10.1 第2课时 垂线及其性质（讲解课件）【优翼·学练优】2025-2026学年七年级数学下册同步备课（沪科版）

该初中数学课件聚焦垂线的概念、性质及画法，通过观察生活中相交直线的特殊位置关系导入，结合转动木条模型抽象出垂直定义，衔接对顶角、补角性质，构建从具体到抽象的学习支架，帮助学生理解垂线的判定与性质。 其亮点在于注重数学眼光、思维与语言的培养，通过“折一折”“画一画”等动手活动发展几何直观，利用问题链（如过点画垂线的条数探究）引导逻辑推理，用符号语言规范垂直的判定与性质表达。例2结合角的关系推理角度，强化推理意识，学生能在实践中深化理解，教师可依托结构化内容提升教学效率。

10.1 相交线 第2课时 垂线及其性质 第10章 相交线、平行线与平移 七年级下册数学（沪科版） 学习目标 1.理解垂线的有关概念、性质及画法；（重点） 2.知道垂线段和点到直线的距离的概念，并会应用 其解决问题. （重点、难点） 观察下面图片，你能找出其中相交的直线吗？它们有什么特殊的位置关系？ 导入新课 日常生活里，有图中位置关系的两条直线很常见，你能再举出其他例子吗？ 在相交线的模型中，固定木条 a，转动木条 b，当 b 的位置变化时，a、b 所成的角 α 也会发生变化. ） α a b b b b b ） α ） α ） α ） α ） α ） α ） α 垂线的概念 1 新知探究 问题 如图，直线 AB、CD 相交于点 O，当∠AOC = 90° 时，∠BOD、∠AOD、∠BOC 的度数是多少？为什么？ A B C D O 由对顶角和补角的性质可知，当∠AOC = 90° 时，∠BOD =∠AOD =∠BOC = 90°. 两条直线相交所成的 4 个角中，如果有一个角是直角，就说这两条直线互相垂直. 注意：两条线段互相垂直是指这两条线段所在的直线互相垂直. 垂直的定义： 知识要点 如果直线 AB 与直线 CD 垂直，那么可记作：AB⊥CD. 读作“AB 垂直于 CD”，其中一条直线叫作另一条直线的垂线. 互相垂直的两条直线的交点叫作垂足 (如图中的 O 点). A B C D O l m 垂直的表示方法： A B C D O 符号语言： ① 判定：如图，若直线 AB 与 CD 相交于 点 O，∠AOD = 90°，则 AB⊥CD，垂足为 O. 因为∠AOD = 90°（已知）， 所以 AB⊥CD（垂直的定义）. ② 性质：若直线 AB⊥CD，垂足为 O，则∠AOD = 90°. 因为 AB⊥CD（已知）， 所以∠AOD = 90°（垂直的定义）. (∠AOC =∠BOC =∠BOD = 90°) 垂线的定义延伸 符号语言： 例1 (1) 如图1，直线 m、n 交于点 O，∠1=90°，则m n； (2) 若直线 AB、CD 相交于点 O，且 AB⊥CD，则∠BOD =_____°； (3) 如图2，BO⊥AO，∠BOC 与∠BOA 的度数之比为 1∶5，那么∠COA＝____°，∠BOC 的补角为 °. O m n 1 B C A O ⊥ 90 72 162 图1 图2 典例精析 你能借助三角尺在一张白纸上画出两条互相垂直的直线吗？ 活动1： 如果只有直尺，你能在方格纸上画出两条互相垂直的直线吗？ 活动2： 折一折，试一试 你能用纸折出两条互相垂直的直线吗? 例2 如图，直线 BC 与 MN 相交于点 O，AO⊥BC，∠BOE＝∠NOE，若∠NOE＝20°，求∠AOM 和∠NOC 的度数． 解：因为∠BOE＝∠NOE， 所以∠BON＝2∠NOE＝40°. 所以∠NOC＝180°－∠BON＝180°－40°＝140°， ∠MOC＝∠BON＝40°. 因为 AO⊥BC，所以∠AOC＝90°. 所以∠AOM＝∠AOC－∠MOC＝90°－40°＝50°. 所以∠AOM 和∠NOC 的度数分别为 50° 和 140°. 问题： (1) 画已知直线 l 的垂线能画几条? (2) 过直线 l 上的一点 A 画 l 的垂线，这样的垂线能画几条? (3) 过直线 l 外的一点 B 画 l 的垂线，这样的垂线能画几条? A .B l . 垂线的画法及一个基本事实 2 问题：这样画 l 的垂线可以画几条？ 1. 放 l O 如图，已知直线 l，作 l 的垂线. A 无数条 2. 