9.3 第2课时 分式方程的实际应用（讲解课件）【优翼·学练优】2025-2026学年七年级数学下册同步备课（沪科版）

该初中数学课件聚焦分式方程的实际应用，涵盖工程、行程等问题。课堂导入通过复习分式方程解法步骤及应用题类型，搭建旧知到新知的学习支架，帮助学生衔接知识脉络。 其亮点在于采用“321”解题方法，结合表格法分析数量关系，培养学生数学思维中的推理意识和数学语言中的模型意识。如工程问题中通过三个量、两个主人公、一个等量关系构建方程，行程问题用表格清晰呈现路程、速度、时间关系。学生能提升解决实际问题能力，教师可借助结构化资源提高教学效率。

9.3 分式方程 第9章 分 式 第2课时 分式方程的实际应用 七年级下册数学（沪科版） 学习目标 1.理解数量关系并正确列出分式方程.（难点） 2.在不同的实际问题中能审明题意设未知数，列分式方程解决实际问题.（重点） 1. 解分式方程的基本思路是什么？ 2. 解分式方程有哪几个步骤？ 3. 验根有哪几种方法？ 分式方程 整式方程 转化 (去分母) 一化二解三检验 有两种方法：第一种是代入最简公分母；第二种代入原分式方程.通常使用第一种方法. 导入新课 4. 我们现在所学过的应用题有哪几种类型？每种类型的基本关系式是什么？ 基本上有 4 种： (1) 行程问题：路程 = 速度×时间； (2) 数字问题：在数字问题中十进制数的表示法； (3) 工程问题：工作总量 = 工作时间×工作效率； (4) 销售问题：批发成本 = 批发数量×批发价； 打折售价 = 定价×(折数÷10)； 销售利润 = 销售收入-成本； 利润率 = 利润÷进价(或成本). 例1 两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工 1 个月完成总工程的三分之一，这时增加了乙队，两队又共同工作了半个月，总工程全部完成.哪个队的施工速度快？ 表格法分析 如下： 工作时间(月) 工作效率 工作总量 甲队 乙队 等量关系： 甲队完成的工作总量 + 乙队完成的工作总量 =“1” 设乙单独完成这项工程需要 x 月. 列分式方程解决工程问题 1 新知探究 解：设乙单独完成这项工程需要 x 个月. 记工作总量为 1，甲的工作效率是 ，根据题意得 即 解得 x = 1. 检验：当 x = 1 时，2x ≠ 0，故 x = 1 是原方程的根. 由上可知，若乙队单独施工 1 个月可以完成全部任务，而甲队单独施工需 3 个月才可以完成全部任务，所以乙队的施工速度快. 想一想：本题的等量关系还可以怎么找？ 甲队单独完成的工作总量 + 两队合作完成的工作总量=“1” 此时表格怎么列，方程又怎么列呢？ 设乙单独完成这项工程需要 x 月.则乙队的工作效率是 ，甲队的工作效率是 ，合作的工作效率之和 是 工作时间(月) 工作效率之和 工作总量 甲单独 两队合作 此时方程是： 1 表格为 “3 行 4 列” 工程问题 1. 题中有“单独”字眼通常可知工作效率； 2. 通常间接设元，如××单独完成需 x (单位时间)，则可表示出其工作效率； 3. 弄清基本的数量关系，如本题中的“甲、乙合作的工作效率 = 甲、乙两队工作效率的和”. 典例精析 4. 解题方法：可概括为“321”，即 3 指该类问题中数量关系，如工程问题有工作效率，工作时间，工作量； 2 指该类问题中的“两个主人公”，如甲队和乙队，或“甲单独和两队合作”； 1 指该问题中的一个等量关系，如工程问题中的等量关系是：两个主人公工作总量之和 = 全部工作总量. 要点归纳 1. 抗洪抢险时，需要在一定时间内筑起拦洪大坝，甲队单独做正好按期完成，而乙队由于人少，单独做则超期 3 个小时才能完成．现甲、乙两队合作 2 个小时后，甲队又有新任务，余下的由乙队单独做，刚好按期完成．求甲、乙两队单独完成全部工程各需多少小时. 解析：设甲队单独完成需要 x 小时，则乙队需要 (x＋3) 小时，根据等量关系“甲工效×2＋乙工效 ×甲队单独完成需要时间＝1”列方程． 练一练 答：甲单独完成全部工程需 6 小时， 乙单独完成全部工程需 9 小时． 解决工程问题的思路方法：各部分工作量之和等于 1，常从工作量和工作时间上考虑相等关系． 由题意得 . 解得 x ＝ 6. 检验：x＝6 是方程的根，且满足题意. 此时 x＋3＝9. 解：设甲队单独完成需要 x 小时，则乙队需要(x＋3)小时. 例2 朋友们约着一起开 2 辆车自驾去黄山玩，其中面包车为领队，小轿车紧随其后，他们同时出发，当面包车行驶了 200 km 时，发现小轿车只行驶了 180 km，若面包车的行驶速度比小轿车快 10 km/h，请问面包车，小轿车的速度分别为多少 km/h？ 