9.3 第1课时 分式方程及其解法（讲解课件）【优翼·学练优】2025-2026学年七年级数学下册同步备课（沪科版）

该初中数学课件聚焦分式方程及其解法，通过轮船顺逆流航行时间相等的实际问题导入，对比一元一次方程引出分式方程概念，搭建从整式方程到分式方程的学习支架，帮助学生建立知识联系。 其亮点在于以“数学眼光”抽象现实问题中的数量关系，通过对比两个分式方程解的差异，结合“数学思维”分析增根成因，用框图总结“一化二解三检验”步骤。典例涵盖基础解法与含参数问题，培养学生运算能力与推理意识，助力教师高效教学，提升学生解决实际问题的应用意识。

9.3 分式方程 第9章 分 式 第1课时 分式方程及其解法 七年级下册数学（沪科版） 学习目标 1.理解分式方程的概念； 2.掌握去分母的方法解分式方程的；（重点） 3.理解分式方程产生增根的原因，掌握分式方程验根的方法.（难点） 一艘轮船在静水中的最大航速为 30 千米/时，它沿江以最大航速顺流航行 90 千米所用时间，与以最大航速逆流航行 60 千米所用时间相等. 设江水的流速为 x 千米/时，根据题意可列方程 这个方程是我们以前学过的方程吗？它与一元一次 方程有什么区别？ . 导入新课 定义： 像这样，分母中含未知数的方程叫作分式方程. 分式方程的概念 知识要点 1 新知探究 判一判 下列方程中，哪些是分式方程？哪些是整式方程？ 整式方程 分式方程 方法总结：判断一个方程是否为分式方程，主要是看分母中是否含有未知数(注意：π 是常数，不是未知数). （2）怎样去分母？ （3）在方程两边乘以什么样的式子才能把每一个分母 都约去？ （4）这样做的依据是什么？ 解分式方程最关键的问题是什么？ （1）如何把它转化为整式方程呢？ 如何去分母 你能试着解这个分式方程吗？ 分式方程的解法 2 去分母 在方程两边同时乘以一个合适的式子 最简公分母 分式的基本性质 方程的最简公分母是：(30 + x)(30 - x) 解：方程两边同时乘以 (30 + x)(30 - x)，得 检验：将 x = 6 代入原分式方程中，左边 = = 右边， 因此 x = 6 是原分式方程的解. 90(30 - x) = 60(30 + x)， 解得 x = 6. x = 6 是原分式方程的解吗？ 解分式方程的基本思路：是将分式方程化为整式方程，具体做法是“去分母”，即方程两边同时乘以最简公分母. 这也是解分式方程的一般方法. 归纳 下面我们再解一个分式方程： 解：方程两边同时乘以最简公分母 (x + 5)(x - 5)，得 x + 5 = 10， 解得 x = 5. x = 5 是原分式方程的解吗？ 检验：将 x = 5 代入原方程中，分母 x - 5 和 x2 - 25的值都为 0，相应的分式无意义. 因此 x = 5 虽是整式方程 x + 5 = 10 的解，但不是原分式方程 的解.实际上，这个分式方程无解. 想一想： 上面两个分式方程中，为什么 去分母后所得整式方程的解就是原分式方程的解， 而 去分母后所得整式方程的解却不是原分式方程的解呢？ 真相揭秘：分式两边同时乘以不为 0 的式子，所得整式方程的解与分式方程的解相同. 我们再来观察去分母的过程： 90(30-x)=60(30+x) 两边同乘以(30+x)(30-x) 当x=6时，(30+x)(30-x)≠0 真相揭秘：分式两边同时乘以等于 0 的式子，所得整式方程的解使分母为 0，这个整式方程的解就不是原分式方程的解. x + 5 = 10 两边同乘以(x + 5)(x - 5) 当 x=5 时，(x + 5)(x - 5)=0 解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程的分母为 0，所以分式方程的解必须检验． 分式方程解的检验——必不可少的步骤 检验方法： 将整式方程的解代入最简公分母，若最简公分母的值不为 0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解. 1. 在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程； 2. 解这个整式方程； 3. 把整式方程的解代入最简公分母，若最简公分母的值不为 0，则整式方程的解是原分式方程的解，否则该解须舍去； 4. 写出原方程的根. 简记为：“一化二解三检验” “去分母法”解分式方程的步骤 要点归纳 例1 解方程： 解：方程两边同乘以最简公分母 x(x - 2)，得 解这个一元一次方程，得 x = -3. 检验：把 x = -3 代入 x(x - 2)，得 x(x - 2) ≠ 0. 因此 x = -3 是原方程的解. 典例精析 解：方程两边同乘以最简公分母(x + 3)(x - 3)，得 展开，得 解方程，得 所以，原方程的根是 x = 21. 