靠 3. 画 … l A B 1. 放 2. 靠 3. 移 4. 画 如图，已知直线 l 和 l 上的一点 A，过点 A 作 l 的垂线. 问题：这样画 l 的垂线可以画几条？ 一条 l M N 1. 放 2. 靠 3. 移 4. 画 如图，已知直线 l 和 l 外的一点 M，过点 M 作 l 的垂线. 问题：这样画 l 的垂线可以画几条？ 一条 根据以上操作，你能得出什么结论 关于直线的垂线，有如下基本事实： 同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直. 注意：有时，我们说线段、射线与某一条直线互相垂直，是指线段所在直线、射线所在直线与该直线互相垂直. 画一条线段或射线的垂线，就是画它们所在直线的垂线. 要点归纳 C D E 1. 线段 AB，AC，AD，AE 中谁最短？ 2. 你能用一句话表示这个结论吗？ 说一说： 如图，从 A 点向已知直线 l 引一条垂直的线段 AD（即点 A 到直线 l 的垂线段）和几条不垂直的线段 AB，AC，AE. B l A 点到直线的距离 3 连接直线外一点与直线上各点的线段中，垂线段 (点到直线的距离) 最短. 直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫作点到直线的距离. 特别规定： D l A 如图，点 A 到直线 l 的距离是什么？ 是垂线段 AD 的长 归纳总结 想一想： 在灌溉时，要把河中的水引到农田 P 处，如何挖掘能使渠道最短？请画出图来，并说明理由. m 垂线段最短 1. 如图，直线 AB 与 CD 相交于点 O， 且∠AOC = ∠BOC. 那么直线 AB 与 CD 有什么位置关系? 为什么? A o B D C 解：因为∠AOC =∠BOC， 而∠AOC +∠BOC =180° (平角的定义)， 故 AB 与 CD 互相垂直. 所以∠AOC =∠BOC = 90°， 课本练习 2. 如图，在三角形 ABC 中， D 是 BC 中点，连接 AD，请分别画出自点 B，C 向 AD 所作的垂线. (垂足为点 E ，F ). E F 当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，这两条直线互相垂直，其中一条直线叫另一条直线的垂线，它们的交点叫垂足. 1. 垂线的定义 2. 垂线的画法 3. 垂线的性质（两个基本事实） (1) 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； (2) 垂线段最短. 4. 点到直线的距离 课堂小结 1. 两条直线相交所成的四个角中，下列条件中能 判定两条直线垂直的是( ) A.有两个角相等 B.有两对角相等 C.有三个角相等 D.有四对角互补 C 课后练习 2. 过点 P 向线段 AB 所在直线引垂线，正确的是（ ） A B C D C 4.找出图中互相垂直的线段： AO⊥CO BO⊥DO A B C D O 3. 如图，AC⊥BC，∠CDB = 90°，线段 AC、BC、CD 中最短的是 ( ) A. AC B. BC C. CD D. 不能确定 D A B C C 5. 如图，下列说法正确的是（ ） A. 线段 AB 是点 B 到直线 AC 的距离 B. 线段 AB 的长度是点 A 到直线 AC 的距离 C. 线段 BD 的长度是点 D 到直线 BC 的距离 D. 线段 BD 的长度是点 B 到直线 AC 的距离 A B C D D 6. 已知：如图，AB⊥CD，垂足为点 O，EF 为过点 O 的一条直线，则∠1 与∠2 的关系一定成立的是（ ） A. 相等 B. 互余 C. 互补 D. 互为对顶角 A B C D E F O 1 2 B 7. 如图，已知直线 AB、CD 都经过 O 点，OE 为射线， 若∠1＝35°，∠2＝55°，则 OE 与 AB 的位置关系是 . C A B O E 1 2 D 垂直 本文件著作权为创作公司所有, 仅限于教师教学及其他非商业性和非盈利性用途。如发现盗用、转卖、网络传播等侵权行为, 本公司将依法追究其相应法律责任。 部分素材选自网络, 如有争议, 请联系删改。 声 明 $