0 180 200 列分式方程解决行程问题 2 路程 (km) 速度 (km/h) 时间 (h) 面包车 小轿车 200 180 x + 10 x 分析：设小轿车的速度为 x km/h. 面包车的时间 = 小轿车的时间 等量关系： 列表格如下： 解：设小轿车的速度为 x km/h，则面包车的速度为 (x + 10) km/h，依题意得 解得 x＝90. 经检验，x＝90 是原方程的根，且符合题意. 此时，x + 10＝100. 答：面包车的速度为 100 km/h，小轿车的速度为 90 km/h. 注意两个检验： (1) 是否是所列方程的解； (2) 是否满足实际意义. 1. 小轿车发现跟丢时，面包车行驶了 200 km，小轿车行驶了 180 km，小轿车为了追上面包车，他就马上提速，他们约定好在 300 km 的地方碰头，他们正好同时到达，请问小轿车提速多少 km/h？ 0 180 200 300 做一做 解：设小轿车提速为 x km/h，依题意得 解得 x＝30. 经检验，x＝30 是原方程的根，且满足题意. 答：小轿车提速了 30 km/h. 行程问题 1. 注意关键词“提速”与“提速到”的区别； 2. 明确两个“主人公”的行程问题中三个量用代数式表示出来； 3. 行程问题中的等量关系通常抓住“时间线”来建立方程. 要点归纳 列分式方程解应用题的一般步骤： 1. 审清题意，并设出未知数； 2. 找相等关系； 3. 列出方程； 4. 解这个分式方程； 5. 检验 (包括两方面：一验是否是分式方程的根，二验是否符合题意)； 6. 作答. 其他问题 3 例3 有一并联电路，如图，两电阻阻值分别为R1，R2，总电阻阻值为R，三者关系为： 若已知 R1，R2，求 R. 解：方程两边同乘以 RR1R2，得 R1R2 = RR2+RR1， 即 R1R2 = R(R1+R2) . 因为R1，R2都是正数，所以R1+R2≠0 . 所以两边同除以(R1+R2) ，得 R= . 例4 七（1）、（2）两班师生前往郊区参加义务植树活动，已知七（1）班每天比七（2）班多种10 棵树.如果分配给七（1）、七（2）两班的植树任务分别是 150 棵和 120 棵，问两个班每天各植树多少棵，才能同时完成任务？ 解：设七（2）班每天植树x 棵，则七（1）班 每天植树(x+10)棵. 解方程，得 x = 40 . 经检验，x = 40 是原方程的根. 此时 x + 10 = 50 . 因而，当七（2）班每天植树 40 棵，七（1）班每天植树 50 棵时，两个班能同时完成任务. ①是否是分式方程的解； ②是否符合题意. 1.在公式 中，p2≠0，用 p1，p2，V1 表示出 V2 . 解：由题意，去分母，得 p1V1 = p2V2 V2 = p1V1 p2 课本练习 2.小华和姐姐都用计算机输入 1500 个汉字，姐姐的输入速度是小华的 3 倍，结果姐姐比小华少用 20 min 完成，求他们各自打字的速度. 解：设小华打字速度为每分钟 x 个，则姐姐的速度为每分钟 3x 个. + 20 解得 x = 50. 姐姐的速度为：50×3 = 150（个/分）. 答：小华每分钟可以打字 50 个，姐姐每分钟可以打字 150 个. 3.甲、乙两名工人生产同一种零件，甲每小时比乙多生产 8 个，甲生产 168 个零件与乙生产 144 个零件所用的时间相同，问甲、乙两人每小时各生产多少个零件? 解：设乙每小时生产 x 个零件，则甲为每小时 x+8 个. 解得：x = 48. 甲1小时生产的零件：48 + 8 = 56 (个). 答：甲每小时生产 56 个，乙每小时生产 48 个. 分式方程的应用 类型 行程问题、工程问题、数字问题、顺逆问题、销售问题等 方法 步骤 一审二设三找四列五解六验七答 321 法 课堂小结 A. B. C. D. 1. 几名同学包租一辆面包车去旅游，面包车的租价为 180 元/辆，出发前又增加了两名同学，结果每个同学比原来少分摊 3 元车费，若设原来参加旅游的学生有 x 人，则所列方程为 (　　) A 课后练习 2. 一轮船往返于 A、B 两地之间，顺水比逆水快 1 小时到达.已知 A、B 两地相距 80 千米，水流速度是 2 千米/时，求轮船在静水中的速度. 解：设船在静水中的速度为 x 千米/时,根据题意得 解得 x = ±18. 检验：当 x = －18，不合题意，舍去. 当 x = 18，满足题意. 所以 x = 18 是原方程的根. 答：船在静水中的速度为 18 千米/时. 本文件著作权为创作公司所有, 仅限于教师教学及其他非商业性和非盈利性用途。如发现盗用、转卖、网络传播等侵权行为, 本公司将依法追究其相应法律责任。 部分素材选自网络, 如有争议, 请联系删改。 声 明 $