第10章 专题8 平行线中辅助线的作法（作业课件）【优翼·学练优】2025-2026学年七年级数学下册同步备课（沪科版）

该初中数学课件聚焦平行线中辅助线的作法，涵盖过“拐点”作平行线（含一个及多个拐点）和加截线法（连接两点、延长线段相交），通过一题多解（如过E点向左/右作平行线）和实际问题（台灯、路灯维护车）导入，衔接平行线性质与判定，搭建从基础到复杂问题的学习支架。 其亮点在于结合一题多解、模型总结（如多个拐点角度和公式(n-1)×180°）及实际情境应用，培养学生几何直观和推理意识。采用问题情境引导与结构化模型归纳，帮助学生掌握辅助线作法，提升解决复杂几何问题的能力，教师可借助系统例题和总结高效教学。

2026春季学期 《学练优》·七年级数学下·HK 第10章相交线、平行线与平移 专题8　平行线中辅助线的作法 ◆方法一　过“拐点”作平行线 一、含一个“拐点”的有关问题 1. 一题多解如图，已知AB∥CD，∠B＝15°， ∠BED＝90°，求∠D的度数. 解法一：如图，过点E向左作EM∥AB. 2 3 4 5 6 7 1 解：因为AB∥CD， 所以AB∥EM∥CD. 所以∠B＋∠BEM＝180°. 因为∠B＝15°，所以∠BEM＝165°. 又因为∠BED＝90°， 所以∠DEM＝360°－∠BEM－∠BED＝105°. 因为EM∥CD， 所以∠DEM＋∠D＝180°. 所以∠D＝75°. 解：因为AB∥CD， 所以AB∥EM∥CD. 所以∠B＋∠BEM＝180°. 因为∠B＝15°，所以∠BEM＝165°. 又因为∠BED＝90°， 所以∠DEM＝360°－∠BEM－∠BED＝105°. 因为EM∥CD， 所以∠DEM＋∠D＝180°. 所以∠D＝75°. 2 3 4 5 6 7 1 解法二：如图，过点E向右作EN∥AB. 解：因为AB∥CD， 所以EN∥CD. 因为∠B＝15°， 所以∠BEN＝15°. 又因为∠BED＝90°， 所以∠DEN＝75°. 因为EN∥CD，所以∠D＝∠DEN＝75°. 解：因为AB∥CD， 所以EN∥CD. 因为∠B＝15°， 所以∠BEN＝15°. 又因为∠BED＝90°， 所以∠DEN＝75°. 因为EN∥CD，所以∠D＝∠DEN＝75°. 2 3 4 5 6 7 1 2. 如图，已知AB∥DE，∠ABC＝80°，∠CDE ＝140°，求∠BCD的度数. 解：如图，过点C向右作CF∥DE. 解：如图，过点C向右作CF∥DE. 因为AB∥DE， 所以AB∥DE∥CF. 所以∠BCF＝∠B＝80°，∠DCF＋∠D＝180°. 又因为∠D＝140°，所以∠DCF＝40°. 所以∠BCD＝80°－40°＝40°. 因为AB∥DE， 所以AB∥DE∥CF. 所以∠BCF＝∠B＝80°，∠DCF＋∠D＝180°. 又因为∠D＝140°，所以∠DCF＝40°. 所以∠BCD＝80°－40°＝40°. 2 3 4 5 6 7 1 3. (2025·芜湖期末)(1)问题情景：如图①，已知 ∠CDF＋∠DFE＝180°， ∠C＝∠DAE. ①问题初探：请对AD∥BC说明理由； 解：(1)①因为∠CDF＋∠DFE＝180°， 所以AE∥DC. 所以∠AEB＝∠C. 因为∠C＝∠DAE，所以∠AEB＝∠DAE. 所以 AD∥BC. 解：(1)②如图，过点F向右作FG∥AD， 解：(1)①因为∠CDF＋∠DFE＝180°， 所以AE∥DC. 所以∠AEB＝∠C. 因为∠C＝∠DAE，所以∠AEB＝∠DAE. 所以AD∥BC. 2 3 4 5 6 7 1 ②拓展探究：请对∠DFE＝ ∠ADF＋∠AEB说明理由. 解：(1)②如图，过点F向右作FG∥AD， 解：(1)②如图，过点F向右作FG∥AD， 所以∠DFG＝∠ADF. 