2)(x－2)≠0， ∴原方程的解为x＝10. 中考考法 27 返回 【解】方程两边同乘以(x－1)(x＋2)， 得x(x＋2)－3＝(x－1)(x＋2)，解这个方程，得x＝1. 经检验，x＝1是原方程的增根，∴原方程无解． 中考考法 28 中考考法 29 返回 【答案】C 中考考法 30 中考考法 31 返回 【答案】D 中考考法 32 中考考法 33 返回 【答案】D 中考考法 34 分式 方程 误区 (1) 去分母时，原方程的整式部分漏乘 步骤 (去分母法) 一化 (分式方程转化为整式方程)； 二解 (整式方程)； 三检验 (把解代入到最简公分母中，看是否为零) (2) 去分母后，分子是多项式时，没有添括号 (因分数线有括号的作用) (3) 忘记检验 定义 分母中含未知数的方程叫作分式方程 1．下列关于x的式子：①＝1；②＝1＋；③＋＝1；④－3＝a＋4；⑤，其中是分式方程的有(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．[湖南中考]将分式方程＝去分母后得到的整式方程为(　　) A．x＋1＝2x B．x＋2＝1 C．1＝2x D．x＝2(x＋1) 3．分式方程－3＝的解是(　　) A．x＝－ B．x＝－1 C．x＝ D．x＝3 4．[株洲期末]已知关于x的方程＝的解是x＝1，则a的值为(　　) A．2 B．1 C．－1 D．－2 ＝ 6．如图，点A，B在数轴上，它们所表示的数分别是－4，，且点A到原点的距离是点B到原点的距离的2倍，则x＝________． 7．解下列方程： (1)＋1＝； (2)－＝1． 8．已知且a为整数，则关于x的分式方程＝2的解是(　　) A．x＝5 B．x＝1 C．x＝3 D．不能确定 【点拨】解得<a<2.∵a为整数，∴a＝1.把a＝1代入方程＝2，得＝2，解得x＝3.经检验，x＝3是原方程的解． 9．若关于x的方程－2＝的解为正数，则m的取值范围是(　　) A．m＝－ B．m< C．m>－且m≠0 D．m<且m≠ 【点拨】去分母，得2x－4(x－1)＝3m，整理，得2x＝4－3m，解得x＝.∵分式方程的解为正数，∴4－3m＞0且≠1.∴m<且m≠. 10．若关于x的分式方程＝－1无解，则a的值为(　　) A．2 B．3 C．0或2 D．－1或3 【点拨】原方程两边同乘以(x－2)，得－(3－ax)＝a－(x－2)，化简得ax－3＝a－x＋2，即(a＋1)x＝a＋5.当整式方程无解时，a＋1＝0且a＋5≠0，∴a＝－1，此时方程无解；当解为增根时，x＝＝2，∴a＝3.综上，a的值为－1或3. $