第9章 分式 小结与复习（讲解课件）【优翼·学练优】2025-2026学年七年级数学下册同步备课（沪科版）

该初中数学课件系统梳理了分式的概念性质、运算及分式方程知识，通过要点梳理将分式定义、基本性质、约分通分、四则运算、分式方程解法及应用串联，构建完整知识网络，体现从概念到运算再到应用的逻辑脉络。 其亮点在于采用“考点讲练+方法归纳”模式，如例4通过整体代换求分式值培养运算能力，例6行程问题强化模型意识，对应训练分层设计满足不同学生需求。这能帮助学生巩固知识，教师可精准把握复习重点，提升教学效率。

小结与复习 第9章 分 式 七年级下册数学（沪科版） 1. 分式的定义 2. 分式有意义的条件： B≠0. 分式无意义的条件： B＝0. 分式值为 0 的条件： A＝0 且 B≠0. 一、分式的概念及基本性质 一般地，如果 A、B 表示两个整式，并且 B中含有字母，那么式子 叫做分式.其中 A 叫作分式的分子，B 叫作分式的分母. 要点梳理 即对于分式 ，有 分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变. 3.分式的基本性质 (A,B,M 都是整式,且 M≠0). 4. 分式的约分 约分的定义 根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫作分式的约分． 最简分式的定义 分子与分母只有公因式 1 的分式，叫做最简分式. 注意：分式的约分，一般要约去分子和分母所有的公因式，使所得的结果成为最简分式或整式. 约分的一般步骤 (1) 若分子、分母都是单项式，则约去系数的最大公因数，并约去相同字母的最低次幂； (2) 若分子、分母含有多项式，则先将多项式分解因式，然后约去分子、分母所有的公因式． 5. 分式的通分 分式的通分的定义 化异分母分式为同分母分式的过程，叫作分式的通分. 最简公分母 通常取各分母所有因式的最高次幂的积作为公分母，这样的公分母叫作最简公分母. 二、分式的运算 1. 分式的乘除法则： 2. 分式的乘方法则： 3. 分式的加减法则 (1) 同分母分式的加减法则： (2) 异分母分式的加减法则： 4. 分式的混合运算 先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号里面的. 计算结果要化为最简分式或整式． 三、分式方程 1. 分式方程的定义 分母中含未知数的方程叫做分式方程. 2. 分式方程的解法 (1) 将方程的两边都乘以最简公分母，化为整式方程； (2) 解这个整式方程； (3) 把整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为 0，则此解是原分式方程的解，否则为增根，须舍去. 3. 分式方程的应用 列分式方程解应用题的一般步骤： (1) 审清题意，并设出未知数； (2) 找相等关系； (3) 列出方程； (4) 解这个分式方程； (5) 检验 (包括两方面：一验是否是分式方程的根，二验是否符合题意)； (6) 作答. 例1 如果分式 的值为 0，那么 x 的值为 . 【解析】根据分式值为 0 的条件：分子为 0 而分母不为 0，列出关于 x 的方程，求出 x 的值. 由题意可得：x - 1 = 0，x + 1 ≠ 0. 解得 x = 1. 1 考点一 分式的有关概念 考点讲练 分式有意义的条件是分母不为 0； 分式无意义的条件是分母的值为 0； 分式的值为 0 的条件是分子为 0 且分母不为 0. 要点归纳 2. 若分式 的值为零，则 a 的值为 . 2 1. 若分式 无意义，则 x 的值为 . -3 对应训练 例2 如果把分式　　　中 x 和 y 的值都变为原来的 3 倍，那么分式的值（　　） B A. 变为原来的 3 倍　 B. 不变　 C. 变为原来的　 D. 变为原来的 考点二 分式的性质及有关计算 3. 下列变形正确的是 ( ) C 对应训练 例3 已知 x = ，y = ，求 的值. 【分析】本题中给出了字母的具体取值，一般应先化简再代入求值. 把 x = ，y = 代入得 解：原式 = 原式 = 对于一个分式，如果给出其中字母的取值，我们可以先将分式进行化简，再把字母取值代入，即可求出分式的值.但对于某些分式的求值问题，却没有直接给出字母的取值，而只是给出字母满足的条件，这样的问题较复杂，需要根据具体情况选择适当的方法. 要点归纳 4. 有一道题:“先化简，再求值： ，其中 .”小玲做题时把 错抄成 ，但她的计算结果也是正确的，请你解释这是怎么回事? 解： 因为 所以小玲的计算结果也正确. 