因为AD∥BC，所以FG∥BC. 所以∠GFE＝∠AEB. 所以∠DFE＝∠DFG＋∠EFG＝∠ADF＋∠AEB. 2 3 4 5 6 7 1 3. (2025·芜湖期末)(1)问题情景： 如图①，已知∠CDF＋∠DFE＝180°， ∠C＝∠DAE. (2)迁移应用：如图②是路灯维护工程车的工作示意 图，工作篮底部与支撑平台平行.若∠1＝31°，则 ∠2＋∠3的度数为 ⁠. 211°　 2 3 4 5 6 7 1 模型总结 　　如图，若AB∥CD，常过拐点E向左或向右作 平行线，把复杂的图形转化为基本图形(同位角、内 错角、同旁内角)去解决，常见的解题模型如下： 　　通常构造与已知角成内错角关系的做法更简单. 2 3 4 5 6 7 1 二、含多个“拐点”的有关问题 方法点拨 　　解决平行线间含多个“拐点”问题时，通常过 各个拐点作平行线解决有关问题. 2 3 4 5 6 7 1 4. 进阶设问(1)如图①，a∥b，则∠1＋∠2 ＝ ⁠； (2)如图②，AB∥CD，则∠1＋∠2＋∠3 ＝ ⁠； (3)如图③，a∥b，则∠1＋∠2＋∠3＋∠4 ＝ ⁠； 180°　 360°　 540°　 2 3 4 5 6 7 1 (4)如图④，a∥b，根据以上结论，试探究∠1＋ ∠2＋∠3＋∠4＋…＋∠n＝ (直 接写出你的结论，无须说明理由). (n－1)×180° 2 3 4 5 6 7 1 5. 新情境 台灯如图为一台灯示意图，其中灯头连接 杆DE始终和桌面FG平行，灯脚AB始终和桌面FG 垂直，当∠EDC＝∠DCB＝120°时，求∠CBA的 度数. 2 3 4 5 6 7 1 解：如图，过点C向左作CP∥DE，过点B向右作 BH∥FG. 因为DE∥FG，所以DE∥PC∥BH∥FG. 所以∠PCD＝180°－∠D＝60°. 解：如图，过点C向左作CP∥DE， 过点B向右作BH∥FG. 因为DE∥FG，所以DE∥PC∥BH∥FG. 所以∠PCD＝180°－∠D＝60°. 所以∠PCB＝∠DCB－∠PCD＝60°. 又因为PC∥BH， 所以∠CBH＝∠PCB＝60°. 又因为FG∥BH，AB⊥FG， 所以∠ABH＝∠FAB＝90°. 所以∠CBA＝∠CBH＋∠ABH＝60°＋90°＝150°. 2 3 4 5 6 7 1 ◆方法二　加截线 方法点拨 　　能用加截线法解决平行线中的拐点问题，也可 用过拐点作平行线的方法解决. 2 3 4 5 6 7 1 一、连接两点 6. 如图，AB∥CD，∠1＝∠2，试判断∠E与∠F 的大小关系，并说明你的理由(用加截线法解决). 解：∠E＝∠F. 理由如下：如图，连接BC. 解：∠E＝∠F. 理由如下：如图，连接BC. 因为AB∥CD， 所以∠ABC＝∠DCB. 又因为∠1＝∠2， 所以∠ABC－∠1＝∠DCB－∠2， 即∠EBC＝∠FCB. 所以BE∥CF. 所以∠E＝∠F. 所以∠ABC－∠1＝∠DCB－∠2， 即∠EBC＝∠FCB. 所以BE∥CF. 所以∠E＝∠F. 2 3 4 5 6 7 1 二、延长线段相交 7. 如图，直线l1∥l2，∠α＝∠β，∠1＝40°，求 ∠2的度数(用加截线法解决). 解：如图，延长AE交直线l2于点B. 因为l1∥l2， 解：如图，延长AE交直线l2于点B. 因为l1∥l2， 所以∠3＝∠1＝40°. 因为∠α＝∠β， 所以AB∥CD. 所以∠2＋∠3＝180°. 所以∠2＝180°－∠3＝180°－40°＝140°. 所以∠3＝∠1＝40°. 因为∠α＝∠β， 所以AB∥CD. 所以∠2＋∠3＝180°. 所以∠2＝180°－∠3＝180°－40°＝140°. 2 3 4 5 6 7 1 $