8.3 第1课时 完全平方公式（讲解课件）【优翼·学练优】2025-2026学年七年级数学下册同步备课（沪科版）

该初中数学课件聚焦完全平方公式的推导、结构特点及应用，通过正方形试验田面积问题导入，从直接与间接计算面积的对比中抽象出公式，衔接多项式乘法知识，搭建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于结合几何解释（大正方形分割）与代数推导，培养数学眼光和推理意识，典例覆盖基础运算、含负号变式、参数求解等，小结归纳公式变形式，助力学生构建知识网络，提升运算能力与应用意识，教师可高效开展分层教学，学生能深化理解并解决实际问题。

第8章 整式乘法与因式分解 8.3 完全平方公式与平方差公式 第1课时 完全平方公式 七年级下册数学（沪科版） 1. 理解并掌握完全平方公式的推导过程、结构特点； （重点） 2. 会运用公式进行简单的运算．(难点) 学习目标 一块边长为 a 米的正方形试验田，需要将其边长增加 b 米，形成四块实验田，以种植不同的新品种(如图).用不同的形式表示实验田的总面积，并进行比较.你发现了什么？ 直接求：总面积 = (a + b)(a + b) 间接求：总面积 = a2 + ab + ab + b2 (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 a a b b 导入新课 p2 + 2p + 1 m2 + 4m + 4 p2－2p + 1 计算下列多项式的积，你能发现什么规律？ (1) ( p + 1 )2 = ( p + 1 )( p + 1 ) = . (2) ( m + 2 )2 = ( m + 2 )( m + 2 ) = . (3) ( p－1 )2 = ( p－1 )( p－1 ) = . (4) ( m－2 )2 = ( m－2 )( m－2) = . m2－4m + 4 根据上面的规律，你能直接写出下面式子的答案吗？ (a＋b)2 = . a2 + 2ab + b2 (a－b)2 = . a2－2ab + b2 完全平方公式 1 新知探究 完全平方公式 (a + b)2 = ； a2 + 2ab + b2 (a - b)2 = . a2 - 2ab + b2 文字叙述为：两个数的和（或差）的平方，等于这两个数的平方和加（或减）这两个数乘积的 2 倍. 这两个公式叫做完全平方公式. 简记为： “首平方，尾平方， 积的 2 倍放中央” 要点归纳 公式特征： 1. 积为二次三项式； 2. 积中的两项分别为两数的平方； 3. 另一项是两数积的 2 倍，且与乘式中间的符号相同； 4. 公式中的字母 a，b 可以表示数、单项式或多项式. (a + b)2 = ； a2 + 2ab + b2 (a - b)2 = . a2 - 2ab + b2 你能根据图 1 和图 2 的面积解释完全平方公式吗? b a a b 图 1 b a b a 图 2 想一想： 几何解释： a a b b = + + + a2 ab ab b2 (a + b)2 = . a2 + 2ab + b2 和的完全平方公式： a2 − ab − b(a − b) = a2 − 2ab + b2 = (a − b)2 a−b a a ab b(a−b) b b (a−b)2 几何解释： (a - b)2 = . a2 - 2ab + b2 差的完全平方公式： a−b (a + b)2 = a2 + 2 ab + b2 (2x)2 (1) ( 2x + y )2； = 4x2 + 4xy + y2 + ( y )2 +2 • (2x) • y 解：( 2x + y )2 = 例1 运用完全平方公式计算： 典例精析 解：(3a－2b)2 = = 9a2 (2) (3a－2b)2. ( a－b )2 = a2 － 2ab + b2 (3a)2 － 2 • (3a) • (2b) + (2b)2 － 12ab + 4b2. 例2 利用乘法公式计算：(- m - 2n)2. = m2 + 4mn + 4n2. = [-(m + 2n)]2 = (m + 2n)2 解： (-m - 2n)2 小提示：对于含负号较多的完全平方式，可以借助偶次幂为正数进行化简，即 (-a)2 = a2 . 例3 计算：(x + y + z)2. 解：原式 = [x + (y + z)]2 = x2 + 2x(y + z) + (y + z)2 = x2 + 2xy + 2xz + y2 + 2yz + z2 = x2 + y2 + z2 + 2xy + 2xz + 2yz. 方法总结：运用分组和整体思想计算，该等式也称为三数的完全平方公式. 例4 如果 36x2＋(m＋1)xy＋25y2 是一个完全平方式，求 m 的值． 解：因为36x2＋(m＋1)xy＋25y2 ＝(±6x)2＋(m＋1)xy＋(±5y)2 是完全平方式 所以 (m＋1)xy＝±2×6x·5y， m＋1＝±60. 解得 m＝59 或 m＝－61. 提醒：两数的平方和加上或减去它们积的 2 倍，就构成了一个完全平方式．注意积的 2 倍的符号，避免漏解． 解：原式 = (100 + 2)2 = 10000 + 400 + 4 = 10404. 思考：怎样计算 1022，992 更简便呢？ (1) 1022； (2) 992. 解：原式 = (100－1)2 = 10000 － 200 + 1 = 9801. 完全平方公式的运用 2 例4 已知 a＋b＝7，ab＝10，求 a2＋b2，(a－b)2 的值. 解：因为 a＋b＝7， 所以 (a＋b)2＝49. 所以 a2＋b2＋2ab＝49， 即 a2＋b2＋2×10＝49. 