例1 解方程： (x - 1)(x - 3) - 2(x + 3)(x - 3)= -x(x + 3). x2 - 4x + 3 - 2x2 + 18 = -x2 - 3x. x = 21. 检验：当 x = 21 时，(x + 3)(x - 3)≠0. 典例精析 解：两边都乘以最简公分母 (x + 2)(x - 2)，得 x + 2 = 4. 解得 x = 2. 检验：把 x = 2 代入 (x + 2)(x - 2)，得 (x + 2)(x - 2) = 0. 因此 x = 2 不是原分式方程的解，原方程无解. 提醒：解分式方程时，通常要在方程两边同乘以最简公分母，验根时，只要把求得的根代入最简公分母，看它的值是否为零，使它不为零的根才是原方程的根，使它为零的根即为增根，应舍去. 用框图的方式总结为： 分式方程 整式方程 去分母 解整式方程 x = a 检验 x = a 是分式 方程的解 该分式 方程无解 当 x = a 时 最简公分母是 否为零？ 否 是 例2 关于 x 的方程 的解是正数，则 a 的取值范围是_______________． 解析：去分母得 2x＋a＝x - 1，解得 x＝-a - 1. 因为关于 x 的方程 的解是正数， 所以 x＞0 且 x≠1. 所以 -a -1＞0 且 -a -1≠1， 解得 a＜-1 且 a≠-2. a＜-1 且 a≠-2 例3 若关于 x 的分式方程 无解，求 m 的值． 分析：先把分式方程化为整式方程，再分两种情况讨论求解：整式方程无解与分式方程有增根． 方法总结：先求出方程的解 (用未知字母表示)，然后根据其解的相关条件，列出关于未知字母的不等式求解，特别注意要使分母不为 0. 解：方程两边都乘以 (x＋2)(x－2) 得 2(x＋2)＋mx＝3(x－2)，即 (m－1)x＝-10. ① 当 m－1＝0 时，此方程无解，此时 m＝1； ② 方程有增根，则 x＝2 或 x＝－2， 当 x＝2 时，代入 (m－1)x＝－10，得 (m－1)×2＝－10，m＝－4； 当 x＝－2时，代入(m－1)x＝－10，得 (m－1)×(－2)＝－10，解得 m＝6. 所以 m 的值是 1或－4 或 6. 分式方程无解与分式方程有增根所表达的意义是不一样的．分式方程有增根仅仅针对使最简公分母为 0 的数；分式方程无解不但包括使最简公分母为 0 的数（增根），而且还包括分式方程化为整式方程后，使整式方程无解的数． 方法归纳 1.解方程. (1) (2) 1－ 解：(1)去分母，得 5(x－2) = 3x 解得 x = 5 经检验， x = 5 是原方程的根. (2) 去分母，得 x－4－1 = 3－x 解得 x = 4 经检验，x = 4 是原方程的增根， 因而原方程无解. 课本练习 2. 防汛期间，县指挥部组织人力到 30 km 远的堤上抢修堤坝，2 人骑摩托车先走，15 min 后，大部队乘汽车装载着所需材料出发，结果他们同时到达. 已知汽车速度是摩托车速度的 1.5 倍，求这两种车的速度. 解：设摩托车的速度为 x km/h，则汽车的速度为 1.5x km/h. 解得 x = 40 汽车速度：1.5×40 = 60 km/h. 答：摩托车速度为 40 km/h，汽车速度为 60 km/h. 分式 方程 误区 (1) 去分母时，原方程的整式部分漏乘； 步骤 (去分 母法) 一化 (分式方程转化为整式方程)； 二解 (整式方程)； 三检验 (把解代入到最简公分母，看是否为零) (2) 去分母后，分子是多项式时，没有添括号 (因分数线有括号的作用)； (3)忘记检验. 定义 分母中含未知数的方程叫做分式方程 课堂小结 D 2. 要把方程 化为整式方程，方程两边可以同时乘以（ ） A. 3y - 6 B. 3y C. 3 (3y - 6 ) D. 3y ( y - 2 ) 1. 下列关于 x 的方程中，是分式方程的是 (　　) A. B. C. D. D 课后练习 3.解方程： 解： 方程两边同乘以 (x - 1)(x + 2)，得 x(x + 2) - (x - 1)(x + 2) = 3. 解得： x = 1. 检验：当 x = 1 时，(x - 1)(x + 2) = 0， 因此 x = 1 不是原分式方程的解. 所以原分式方程无解. 4. 解方程： 解：方程两边同乘以 ，得 解得 检验：把 代入最简公分母，得 所以原方程的解为 5. 若关于 x 的方程 有增根，求 m 的值. 解：方程两边同乘以 x - 2，得 2 - x + m = 2x - 4. 所以 m = 3x - 6 . 因为该分式方程有增根， 所以 x - 2 = 0，即 x = 2. 所以 m = 0. 本文件著作权为创作公司所有, 仅限于教师教学及其他非商业性和非盈利性用途。如发现盗用、转卖、网络传播等侵权行为, 本公司将依法追究其相应法律责任。 部分素材选自网络, 如有争议, 请联系删改。 声 明 $