对应训练 例4 分析：本题若先求出 a 的值，再代入求值，显然比较复杂；但是如果将分式 的分子、分母颠倒过来，即求 的值，再利用完全平方公式变形求解就简单多了． 利用 x 和 互为倒数，构造已知条件与所求代数式的关系，并运用整体代换，可使一些分式求值问题的思路豁然开朗，使解题过程简洁． 归纳总结 5. 已知 x2 - 5x + 1 = 0，求 的值. 解：因为 x2 - 5x + 1 = 0， 得 即 所以 = (25 - 2)2 - 2 = 527. 对应训练 例5 解下列分式方程：        解：(1) 方程两边同乘以最简公分母( x + 1)(x - 1)，得 x + 1 + x - 1 = 0. 解得 x = 0. 检验：当 x = 0 时，( x + 1)(x - 1)≠0， 所以x = 0是原方程的解 . 【分析】分式方程两边同乘以最简公分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到 x 的值，再检验即可确定出分式方程的解． 考点三 分式方程的解法 解分式方程的基本思想是“转化思想”，即把分式方程转化为整式方程求解．注意解分式方程一定要验根. (2) 方程两边同乘以最简公分母 x + 1，得 x - 4 = 2(x + 1) - 3. 解得 x = -3. 检验：当 x = -3 时， x + 1≠0， 所以原方程的根是 x = -3 . 方法归纳 解：方程两边同乘以最简公分母 (x + 2)(x﹣2)，得 (x﹣2)2 - (x + 2)(x﹣2) = 16. 展开，得 ﹣4x + 8 = 16. 解得 x =﹣2. 检验：当 x =﹣2 时，(x + 2)(x﹣2) = 0 . 所以 x =﹣2 不是原方程的根，原方程无解． 例6 从广州到某市，可乘坐普通列车或高铁，已知高铁的行驶路程是 400 千米，普通列车的行驶路程是高铁的行驶路程的 1.3 倍． (1) 求普通列车的行驶路程； 解：根据题意得 400×1.3＝520 (千米)． 答：普通列车的行驶路程是 520 千米. 考点四 分式方程的应用 (2) 若高铁的平均速度 (千米/时) 是普通列车平均速度 (千米/时) 的 2.5 倍，且乘坐高铁所需时间比乘坐普通列车所需时间短 3 小时，求高铁的平均速度． 分析：设普通列车的平均速度是 x 千米/时，根据高铁所需时间比乘坐普通列车所需时间缩短 3小时，列出分式方程，然后求解即可． 解：设普通列车的平均速度是 x 千米/时，则高铁的平均速度是 2.5x 千米/时，根据题意得 解得 x＝120. 检验： x＝120 是原方程的根，且符合题意. 则高铁的平均速度是 120×2.5＝300 (千米/时)． 答：高铁的平均速度是 300 千米/时． . 7. 某施工队挖掘一条长 90 米的隧道，开工后每天比原计划多挖 1 米，结果提前 3 天完成任务，原计划每天挖多少米？若设原计划每天挖 x 米，则依题意列出正确的方程为（ ） A. B. C. D. C 8. 某商店第一次用 600 元购进 2B 铅笔若干支，第二次又用 600 元购进该款铅笔，但这次每支的进价是第一次进价的 倍，购进数量比第一次少了 30 支.求第一次购进的每支铅笔的进价是多少元. 解：设第一次每支铅笔进价为 x 元，根据题意，得 解得 x = 4. 检验： x = 4 是原方程的根，且符合题意. 答：第一次每支铅笔的进价为 4 元. 主元法 例7 已知 ，求 的值. 【分析】将条件等式变形为用 b 来表示 a 的形式，可得 ，再代入所求分式中约分即可求值. 解：因为 ， 所以 . 所以 考点五 本章数学思想和解题方法 已知字母之间的关系式，求分式的值时，可以先用含有一个字母的代数式来表示另一个字母，然后把这个关系式代入到分式中即可求出分式的值，这种方法即是主元法. 此方法是在众多未知元之中选取某一元为主元，其余视为辅元，并将辅元用含有主元的代数式表示，这样就达到了减元的目的，可以化繁为简，化难为易. 要点归纳 解：由 ，得 . 把 代入可得原式= 9. 已知 ，求 的值. 本题还可设 x = 2m， y = 3m 求解 分式 分式 分式的定义及有意义的条件等 分式方程 分式方程的应用 步骤 一审二设三找四列五解六验七答，尤其不要忘了验根 类型 行程问题、工程问题、销售问题等 分式的运算及化简求值 分式方程的定义 分式方程的解法 课堂小结 见教材章末练习题 课后作业 本文件著作权为创作公司所有, 仅限于教师教学及其他非商业性和非盈利性用途。如发现盗用、转卖、网络传播等侵权行为, 本公司将依法追究其相应法律责任。 部分素材选自网络, 如有争议, 请联系删改。 声 明 $