所以 a2＋b2＝29. 故 (a－b)2＝a2＋b2－2ab＝29－2×10＝9. 要熟记完全平方公式哦！ 1.利用乘法公式计算： (3) (2x + )2； (4) (-2x + 3y)2. (1) (3x + 1)2； (2) (a - 3b)2； 解：(1) (3x + 1)2 = 9x2 + 6x + 1. (2) (a -3b)2 = a2 - 6ab + 9b2. (3) (2x + )2 = 4x2 + 2xy + y2. (4) (-2x + 3y)2 = 4x2 - 12xy + 9y2. 课本练习 2. 如图，一张正方形的纸片，如果把它沿着各边都剪去 3 cm 宽的一条，那么所得小正方形的面积比原正方形的面积减少 84 cm2，求原正方形的边长. 解：设小正方形的边长为 a cm，则大正方形的边长为 (a + 6) cm. S大正方形＝(a + 6)2 cm2， S小正方形＝a2 cm2， S减少＝(a + 6)2 - a2 ＝(12a + 36) cm2. 故 12a + 36 = 84 cm2， ＝a2 + 12a + 62 - a2 解得 a＝4 ， 则 a +6＝10 . 答：原正方形的边长为 10 cm. 3 3 单位：cm 解：(1) 原式 (1) (a + b + c)2； (2)(a－b)3 ． 例5 利用乘法公式计算： (2) 原式= (a - b)3 = a2 +b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc. = a2 + 2ab + b2 + 2ac + 2bc + c2 = (a +b)² + 2(a + b)c + c2 = [(a +b)+ c ]2 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3 = a3 - 2a2b + ab2 - a2b + 2ab2 - b3 = (a - b) (a2 - 2ab + b2) = (a - b)(a - b)2 (1) (a + b)3； (2) (x - 1)3； 1. 计算： = (a2 +2ab +b2)(a + b) 解：(1) 原式= (a + b)2(a + b) = a3 + 3a2b +3ab2 + b3. = a3 + 2a2b + ab2 + a2b + 2ab2 + b3 (2) 原式= (x2 - 2x + 1)(x - 1) = x3 - 2x2 + x - x2 + 2x - 1 = x3 - 3x2 + 3x -1. 课本练习 (3) (a - b - c)2. = (a - b)2 - 2(a - b)∙c + c2 原式= [(a - b) - c]2 = (a2 - 2ab + b2) - 2(ac - bc) + c2 = a2 - 2ab + b2 - 2ac + 2bc + c2 = a2 + b2 + c2 - 2ab -2ac + 2bc. 完全平方公式 法则 注意 (a±b)2 = a2±2ab＋b2 1. 项数、符号、字母及其指数 2. 不能直接应用公式进行计算 的式子，需要先添括号变形 3. 常用公式变形式： a2 + b2 = (a + b)2 - 2ab a2 + b2= (a - b)2 + 2ab； (a＋b)2 - (a - b)2 = 4ab . 课堂小结 1. 若 a2 + ab + b2 + A = (a - b)2，那么 A =（　　） A．-3ab B．-2ab C．0 D．ab A 解析：A = (a - b)2 - ( a2 + ab + b2 ) = -3ab. = a2 - 2ab + b2 - a2 - ab - b2 课后练习 2.下面各式的计算是否正确？如果不正确，应当怎样 改正？ (1) (x + y)2 = x2 + y2； (2) (x－y)2 = x2 －y2； (3) (－x + y)2 = x2 + 2xy + y2； (4) (2x + y)2 = 4x2 + 2xy + y2. × × × × = x2 + 2xy + y2 = x2－2xy + y2 = x2 －2xy + y2 =4x2 + 4xy + y2 (1) (6a + 5b)2； = 36a2 + 60ab + 25b2. (2) (4x－3y)2 ； =16x2－24xy + 9y2. (3) (2m－1)2 ； = 4m2－4m + 1. (4) (－2m－1)2 . = 4m2 + 4m + 1. 3. 运用完全平方公式计算： 4. 若 a + b = 5，ab = - 6，求 a2 + b2，a2 - ab + b2. 5. 已知 x2 + y2 = 8，x + y = 4，求 x - y. 解：a2 + b2 = (a + b)2 - 2ab = 52 - 2×(-6) = 37， a2 - ab + b2 = a2 + b2 - ab = 37 - (-6) = 43. 解：因为 x + y = 4，所以 (x + y)2 = x2 + y2 + 2xy = 16 ①. 又 x2 + y2 = 8 ②， ① - ② 得 2xy = 8 ③. ②－③ 得 x2 + y2 - 2xy = 0，即 (x - y)2 = 0. 解题时常用结论：a2 + b2 = (a + b)2 - 2ab = (a - b)2 + 2ab； 4ab = (a＋b)2 - (a - b)2. 故 x - y = 0. 本文件著作权为创作公司所有, 仅限于教师教学及其他非商业性和非盈利性用途。如发现盗用、转卖、网络传播等侵权行为, 本公司将依法追究其相应法律责任。 部分素材选自网络, 如有争议, 请联系删改。 声 明 $