10.重难题型专练 构造平行线的基本图形&数学思想专题 相交线与平行线中的思想方法-【学海风暴】2025-2026学年七年级下册数学同步备课（沪科版·新教材 安徽专版）

重难题型专练 构造平行线的基本图形 题型①“一”形图 题型④ “了”形图 1.如下图，直线a∥b,射线DF与直线a相交 4.如图①，AB∥CD,EOF是直线AB,CD间 于点C,过点D作DE⊥直线b于点E.已知 的一条折线， ∠1=25°，求∠2的度数 A EB A E B 0 >0 CF D 图① 图② (1)试说明：∠EOF=∠BEO+∠DFO. 题型②“子”形图 2.如下图，AB∥DE,则∠C,∠B,∠D之间有 什么数量关系？请说明理由. 7B (2)如果将折一次改为折两次，如图②，那么 ∠BEO,∠EOP,∠OPF,∠PFC之间会满 足怎样的数量关系？请说明理由. 题型③“☑_”形图 3.如下图，已知AB∥DE,∠C=30°，∠D 138°.求∠B的度数， A 90 七年级数学HK版 数学思想专题 相交线与平行线中的思想方法 题型① 方程思想 1.如图，直线MD,CN相交于点O,OA是 ∠MOC内的一条射线，OB是∠NOD内的 一条射线，∠MON=70°. (1)若∠BOD=2∠COD,则∠BON的度数 题型③ 从特殊到一般的思想 为 4.已知AB∥CD,解答下列问题： (2)若∠AOD=2∠BOD,∠BOC= (1)如图①，∠1+∠2= 3∠AOC,则∠BON的度数为 (2)如图②，求∠1+∠2+∠3的度数， (3)如图③，求∠1+∠2+∠3+∠4的度数. (4)如图④，根据以上结论，试探究：∠1十∠2十 ∠3+∠4+…+∠n 第1题图 第2题图 题型②分类讨论思想 2.如图，PQ∥MN,l⊥MN,垂足为A,l交PQ 图① 图② 于点B,点C在射线AM上.若∠ACB< A B 60°，在直线PQ上取一点D,连接CD,过点 2 4 D作DE⊥CD,交直线I于点E.若∠BDE D =30°，则∠ACD的度数为 图③ 图④ 3.如下图，DE∥BC,∠B=100°，点F在射线 BA上，且∠EDF=120°.请求出∠DFB的 度数 下册第10章号x10w*=0 因为AD∥BC,所以∠AEB=∠DAE=50°. 又因为∠C=50°，所以∠AEB=∠C,所以AE∥DC. 8.解：(1)因为BC⊥AE,DE⊥AE,所以BC∥DE,所以 ∠3+∠CBD=180°.又因为∠2+∠3=180°，所以∠2 =∠CBD,所以CF∥DB,所以∠1=∠ABD. (2)因为∠1=70°，∠1=∠ABD,所以∠ABD=70°.又 因为BC平分∠ABD.所以∠DBC=号∠ABD=35, 所以∠2=∠DBC=35°.又因为BC⊥AE,所以 ∠ACB=90°，所以∠ACF=90°-∠2=90°-35 =55° 9.解：(1)因为AB∥CD,所以∠2=∠3 因为∠1=∠2，∠3=∠4， 所以∠1=∠2=∠3=∠4， 所以180°-∠1一∠2=180°-∠3-∠4， 即∠5=∠6，所以m∥n (2)因为∠1=∠2，∠1+∠2+∠DAC=180°， 所以∠2-1s0-∠DaC). 同理可得，∠3-名180”-∠ACB, 因为m∥n, 所以∠DAC+∠ACE=180°， 所以∠2十∠3= 号[180°-∠DAC)+(180° 1 1 ∠ACE)]=2X360°-2（∠DAC+∠ACE)=180° -90°=90°， 所以∠ABC=180°-（∠2+∠3）=90°， 即两平面镜的夹角∠B的度数是90°. 重难题型专练构造平行线的基本图形 1.解：如图，过点D作DG∥b,所以∠GDE=∠3.因为 DE⊥b,所以∠3=90°，所以∠GDE=F C 90°.因为a∥b,所以DG∥a,所以∠1 G.-----------D =∠CDG=25°，所以∠2=∠CDG+ 3 ∠GDE=25°+90°=115°. 2.解：∠C=∠B一∠D.理由如下 过点C作CF∥AB,如图，则∠B=∠BCF 因为AB∥DE,所以CF∥DE, 所以∠DCF=∠D. 因为∠BCD=∠BCF-∠DCF, 所以∠BCD=∠B一∠D. 3.解：过点C作CF∥AB,如图. 因为AB∥DE,所以DECF, 所以∠DCF+∠D=180°. 又因为∠D=138°， 所以∠DCF=180°-∠D=180°-138°=42°. 因为∠BCD=30°， 430 七年级数学HK版 所以∠BCF=∠BCD+∠DCF=30°+42°=72. 因为AB∥CF,所以∠B=∠BCF=72° 4.解：(1)过点O作OM∥AB,如图①，则∠1=∠BEO. 因为AB∥CD,所以OM∥CD, 所以∠2=∠DFO, 所以∠1+∠2=∠BEO+∠DFO, 即∠EOF=∠BEO+∠DFO. AE E一B M…0 Q…210 C F 一D 一D 图① 图② (2)∠EOP+∠PFC=∠BEO+∠OPF.理由如下： 过点O作OQ∥AB,过点P作PN∥CD,如图②. 因为AB∥CD, 所以OQ∥PN∥AB∥CD, 所以∠1=∠BEO,∠2=∠3，∠4=∠PFC, 所以∠1+∠2+∠PFC=∠BEO+∠3+∠4， 即∠EOP+∠PFC=∠BEO+∠OPF」 数学思想专题相交线与平行线中的思想方法 1.(1)75°(2)54°【解析】(1)因为∠MON=70°， 所以∠COD=∠MON=70°. 1 因为∠BOD=2∠COD,所以∠BOD=35, 所以∠BON=180°-∠MON-∠BOD=180°-70°- 35°=75°. (2)设∠AOC=x°，则∠BOC=3.x. 因为∠COD=∠MON=70°， 所以∠BOD=∠BOC-∠COD=3.x°-70°， ∠AOD=∠AOC+∠COD=x°+70°. 因为∠AOD=2∠BOD,所以x+70=2(3x-70), 解得x=42,所以∠BOD=3x°-70°=56°， 所以∠BON=180°-∠MON-∠BOD=54°. 2.120°或60°【解析】分两种情况讨论：①如图①.因为 ∠BDE=30°，CD⊥DE,所以∠BDC=90°-∠BDE =90°-30°=60°.因为PQ∥MN,所以∠ACD+ ∠BDC=180°，所以∠ACD=180°-∠BDC=180°- 60°=120°；②如图②.因为∠BDE=30°，CD⊥DE,所 以∠BDC=∠BDE+∠CDE=30°+90°=120°.因为 PQ∥MN,所以∠BDC+∠ACD=180°，所以∠ACD =180°-∠BDC=180°-120°=60°.综上所述，∠ACD 的度数为120°或60°. 60 人0 A 图① 图② 3.解：分下列两种情况讨论： ①如图①，当点F在DE上方时，过点F作FM∥DE. 因为DE∥BC,所以FM∥BC, 所以∠B+∠BFM=180°，∠D+ ∠DFM=180°. 因为∠B=100°，∠EDF=120°， 所以∠BFM=80°，∠DFM=60°， 图① 所以∠DFB=∠BFM-∠DFM=80°-60°=20° ②如图②，当点F在DE下方时，过点A F作FN∥DE. ......... 因为DE∥BC, 所以FN∥BC, 图② 所以∠D+∠DFN=180°，∠B+ ∠BFN=180. 因为∠B=100°，∠EDF=120°， 所以∠BFN=80°，∠DFN=60°， 所以∠DFB=∠BFN+∠DFN=80°+60°=140°. 综上所述，∠DFB的度数是20°或140°. 4.解：(1)180° (2)如图①，过点E作EF∥AB. 因为AB∥CD, 所以AB∥CD∥EF, 所以∠1+∠AEF=180°，∠CEF+∠3=180. 因为∠AEF十∠CEF=∠2， 所以∠1十∠2+∠3=∠1+∠AEF+∠CEF+∠3= 180°×2=360° A B 3 图① 图② (3)如图②，过点E,F分别作AB的平行线， 由(2)可知，∠1+∠2+∠3+∠4=180°×3=540° (4)180°(n-1) 10.4平移 1.B2.C3.C4.B5.C 6.A 变式题C【解析】因为点B平移后的对应点是E,所 以线段BE的长就是平移的距离.因为BC=5,EC= 2,所以BE=BC-EC=5-2=3. 7.C 8.解：如图所示，三角形A,B,C1即为所求. 9.C10.D 11.30【解析】由平移的性质可知，AD=BE=3cm,AB =DE.因为三角形DEF的周长为24cm,所以DE十 EF+DF=24cm,所以四边形ABFD的周长为AB +BE+EF+DF+AD=24+3+3=30(cm). 12.38【解析】由平移的性质，得6个小直角三角形较长 的直角边平移后等于BC边，较短的直角边平移后等 于AC边，斜边之和等于AB边长，所以这6个小直 角三角形的周长之和=直角三角形ABC的周长 =38. 13.98【解析】由平移的性质可知，小明所走路线的横向 距离等于AB,纵向距离等于(AD一1)×2. 因为AB=50m,BC=25m, 所以小明所走的路线长为50+(25-1)×2=98(m). 14.解：(1)BE,CF. (2)5 (3)由平移的性质得BC∥EF,AE∥CF, 所以∠E=∠ABC=75°，∠CFE+∠E=180°， 所以∠CFE=180°-∠E=105°. 15.解：根据图②可知，大正方形的周长加上一个小正方 形的周长为22，所以4×4+4a=22, 解得a=1.5. 章末对点导练 1.B 2.100°或40°【解析】根据对顶角相等，得∠AOC= ∠BOD=70°.分下列两种情况讨论： ①如图①，当OE在OD上方时，∠BOE=∠BOD+ ∠DOE=70°+30°=100°；②如图②，当OE在OD下 方时，∠BOE=∠BOD-∠DOE=70°-30°=40°.综 上所述，∠BOE的度数为100°或40°. 一D 图① 图② 3.解：(1)∠AOC的对顶角是∠BOD,∠BOF的对顶角 是∠AOE. (2)因为∠AOC=70°，∠AOC+∠BOC=180°， 所以∠BOC=110°. 因为∠BOF=20°， 所以∠COF=∠BOC-∠BOF=90°， 所以∠DOE=∠COF=90°. 4.D5.45 6.解：(1)如图，点H即为所求. (2)如图，过点H作HG⊥EF,垂足为G.沿线段HG 开渠最短.依据：连接直线外一点与直线上各点的线段 中，垂线段最短. A. 、H…C B.-- D F 下册参考答案 31Λ